SBT Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 3: Diện tích tam giác

Bài 25 trang 159 SBT Toán 8 Tập 1: Hai đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành bốn tam giác. Diện tích của các tam giác đó có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật ABCD.

Ta có: OA = OB = OC = OD (tính chất hình chữ nhật) ΔOAB = ΔOCD (c.g.c) ⇒ SOAB = SOCD (1)

ΔOAD = ΔOBC (c.g.c) ⇒ SOAD = SOBC (2) Kẻ AH ⊥ BD

SOAD = ¹

2AH.OD SOAB = ¹

2AH.OB

Suy ra: SOAD = SOAB (do OB = OD) (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ SOAB = SOBC = SOCD = SODA

Bài 26 trang 159 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có đáy BC cố định và đỉnh A di động trên đường thẳng d cố định song song với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC có diện tích không đổi.

Lời giải:

Đường thẳng d cố định song song với đường thẳng BC cố định nên khoảng cách hai đường thẳng d và BC là không đổi.

Tam giác ABC có cạnh đáy BC không đổi, chiều cao AH là khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song không đổi.

Vậy điểm A thay đổi trên đường thẳng d // AB thì diện tích tam giác ABC không đổi.

Bài 27 trang 159 SBT Toán 8 Tập 1: Tam giác ABC có đáy BC cố định và dài 4cm. Đỉnh A di chuyển trên đường thẳng d ( d ⊥ BC). Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A đến đường thẳng BC.

a) Điền vào ô trống bảng sau:

Độ dài AH (cm) 1 2 3 4 5 10 15 20

SABC (cm²)

b) Vẽ đồ thị biểu diễn số đo SABC theo độ dài AH.

c) Diện tích tam giác tỉ lệ thuận với chiều cao AH không?

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC là S ¹AH.BC ¹.AH.4 2AH

2 2

= = = .

Từ đó, ta có bảng sau:

Độ dài AH (cm) 1 2 3 4 5 10 15 20

SABC (cm²) 2 4 6 8 10 20 30 40

b) SABC là hàm số của chiều cao AH.

Gọi y là diện tích của ΔABC (cm²) và x là độ dài AH (cm)

thì y ¹AH.BC ¹.x.4 2x

2 2

= = =

Đồ thị như hình bên.

c) Do y = 2x nên diện tích của tam giác tỉ lệ thuận với chiều cao.

Bài 28 trang 160 SBT Toán 8 Tập 1: Tính diện tích hình bên theo kích thước đã cho trên hình.

Lời giải:

Diện tích phần là hình chữ nhật:

S1 = bc (đvdt)

Diện tích phần hình tam giác: (tam giác có chiều cao là a - b, cạnh đáy tương ứng là: c)

S2 = ¹

2c.(a - b) (đvdt)

Diện tích hình vẽ là: S S₁ S₂ bc ¹c(a b)

= + = + 2 − (đvdt).

Bài 29 trang 160 SBT Toán 8 Tập 1: Hai cạnh của một tam giác có độ dài là 5cm và 6cm. Hỏi diện tích của tam giác đó có thể lấy giá trị nào trong các giá trị sau:

a) 10 cm² b) 15 cm² c) 20 cm² Lời giải:

Giả sử hai cạnh của tam giác là 5 cm và 6 cm. Chiều cao tương ứng với hai cạnh của tam giác là h và k.

Ta có: S1 = ¹ 2.5.h;

S2 = ¹

2.6.k = 3k

h và k là đường cao tương ứng với cạnh đáy là 5 và 6. Theo tính chất của đường vuông góc và đường xiên thì h ≤ 6 và k ≤ 5

Suy ra diện tích của tam giác S ≤ 15 ( = 3.5)

Vậy diện tích của tam giác có thể bằng 10 cm² hay 15 cm² nhưng không thể bằng 20 cm².

Bài 30 trang 160 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, biết AB = 3AC. Tính tỉ số hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và C.

Lời giải:

Gọi BH và CK là các đường cao của tam giác ABC như hình vẽ.

Ta có: SABC = ¹

2AB.CK = ¹

2AC.BH Suy ra: AB.CK = AC.BH ⇒ BH AB

CK = AC Mà AB = 3AC (giả thiết) ⇒BH 3AC

CK= AC =3 nên BH = 3 CK.

Vậy đường cao BH dài gấp 3 lần đường cao CK.

Bài 31 trang 160 SBT Toán 8 Tập 1: Các điểm E, F, G, H, K, L, M, N chia mỗi cạnh hình vuông ABCD thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Gọi P, Q, R, S là giao điểm của EH và NK với FM và GL. Tính diện tích của ngũ giác AEPSN và của tứ giác PQRS, biết AB = 6cm.

Lời giải:

Diện tích hình vuông ABCD bằng 6.6 = 36 (cm²)

Do các điểm E, F, G, H, K, L, M, N chia mỗi cạnh hình vuông ABCD thành ba đoạn thẳng bằng nhau nên AE = EF = BF = AN = MN = MD = DL = LK = KC = CH = GH = BG = 6 : 3 = 2cm

Diện tích ΔBEH bằng ¹

2.4.4 = 8 (cm²) Diện tích ΔDKN bằng ¹

2.4.4 = 8 (cm²)

Diện tích phần còn lại (đa giác ANKCHE) là: 36 - (8 + 8) = 20 (cm²) Trong tam giác vuông AEN, ta có:

EN² = AN² + AE² = 4 + 4 = 8 ⇒ EN = 2 2 (cm) Trong tam giác vuông BHE, ta có:

EH² = BE² + BH² = 16 + 16 = 32 ⇒ EH = 4 2(cm)

Diện tích hình chữ nhật ENKH bằng: 2 2. 4 2 16= (cm²)

Nối đường chéo BD. Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có hình chữ nhật ENKH được chia thành 4 phần bằng nhau nên diện tích tứ giác PQRS chiếm 2 phần và bằng 8 cm²

Diện tích ΔAEN bằng ¹

2.2.2 = 2 (cm²) Vậy SAEPSN = SAEN + SEPSN = 2 + ¹⁶

4 = 6 (cm²) Bài tập bổ sung

Bài 3.1 trang 160 SBT Toán 8 Tập 1: a) Có thể dùng kéo cắt hai lần và chỉ cắt theo đường thẳng chia một tam giác (thường) thành ba mảnh để ghép lại được một hình chữ nhật hay không ?

Từ đó suy ra công thức tính diện tích tam giác thường dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật.

b) Hãy chia một tam giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác đó.

c) Hãy chia một tam giác thành 4 phần có diện tích bằng nhau bởi ba đường thẳng, trong đó chỉ có một đường đi qua đỉnh của tam giác đó.

Lời giải:

a) Xét Δ ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB.

Từ M kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại K Từ N kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại L

Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt hai đường thẳng MK và NL tại T và R Ta có: Δ MKC = Δ MTA

Δ NLB = Δ NRA

Cắt Δ ABC theo đường MK và NL ta ghép lại được một hình chữ nhật KTRL có diện tích bằng diện tích tam giác ABC.

Diện tích hình chữ nhật KTRL là S = KL . KT Ta chứng minh được KT = AH

Theo tính chất đường trung bình trong các tam giác ABH và ACH ta chứng minh được BL = LH; HK = KC

Suy ra: BL + KC = LH + HK = LK Mà BL + KC + LK = BC

Do đó 1

LK BC

= 2 Vậy S = 1

BC.AH 2

Do diện tích hình chữ nhật bằng diện tích tam giác nên từ đó ta suy ra công thức tính diện tích tam giác S = 1

BC.AH 2

b)

Ta đã biết hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chung chiều cao thì có diện tích bằng nhau. Giả sử Δ ABC có M là trung điểm của BC.

Cắt tam giác ABC theo đường AM chia tam giác ABC ra hai phần có diện tích bằng nhau.

c)

Tương tự như trên câu b.

Xét Δ ABC. Gọi M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB

Cắt tam giác ABC theo đường AM ta có hai phần có diện tích bằng nhau Cắt tam giác AMC theo đường MN ta có hai phần có diện tích bằng nhau

Cắt tam giác AMB theo đường MP ta có hai phần diện tích bằng nhau, ta có diện tích bốn phần chia bằng nhau.

Bài 3.2 trang 161 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác đều ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với CA tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với AB tại điểm T. Chứng minh rằng MH + MK + MT không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Lời giải:

Giả sử ΔABC đều có cạnh bằng a, kẻ đường cao AD, đặt AD = h không đổi.

Ta có:

SABC = ¹ 2ah SMAB = ¹

2MT.a SMAC = ¹

2MK.a

SMBC = ¹

2MH.a

SABC = SMAB + SMAC + SMBC

1 1 1 1 1

ah MT.a MK.a MH.a a(MT MK MH)

2 = 2 + 2 +2 = 2 + +

⇒ MT + MK + MH = h không đổi

Vậy tổng MT + MK + MH không phụ thuộc vào điểm M.

Bài 3.3 trang 161 SBT Toán 8 Tập 1: a) Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S’ là diện tích của tam giác DBC.

Chứng minh rằng S' DK S = AH .

b) Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T.

Chứng minh rằng MH MK MT AD + BE + CF =1 Lời giải:

a) Hai ΔABC và ΔDBC có chung cạnh đáy BC nên ta có:

SABC = ¹

2AH. BC = S SDBC = ¹

2DK. BC = S' 1DK.BC

S' 2 DK

S 1AH.BC AH

2

 = =

b)

Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S1, S2, S3. Ta có:

S = S1 + S2 + S3

Trong đó: S = ¹

2AD.BC = ¹

2BE. AC = ¹

2CF. AB S1 = ¹

2MT. AB

S2 = ¹

2MK. AC S3 = ¹

2MH. BC Suy ra:

1

1MT.AB

S 2 MT

S 1CF.AB CF

2

= = ; ²

1MK.AB

S 2 MK

S 1BE.AB BE

2

= =

3

1MH.AB

S 2 MH

S 1AD.AB AD

2

= =

3 2 1 3 2 1

MH MK MT S S S S S S S

AD BE CF S S S S S 1

 + + = + + = + + = = .