Ôn tập chương I
Bài 80 trang 119 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tính sin và tan, nếu
a) 5
cos =13
b) 15
cos =17 c) cos =0,6 Lời giải:
a) Ta có:
2
2 2 2 2 5 144
sin cos 1 sin 1 cos 1
13 169
+ = = − = − =
Mà sin > 0 sin 144 12 169 13
= =
12 sin 13 12
tan 2, 4
cos 5 5
13
= = = =
b) Ta có:
2
2 2 2 2 15 64
sin cos 1 sin 1 cos 1
17 289
+ = = − = − =
Mà sin > 0 sin 64 8 289 17
= =
8 sin 17 8 tan cos 15 15
17
= = =
c)
Ta có: sin2 +cos2 = 1 sin2 = −1 cos2 = −1
( )
0,6 2 =0,64Mà sin > 0 sin = 0,64 =0,8 sin 0,8 4
tan cos 0,6 3
= = =
Bài 81 trang 119 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy đơn giản các biểu thức a) 1 sin− 2
b) (1 cos )(1 cos )− + c) 1 sin+ 2 +cos2 d) sin −sin cos 2
e) sin4 +cos4 +2sin2cos2 g) tan2 −sin2.tan2
h) cos2 +tan2.cos2 i) tan2.(2cos2 +sin2 −1) Lời giải:
a)
2 2 2 2 2 2 2 2
1 sin− =(sin +cos −) sin =sin +cos −sin =cos b)
(1 cos )(1 cos ) 1 cos− + = − 2
2 2 2 2 2 2 2
(sin cos ) cos sin cos cos sin
= + − = + − = c)
( )
2 2 2 2
1 sin+ +cos = +1 sin +cos = + =1 1 2 d)
e)
( )
2( )
24 4 2 2 2 2 2 2
sin +cos +2sin cos = sin +2sin cos + cos
(
sin2 cos2)
2 12 1= + = = g)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
tan −sin .tan =tan −(1 sin =) tan (sin +cos −sin )
2
2 2 2 2
2
tan .cos sin .cos sin cos
= = =
h)
2
2 2 2 2 2 2 2
2
cos tan .cos cos sin .cos cos sin 1 cos
+ = + = + =
i)
2 2 2 2 2 2 2
tan .(2cos +sin − =1) tan .(cos +cos +sin −1)
2
2 2 2 2 2 2
2
tan .(cos 1 1) tan .cos sin .cos sin cos
= + − = = =
Bài 82 trang 120 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có đường cao AH
BC = 9, AB = 6, AC = 7 BH = x, CH = y, AH = z
Xét tam giác ABH vuông tại H Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
AB =BH +AH x +z =6 =36z =36−x (1) Xét tam giác ACH vuông tại H
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
AC =CH +AH y +z =7 =49z =49−y (2) Từ (1) và (2) ta có: 36−x2 =49−y2 (3)
Mà BH + CH = x + y = BC = 9 nên y = 9 – x (4) Thế (4) vào (3) ta có:
2 2
36−x =49 (9− −x)
2 2
36 x 49 (81 18x x )
− = − − +
2 2
36 x 49 81 18x x
− = − + −
18x 68
=
68 34
x 3,778
18 9
= =
Từ đó ta có: y = 9 – 3,778 = 5,222
2
2 2 34
z 36 x 36 21,728 z 4,661 9
= − = −
Bài 83 trang 120 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6.
Lời giải:
Xét tam giác ABC cân tại A
Diện tích tam giác ABC là: SABC 1AH.BC 1BK.AC
2 2
= =
BC BK 6 5
AH.BC BK.AC AC BC
AC AH 5 6
= = = =
AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến Do đó, H là trung điểm của BC BH CH BC
= = 2 Xét tam giác AHC vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2
2 2 5 2 BC
AC AH HC BC 5
6 2
= + = +
2
2 2 2 2
25 BC 4
BC 5 BC 25 BC 56, 25
36 4 9
= + = =
BC 56, 25 7,5
= =
Bài 84 trang 120 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC
= 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
a) Chứng minh DE DB DB= DC.
b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.
c) Tính tổng AEB+BCD bằng hai cách Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b)
Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác Lời giải:
a)
Xét tam giác vuông ABD vuông tại A Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2 2 2 2 2
BD =AD +AB =a +a =2a BD= 2a =a 2 Ta có:
DE a 1
DB = a 2 = 2
DB a 2 a 2 1 DC =a a = 2a = 2
+
DE DB
DB DC
=
b)
Xét tam giác BDE và tam giác CDB DE = DB
Góc BDE chung
Do đó, tam giác BDE và tam giác CDB đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh
c)
Xét tam giác ABD vuông tại A Có AB = AD = a
Do đó, tam giác ABD vuông cân tại A BDA ABD 45o
= =
tam giác BDE và tam giác CDB đồng dạng
BED CBD
=
Mặt khác: AEB+BCD=BED+BCD=CBD+BCD (3) Xét tam giác BCD
ADB=CBD+BCD=ADB=45o(4) (tính chất góc ngoài) Từ (3) và (4) ta suy ra AEB+BCD=45o
Cách 2:
Ta có: AE = AD + DE = 2a Xét tam giác ABE vuông tại A
Ta có: AB a 1 o
tan AEB AEB 26 34'
AE 2a 2
= = =
Xét tam giác ABC vuông tại A
Ta có: AB a 1 o
tan ACB ACB 18 26'
AC 3a 3
= = =
Suy ra AEB+ACB=26 34' 18 26'o + o =45o Vậy AEB+BCD=AEB+ACB=45o
Bài 85 trang 120 SBT Toán lớp 9 tập 1: (h.31) Tính góc tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m.
Lời giải:
Kí hiệu như hình vẽ
Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
AH 0,8 40 o
cosBAH BAH 70
AB 2,34 117
= = =
Xét tam giác ABC cân tại A (do AB = AC = 2,34m) Đường cao AH cũng là đường phân giác
o o
BAC 2BAH 2.70 140
= = = =
Bài 86 trang 120 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình 32. Biết: AD⊥DC, DAC=74o, AXB 123= o, AD = 2,8cm, AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.
a) Tính AC
b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX. Hãy tính XY.
Lời giải:
a)
Xét tam giác ACD vuông tại D
o
AD AD 2,8
cosCAD AC 10,158
AC cosCAD cos74
= = = (cm)
b)
Kẻ DN ⊥ACtại N
Xét tam giác AND vuông tại N
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
DN=AD.sin DAN=2,8.sin 74o 2,692 (cm) AN=AD.cos DAN=2,8.cos74o 0,772 (cm)
Vì BX // DY nên DYX=BXY 123= o (hai góc so le trong bằng nhau)
Mà DYN+DYX 180= o (hai góc kề bù)
o o o o
DYN 180 DYX 180 123 57
= − = − =
Xét tam giác DYN vuông tại N
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
NY=DN.cot DYN=2,692.cot 57o 1,748 (cm)
Ta có: XY = AX – AN – NY = 5,5 – 0,772 – 1,748 = 2,98 (cm).
c) Ta có: CX=AC−AX 10,158 5,5 − =4,658 (cm) Kẻ BM ⊥CX
Ta có:
o o o o
BXC 180= −BXA 180= −123 =57 Xét tam giác BMX vuông tại M
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
BM=BX.sin BXC=4,1.sin 57o 3, 439 (cm)
Diện tích tam giác BCX là: SBCX 1BM.CX 1.3, 439.4,658 8,009(cm )2
2 2
= =
Bài 87 trang 120 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC có A=20o, B=30o, AB
= 60cm. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P (h.33). Hãy tìm a) AP, BP
b) CP
a)
Xét tam giác ACP vuông tại P
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
AP=CP.cot PAC (1)
Xét tam giác BCP vuông tại P
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
BP=CP.cot PBC (2) Từ (1) và (2) suy ra
( )
AP+BP=CP.cot PAC+CP.cot PBCAB=CP. cot PAC+cot PBC
o o
AB 60
CP 13,394
cot 20 cot 30 cot PAC cot PBC
= =
+ + (cm)
Thay CP = 13,394 vào (1) và (2) ta có:
AP=CP.cot PAC 13,394.cot 20= o 36,8 (cm) BP=CP.cot PBC 13,394.cot 30= o 23,199 (cm) b) Theo câu a, CP = 13,394 cm.
Bài 88 trang 121 SBT Toán lớp 9 tập 1: Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là 300m, góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 40o và tại vị trí B là 30o (h.34). Hãy tìm độ cao của máy bay.
Lời giải:
Kí hiệu như hình vẽ.
Gọi C là vị trí của máy bay Kẻ CH vuông góc với AB tại H Xét tam giác ACH vuông tại H
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
AH=CH.cot A (1)
Xét tam giác CBH vuông tại H
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
BH=CH.cot B (2) Từ (1) và (2) ta suy ra:
AH+BH=CH.cot A+CH.cot BAB=CH.(cot A+cot B)
o o
AB 300
CH 102,61
cot A cot B cot 40 cot 30
= =
+ + (m)
Bài 89 trang 121 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm, hai cạnh bên bằng nhau và bằng 25cm, góc tù bằng 120o. Tính chu vi và diện tích của hình thang đó.
Lời giải:
Xét hình thang ABCD có AB = 15cm
AD = BC = 25cm
Do đó, ABCD là hình thang cân DAB ABC 120o
= =
Kẻ AH và BK vuông góc với DC lần lượt tại H và K Xét tứ giác AHKB
AH // BK (cùng vuông góc với DC) AB // HK (do ABCD là hình thang)
Do đó, AHKB là hình bình hành HK = AB = 15 (cm) và AH = BK Vì AB // CD nên ADC+DAB 180= o (hai góc trong cùng phía bù nhau)
o o o o
ADC 180 DAB 180 120 60
= − = − =
Xét tam giác ADH vuông tại H
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
DH=AD.cos ADC=25.cos60o =12,5 (cm)
o 25 3
AH AD.sin ADC 25.sin 60
= = = 2 (cm)
Xét tam giác vuông ADH và tam giác vuông BCK
AH = BK AD = BC
Do đó, tam giác vuông ADH và tam giác vuông BCK bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông
Nên: CK = DH = 12,5cm
Ta có: CD = CK + KH + HD = 12,5 + 15 + 12,5 = 40 cm
Chu vi hình thang ABCD là: AB + BC + CD + DA = 15 + 25 + 40 + 25 = 105 (cm) Diện tích hình thang ABCD là:
ABCD
AB CD 15 40 25 3
S .AH . 595,392
2 2 2
+ +
= = (cm2)
Bài 90 trang 121 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC, B, C
b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì
? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF.
Lời giải:
a)
Xét tam giác ABC vuông tại A Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
Ta lại có: sin C AB 6 0,6 C 36 52'o AC 10
= = =
Mặt khác: A=90o + =B C 90o =B 90o − =C 90o −36 52'o =53 8'o b)
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A AD là đường phân giác nên BD AB
DC = AC (tính chất đường phân giác)
BD AB BD AB
BD DC AB AC BC AB AC
= =
+ + +
BC.AB 10.6 30
BD 4, 286
AB AC 6 8 7
= = =
+ + (cm)
30 40
DC BC BD 10 5,714
7 7
= − = − = (cm)
c)
Xét tứ giác AEDF A=AED=AFD=90o
Do đó, AEDF là hình chữ nhật
Ta lại có: D nằm trên tia phân giác của góc A nên DE = DF (tính chất tia phân giác)
Do đó, AEDF là hình vuông Xét tam giác BAC
Vì DE vuông góc với AB, AC vuông góc với AB nên DE // AC Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
40.6
CD AE AE CD.AB 7 24
BC =AB = BC = 10 = 7
Chu vi hình vuông AEDF là: 4.AE 4.24 96 13,714
7 7
= = (cm)
Diện tích hình vuông AEDF là:
2
2 24 576 2
AE 11,755(cm )
7 49
= =
Bài 91 trang 121 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC . Biết AD = 5a, AC = 12a.
a) Tính sin B cos B sin B cos B
+
−
b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.
Lời giải:
a)
Xét tam giác ABC vuông tại C (do đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC)
( ) ( )
2 22 2 2 2 2
AB =BC +AC = 5a + 12a =169a AB= 169a =13a Ta lại có:
AC 12a 12 sin B
AB 13a 13
= = =
BC 5a 5 cos B
AB 13a 13
= = =
12 5
sin B cos B 13 13 17 2, 429 12 5
sin B cos B 7
13 13 + +
= =
− −
b)
Kẻ CH vuông góc với AB tại H Xét tam giác CBH vuông tại H
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác ta có:
12 60a
CH CB.sin B 5a. 4,615a 13 13
= = =
Bài 92 trang 121 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác cân ABC, AB = AC = 10cm, BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho AI 1AH
=3 . Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D.
a) Tính các góc của tam giác ABC b) Tính diện tích tứ giác ABCD Lời giải:
a)
Xét tam giác ABC cân tại A
AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến
Do đó, H là trung điểm của BC BC 16
HB HC 8
2 2
= = = = (cm)
Xét tam giác ABH vuông tại H
Ta có: cos ABC HB 8 0,8 ABC 36 52'o AB 10
= = = =
Vì tam giác ABC cân nên: ACB=ABC=36 52'o
Ta có: BAC ABC ACB 180+ + = o BAC 180= o −(ABC ACB)+
o o o o
180 (36 52' 36 52') 106 16'
= − + =
b)
Xét tam giác ABH vuông tại H Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
AB =AH +BH AH =AB −BH =10 −8 =36AH= 36 =6 (cm) Ta có: AI 1AH 1.6 2
3 3
= = = (cm)
IH AH AI 6 2 4
= − = − = (cm)
Vì IH⊥BC, DC⊥BC nên IH // DC (1) Mặt khác H là trung điểm của BC (2)
Từ (1) và (2) ta có IH là đường trung bình của tam giác BCD IH 1CD CD 2IH 2.4 8
= 2 = = = (cm)
Ta có:
2 ABH
1 1
S AH.BH .6.8 24(cm )
2 2
= = =
Vì AH // DC nên AHDC là hình thang và AH⊥HC nên HC là chiều cao của hình
Ta có: SAHCD AH CD.HC 6 8.8 56(cm )2
2 2
+ +
= = =
Vậy SABCD =SABH +SAHCD =24 56 80(cm )+ = 2
Bài 93 trang 121 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC. Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính sinB, sin C
Lời giải:
a)
Xét tam giác ABC
2 2 2 2
AB +AC =21 +28 =1225
2 2
BC =35 =1225
2 2 2
AB AC BC
+ =
Do đó, theo định lí Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A b)
Xét tam giác ABC vuông tại A AC 28
sin B 0,8
BC 35
= = =
AB 21
sin C 0,6
BC 35
= = =
Bài 94 trang 122 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB
= a và CD = 2a, cạnh bên AD = a, A=90o. a) Chứng minh tanC = 1
b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC Lời giải:
a) Kẻ BH vuông góc với CD tại H
Ta có: AB // CD nên DAB+ADC 180= o (hai góc trong cùng phía bù nhau)
o o o o
ADC 180 DAB 180 90 90
= − = − =
Xét tứ giác ABHD có:
DAB=90o
ADC=90o
BHD=90o
Do đó, ABHD là hình chữ nhật Mà AB = AD = a
Do đó, ABHD là hình vuông DH BH AB a
= = =
HC = CD – DH = 2a – a = a BH a
tan BCH 1
HC a
= = =
b) Ta có:
2 BCD
1 1
S BH.CD .a.2a a (dvdt)
2 2
= = =
2 ABCD
AB CD a 2a 3
S .AD .a a (dvdt)
2 2 2
+ +
= = =
Vậy
2 BCD
ABCD 2
S a 2
S 3a 3
2
= =
c) Ta có:
2 ADC
1 1
S AD.DC a.2a a (dvdt)
2 2
= = =
Mà SABCD 3a2
= 2
Ta có: SABC SABCD SADC 3a2 a2 1a (dvdt)2
2 2
= − = − =
Vậy
2 ABC
2 ABCD
1a
S 2 1
S = a = 2
Bài 95 trang 122 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng 120o, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
a) Tính độ dài đường phân giác BD
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM⊥BD. Lời giải:
a)
Vì BD là tia phân giác của góc CBA nên:
o
ABC 120 o
ABD CBD 60
2 2
= = = =
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CB tại E Lại có:
BAE=ABD=60o (hai góc so le trong bằng nhau) AEB=CBD=60o (hai góc đồng vị)
Do đó, tam giác ABE đều (có hai góc bằng 60o) AB BE EA 6
= = = (cm) (1)
Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)
Tam giác ACE có AE // BD nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta suy ra:
BC BD BC.AE 12.6
BD 4
CE = AE = CE = 18 = (cm) b)
Vì M là trung điểm cạnh BC nên ta có: MB MC 1BC 1.12 6
2 2
= = = = (cm) (2)
Do đó, tam giác ABM cân tại B
Tam giác ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy BD AM⊥
Bài 96 trang 122 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH,CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N.
Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Lời giải:
a) Ta có:
HD⊥ABADH=90o
HE⊥ACAEH=90o
Do đó, tứ giác ADHE có 3 góc vuông (thêm góc DAE=90o) nên nó là hình chữ nhật.
AH = DE
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AH2 =HB.HC=4.9=36AH= 36 =6 (cm) Vậy DE = AH = 6cm
b)
Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (do ADHE là hình chữ nhật) Do đó, tam giác GHD cân tại G
Ta có:
GDH=GHD (1)
GDH+MDH=90o (2) GHD+MHD=90o (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: MDH=MHD (4) Do đó, tam giác MDH cân tại M
MD = MH (5)
Lại có MDH+MDB=90o (6) MBD+MHD=90o (7)
Từ (4), (6), (7) ta suy ra: MBD=MDB Do đó, tam giác MBD cân tại M
MB = MD (8)
Từ (5) và (8) ta suy ra MB = MH hay M là trung điểm của BH Mặt khác:
Tam giác GHE cân tại G (do GH = GE)
GHE GEH
= (9)
GEH+NEH=90o (11)
Từ (9), (10), (11) suy ra NHE=NEH (12)
Do đó, tam giác NEH cân tại N NE=NH (13) Lại có: NEC+NEH=90o (14)
NHE+NCE=90o (15)
Từ (12), (14), (15) ta suy ra NEC=NCE
Do đó, tam giác NCE cân tại NNE=NC (16)
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH c)
Tam giác BDH vuông tại D có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
1 1
DM BH .4 2
2 2
= = = (cm)
Tam giác CEH vuông tại E có EN là trung tuyến ứng với cạnh huyền
1 1
EN CH .9 4,5
2 2
= = = (cm)
Mà MD⊥DE, NE ⊥DE nên MD // NE Do đó, DEMN là hình thang
2 DEMN
DM NE 2 4,5
S .DE .6 19,5(cm )
2 2
+ +
= = =
Bài 97 trang 122 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A , C=30o, BC = 10cm.
a) Tính AB, AC
b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN // BC và MN = AB
c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Lời giải:
a)
Xét tam giác vuông ABC Ta có:
AB=BC.sin C 10sin 30= o =5 (cm) AC=BC.cosC 10.cos30= o =5 3 (cm) b)
Ta có: BM vuông góc với BN (do hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)
MBN 90o
= (1)
AM⊥BMAMB=90o (2) AN⊥BNANB=90o (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật
AM = BN , BM = AN, AB = MN Xét tam giác AMB và tam giác NBM AB = MN
AMB=NBM=90o
Do đó, tam giác AMB bằng tam giác NBM (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh)
ABM NMB
=
Mà ABM=MBCNMB=MBC
Do đó, MN // BC (có cặp góc so le trong bằng nhau) Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN
c)
Tam giác ABC vuông tại A nên
o o o o o
ABC+ =C 90 ABC=90 − =C 90 −30 =60
o o
1 1
ABM ABC .60 30
2 2
= = =
Xét tam giác ABC và tam giác MAB có:
BAC=AMB=90o
ACB=ABM=30o
Do đó, tam giác ABC đồng dạng với tam giác MAB theo trường hợp góc – góc Tỉ số đồng dạng k AB 5 1
BC 10 2
= = =
Bài 98 trang 122 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B,C và đường cao AH của tam giác.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho SABC =SBMC Lời giải:
Xét tam giác ABC Ta có:
2 2 2 2
AB +AC =6 +4,5 =56, 25
2 2
BC =7,5 =56, 25
2 2 2
AB AC BC
+ =
Do đó, tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Py-ta-go đảo) Kẻ AH⊥BC tại H.
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
AB.AC 6.4,5
AH.BC AB.AC AH 3,6
BC 7,5
= = = = (cm)
Ta lại có: AC 4,5 o
sin C 0,6 C 53 8'
BC 7,5
= = = =
Ta có: A=90o + =B C 90o =B 90o − =C 90o −53 8'o =36 52'o b)
Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời SABC =SMBC nên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường thẳng x và y song song
Bài 99 trang 122 SBT Toán lớp 9 tập 1: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh
a) Tam giác ANL đồng dạng với tam giác ABC b) AN.BL.CM = AB.BC.AC.cosA.cosB.cosC Lời giải:
a)
Xét tam giác BNA và tam giác CLA có BNA=CLA=90o
Góc A chung
Do đó, tam giác BNA và tam giác CLA đồng dạng theo trường hợp góc – góc
AL AC AL AN
AN AB AC AB
= =
Xét tam giác ABC và tam giác ANL có AL AN
AC = AB Góc A chung
Do đó, tam giác ABC và tam giác ANL đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
b)
Xét tam giác ABN vuông tại N Có AN = AB.cosB (1)
Xét tam giác BCL vuông tại L Có BL = BC.cosB (2)
Xét tam giác ACM vuông tại M Có CM = AC.cosC (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC Bài tập bổ sung
Bài I.1 trang 123 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC có A 105= o, B=45o, BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Lời giải:
Vẽ đường cao AH Đặt BH = x, CH = y Ta có: x + y = BC = 4
Xét tam giác ABH vuông tại H
Có: H=90o +B BAH=90o BAH=90o − =B 90o −45o =45o =B Do đó, tam giác ABH vuông cân tại H
o o o
HAC BAC BAH 105 45 60
= − = − =
o y AH HC.cot HAC y.cot 60
= = = 3
x BH AH y y x 3
= = = 3 =
Từ đó x + y = 4 4
x x 3 4 x 2 2 3 1, 46
1 3
+ = = = − +
+ (cm)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
o
AH AH AH 2AH
sin B AB 2,06
AB sin B sin 45 2
= = = = (cm)
Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:
o
AH AH AH 1, 46
cos HAC AC 2,92
AC cos HAC cos60 1
2
= = = = = (cm)
Bài I.2 trang 123 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos MAN.
Lời giải:
Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC nên BM = MC = DN = NC = 2a : 2 = a
Xét tam giác AND vuông tại D (do ABCD là hình vuông) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
( )
22 2 2 2 2 2
AN =AD +DN = 2a +a =5a AN= 5a =a 5 Xét tam giác ABM vuông tại B
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
( )
22 2 2 2 2 2
AM =AB +BM = 2a +a =5a AM= 5a =a 5 Kẻ đường cao MH của tam giác AMN
Xét tam giác MHA vuông tại H
Ta có: sin NAM HM HM AM.sin NAM
= AM = Diện tích tam giác AMN là:
2 AMN
1 1 1 5a
S AN.MH AN.AM.sin NAM .a 5.a 5.sin NAM sin NAM
2 2 2 2
= = = =
Mặt khác:
AMN ABCD ABM ADN MNC
S =S −S −S −S
2 1 1 1
AB AB.BM AD.DN MC.NC
2 2 2
= − − −
2 1 1 1 3 2
4a 2a.a 2a.a a.a a
2 2 2 2
= − − − =
Có:
2
2 2
AMN 2
3a
5a 3a 2 3
S .sin NAM sin NAM
5a
2 2 5
2
= − = =
Mà: sin NAM2 +cos NAM 12 = cos NAM 1 sin NAM2 = − 2
2
2 3 4
cosNAM 1 sin NAM 1
5 5
= − = − =
Bài I.3 trang 123 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao
Lời giải:
Xét tam giác ABC cân tại A Có: B= = C
Ta có: A+ + =B C 180o =A 180o −(B C) 180+ = o − 2 Xet tam giác BHC vuông tại H có
BH BH h
sin C BC
BC sin C sin
= = =
Kẻ đường cao AI của tam giác ABC , vì tam giác ABC cân nên AI cũng là đường trung tuyến, do đó, I là trung điểm của BC BI CI BC
= = 2 Xét tam giác ACI vuông tại I
Có:
BC
IC CI 2 h
cos C AC
AC cos C cos C 2sin .cos
= = = =
Do đó, AB = AC = h
2sin .cos
Bài I.4 trang 123 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hình bình hành ABCD có A 120= o, AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên DCB=DAB 120= o
o o o o
ABC=ADC 180= −BAD 180= −120 =60
Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ Nên ta có:
o
60 o
ADM MAB ABP CBP 30
= = = = 2 =
o
120 o
DAM BAM DCP PCB 60
= = = = 2 =
Xét tam giác ADM có:
o o o
MDA+MAD=30 +60 =90
Nên AMD 180= o −(MAD+MDA) 180= o −90o =90o AM DN NMQ 90o
⊥ =
Xét tam giác DNC có: NDC+NCD=30o +60o =90o Nên DNC 180= o −(NDC+NCD) 180= o −90o =90o
MNP 90o
=
Nên BPC 180= o −(PBC+PCB) 180= o −90o =90o BP CN NPQ 90o
⊥ =
Từ đó ta suy ra tứ giác MNPQ có 3 góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật Xét tam giác vuông ADM có:
o b 3
DM AD.sin DAM bsin 60
= = = 2
Xét tam giác DCN vuông tại N (do N là giao của đường phân giác góc D và đường phân giác góc C)
o a 3
DN DC.sin DCN a sin 60
= = = 2
MN DN DM (a b) 3
= − = − 2
Xét tam giác vuông DCN có: CN DC.cos DCN CD.cos60o a
= = = 2
Xét tam giác BCP vuông tại B (do P là giao của đường phân giác góc C và đường phân giác góc B)
Có: CP CB.cos PCB CB.cos60o b
= = = 2
a b NP CN CP
2
= − = −
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: 3
(
a b)
2 3MN.NP (a b). . (a b) .
2 2 4
= − − = −
Bài I.5 trang 123 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C có B=37o. Gọi I là giao điểm của cạnh BC với đường trung trực của AB. Hãy tính AB, AC, nếu biết BI = 20.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB
Xét tam giác HBI vuông tại H (do HI là đường trung trực của AB) Có: HB=IB.cos BAB=2HB=2IB.cos B=2.20.cos37o 31,95 Xét tam giác ABC vuông tại C có:
AC=AB.sin B=31,95.sin 37o 19, 23
