Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 1 A.TểM TẮT GIÁO KHOA.

SỐ PHỨC

Xột

Hai phần tử và bằng nhau .

: Phộp cộng :

Phộp nhõn:

Định nghĩa. Tập , cựng với phộp cộng và phộp nhõn ở trờn gọi là tập số phức . Phần tử gọi là một số phức.

1. Định nghĩa số phức.

Giao hoỏn:

Kết hợp:

Tồn tại phần tử khụng:

Mọi số cú số đối:

Phộp trừ:

2. Tớnh chất phộp cộng.

Giao hoỏn:

Kết hợp:

Tồn tại phần tử đơn vị:

Mọi số khỏc cú số nghịch đảo :

Giả sử , để tỡm . Ta cú: . Giải hệ cho

ta

Vậy,

Phộp chia: với

3. Tớnh chất phộp nhõn.

(2)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 2 Số phức bất kỡ được biểu diễn duy nhất dạng , , trong đú

Hệ thức , được suy từ định nghĩa phộp nhõn: .

Biểu diễn gọi là dạng đại số của số phức . Do đú: .

: phần thực của , : phần ảo của . Đơn vị ảo là .

Tổng số phức: .

Hiệu số phức: .

Tớch số phức: .

4. Định lý.

, , , …, bằng quy nạp ta được: , , , ,

Do đú:

5. Lũy thừa đơn vị ảo :

Cho , số phức gọi là số phức liờn hợp của

. Thật vậy, ( đpcm ).

là số thực khụng õm.

Thật vậy, ( đpcm ).

Thật vậy,

( đpcm ).

Thật vậy,

( đpcm ).

Thật vậy, tức là ( đpcm ).

Thật vậy, ( đpcm ).

,

Thật vậy, ,

Do đú , ( đpcm ).

6. Số phức liờn hợp:

(3)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 3

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. caực vớ duù minh hoùa Vớ dụ 1 Xỏc định phần thực và phần ảo của cỏc số phức :

  

z i 2 i 3 i   2. 3 4i

z 4 i

  1. 

3.



^{1 i}^

 

² ^{1 i z 8 i}^



^ ^{ }



^{1 2i z}^



Vớ dụ 2

1. Tỡm mụđun của số phức z, biết rằng:



^{1 2i z}^



^{  }^{3 8i}

2. Tỡm cỏc số thực b, c để phương trỡnh z²bz c 0 nhận số phức z 1 i  làm 1 nghiệm.

Vớ dụ 3. Tỡm số phức z thỏa món: ²^



^{z z . z}^



^^ ³^

 

^z ³^^^



^{1 4i z}^



^^ ²^^zz^

 

^z ²^^

   

Vớ dụ 4.

1. Tỡm phần ảo của số phứcz, biết : ^z^



²^ⁱ

 

² ¹^ ²ⁱ



^.

2. Tỡm phần thực và phần ảo của số phức

1 i 3 3

z 1 i

  

  

  

 

. Vớ dụ 5.

Số gọi là mụđun của số phức 8. Mụđun của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn một điểm hay vộc tơ trờn mặt phẳng phức.Ta viết:

hoặc .

9. Biểu diễn hỡnh học của số phức

i. Gọi . Khi đú: đối xứng với qua ; đối xứng với qua .

ii. Gọi lần lượt là biểu diễn của hai số phức . Khi đú: là biểu diễn của .

iii. Cho .

Khi đú: là biểu diễn của và .

10. Tớnh chất

Phương phỏp:

Dạng 1: Cỏc phộp tớnh về số phức.

Sử dụng cỏc cụng thức cộng, trừ, nhõn, chia và lũy thừa số phức.

Dạng 2: Số phức và thuộc tớnh của nú.

Tỡm phần thực và phần ảo: , suy ra phần thực , phần ảo Biểu diễn hỡnh học của số phức:

Dạng 1.

Cỏc phộp tớnh về số phức và cỏc bài toỏn định tớnh.

(4)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 4 1. Tỡm phần ảo của số phức z, biết ^{z 3z}^ ^



^{1 2i}^



²

2. Tỡm phần thực của số phức z^{, biết}^z^



^{1 i z}^



^



^{1 2i}^



²

Vớ dụ 6. Tỡm số phức z thỏa món:

1. z 3i 1 iz và 9

zz là số thuần ảo. 2. z  z 2 2i  và z 2i z 2



 là số ảo.

Vớ dụ 7. Tỡm số phức z thỏa món: z 1 z i 1

 

 và z 3i z i 1

 



Vớ dụ 8.1.7 Cho số phức zx yi; x, y  thỏa món z³18 26i . Tớnh ^T^



^{z 2}^



²⁰¹²^



^{4 z}^



²⁰¹²

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn Bài 1.

1. Cho 2 số phức z , z₁ ₂ thỏa món z₁  z₂ 1, z₁z₂  3. Tớnh z₁z₂ 2. Tỡm cỏc số thực x, y sao cho :

a. zz', biết rằng: z



2x 3

 

 3y 1 i



, z'



2y 1

 

 3x 7 i



. b.



^{x 2y 4 i}^



^



³^



^{3x y x 2i}^



^



^^{47 20i}^ ^.

c. x yi 1 3

2 2 i 3 yi

  



. d.

 

³

3 xyi 1 2i



và

 

³

x y 2i 1 2i

 



là ( phức ) liờn hợp.

3. Cho zcos18⁰cos 72 i⁰ . Tớnh z .

4. Xỏc định phần thực và phần ảo của cỏc số phức :

    

33 10

1 i 1

z 1 i 2 3i 2 3i

1 i i

  

       

  

5. Thực hiện cỏc phộp tớnh :

 

⁹

 

¹⁰

A 1 i  1 i

5 6 7 18

Mi i i ... i

 

8 13 21 13

1 1 i

B 1 i i

i 1 i

    

      

  

 

   

²

 

³

 

²⁰¹⁰

N 1  1 i  1 i  1 i ... 1 i 6. Xỏc định phần thực và phần ảo của cỏc số phức :

a. ^z^



^{2 3i 3 2i}^



^



b. 1 2i

z 3 2i

 



c. ^z^



^{1 i}^



²^



^{1 i}^



²

d.



^{2 i}

 

³ ^{1 i}



4) z 4 3i

 

 

7. Cho ^{z 2x}^ ²^^{3x 1}^{ }



^{x 1 y 3 i}^



^



^vớix, y là cỏc số thực Tỡm x, y sao cho:

a.z là số thực. b. z là thuần ảo và z 4 c. z 6 5i  8. Thực hiện cỏc phộp tớnh :

   

3 3

2 i 2 i A

2 i 2 i

  



  

2 2009

C i i  ... i

1 3 3i 2009

B 2 3i

  

  

  

 

 

²

 

³

 

²⁰¹⁰

D 1 i  1 i ... 1 i 9. Cho số phức z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i     

Trong đú x, y là cỏc số thực. Tỡm x, y sao cho

a.z là số thực b. z là số thuần ảo và z 1 c. z 20 15i .

(5)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 5 10. Tỡm phần thực và phần ảo của cỏc số phức sau:

a.

(1 2i)2

z 3 i

 

 b. z (2 i)  ³(3 2i) ³

c. 2

(3 i)(1 2i) z

(3 2i)

 





d. ² 4 2i

z (1 3i)(2 i)

1 3i

    

 11. Tỡm modun của số phức z biết:

a.(1 2z)(3 4i) 29 22i    b.

3 2i (2 3i)2

z 2i 3 2i

 

  

c. 2

z (1 2i)(2 i) (2 3i)

  



d. (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i)     . Bài 2

1. Tỡm phần thực và phần ảo của số phức :



^{1 i}^

 

² ^{2 i z 8 i}^



^ ^{ }



^{1 2i z}^



Đề thi Cao đẳng năm 2009.

2. Chứng minh nếu z₁  z₂ 1, z z_{1 2}1 thỡ ¹ ²

1 2

z z 1 z z



 là số thực.

3. Tỡm số phức z^{thỏa món}z 2 i  1. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 2 đơn vị.

4. Tỡm số phức z thỏa món



^{z 1 z 2i}^

 

^



là số thực và z 1  5. 5. Tỡm số phức z^{thỏa món}^{z.z 3 z z}^



^



^^{5 6i}^ ^.

6. Tớnh z biết:

a.



^{3i 1 z}^



^



^{2i 1}^



² b. z 1 z 2 2i 3

  

 c. z 1 3i 2

3z 2 i 1

 

   7. Tỡm số phức z biết :

a. 4z (3i 1)z  25 21i b. 3z 2(z) ²0 Bài 3 Xột cỏc điểm A, B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cỏc số 4i

i 1 ,



^{1 i 1 2i}^



^



^,^{2 6i}

3 i



 . 1. Chứng minh ABC là tam giỏc vuụng cõn

2. Tỡm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hỡnh vuụng.

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trỡnh:

z26z 18 0  . Chứng minh rằng tam giỏc OAB vuụng cõn.

Bài 5 Chứng minh rằng:

1.



^{1 i}^



²⁰¹⁰^



^{1 i}^



²⁰¹⁰ là một số thực 2.



^{3i 1}^



²⁰⁰⁹^



^{3i 1}^



²⁰⁰⁹ là số thuần ảo.

Bài 6 Cho u, v

 

là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3 2i 1. 3u 2v

 

; 5u 3v

 

biểu diễn những số phức nào?

2. Gọi x



là biểu diễn của số phức 6 4i . Hóy phõn tớch x



qua u, v

 

. Bài 7 Gọi A , A , A , A₁ ₂ ₃ ₄ lần lượt là biểu diễn hỡnh học của cỏc số phức

1 2 3 4

z  1 3i, z   3 2i, z 5 i, z 4 5i . 1. Tớnh độ dài cỏc đoạn A A , A A , A A₁ ₂ ₁ ₃ ₁ ₄

2. Tỡm số phức cú biểu diễn là điểm M sao cho A A A M₁ ₂ ₄ là hỡnh bỡnh hành.

Bài 9.

1. Tỡm phần thực của số phức ^z^



^{1 i}^



ⁿ^{, n N}^ thỏa món phương trỡnh: ^log₄



^{n 3}^



^^log₄



^{n 9}^



^³

2. Tỡm phần ảo của số phức z, biết iz



1 3i z



2

1 i z

 

  Bài 10.

(6)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 6 1. Gọi z là nghiệm của phương trỡnh z²2z 2 0  . Tớnh giỏ trị của biểu thức ²⁰¹²

2012

Q z 1

z

  .

2. Tớnh z , biết



^{2z 1 1+i}^

 

^



^{z 1 1 i}^

 

^



^^{2 2i.}^

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tỡm số phức z thỏa món:

1. z 2i  z 1 i  và z 1 i z 2i

 

 là một số thuần ảo.

2. z  5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nú.

3. zz³ 4. z  2 và z² là số thuần ảo. Đề thi Đại học Khối D ,2010 Bài 12 Tỡm số phức z thỏa món:

1.

4 2

z 200

z 0

z 1 7i

  

 2. 5 i 3

z 1 0

z

    Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 3. z (2 3i)z 1 9i    Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 4. z²  z²z

Bài 13 Tỡm số phức z thỏa món:

1. ²

 

²

2 z i z z 2i

z z 2 2

    



  





3. ^z



^{2 i}



¹⁰

z.z 25

   



 



5. 1 z 2z i 1 i 1 i

 

   7. z² z 8z 44

2. z 2i z

z i z 1

  



  



4.

  

z 2 1 z 2i

z 1 z i 5

 

 

 

   



6.

z i 1 z i 1 2

  



  

 8. z³z Bài 14

1. Nếu z₁  z₂ 1, z z_{1 2}  1 thỡ ¹ ²

1 2

z z T 1 z z

 

 là số thực.

2. Nếu z₁  z₂  z₃ r thỡ



₁ ₂



₂ ₃



₃ ₁



1 2 3

z z z z z z

T z z z

  

 là số thực và ^{1 2} ^{2 3} ^{3 1}

1 2 3

z z z z z z z z z r

 

   với

1 2 3

z z z 0. 3. Số phức z 1

w z 1

 

 là số thuần ảo  z 1. Bài 15.

Cho  , là hai số phức liờn hợp thoả món

2 R

 



và    2 3. Tớnh . Bài 16. Tớnh z₁z , z₂ ₁z , z .z , z₂ ₁ ₂ ₁2z , 2z₂ ₁z₂ biết:

1. z₁5 6i, z ₂   1 3i 2. z₁2 3i, z ₂3 4i

3. ₁ 1 3 ₂ 1 2

z i, z i

2 2 3 3

      4. z₁ 32i,z₂   2 i Bài 17. Cho cỏc số phức z₁ 1 2i, z₂  2 3i, z 1 i  . Tớnh :

1. z₁z₂z₂ 2. z z_{1 2}z z_{2 3}z z_{3 1} 3. z z z_{1 2 3}

(7)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 7 4. z²₁z²₂z²₃ 5. ¹ ² ³

2 3 1

z z z

z z z 6.

2 2

1 2

2 2

2 3

z z z z



 Bài 18. Tỡm số phức z thỏa món:

1. z 5 7i 2 i    2. 2 3i z    5 i

3. z(2 3i) 4 5i   4. z

1 3i3 2i

 

5. 2 i 1 3i

1 iz 2 i

  

   6. 2z(1 i) 2iz(1 i) 4i   

Bài 19. Cho 1 3

z i

2 2

  . Hóy tớnh: ¹; z; z ; z²  ³; 1 z z²

z   .

Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của cỏc số phức z₁3 2i, z₂ 2 3i , z₃5 4i . 1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giỏc. Tớnh chu vi tam giỏc đú.

2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z. Tỡm z để ABCD là hỡnh bỡnh hành.

3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z'. Tỡm z' sao cho tam giỏc AEB vuụng cõn tại E.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức z thỏa món điều kiện: ^{z i}^{ }



^{1 i z}^



Vớ dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức z thỏa món điều kiện: z 2  i z Vớ dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức z thỏa món điều kiện: z 2  z 2 5

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức z thỏa món điều kiện: z² là số ảo.

Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức z thỏa món điều kiện:

1. ^z² ^

 

^z ² ^2.^{2 z i}^{ } ^{z z 2i}^{ }

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức:

1. ^z'^



¹^ ^{3i z 2}



^ , trong đú z là số phức thỏa món z 1 2.

2. z i  z i 4 3. z 4  z 4 10

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn của số phức:

1. z i  z 2 3i  2. 2z 3 5i  2

3. ^z^



^{3 4i}^



^²

4. z 4 3i   z 3 2i  10 Bài 5: Tỡm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z^thỏa:

1. z 4 3i  là số thực 2. z 1 2i  1

3. z 3i  z 2 i  4. z 4 3i   z 3 2i  2 5. 5 4i 3z  1 6. z 1 i  z 2 3i  2. Bài 6: Tỡm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa

1.2z i z 2i



 cú phần thực bằng 3 2. z 2i 3 z 3 i

 

  là một số thực dương.

Bài 7: Trờn mặt phẳng tọa độ, tỡm tập hợp cỏc điểm biểu diễn cỏc số phức z thỏa món điều kiện:

1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nú.

2. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;1] .

3. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]. 4. z 2 5.2 z 3 6. z 1 2i  2 7.2 z i  z z 2i  8. 1 z 2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1

2.

Dạng 2.

Biểu diễn hỡnh học của số phức và ứng dụng .

(8)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 8 1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1.Trờn tập số phức, tỡm m để phương trỡnh bậc hai z²mz i 0 cú tổng bỡnh phương hai nghiệm bằng 4i. Vớ dụ 2. Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập số phức:

1. z²2z 17 0 2. z²(2i 1)z 1 5i   0 3. 4z 3 7i

z i z 2i

   

 4. ^{25 5z}



²^²



²^^{4 25z 6}



^



² ^⁰

Vớ dụ 3. Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập số phức:

1. z³(2 2i)z ²(5 4i)z 10i  0 biết phương trỡnh cú nghiệm thuần ảo 2. z⁴2z³z²2z 1 0  3.

z i 3

z 1 8

  

  

  

Vớ dụ 4. Giải hệ phương trỡnh:

2 2

x 78y 20 x y y 78x 15

x y

  

 



  

 



;

2 2

16x 11y

x 7

x y 11x 16y

y 1

x y

 

 

 



    

 



Vớ dụ 5. Giải hệ phương trỡnh:

10x 1 3 3

5x y

y 1 3 1

5x y

  

 

  

   

  

    

   



;

x 1 12 2

3x y

y 1 12 6

3x y

  

 

  

   

  

   

   

 Phương phỏp:

1. Định nghĩa: Cho số phức . Mỗi số phức thỏa gọi là căn bậc hai của . Xột số thực (vỡ cú căn bậc hai là ).

Nếu thỡ cú hai căn bậc hai là và . Nếu thỡ cú hai căn bậc hai là và . Đặc biệt : cú hai căn bậc hai là và ( là số thực khỏc 0) cú hai căn bậc hai là .

2. Cỏch tỡm căn bậc hai của số phức

Với . Để tỡm căn bậc hai của ta gọi

Từ giải hệ này, ta được .

3. Phương trỡnh bậc hai với hệ số phức

Là phương trỡnh cú dạng: , trong đú là cỏc số phức . a. Cỏch giải: Xột biệt thức và là một căn bậc hai của

Nếu phương trỡnh cú nghiệm kộp:

Nếu phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt

. b. Định lớ viột

Gọi là hai nghiệm của phương trỡnh : . Khi đú, ta cú hệ thức sau: .

Dạng 3.

Căn bậc hai của số phức và phương trỡnh bậc hai

(9)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 9 Vớ dụ 6. Cho số phức z thoả món điều kiện 11z¹⁰10iz⁹10iz 11 0.  Chứng minh rằng z 1.

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn Bài 1: Tỡm căn bậc hai của số phức:

1. z 8 6i  2. z33 56i 3. z  1 4i 3 4. z  5 12i Bài 2: Tỡm căn bậc hai của cỏc số phức sau:

1. 5 4 3i

 

2.



^{3 i}



²

1 i





3.



^{1 2i}^



⁵

Bài 3: Giải phương trỡnh sau trờn  : 1. ^z²



1 3i z 2 2i 0



   2. 4z 3 7i

z i z 2i

   

 Đề thi Cao đẳng năm 2009

3.

4 2

z 200

z 0

z 1 7i

  

 4. ^z³^{3 1 2i z}







²



3 8i z 2i 5 0



   Bài 4: Giải phương trỡnh sau trờn  :

1. ^z²^



^{1 5i z}^



^



^{8 i}^



^⁰

3. ^z²



3 2i z 5 5i 0



   5.



^{1 i z}



²2 1 2i z 4 0







 

2. ^z²



3 4i z 5i 1 0



   4. ^z²8 1 i z 63 16i 0







   6. ^z²



2i 1 z 1 5i 0



   Bài 5: Giải phương trỡnh sau trờn  :

1. ^z³^{2 1 i z}







²



5 4i z 10 0



  3. ^z³^{3 2 i z}







²2 5 9i z 30i 0







 

2. ^z³



^{4 5i z}



²4 2 5i z 40i 0







 

Bài 6: Giải phương trỡnh:

z 1 2

z 2 z 7

  

  

  

, biết z3 4i là 1 nghiệm của phương trỡnh.

Bài 7: Giải phương hệ trỡnh sau trờn  :

 

2 2

1 2

z z 5 2i 1

z z 4 i 2

   



  



Bài 8: Giải hệ phương trỡnh:

2 2

x 3x y 3 x y y x 3y 0

x y

 

 

 



   

 



,

3x 1 1 2

x y

7y 1 1 4 2 x y

  

 

  

   

  

   

   

 Bài 9:

1. Tỡm cỏc số thực a, b để: 2z³9z²14z 5 (2z 1)(z   ²az b) rồi giải phương trỡnh sau trờn C:

3 2

2z 9z 14z 5 0  .

2. Tỡm cỏc số thực a, bđể : z⁴4z²16z 16 (z  ²2z 4)(z ²az b) rồi giải phương trỡnh sau trờn C: z⁴4z²16z 16 0.

Bài 10:

1. Tỡm tất cả cỏ giỏ trị thực của m để phương trỡnh sau cú ớt nhất một nghiệm thực: z³(3 i)z ²3z (m i) 0   . 2. Biết phương trỡnh _{1 i x}  ²   _{i x 1 i}    ₀ khụng cú nghiệm thực. Tỡm những giỏ trị cú thể cú của . Bài 11: Giải cỏc hệ sau trờn tập số phức

1. ¹ ² ^{1 2}

2 2

1 2

z z z z 9 2i z z 11 2i

    



   



2.

z 1 z z z z 1.

 



 



Dạng 4.

Phương trỡnh quy về bậc hai

(10)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 10 1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bài 1: Giải phương trỡnh sau trờn  : _z⁴ _z³ ^z² _{z 1 0}

  2    Bài 2: Giải phương trỡnh:

1. ^z⁴^



^{2 i z}^



²^^{2i 0}^ ^2.^2z⁴^^7z³^^9z²^^{7z 2 0}^ ^

3. 4z⁴



6 10i z



³



15i 8 z



²



6 10i z 4 0



  4. ^z⁴



^{3 i z}



³



^{4 3i z}



²2 3 i z 4 0







  5. ^{25 5z}



²^²



²^^{4 25z 6}



^



²^⁰

Bài 3: Giải phương trỡnh:

1.



^{z 4}^



⁴^



^{z 6}^



⁴ ^⁸²

3.



^z²^¹



⁴ ^^{16 z 1}



^



⁴

2.



^z²^¹



²^



^{z 3}^



² ^⁰

4. z z 2 z 1 z 3















10 Bài 4: Gọi z ,z , z , z₁ ₂ ₃ ₄ là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh

z 1 4

2z i 1

  

  

  

. Tớnh ^P^



^z¹²^^{1 z}



²²^^{1 z}



²³^^{1 z}



²⁴^¹



^.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Viết cỏc số phức sau dưới dạng lượng giỏc . Từ đú hóy viết dạng đại số của z²⁰¹² 1. z  2 2i 2. z 6 2i 3. z 1 cos i sin

8 8

 

  

Vớ dụ 2. Gọi z ,₁ z₂ là 2 nghiệm của phương trỡnh: ^z²^



¹^ ^{3 1 i z 4i}

 

^



^ ^⁰. Tớnh giỏ trị biểu thức

2012 2012

1 2

Q z z

Vớ dụ 3.Tỡm số phức z sao cho z⁵ và

2

1

z là hai số phức liờn hợp.

Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh 1

cos x cos 2x cos 3x .

  2

Vớ dụ 5. Giải phương trỡnh : 1

cos x cos 3x cos 5x cos 7x cos 9x .

    2

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn Phương phỏp:

Cụng thức De – Moivre: Cú thể núi cụng thức De – Moivre là một trong những cụng thức thỳ vị và là nền tảng cho một loạt cụng thức quan trọng khỏc sau này như phộp luỹ thừa, khai căn số phức, cụng thức Euler.

Cụng thức 1:

Cụng thức 2 :

Số phức ta cú:

Với và gúc được gọi là argument của z, ký hiệu là . Ngược với phộp luỹ thừa ta cú phộp khai căn

Dạng 5.

Dạng lượng giỏc của số phức

(11)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 11 Bài 1 :

1. Tớnh ^A^



^{1 i}^



¹² ^



^{1 i}^



¹²

2. Tỡm phần thực và phần ảo của số phức

1 i 3 3

z 1 i

  

  

  

 

.

Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 3. Cho số phức z ,z₁ ₂ thỏa món z₁z₂  z₁  z₂ 0. Tớnh

4 4

1 2

2 1

z z

A z z

   

   

   

4. Cho số phức z thỏa món



¹ ³ⁱ



²

z 1 i



  . Tỡm mụđun của số phức z iz

Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài 2 :

1. Tớnh giỏ trị biểu thức ^S^^C⁰₂₀₁₀^^3C²₂₀₁₀^^{3 C}² ⁴₂₀₁₀^^...^{ }

 

^{1 C}^k ^2k₂₀₁₀^^{... 3}^ ¹⁰⁰⁴^C²⁰⁰⁸₂₀₁₀^³¹⁰⁰⁶^C²⁰¹⁰₂₀₁₀

2. Rỳt gọn biểu thức:

A cos x cos 2x cos 3x ... cos nx     B sin x sin 2x sin 3x ... sin nx     Bài 3 : Tớnh tớch phõn

1.

4 0

cos 5x

I dx

cos x







^2.

2

0

s in5x

J dx

sin x

 

  

 



Bài 4 : Cho dóy số



^u_n



xỏc định bởi u₁1, u₂0, u_{n 2}_ u_{n 1}_ u_n  n ^. Chứng minh



^u_n



^{bị chặn.}

Bài 5 : Viết cỏc số phức sau dưới dạng đại số 1.

1 i 2012

z 1 3i

  

  

  

2. ^{z (1 i)}^ ^ ¹⁹



¹^ ³ⁱ



⁴⁰

Bài 6 : Cho ba số phức z , z , z₁ ₂ ₃ thoả món hệ:

1 2 3

3

1 2

2 3 1

z z z 1

z . z z z z z 1

   



  



Tớnh giỏ trị của biểu thức Taz₁bz₂cz₃ với a, b,c. Bài 7 : Viết dạng lượng giỏc của cỏc số phức sau:

1. z  3 3i 2. z 2 cos i sin

6 6

   

    

 

3. z cos i sin

9 9

 

  4. z sin i cos

7 7

 

 

5. z 1 sin i cos

8 8

 

   6.

   

 

7 8

9

1 3i 3 i z

1 i

  



 Bài 8 : Viết cỏc số phức sau dưới dạng đại số.

1. z 1  3i 2. z (1 i)  ^¹¹ 3.

9 5

(1 3) z

(1 i)

 



4.

10 5

10

(1 i) ( 3 i)

z 2i

( 1 3i)

 

 

 

5.

34 20

22

(1 2i) (1 i) z

( 3 i)

 



 Bài 9 : Tỡm số phức z ở dạng lượng giỏc biết rằng:

1. z 2 và một argument của _{1 i z}_  _là⁵ 12

.

2. zz9 và một argument của



1 3i z



là 4

.

(12)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 12

3. 1

z 4 và một argument của z 3 i

là 2 3

.

4. 3

z 16 và một argument của z 1 i 4 3 3i 

 

13 3i

 

là 12

 .

Bài 10 : Tỡm cỏc số nguyờn dương n để số phức sau là số thực? số ảo?

1.

13 3 9i n

12 3i

  

 

  

2.  

 

n 2n

7 17i 2 3i



3.

 

n 2n

59 11 3i 3 3 2i

 

 Bài 11 : Tỡm số phức z thoả món:

1. z⁴ và

3

1 z

là hai số phức liờn hợp của nhau.

2. z³ và

2

32 z

là hai số phức liờn hợp.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Cho số phức z thỏa món:z 4 3i  3. Tỡm số phức z cú modul nhỏ nhất.

Vớ dụ 2. Cho số phức z thỏa món z 3 4i  4. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của z Vớ dụ 3.6.7 Cho số phức

 

z i m , m

1 m m 2i

  

  .

1. Tỡm m để 1 z.z2

2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z 1 k

Vớ dụ 4. Tỡm số phức z thỏa món: z 2i cú một acgumen bằng một acgumen của z 2 cộng với 4

. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức T z 1  z i

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn Bài 1: Tỡm số phức z cú mụđun nhỏ nhất thỏa món:

1. z 1 5i z 3 i 1

  

 

2. ₁

2

z 3 4i 1

log 1

3 z 3 4i 3

    

 

    

 

Bài 2: Cho số phức z thỏa món:

1. z 1 2i  2. Tỡm số phức z cú modul nhỏ nhất.

2. z 2 4i   z 2i . Tỡm số phức z cú modul nhỏ nhất.

Bài 3:

1. Cho số phức z thỏa món z 1. Chứng minh rằng: 11 z ³ 1 z z  ² 5 2. Chứng minh: ^z¹^^z²²^ ^z¹^^z²²^^{2 z}



¹²^^z²²



3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z, cú ớt nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: 2

z 1  2 hoặc z²11. 4. Cho số phức z0 thỏa món ³

3

z 1 2

z

  . Chứng minh: 1

z 2

z 

Bài 4: Tỡm số phức z thỏa món đồng thời thỏa 2 điều kiện: z  z 4 3i  và biểu thức A z 1 i   z 2 3i  cú giỏ trị nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hai số phức z₁ và z₂. Chứng minh rằng:

Dạng 6.

Cực trị của số phức

(13)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 13 1. z1z2² z1z2² 2 z



1²z2²



2. 1 z z 1 2²z1z2²



1 z z1 2

 

² z1 z2



²

3. z₁ z₂  z₁z₂  z₁  z₂ .

Bài 6: Cho số phức z thỏa z 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của:

A z 5i z

  B z²z 1  z³1

Bài 7: Cho số phức thoả món z 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của:

A1 z 3 1 z B1 z  1 z z  ²

Bài 8: Cho số phức thoả món z 2 2i  1. Tỡm Giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của z . Bài 9: Cho cỏc số phức a, b,c. Đặt a b m, a b n với mn0. Chứng mỉnh rằng:

 

2 2

max ac b , bc a mn

m n

  

 .

1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn

Vấn đề 1. PHẦN THỰC – PHẦN ẢO

Cõu 1. Tỡm phần thực và phần ảo của số phức z 3 2 .i A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .i

B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.

C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .i D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.

Cõu 2. Cho số phức z a bi a b ; . Tỡm phần thực và phần ảo của số phức z².

A. Phần thực bằng a²b² và phần ảo bằng 2a b² ². B. Phần thực bằng a²b² và phần ảo bằng 2ab. C. Phần thực bằng ab và phần ảo bằng a b² ². D. Phần thực bằng ab và phần ảo bằng ab.

Cõu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức nào dưới đõy là số thuần ảo?

A. z  2 3 .i B. z3 .i C. z 2. D. z 3i.

Cõu 4. Kớ hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức 32 2i. Tớnh Pab.

A. P6 2 .i B. P6 2.

C. P 6 2 .i D. P 6 2.

Cõu 5. Kớ hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức zi1i. Khẳng định nào sau đõy là đỳng?

A. a1, bi. B. a1, b1.

C. a1, b 1. D. a1, b i.

Cõu 6. Tớnh tổng T của phần thực và phần ảo của số phức



² ³



²^.

z  i

A. T11. B. T116 2. C. T   7 6 2. D. T 7.

Cõu 7. Tỡm phần thực và phần ảo của số phức

 ³

4 3 1

z   i i .

A. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5i. B. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 7i. C. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5. D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5i.

Cõu 8. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m để số phức



² ¹



^ ¹^

z m   m i là số thuần ảo.

A. m1. B. m 1. C. m 1. D. m0.

(14)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 14 Cõu 9. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực x y, để số phức

 ² ²  ⁵

z xiy  xiy  là số thực.

A. x1 và y0. B. x 1. C. x1 hoặc y0. D. x1.

Cõu 10. Cho số phức z a bi. Khi z³ là một số thực, khẳng định nào sau đõy là đỳng ?

A. b0 và a bất kỡ hoặc b² 3a². B. b3a.

C. b² 5a².

D. a0 và b bất kỡ hoặc b²a².

Vấn đề 2. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU

Cõu 11. Cho hai số phức z₁ a bi a b ;  và

2 2017 2018

z   i. Biết z₁z₂, tớnh tổng S a 2 .b

A. S 1. B. S4035. C. S 2019. D. S 2016.

Cõu 12. Cho hai số phức z2x 3 3y1i và

 

' 3 1

z  x y i. Khi zz', chọn khẳng định đỳng trong cỏc khẳng định sau:

A. 5

; 0

x 3 y . B. 5 4

3; 3 x  y .

C. x3;y1. D. x1;y3.

Cõu 13. Biết rằng cú duy nhất một cặp số thực x y;  thỏa món

xy  xy i  5 3i. Tớnh S x y.

A. S5. B. S3. C. S4. D. S6. Cõu 14. Tỡm tất cả cỏc số thực x y; thỏa món

2xy i y1 2 i² 3 7 .i

A. x1;y 1. B. x1;y1. C. x 1;y1. D. x 1;y 1.

Cõu 15. Cho hai số thực x y, thỏa món

   

2x  3 1 2y i2 2 i 3yix. Tớnh giỏ trị của biểu thức Px²3xyy.

A. P13. B. P 3. C. P11. D. P 12.

Cõu 16. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017). Tỡm tất cả cỏc số thực x y; sao cho x² 1 yi  1 2i

A. x0;y2. B. x 2;y 2. C. x 2;y2. D. x  2;y2.

Cõu 17. Tỡm tất cả cỏc số thực x y, thỏa món

 

2 2 4 2

x  y y i i.

A.



^{x y}^;



^



^{3; 3}^



^hoặc



^{x y}^;



^{ }



^3;3



^.

B.



^{x y}^;



^



^3;3



^hoặc



^{x y}^;



^



^{3; 3}^



^.

C.



^{x y}^;



^



^{3; 3}^



^hoặc



^{x y}^;



^{ }



^{3; 3}^



^.

D.



^{x y}^;



^



^3;3



^hoặc



^{x y}^;



^{ }



^{3; 3}^



^.

Cõu 18. Cho hai số phức z1 a bi a b ;  và z₂ 3 4i. Biết z₁z₂², tớnh Pab.

A. P168. B. P 600. C. P31. D. P 12.

Cõu 19. Cho số phức z x iy thỏa món z²  8 6i. Mệnh đề nào sau đõy là sai?

A.

2 2

8 3

x y

xy

   

 

 ^. ^B.

4 2

8 9 0

3

x x

y x

   

 

 ^. C. 1

3 x y

 

  ^hoặc

1 3 x y

  

 

 ^. ^D.

2 2

2 8 6

x y  xy   i.

Cõu 20. Với x y, là hai số thực thỏa món

3 5 1 2³ 9 14

x  i y  i   i. Tớnh giỏ trị của biểu thức 2 3 .

P x y

A. 205

P109 . B. 353

P 61 . C. 172

P 61 . D. 94 P109.

Vấn đề 3. BIỂU DIỄN HèNH HỌC SỐ PHỨC

Cõu 21. Điểm biểu diễn số phức z 2 3i cú tọa độ là:

A.  2;3 . B.  2; 3. C. 2; 3 . D. 2;3. Cõu 22. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức

1 2

z  i. Điểm nào dưới đõy là điểm biểu diễn của số phức wiz trờn mặt phẳng tọa độ?

(15)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 15 A. Q 1;2 . B. N 2;1 . C. M1; 2  D. P2;1 .

Cõu 24. Trong mặt phẳng tọa độ (hỡnh vẽ

bờn), số phức

3 4

z  i được biểu diễn bởi điểm nào trong cỏc điểm A B C D, , , ? A. Điểm A.

B. Điểm B. C. Điểm C. D. Điểm D.

Cõu 25. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức nào dưới đõy cú điểm biểu diễn trờn mặt phẳng tọa độ là điểm M như hỡnh vẽ ?

A. z₄ 2 i. B. z₂ 1 2 .i C. z₃  2 i. D. z₁ 1 2 .i

Cõu 26. Giả sử M N P Q, , , được cho ở hỡnh vẽ bờn là điểm biểu diễn của cỏc số phức z₁,z₂,z₃, z₄ trờn mặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đõy là đỳng?

A. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z₁ 2 i.

B. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z₄ 1 2 .i

C. Điểm N là điểm biểu diễn số phức z₂ 2 i.

D. Điểm P là điểm biểu diễn số phức z₃ 1 2 .i

Cõu 27. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z(như hỡnh vẽ bờn). Điểm nào trong hỡnh vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z?

A. Điểm N. B. Điểm Q. C. Điểm E. D. Điểm P.

Cõu 28. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A4;0 và

0; 3

B  . Điểm C thỏa món điều kiện OCOAOB

. Khi đú, số phức được biểu diễn bởi điểm C là:

A. z  3 4i. B. z 4 3i. C. z  3 4i. D. z 4 3i.

Cõu 29. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  1 6i và B là điểm biểu diễn của số phức z'  1 6i. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.

B. Hai điểm A và Bđối xứng nhau qua trục tung.

C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng yx. Cõu 30. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 2 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z'  2 5i. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng yx. Cõu 31. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 4 7i và B là điểm biểu diễn của số phức z'  4 7i. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D.Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng yx. D

C B

-4 -4

-3 3

O y

x 3 1

4 A

M

-2

1 x y

O

-1 1

-2 2

O y

x

Q P

N M

O y

x Q E

N P

M

(16)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 16 Cõu 32. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 3 2i và B

là điểm biểu diễn của số phức z' 2 3i. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng yx. Cõu 33. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của cỏc số phức z 3 bi với b luụn nằm trờn đường cú phương trỡnh nào trong cỏc phương trỡnh sau:

A. x3. B. y3. C. yx. D. y x 3. Cõu 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z a a i² với

a. Khi đú điểm biểu diễn số phức z nằm trờn trờn đường cú phương trỡnh nào trong cỏc phương trỡnh sau:

A. Parabol xy². B. Parabol y x². B. Đường thẳng y2x. D. Parabol yx².

Cõu 35. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A B M, , lần lượt là điểm biểu diễn của cỏc số phức 4, 4 , i x3i. Với giỏ trị thực nào của x thỡ A B M, , thẳng hàng?

A. x1. B. x 1. C. x 2. D. x2. Cõu 36. Xột cỏc điểm A B C, , trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn lần lượt cỏc số phức z₁ 2 2i, z₂ 3 i và

3 2

z  i. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

A. Ba điểm A B C, , thẳng hàng.

B. Tam giỏc ABC đều.

C. Tam giỏc ABC cõn tại A.

D. Tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng cõn.

Cõu 37. Gọi A B C, , lần lượt là cỏc điểm biểu diễn cỏc số phức z₁  1 3 ;i z₂  3 2 ;i z₃ 4 i. Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

A. Ba điểm A B C, , thẳng hàng.

B. Tam giỏc ABC đều.

C. Tam giỏc ABC cõn tại B.

D. Tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng cõn.

Cõu 38. Trong mặt phẳng tọa độ, ba điểm A B C, , lần lượt biểu diễn cho ba số phức z₁ 1 i, z2 1 i² và

 

z3 a i a . Tỡm a để tam giỏc ABC vuụng tại B. A. a 3. B. a 2 . C. a3. D. a4. Cõu 39. Cho cỏc số phức z₁, , z₂ z₃ cú điểm biểu diễn trờn mặt phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giỏc đều cú phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp x2017²y2018²1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w z₁ z₂z₃ bằng:

A. 1. B. 1. C. 3. D. 3.

Cõu 40. Cho tam giỏc ABC cú ba đỉnh A B C, , lần lượt là

biểu diễn hỡnh học của cỏc số phức

1 2 , 2 1 6 , 3 8

z  i z    i z  i. Số phức z₄ cú điểm biểu diễn hỡnh học là trọng tõm của tam giỏc ABC . Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

A. z₄ 5. B. z₄ 3 2 .i C.  z4 ²1312 .i D. z₄ 3 2 .i

Vấn đề 4. PHẫP CỘNG – PHẫP TRỪ HAI SỐ PHỨC Cõu 41. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hai số phức

1 5 7

z   i và z₂ 2 3 .i Tỡm số phức z z₁ z₂. A. z 7 4 .i B. z 2 5 .i

C. z  2 5 .i D. z 3 10 .i

Cõu 42. Tỡm số phức w z₁ 2z₂, biết rằng z₁ 1 2i và

2 2 3

z   i.

A. w  3 4i. B. w  3 8i. C. w 3 i. D. w 5 8i.

Cõu 43. Cho hai số phức z₁ 1 2i và z₂ 2 3i. Xỏc định phần ảo a của số phức z3z₁2z₂.

A. a11. B. a12. C. a 1. D. a 12. Cõu 44. Cho hai số phức z₁ 1 2i và z₂  3 i. Tỡm điểm biểu diễn số phức z z₁ z₂ trờn mặt phẳng tọa độ.

A. M2; 5 .  B. N4; 3 .  C. P 2; 1 . D. Q1;7 .

(17)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 17 Cõu 45. Gọi A 3;1 ,

 2;3

B lần lượt là điểm biểu diễn cỏc số phức z₁ và z₂. Trong hỡnh vẽ bờn điểm nào

trong cỏc điểm

, , ,

M N P Q biểu diễn số phức z, biết rằng

1 2.

z  z z

A. M. B. N. C. P. D. Q.

Vấn đề 5. NHÂN HAI SỐ PHỨC

Cõu 46. Cho hai số phức z₁2017i và z₂ 2 2016i. Tỡm số phức zz z₁. .₂

A. z20174066274i.