Công thức xấp xỉ này gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của f(x,y) trong lân cận (a,b)

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN CAO CẤP C2

Mã môn học: MATH 130901 Thời gian : 90 phút (14/6/2018) Đề thi gồm 2 trang Được phép sử dụng tài liệu Câu 1 (1,5 điểm-Tính gần đúng bằng vi phân cấp 1, cấp 2)

Với  0 bé, tập B



(a,b),ε



^



^{(x,y)R2: (xa)2(yb)2 ε}



^{gọi là  lân cận} hay gọi tắt là lân cận . Nếu hàm có tất cả các đạo hàm riêng , , f , , liên tục trong

thì :

) , (a b )

,b ( f (a



a,b),ε



) , (x y 

) , (x y f

) a x z

) f^'(a,b)(

x'

f f_y^' _xx^'' f_yy^'' f_xy^'' B (

L (x,y)B



(a,b),ε



i) a,b + _x +f_y^'(a,b)(yb) f(x,y) 

Công thức xấp xỉ này gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của f(x,y) trong lân cận (a,b). ii) Q(x,y)  f(a,b)+f_x^'(a,b)(xa)+f_y^'(a,b)(yb)f_xy^'' (a,b)(xa)(yb)

f ^'' ( , )( )² 2

1

xx a b xa

 + f^'' ( , )( )² 2

1

yy a b yb  f(x,y) (x,y)B



(a,b),ε



Công thức xấp xỉ này gọi là xấp xỉ bậc hai (Quadratic approximation) của f(x,y) trong lân cận (a,b). Tìm L(x,y) và Q(x,y)của hàm số f(x,y)xe^2y x²ln(1y) trong lân cận (2,0).

Câu 2 (1,5 điểm-Mô hình tối ưu hóa sản xuất dạng Cobb-Douglas )

Một công ty sử dụng K đơn vị vốn và L đơn vị lao động thì lượng sản phẩm sản xuất được là

8 . 0 2 .

. 0

80 ) ,

(K L K L

Q 

Mỗi đơn vị vốn chi phí và mỗi đơn vị lao động chi phí ; tức là chi phí cho cả vốn và lực lượng lao động là

50

$ $25

L K

C50 25

Hãy xác định K và L để lượng sản phẩm sản xuất được lớn nhất và tính lượng sản phẩm lớn nhất đó, biết rằng số tiền chi phí công ty sử dụng không vượt quá $500,000.

Câu 3 (1,5 điểm- Ứng dụng tích phân suy rộng vào xác suất - Hàm mật độ của phân phối mũ) Tính tích phân suy rộng

  







dx x f

x. với









 ^ 

0 0

0 3

) 1

( ³

1

x khi

x khi x e

f

x

Một công ty hoạt động trong lĩnh vực kinh doanh và dịch vụ thực hiện khảo sát rồi mô hình hóa và tính được thời gian đợi trung bình của một khách hàng của công ty xấp xỉ làT , với x là thời gian có đơn vị tính là phút. Hỏi trung bình mỗi khách hàng của công ty đợi xấp xỉ bao nhiêu phút?

TB ^

  





 x.f x dx

Câu 4 (1,5 điểm- Mô hình động về giá sản phẩm) (thời gian t tính bằng tháng, giá p tính bằng USD) Biết giá p p(t) của một loại sản phẩm(hàng hóa) tại thời điểm t thỏa phương trình vi phân

e t

p p

p''4 '3 600 ^0.2 và p(0)$300

Giải phương trình vi phân tìm p(t). Ước tính giá của sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn.

Câu 5 (2 điểm-Mô hình tăng trưởng logistic có thu hoạch-Logistic growth with harvesting)

Bạn tham gia vào một dự án trồng, chăm sóc, bảo tồn, phát triển khai thác bền vững một khu rừng. Giả sử lượng rừng (tạm sử dụng đơn vị là: đơn vị rừng) ở thời điểm (đơn vị tính là năm) được xấp xỉ bởi hàm , thỏa phương trình vi phân logistic có thu hoạch

t )

(t y

) ( ) 8 ( ) (

' t ky y H t

y   

trong đó kconst0 là hằng số tỷ lệ, H(t)là tốc độ thu hoạch.

Giải phương trình tìm y(t)biết: k 0.025, y(0)4(tại thời điểm bắt đầu dự án có 4 đơn vị rừng),

= 0.2 (tốc độ khai thác liên tục hàng năm là đơn vị rừng). Lượng rừng sẽ xấp xỉ bao nhiêu sau khoảng thời gian t đủ lớn?

) (t

H 0.2

Câu 6 (2 điểm- Mô hình sử dụng, khai thác, thanh lý thiết bị- Resale value problem)

Giá trị bán lại của một máy sau t năm sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giữa giá trị hiện tại và giá trị phế liệu của máy. Tức là, nếu là giá trị phế liệu của máy thì thỏa phương trình

) (t r

S r(t)



r S dt k

dr  



, với kconst0 là hằng số tỷ lệ

Giải phương trình xác định biết giá trị mua mới của máy là $50,000, giá trị 5 năm sau là

$10,000 và giá trị phế liệu = $1,000.

) (t r S

Một công ty mua mới máy này và khai thác đúng 5 năm thì bán lại. Trong 5 năm khai thác máy này, công ty được một dòng lợi nhuận liên tục là f(t)$12,000/năm và dòng tiền này được chuyển liên tục vào trong một tài khoản nhận lãi liên tục với lãi suất hàng năm là (tức là , nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly). Tính giá trị hiện tại dòng lợi nhuận sau 5 năm; tính giá trị hiện tại tiền bán lại máy cuối năm thứ 5; tính giá trị hiện tại ròng của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này.

% 5 05

.

0 r

) (t f

Cho biết Giá trị hiện tại của dòng tiền được chuyển liên tục vào trong một tài khoản trong khoảng thời gian với tốc độ cho bởi hàm và tài khoản này nhận lãi suất hàng năm là r (nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly) được tính bởi công thức

T t



0 f(t)



^

^T f t e ^rtdt PV

0

) (

………

 Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.

CHUẨN ĐẦU RA

Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần

(về kiến thức)

Câu 1, 2: Tính được đạo hàm riêng, vi phân, tìm cực trị, GTLN &GTNN hàm nhiều biến và biết ứng dụng vào đời sống

G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2, , 2.1.4 ; Câu 3, 6: Tính được tích phân hàm một biến và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2;G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Câu 4, 5, 6: Giải được phương trình vi phân cấp 1, cấp hai và và biết ứng

dụng vào đời sống.

G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1

Ngày 12 tháng 6 năm 2018 THÔNG QUA BỘ MÔN TOÁN

ĐÁP ÁN TOÁN C

₂

(ngày thi 14/6/2018)

Câu hỏi

Nội dung Điểm

Câu1 1,5đ

) 1 ln(

) ,

(x y xe² x² y

f  ^y    TXĐ: D



(x,y)R²:y1



x'

f e^2y2x, f_y^'

xe ^y y

 

 1

2 ² 1 2

f_xx^''  , f_xy^'' 2e^2y, f_yy^{'' 2} ₂ ) 1 ( 4 1

xe ^y y

 



i)Tìm :L(x,y) f(2,0)2e^202²ln(10)6, f_x^'(2,)0 e^20225,

 ) 0 , 2 (

f_y^' 5

0 1 2 1

2 ^{2 0} 

 



 e ^ )

, (x y

L  f(2,0)+f_x^'(2,0)(x2)+f_y^'(2,0)(y0)65(x2)5(y0) 5x5y4 xe^2yx²ln(1y) f(x,y), (x,y)B



(2,0),



ii) TìmQ(x,y): , f_xx^'' (2,02 f_xy^'' (2,0)2e^20 2, f_yy^'' (2,0) 7

) 0 1 ( 2 1

4 ^{2 0} ₂ 

 





 e ^

) , (x y

Q  f(2,0)+f_x^'(2,0)(x2)+f_y^'(2,0)(y0) f_xy^'' (2,0)(x2)(y0) f ^'' (2,0)( 2)²

2 1

xx 

 x + f^'' (2,0)( 0)² 2

1

yy y

5x5y42(x2)(y0) 2( 2)² 2

1 x 7( 0)² 2

1 

 y

 x  y 2xyx y 2

7 ₂

2  f(x,y), (x,y)B



(2,0),



0.5đ

0.25đ 0.25đ

0.25đ

0.25đ

Câu 2 1,5đ Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn nhất hàm số trên

miền

8 . 0 2 .

. 0

80 ) ,

(K L K L

Q 















500000 25

50

0 , 0

L K C

L K

Hệ phương trình xác định đểm dừng









 



 



 

 



 



 

0 64

0 16

2 . 0 '

8 . 0 '

L Q K

K Q L

L

K vô nghiệm.

 Xét trên biên:  0









 20000 0

0 L

K Q(K,L)

 Xét trên biên:  0









 10000 0

0 K

L Q(K,L)

0.5đ

0.25đ 0.25đ - 1 -

 Xét trên biên:













10000 0

2 20000

x

K L

), ( )

2 20000 ( . 80 ) ,

(K L K^0.2 K ^0.8 f K

Q   ^đăt với 0K 10000

2 . 0 8

. 0

2 20000 2 128

20000 .

16 ) (

' 



 





 



 



 

 K

K K

K K f

2000 2 0

20000 2 128

20000 .

16 0 ) ( '

2 . 0 8

. 0





 



 





 



 



 



 K

K K K

K K f

16000 2

20000

2000  









 L

K L

K 0 ) 0 ( 

f , f(10000)0, f(2000)844485.0629

Vậy cơng ty cần sử dụng số đơn vị vốn là K 2000 và số đơn vị lao động là L16000 để sản xuất được lượng sản phẩm lớn nhất là

) 16000 ,

2000 844485.0629

( 

Q sản phẩm.

0.25đ

0.25đ

Câu 3 1.5đ

^

  





dx x f

x.



^



^









0

3 1 0

3 .1 0

. dx x e dx

x ^{x  }



^

0 3 1

3 .

1 xe ^xdx  



^{a  x}

a xe dx

0 3 1

. 3 lim 1











 

  ^



^

a x

x

a a e dx

xe

0 3 1 3

1

0 3 3 3 lim 1











 

 ^{ }



 9 0

3 0 3 lim

1 ₃¹ ₃¹ a

a e

xe ^{x x}

a

lim 3 9 9 3 3

1 ¹_{3 3}¹ 





  

 ^{ }





a a

a ae e

TTB ^

  

(phút)





 x.f x dx 3

Trung bình mỗi khách hàng cơng ty đợi xấp xỉ là 3 phút

0.5đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ 0.25đ

Câu 4 1,5đ e t

p p

p''4 '3 600 ^0,2 , p(0)$300

Phương trình thuần nhất tương ứng : p''4p'3p0 0.25đ Phương trình đặc trưng: k²4k30 k 1 hay k3

Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất:P_o(t)= C₁e^tC₂e^3t

0.25đ

Nghiệm riêng phương trình p''4p'3p600 (1) dạng Y₁  A Tính được Y₁^' 0,Y₁^'' 0.

Thay vào (1) được 3A600 200 3

600 



A .

Suy ra Y₁ 200

0.25đ

Nghiệm riêng phương trình p ''4p'3pe^0,2t (2) dạng Y₂ Be^0,2t Tính được Y₂^'0,2Be^0,2t,Y₂^'' 0,04Be^0,2t.

Thay vào (2) được 0,04Be^0,2t0,8Be^0,2t 3Be^0,2t e^0,2t

56

 25

B .

Suy ra Y₂ e ^0,2t 56 25 



Theo nguyên lý chồng chất nghiệm thì nghiệm riêng của phương trình là

t 2 ,

0

e p

p

p''4 '3 600 P(t)Y₁ Y₂=200+ e ^0,2t 56 25 _

0.25đ

Nghiệm tổng quát phương trình p''4p'3p600e^0,2t là )

(t

p = P_o(t)+P(t) C₁e^tC₂e^3t+200+ e ^0,2t 56 25 

300

$ ) 0 ( 

p  C₁C₂+200+ 56 25 300 Vậy nghiệm cần tìm là

) (t

p = C₁e^tC₂e^3t+200+ e ^0,2t 56 25 _

56 5575

2

1C 

, với C Khi t đủ lớn C₁e^tC₂e^3t e ^0.2t

56 25 

 0 nên p(t) 200 (USD) Sau khoảng thời gian t đủ lớn, giá sản phẩm xấp xỉ $200.

0.5đ

Câu 5 2đ Thay k 0.025và H(t)= 0.2 vào y'(t)ky(8y)H(t), ta được

2 . 0 ) 8 ( 025 .

0  

 y y

dt dy

40 8

2 8 





 y y

dt

dy (1)

dt y

y dy

40 1 8

2 8 



  (doy(0)4nên y²8y80)

(y42 2 cũng là nghiệm phương trình (1) nhưng khơng thỏa điều kiệny(0)4)

Tích phân hai vế

2 40 1

1 8

8 dt C

y y

dy  









^



_(y^d_^(y₄₎^24_⁾₈^₄₀^{t C1}

 ₁

2 40 2 4

2 2 ln 4

2 4

1 t C

y

y  







  4 2 ₁

10 2 2

2 4

2 2

ln 4 t C

y

y  









0.5đ

0.25đ

0.25đ

- 3 -

1 10 4 2 1

2 2 10 4

2

e 2 e

2 4

2 2 e 4

2 2 4

2 2

4 t C t C

y y y

y ^{ }  ^







 

 





 

 C ^t

y

y ₁₀²

2 e 2 4

2 2

4  ^







 (với Ce^{4 2C1} const0



)

C t

y

y ₁₀²

2 e 2 4

2 2

4  ^







 (với Cconst âm hoặc dương tùy ý)

 4 2 2 e ¹⁰ ( 4 2 2)

2









 C ^ y

y ^t (với Cconst tùy ý)



t

t

C y C

10 2

10 2

e 1

e ) 4 2 2 ( 2 2 4











  (với Cconst tùy ý)



4 ) 0 (

y C1

Vậy

t

t

t y

10 2

10 2

e 1

e ) 2 2 4 ( 2 2 ) 4

( 









 

 

 ( )

lim y t

t 4 2 2

e 1

e ) 4 2 2 ( 2 2 lim 4

10 2

10 2



















 t

t

t

C

C

Sau khoảng thời gian t đủ lớn, lượng rừng xấp xỉ 42 2 đơn vị.

0.25đ

0.25đ

0.5đ

Câu 6 2đ Cách 1

Phương trình được viết lại k kr t

r(')  , với (đơn vị $1000)







 10 ) 5 (

50 ) 0 ( r r

Nghiệm tổng quát phương trình )

(t

r = _^=









 





^kdt

 

_ke ^kdt_{dt C}

e 





 

^kt



^{kektdt C}

e

= =





 

kt ekt C

e 1Ce^kt (đơn vị $1000) Cách 2

Phương trình được viết lại

S k r

dr 



0.25đ 0.5đ 0.25đ

0.25đ

Tích phân hai vế

kdt C

S r

dy  ln







 lnrS ktlnC  rS e^ktlnC

 rS Ce^kt  r SCe^kt Hay r(t)= 1Ce^kt (đơn vị $1000)

0.25đ 0.25đ 0.25đ





 10 ) 5 (

50 ) 0 ( r

r 





 





 5 10 1

50 1C k

C

e ^ _





 





2 3389191442 .

0 49) ln( 9 5

1 49

k

C

Vậy r(t)= 149e^{0.33891914422t} (đơn vị $1000) hay r(t)= 100049000e^{0.33891914422t} (đơn vị $1)

0.5đ

Giá trị hiện tại dòng lợi nhuận f(t) sau 5 năm



^

^T f t e ^rtdt PV

0

)

( 



^{5 } 240000

0

05 .

12000e 0 ^tdt 

0

05 5

.

0 t

e^  240000 (1e^0.055) 53087 .81206

Giá trị hiện tại tiền bán lại máy cuối năm thứ 5 10000e^0.055 7788.007831

Giá trị hiện tại ròng của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này (53087 .81206  7788.007831) - 50000= 10875.81989

Vậy lợi nhuận (tính theo giá trị của tiền ở hiện tại) của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này xấp xỉ $10,875.82.

0.5đ

………Hết………

- 5 -