Sử dụng phương pháp hình học giải bài toán tìm GTLN – GTNN môđun số phức - TOANMATH.com

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Điểm Torricelli: Cho tam giác ABC có góc lớn nhất không quá 120. Điểm Torricelli của tam giác ABC là điểm T nằm trong ABC và có tổng 3 cạnh TA TB TC   p q r nhỏ nhất. Để tìm ra điểm này, ta dựng 3 tam giác đềuACM BCN ABO, , : giao điểm của 3 đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác đều này (hoặc giao điểm củaAN BM CO, , ) chính là điểm Torricelli mà chúng ta cần tìm.

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai dãy số thực a a₁, ₂,...,a_m và b b₁, ₂,...,b_m ta luôn có bất đẳng thức sau



^{a12 a22...am2}



^{b12b22...bm2}



^



^{a b1 1a b2 2...a bm m}



²

Dấu bằng xảy ra khi ^{1 2}

2 2

... ^m

m

a a a

b b  b

CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN - GTNN MÔĐUN SỐ PHỨC

3. Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì: AC BD. AB CD. BC AD.

4. Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ.

Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì AC BD.  AB CD. BC AD. . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

5. Định lí Stewart: Gọi a, b, và c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. Gọi d là độ dài của đoạn thẳng nối từ 1 đỉnh của tam giác với điểm nằm trên cạnh (ở đây là cạnh có độ dài là a) đối diện với đỉnh đó.

Đoạn thẳng này chia cạnh a thành 2 đoạn có độ dài m và n, định lý Stewart nói rằng:

 

2 2 2

b m c n a d mn

B. BÀI TẬP

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Giá trị lớn nhất của z 1 i là

A. 132. B. 4 . C. 6. D. 13 1 .

Lời giải Chọn D

Gọi zxyi ta có z 2 3i  x yi 2 3i ^



^x2

 

^{ y3}



^i.

Theo giả thiết



^x2



^2



^y3



^{2 1} nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm ^I



^2;3



^{bán kính R1.}

Ta có z 1 i  xyi 1 i ^



^x1

 

^{ y1}



^{i }



^x1



^2



^y1



^{2 .}

Gọi ^{M x y}



^;



^{và H}



^1;1



^{thì HM }



^x1



^2



^y1



^{2 .}

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.

Phương trình 2 3

: 3 2

x t

HI y t

  

  



, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 9t² 4t² 1 1

t 13

   nên 3 2

2 ;3

13 13

M 

 

 

 

, 3 2

2 ;3

13 13

M 

 

 

 

. Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  1 13.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z4  z4 10 .Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là.

A. 10 và 4. B. 5 và 4. C. 5 và 3. D. 4 và 3 Lời giải

Chọn C

Gọi zxyi,



^{x y, }



.Theo giả thiết, ta có z4  z4 10



^{x 4}



^yi



^{x 4}



^{yi 10}

       ^



^x4



^{2y2 }



^x4



^{2y2 10 *}

 

Gọi ^{M x y}



^;



^, F1



4; 0



và F2



4; 0



Khi đó (*) MF₁MF₂ 10 nên tập hợp các điểm ^{M z}

 

là đường elip

 

^{E .}

Ta có c4, 2a10a5 và b² a²c² 9 Do đó, phương trình chính tắc của

 

^{E là}

2 2

25 9 1 x y

 

Vậy max z OAOA5 và min z OBOB3 min z OBOB'3

O x

A A

B

B

F2

F1

4 4

5 

 5

3

 3 y

M1 I

H

M2

Câu 3: Xét tập

 

^A gồm các số phức z thỏa mãn ² 2 z i

z



 là số thuần ảo và các giá trị thực m, n thỏa mãn chỉ có duy nhất một số phức ^z

 

^{A thỏa mãn zm ni  2. Đặt M max}



^{m n}



^và

 

min

N  m n . Tính PM N ?

A. P 2. B. P 4. C. P4. D. P2. Lời giải

Chọn C

Giả sử za bi ,



^{a b, }



^{thì z2i  z 2 4i a b 4}

 

¹

Ta có

 

 

2 2

2 2

a b i z i

z a bi

 

 

  

   

 

^{2 2}

2 2

2

a b i a bi

a b

   

   

   



 

      

 

^{2 2}

2 2 2 2

2

a a b b a b ab i

a b

       



 

Vì ²

2 z i

z



 là số thuần ảo nên ^{a a}



^2



^{b b}



^2



^0



^a1



^2



^b1



^{2 2}

Ta cũng có



^am



^2



^{b n}



^{2 2}

Vì chỉ có duy nhất một số phức thỏa mãn nên hai đường tròn

 

C1 có I1

 

1;1 , R₁  2 và đường tròn

 

C2 có I2



m n;



, R₂  2 tiếp xúc nhau.

Vậy ^{1 2 1 2}

1 2 1 2

2 2 0 I I R R I I R R

   

   



Trường hợp I I_{1 2} 0 (không thỏa mãn) vì lúc đó hai đường tròn trùng nhau nên có vô số



^{a b;}



thỏa mãn



^a1



^2



^b1



^{2 2. Vậy} I I1 2 2 2 ^



^m1



^2



^n1



^{2 8.}

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có :

    

^{2 2}

   

²

 

²



2 1 1 1 1 1 1 4

m n   m  n   m  n 

4 m n 2 4 2 m n 6

          

Suy ra 6

2 M N

 

  



.

Câu 4: Xét các số phức z thỏa z  2 i z 4 7i 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính PmM.

A. P 13 73. B. ^{5 2 2 73} P 2

 . C. P5 2 73. D. ^{5 2 73} P 2

 .

Lời giải Chọn B

Ta có w   z 1 i a bi a b ; , 



^{z 1 i}



^{ 3 2i }



^{z 1 i}

 

^{  3 8i}



^{6 2  w 3 2i  w 3 8  i 6 2}

Do đó xét các điểm ^{M a b}



^;



^,A



^{3; 2 ,}



^B



^3;8



^{, ta có:}

6 2MA MB AB6 2.

Dấu " " xảy ra ^M



^AB



^{, do đó ba5 và  3 a3.}

 

²

2 2 2 2

w  a b  a  a5  2a 10a25

 

2 3;3

min 2 10 25 5 2;

m a a 2



   

 

2 3;3

max 2 10 25 73

M a a



    .

Vậy ^{5 2 2 73}

P 2

 .

Cách 2: Cũng tương tự như trên, ta có:

 

^{5 2}

w ;

OM d O AB 2

   , w OM OB 73.

Vậy ^{5 2 2 73}

P 2

 .

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  z 2 3i  2. Mệnh để nào sau đây đúng?

A. 1

13

2  z  . B. 1

5

2  z  . C. 1 z  13. D. 13 z 5. Lời giải

Chọn D

Ta có za bi a b ; , .

Xét các điểm ^{M a b}



^;



^,A



^{3; 4 ,}



^B



^{2; 3}



^{, có: 2MA MB AB 2.}

Dấu " " xảy ra ^M



^AB



^.

Ta có phương trình AB x: y  1 0 a b  1 0 và 2a3.

Do đó ^{w  a2b2  a2}



^a1



^{2  2a22a 1 }_ ^{13;5 , }_ ^{ a}



^2;3



^.

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i  z 4 5i 10. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1 i . Tính PM m. .

A. ^{8 41}

P 5 . B. P 697. C. P5 41. D. ^{8 41} P 3 . Lời giải

Chọn A

Ta có w   z 1 i a bi a b ; , 



^{z 1 i}

 

^{  1 4i}

 

^{ z 1 i}

 

^{ 5 4 i}



^{10  w 1 4  i  w 5 4i 10}

Do đó xét các điểm ^{M a b}



^;



^,A



^{1; 4 ,}



^B



^{ 5; 4}



^{, ta có:}

10MA MB  AB10.

Dấu " " xảy ra ^M



^AB



^{, do đó 4a3b 8 0 và  5 a1.}

2 2

2 2 2 4 8 25 64 64

w 3 3

a a a

a b a     

     

 

 

2 5;1

25 64 64 32 8

min 3 25 5

a a

m y



   

   

  ;

 

 

2 5;1

25 64 64

max 5 41

3

a a

M y



 

    .

Vậy . ^{8 41} Pm M  5 .

Câu 7: Cho số phức z₁ thỏa mãn z₁2² z₁i² 1 và số phức z₂ thỏa mãn z₂  4 i 5.Hỏi giá trị nhỏ nhất z₁z₂ là?

A. ^{2 5}

5 . B. 5 . C. 2 5 . D. ^{3 5}

5 . Lời giải

Chọn D

Đặt z₁ a bi a b ; ,  và z₂ m ni m n ; , . Ta có: z₁2² z₁i² 1



^{a 2}



^{2 b2 a2}



^{b 1}



^{2 1 2a b 1 0}

   

          

    .

Tương tự ta có z₂  4 i 5



^{m 2}



²



^{n 1}



^{2 5}

     .

Khi đó xét các điểm M a b N m n



^;



^,



^;



, ta có: Md: 2xy 2 0 và ^N

 

^{C có I}



^{4;1 ,}



^{R 5.}

 

1 2

8 3 5

; 5

5 5

z z MNIMIN d I d R   .

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i  z 1 3i  34. Hỏi giá trị nhỏ nhất của z 1 i là?

A. 9

34. B. 4. C. 13 . D. 3.

Lời giải Chọn B

Ta có za bi a b ; , .

Do đó xét các điểm ^{M a b}



^;



^,A



^{2; 2 ,}



^B



^1;3



^{, ta có:}

2 2 1 3 34

z  i  z  i   34MA MB  AB 34. Dấu " " xảy ra M thuộc tia AB và M nằm ngoài đoạn AB Phương trình AB: 5x3y 4 0, do đó 5a3b 4 0 và a 1.

Khi đó

     

2

2 2 2 4 5

1 1 1 1 1

3

z i a b a   a 

          

 

   

   

2 2

; 1 ; 1

min 1 min 1 4 5 1 1 4

3

z i a a y

   

  

         

  .

Câu 9: Cho ba số phức z, z₁, z₂ thỏa mãn z₁  z₂ 6 và z₁z₂ 6 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  zz₁  zz₂ .

A. 6 2 2 . B. 3 2 3. C. 6 2 3 . D. 3 2 2 .

Chọn C.

Xét tam giác OAB với A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z₁, z₂ và M là điểm biểu diễn số phức z, ta có OAOB6, AB6 2 OAB vuông tại O.

Khi đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của PMO MA MB  .

Dựng phía ngoài tam giác OAB tam giác đều ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OC tại D, theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm M , A, B, C ta có:

. . .

MA CB MB CA MC ABMA MB MC và MA MB MO  MCMOOCconst. Dấu bằng xảy ra M D. Ta đi tính độ dài đoạn OC, bằng định lý hàm số côsin ta có:

6

OA , AC6 2, OACOAB BAC45 60 105.

Do đó OC OA²AC²2.OA AC. .cos105  ⁶²



^{6 2}



² 2.6.6 2.cos105 6 2 3. Vậy gá trị nhỏ nhất của P_min 6 2 3.

Câu 10: Cho số phức z. Kí hiệu A B C D, , , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ^{z z z, ,}



^{4 3 i}



^và



^{4 3}



z  i . Biết A B C D, , , là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 5

z i là?

A. 5

34. B. 2

5. C. 1

2 . D. 4

13. Hướng dẫn giải

Chọn C

Với ^{za bi a b ,}



^{, }



^.

Ta có: ^{A a b}



^;



^{, B a}



^;b



^,C



^{4a3 ;3b a4b}



^{, D}



^{4a3 ; 3b  a4b}



^.

Do đó A B, đối xứng qua trục hoành; C D, đối xứng qua trục hoành và AB/ / DC .

Theo giả thiết A B C D, , , là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi và chỉ khi có a0và b0 và

 

 

 

2 2

2 3 3 0 0

2 3 5 0

3 5

a b

a b

a b

AB CD

a b

b l a b

AB AC

b a b

a b AB AD

b a b

b a

  

  

   

     

  

        

  

  

  

     

     

  





 

  .

Với za ai , ta có:

   

2

2 2 9 1 1

4 5 5 4 2

2 2 2

z i a a a 

           

  .

.

Câu 11: Gọi z là số phức thỏa mãn P z  1 i z 1 4i  z 2 i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z .

A. 2 . B.1. C. 2. D. ²

2 . Lời giải

Chọn A

Đặt za bi , xét các điểm ^{M a b}



^;



^{, A}

 

^{1;1 , B}



^{1; 4}



^{, C}



^{2; 1}



^.

Ta có  ^{2 2 2} 2 1 

cos 120

2. . 5 2

AB AC BC

BAC BAC

AB AC

 

       .

Do đó AB AC 1 AB AC 

 

và

. .

MB AB MC AC P MA MB MC MA

AB AC

     

2 2

. .

MB AB MC AC AB AC AB AC

MA MA MA

AB AC AB AC AB AC

 

        

 

       



AB AC AB AC

MA MA AB AC MA MA AB AC AB AC

AB AC AB AC

   

              

   

   

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M Az  1 i z  2.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

tìm 1 ^{1 3}

2 2

Q z  z  i . Tính PMm

A. 4 2 3 . B. 2 2 3 . C. 2 6 . D. 2 6.

Lời giải Chọn C

Vì z  1 zcosx i sinx và

1 3

cos sin 1 cos sin

2 2

Q x i x  x i x  i

 

2 2

2 2 1 3

cos 1 sin cos sin

2 2

x x  x   x 

         

2 2 cosx 2 cosx 3 sinx 2 2 3 ; 2 2 3

       

 

 

Do đó P2 2 32 2 3 2 6. Chọn đáp án. C.

Cách 2: Khi biết z 1, xét ba điểm



^;



^,



^{1; 0 ,}



^{1; 3}

2 2

M a b A B 

  

 

 

ta có QMA MB và , ,

M A B cùng thuộc đường tròn



^O,1



^{suy ra}



^{MA MB}



_max ^M là điểm chính giữa cung lớn AB.



^{MA MB}



_min ^M là điểm chính giữa cung nhỏ AB.

Câu 13: Cho số phức z thoả mãn ^{z216  z z}



^4i



^{4 z4i . Gọi M m,} lần lượt là các giá trị lớn nhất, và giá trị nhỏ nhất của z 1 i . Tính PMm.

A. P 26 10. B. P 1 10. C. P 2 26. D. P 1 26. Lời giải

Chọn D

 

2 16 4 4 4

z   z z i  z i

      

2 16 4 4 4 4 4 4 4 4

z   z z i  z i  z i z i  z z i  z i

 

4 4 4 0

z i z i z

      4 0

4 4 0

z i z i z

  

      Ta có: z4i  z  z4iz 4,

dấu " " xảy ra điểm biểu diễn của 4i, 0, z thẳng hàng.

Vậy tập hợp các số phức là đoạn thẳng x0 thỏa 0y4. Ta có: z  1 i AX với ^A



^1;1



^{, X} là điểm biểu diễn số phức z Ta có: z 1 i_max  26, z 1 i_min 1.

Câu 14: Cho số phức zthỏa mãn z m²2m5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức ^w



^{3 4 i z}



^2i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó.

A. R5. B. R10. C. R15. D. R20 Lời giải

Chọn D

       

²

2 3 4 2 3 4 3 4 5 1 4 20

w i  i z w i   i z   i z   m  

  .

2 20

w i

   . Vậy đường tròn có bán kính R_min 20 với tâm ^I



^{0; 2}



Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi m 1.

Câu 15: Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãnz₁z₂  8 6i và z₁z₂ 2. Tìm giá trị lớn nhất của

1 2

P z  z .

A. P4 6. B. P2 26. C. P 5 3 5. D. P32 3 2 Lời giải

Chọn B

Gọi:

   

   

   

   

2 2

1

2 2 2 2

2

8 6 100

, , ,

4 4

a c b d i i a c b d

z a bi

a b c d

z c di a c b d a c b d

     

    

 

  

  

  

     

      

 .



^{a c}



²



^{b d}



²



^{a c}



²



^{b d}



^{2 104 a2 b2 c2 d2 52}

              .

Mặc khác:^{P a2b2  c2d2 B C S. .}



^1212



^{a2 b2c2d2}



^{2 26.}

Cách 2:

Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z z₁, ₂ trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình bình hành AOBDD là điểm biểu diễn số phức



z1z2



OD z1z2 10.

1 2

z z chính là độ dài đoạn AB. OAB

 có





   

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 . .cos 4

104 2

2 . .cos 100

AB OA OB OA OB AOB

OA OB OA OB

OD OA OB OA OB AOB

    

     



   





OA OB



max 104 2 26



z1 z2



max 2 26

       .

Câu 16: Cho số phức z₁ thỏa mãn



^{1i z}



^{ 1 5i 2 2} và số phức z₂ thỏa mãn z 1 2i  z i . Tính giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ .

A. ^{7 22}. B. ^{7 2 4}

2 2

 . C. ^{7 2 4} 4

 . D. ^{7 2 4} 4

 .

Lời giải Chọn D

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z₁, z₂ trên mặt phẳng.

Từ



^{1i z}



^{ 1 5i 2 2 1 . 1 5 2 2}

1 i z i

i

    



2 3 2

z i

    ^M

 

^{C có tâm} I 2;3 , bán

 

kính R2.

Gọi z₂  x yi,



^{x y, }



1 2

z  i  z i 2 0 x y

    N :xy 2 0 Ta có: z₁z₂ MN  z₁z_2min MN_min Ta có:



^,



^{7 2}

d I   2 min

 

7 2 7 2 4

, 2

2 2

MN d I R 

      

Câu 17: Cho số phức z₁ thỏa mãn



^{1i z}



^{ 1 5i 2 2} và số phức z₂ thỏa mãn z 1 2i  z i . Tính giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ 3 i

A. ^{5 2 4} 2

 . B. ^{5 2 4} 2

 . C. ^{7 2 4} 2

 . D. ^{7 2 4} 2



Lời giải Chọn A

Ta có: z1z2  3 i



z1 3 i



z2 MN  z3z2 max MN_max Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z₃, z₂

trên mặt phẳng.

Từ



^{1i z}



^{ 1 5i 2 2 1 . 1 5 2 2}

1 i z i

i

    



2 3 2

z i

   

 

3

3 1 4 2

z

z i i

     



 

M C

  có tâm ^I



^{1; 4}



, bán kính R2. Gọi z₂  x yi,



^{x y, }



từ z 1 2i  z i



^{x y, }



^{N :xy 2 0}

Ta có:



^,



^{5 2}

d I   2 MNmin d I



, 



R ^{5 2} 2 ^{5 2 4}

2 2

    .

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i z 3 2i  5. Gọi M m; lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z, tính M m.

A. ^{5 5 13} 5

 . B. 55 13. C. 2 13. D. 22 13 Lời giải

Chọn C

Gọi ^{zxyi x y;}



^{; }



^{có điểm M x y}



^;



biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có: z  1 i z 3 2i  5



^{x 1}



²



^{y 1}



²



^{x 3}



²



^{y 2}



^{2 5}

 

¹

        

Đặt ^A

 

^{1;1 , B}



^{3; 2}



thì từ (1) ta có: ^{AM BM  5 2}

 

Mặt khác ^{AB}



^2;1



^{ AB 5 3}

 

Nên từ

 

^{2 và}

 

3 suy ra M thuộc đoạn thẳng AB .

Nhận xét rằng OAB là góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có M  z_max OB 13 và

min 2

m z OA . Vậy M m 2 13.(Chứng minh max min dựa vào các tam giác

;

OAM OBM lần lượt tù tại A M; ).

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 i z 2 3i 2 5. Gọi M m; lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z, tính M m.

A. ^{4 5 5 13} 5

 . B. 5 13. C. 2 13. D. 22 13 Lời giải

Chọn A

Gọi ^{zxyi x y;}



^{; }



^{có điểm M x y}



^;



biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có: z  2 i z 2 3i 2 5



^{x 2}



²



^{y 1}



²



^{x 2}



²



^{y 3}



^{2 2 5 1}

 

        

Đặt ^A



2;1 , B 2;3

  

từ

 

^{1 có: AM BM 2 5 2}

 

Mặt khác ^{AB}



^{4; 2}



^{ AB2 5}

 

³

nên từ

 

^{2 và}

 

^{3 suy ra M} thuộc đoạn thẳng AB. Ta có OA 5, OB 13 và AB x: 2y 4 0.

Nhận xét rằng OAB và OBM là góc nhọn (hoặc quan sát hình vẽ) ta có

 

max max , 13

M  z  OB OA  và _min



^,



^{4 5}

m z d O AB  5

Vậy 13 ^{4 5 4 5 5 13}

5 5

M m 

   

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z 1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z 1 2 z1 . A. maxT 2 5. B. maxT 2 10. C. maxT 3 5. D. maxT 3 2.

Lời giải

Chọn A

Cách 1. Gọi zxyi,



^{x y, }



^{M x y}



^;



Và ^A



^{1; 0}



^{, B}



^{1; 0}



^{. Ta có z 1  xyi 1x2y2 1}

M

 thuộc đường tròn đường kính AB.

2 2 2

4 MA MB AB

    . Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có



^{2 2}



^{2 2}



2 1 2

T MA MB  MA MB  5.42 5 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức maxT 2 5.

Cách 2. Đặt zxyi,



^{x y, }



^{ z 1}



^x1



^{2y2 và z 1}



^x1



^2y2

Mặt khác z 1  x²y² 1x²y² 1, khi đó ^{T }



^x1



^{2y2 2}



^x1



^2y2



^{12 22}



^



^{x 1}



^{2 y2}



^{x 1}



^{2 y2}

      

  ^{ 10}



^x2y21



^{ 10.22 5 maxT 2 5.}

Câu 21: Phần gạch sọc trong hình vẽ bên là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây:

A. 6 z 8. B. 2 z 4 4i 4. C. 2 z 4 4i 4. D. 4 z 4 4i 16. Lời giải

Chọn C

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, 

Vì hình vẽ biểu diễn số phức z là hình vành khăn nằm ở góc phần tư thứ nhất của hệ trục toan độ nên tâm của hai đường đồng tâm có tọa dương loại A, B.

Quan sát hình vẽ ta thấy đường tròn lớn có đường kính bằng 8  bán kính R4 Vậy chọn đáp án C.

Câu 22: Xét các số phức zxyi, với x y,  thỏa mãn z 2. Tính Pxy khi

4 2 1 4

z  z  i đạt giá trị nhỏ nhất.

O

8

6 x

y

A. P4 5. B. P2. C. P 2. D. P4 5. Lời giải

Chọn C.

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, . Ta có

2

z   x² y² 4  tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R2.

4 2 1 4

P  z  z  i ^



^x4



^{yi 2}



^x1

 

^{ y4}



ⁱ



^{x 4}



^{2 y2 2}



^{x 1}



²



^{y 4}

  

^{2 *}

      

Gọi ^A



^{4; 0}



^{, B}



^{ 1; 4}



^{thì P  AM 2BM}

 

^{1 .}

Gọi ^H



^{1; 0}



^{thì OH OA. 4OM2  tam giác OHM} và tam giác OMA đồng dạng.

1 2 HM OM

MA OA

   ^{ AM 2HM}

 

²

Từ

 

^{1 và}

 

^{2 ta có P AM 2BM 2}



^HMBM



^2BH Pmin 2BH khi B, H, M thẳng hàng và M nằm giữa điểm B và H.

Khi đó M là giao điểm của đường thẳng BH y: 2x2 và đường tròn x²y² 4

 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình ₂ 2 ₂ 2 4 y x x y

 



  



0 2 x y

 

   

hoặc 8 5 6 5 x y

 





 



.

Vì M nằm giữa điểm B và H nên chọn 0 2 x y

 

  



. Khi đó P 2.

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

2 2 3

P z i  z  i .

A. 18 8 10 . B. 38 8 10 . C. 38 8 10 . D. 8 10 18 Lời giải

Chọn C

O

B

A

M

x

2

 2

 1 H

2 4

y

4

 2

O

B

A x y

1 2 



1 2

2



H M1

M2

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức zxyi,



^{x y, }



^.

Ta có z  1 i 2 ^



^x1

 

^{ y1}



^{i 2}



^x1



^2



^y1



^{2 4}

 tập hợp điểmM là đường tròn

 

C1 tâm ^I



^{1; 1}



, bán kính R₁2. Xét biểu thức P z 2 i² z 2 3i²



²



²



¹



²



²



²



³



²

P x y x y

         ^{2 2} 4 9 0

2 x y y P

     

 tập hợp điểm M là đường tròn

 

C2 tâm ^J



^{0; 2}



, bán kính ₂ 5 2

R  P , P10. Khi đó P_max khi

 

C1 và

 

C2 tiếp xúc

trongR₂ IJR₁R2² 



IJR1



^{2 P}₂^{ 5}



^{2 10}



^{2 P38 8 10 .}

Cách 2 :

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, . Ta có z  1 i 2 ^



^x1

 

^{ y1}



^{i 2}



^x1



^2



^y1



^{2 4}

 tập hợp điểm M là đường tròn

 

C1 tâm ^I



^{1; 1}



, bán kính R₁ 2.

Xét biểu thức P z 2 i² z 2 3i², với ^A



^2;1



^{và B}



^2;3



^{thì PMA2MB2}

2

2 2

2 P MC AB

   P2MC²10, với ^C



^{0; 2}



là trung điểm của AB.

O A

y B

x I

C

M1

M2

x y

1

 1

I J E

F

Mặt khác IC  10 ¹

2

10 2 10 2 M C

M C

  

 

 



Khi đó ^{Pmax 2}



^102



^{21038 8 10 .}

Câu 24: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn 2z i  2iz , biết z₁z₂ 1. Tính P z₁z₂ .

A. ³

P 2 . B. P 2. C. ²

P 2 . D. P 3 Lời giải

Chọn D

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y,  Ta có 2z i  2iz  2z i  z2i  2OMj  OM2j

, với ^{j }



^0;1



2 2 2 2

4OM 4OM j. j OM 4OM j. 4j

          ₂ 1 OM

  OM 1

 tập hợp điểm M là đường tròn

 

^{C tâm O}, bán kính R1.

Mặt khác gọi N , P là điểm biểu diễn z₁, z₂ thì

 

 

N C

P C





 



1 ON OP

NP OP ON

 



   

  

2 1

1 1 ON OP NP z z

 



    

MNP

  là tam giác đều

1 2

2 2. 3 3

z z OK 2

     .

Cách 2:

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y, 

Ta có 2z i  2iz  2z i  z2i ^{ 2x}



^2y1



^{i  x}



^y2



ⁱ

 

²

 

²

2 2

4x 2y 1 x y 2

      x²y² 1

 tập hợp điểm M là đường tròn

 

^{C tâm O}, bán kính R1.

O x

y

K N

P M

Mặt khác gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn z₁, z₂ và z₂ thì A, B, C nằm trên đường tròn

 

^{C , BC} là đường kính

Mà z₁z₂ 1  OA OB  1

1 BA

  

1 AB

 

Khi đó: z₁z₂  OA CO  CA

2 2

1 2 3

z z BC AB

     .

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2² z i ². Tính môđun của số phức wM mi.

A. w  2315. B. w  1258. C. w 3 137. D. w 2 309 Lời giải

Chọn B

Gọi ^{K x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y, .

Ta có z 3 4i  5 ^



^x3

 

^{ y4}



^{i  5 }



^x3



^2



^y4



^{2 5}

 tập hợp điểm K là đường tròn

 

^{C có tâm I}



^{3; 4}



, bán kính R 5. Mặt khác P z2² z i ^2P



^x2



^{2 y2}_^x2



^y1



^2_^{4x2y3}

 tập hợp điểm K là đường thẳng : 4x2y 3 P0

Khi đó  và

 

^C có điểm chung khi ^{d I}



^{, }



^{R 4 2 3 5}

2 5 x y P

 

23 P 10

   13P33 M 33 và m13 Vậy w33 13 i  w  1258.

Câu 26: Trong mặt phẳng xOy, gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 3 3i  3. Tìm phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất .

A. ^{3 3}

2 . B. 3 . C. 0. D. 2 3

Lời giải Chọn A

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y,  O

A B

C

x y

Ta có z 3 3i  3 ^



^x3



^



^{y 3}



^{i  3 }



^x3



^2



^{y 3}



^{2 3.}

 tập hợp điểm M là đường tròn tâm



^{3; 3}



, bán kính R 3.

Gọi :AxBy là tiếp tuyến của

 

^C đi qua điểm O Ta có ^{d I}



^{, }



^R

2 2

3 3

3

A B

A B

 

 



2 2

3A B A B

    ² 0

2 2 3 0

3 A AB A

A B

 

    

 

 Với A0 chọn B1  :y0 không thỏa mãn vì khi đó xOM 180.

 Với A 3B chọn B1 thì A 3  : 3xy0 xOM 120 HOM 30 Khi đó M là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn và đường thẳng 

: 3 6 0

d x y

    ; tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 3 0

3 6

x y

x y

  



  

 3

2 3 3

2 x y

  



 

 



3 3 3 2; 2

M 

  

 

.

Vậy phần ảo của z là ^{3 3} 2

Câu 27: Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 1 4

P z i  z   i , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện ^{z i}



^1



^{  1 i 2. Tính}

2 2

M n .

A. 216. B.162. C. 186. D. 240

Lời giải Chọn A

Gọi ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, . Ta có



¹



^{1 2}

z i   i ^



^i1



^z1



^{ 2  i 1 .z 1 2  2 z 1 2  z 1 1}



^{x 1}



^{yi 1}

    ^



^x1



^{2y2 1}

O M

x y

I ₃

3



 tập hợp điểm M là đường tròn

 

^{C có tâm I}



^{1; 0}



, bán kính R1.

Mặt khác P z 2 i² z 1 4i^{2 P}



^x2

 

^{ y1}



^i2



^x1

 

^{ y4}