MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

(1)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 1 -

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

Dạng 1: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A₁; A₂; A₃;…; A_n.Xét ve tơ:

1 1 2 2 3 3

wk MA k MA k MA  ... k MA_n _n và mp(P): ax + by + cz = d = 0

Trong đĩ k k k₁; ; ;...;₂ ₃ k_nR vàk ₁   k₂ k₃ ... k_n0 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho w nhỏ nhất.

PP:

+Gọi G là điểm thỏa mãn: k GA₁ ₁k GA₂ ₂k GA₃ ₃ ... k GA_n _n0 . Xác định điểm G +Ta cĩ:

i i

k k

MA MG GA với i =1, 2, 3,…,n

+

1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3

w ( ... ) ...

w = ( ... ) .

w ... .

n n n

n

k k k k MG k GA k GA k GA k GA k k k k MG

k k k k MG

         

   

    

+Vì k₁   k₂ k₃ ... k_nlà hằng số khác khơng nên ^w cĩ giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M( ) nên M=hcP _{( )}_PG

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1); B(2; -2; 1); C(0; -1; 0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

2MA4MB3MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Gọi G(x_G; y_G; z_G) là điểm thỏa mãn: 2GA4GB3GC0G( 6;5; 6) 

: 2 4 3 2 4 3

Ta có MA MB MC MG  GA GB GC MG

min ( )

( ) ( )

2 4 3

( ) là đường thẳng đi qua G và vuông góc với mp(P) vtcp u (1; 2;2)

    

   

P

d P

min

MA MB MC MG M hc G

Gọi d vtpt n

( ) :d

6 5 6

: 1 2

– 2

1 2 2

2 6 0 2

     

  



      

x y z

Tọa độđie

y z

åm

x M

32 9 1 9

10 9

 



 

 

 

 x y z

32 1 10

: ; ;

9 9 9

  

 

 

Vậy M

Dạng 2: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A1; A₂; A₃;…; An. Xét biểu thức:

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

Tk MA k MA k MA  ... k MA_n _N

Trong đĩ k k k₁; ; ;...;₁ ₁ k₁R . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

a) T cĩ giá trị nhỏ nhất biết: k₁   k₂ k₃ ... k_n> 0 b) T cĩ giá trị lớn nhất biết: k₁   k₂ k₃ ... k_n< 0 PP:

(2)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 2 -

+Gọi G là điểm thỏa mãn: k GA₁ ₁k GA₂ ₂k GA₃ ₃ ... k GA_n _n0 . Xác định điểm G +Ta cĩ:

i i

k k

MA MG GA với i =1, 2, 3,…,n

   

 

2 2

2 2 2 2 2

1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2 .

đó: T= ... ...

... không đổi nên:

a) ... 0;

i i

k k

n n n

n n

n

MA MG GA MG MG GA GA

Do k k k k MG k GA k GA k GA k GA

Vì k GA k GA k GA k GA k k k k T đạt giátr

    

        

   

    

1 2 3

( )

) ... 0;

M (P) nên MG nhỏ nhất

n

P

ịnhỏnhất MG nhỏnhất b k k k k T đạt giátrịlớn nhất MG nhỏnhất

mà M hc G



     

  

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 4; 5); B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) và mặt phẳng (P): 3x - 3y -2z - 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

a) MA² + MB²+ MC² cĩ giá trị nhỏ nhất b) MA² + 2MB²– 4 MC² cĩ giá trị lớn nhất.

Giải:

a) Gọi G(xG; y_G; z_G) là điểm thỏa mãn: GA GB GC  0 G(1;2;2)

2 2 2 2 2 2 2

min ( )

2 2 2

: 3

(4 ; 1; 0)

P

MA MB MC MA

Ta có MG GA GB GC

M

MB MC G nhỏnhất M hc G M

 

   

      

 

b) Gọi G(x_G; y_G; z_G) là điểm thỏa mãn:

2 2 2

2 2

2 2 2

m ( )

2 4 0 (7; 14; 7

2 4

)

: 2 4

16 61 15

; ;

1 1 11 11

     

    

 

    

 

    

  

 

ã P

GA GB GC G

Ta có MG GA GB GC

MG nh

MA MB MC

MA MB MC ỏnhất M hc G

M

Dạng 3: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(xA;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B) và mp (P):ax + by + cz + d =0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho:

a)MA + MB nhỏ nhất

b) MA MB lớn nhất với d A P( ,( ))d A P( ,( )) PP:

- Xét vị trí các điểm A,B so với mp(P).

+ Nếu (ax_A + by_A + cz_A + d )( ax_B + by_B + cz_B + d) > 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mp(P).

+ Nếu (axA + by_A + cz_A + d )( ax_B + by_B + cz_B + d) < 0 thì hai điểm A, B khác phía với mp(P).

a)MA + MB nhỏ nhất

Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA + MBAB dấu đẳng thức xãy ra

 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đoạn AB.

Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).

Vì A, B khác phía với mp(P) nên min(MA+MB) = AB  MAB ( )P

(3)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 3 -

Trường hợp 2: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).

Khi đĩ MA + MBAB vẫn đúng nhưng khơng cĩ dấu đẳng thức.

- Gọi A’ =Đ_(P)A khi đĩ A’ và B khác phía với mp(P) và MA’ = MA

nên MA + MB = MA’ + MB A B' ; min(MA + MB) = A’B  MA B' ( )P b) MA MB lớn nhất

Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA MB  AB dấu đẳng thức xãy ra

 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đường thẳng AB.

Trường hợp 1: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).

- Vì A, B cùng phía với mp(P) nên max MA MB = AB  MAB ( )P Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).

Khi đĩ MA MB  AB vẫn đúng nhưng khơng cĩ dấu đẳng thức.

- Gọi A’ =Đ(P)A khi đĩ A’ và B cùng phía với mp(P) và MA’ = MA nên MA MB = MA'MB  A’B max MA MB = A’B  MA B' ( )P

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; -1; 2); B(-2; 1; 0); C(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y -z +3 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

a) MA + MB cĩ giá trị nhỏ nhất b) MA MC cĩ giá trị lớn nhất c) MA + MC cĩ giá trị nhỏ nhất d) MA MB cĩ giá trị lớn nhất.

Giải:

Đặt f(x;y;x) = 2x - y -z +3;

f(x_A;y_A;x_A) = 4 > 0 ; f(x_B;y_B;x_B) = -2 < 0; f(x_C;y_C;x_C) = 5 > 0

Các điểm A, C nằm cùng phía với mm (P); A, B nằm khác phía với mp (P) a) MA + MB cĩ giá trị nhỏ nhất

Ta cĩ MA + MB AB và A, B nằm khác phía với mp (P) nên min(MA + MA) = AB MAB ( )P

1 1 2

( 3; 2; 2) ( ) :

3 2 2

  

     

 

x y z

AB AB

1 1 2 1

1 1 2

3 2 2 1; ;

3 3 3

2 3 2 3 0

  

        

      

   

 

 

  





  

x y z x

Tọa độđiểm M y Vậy điểmM

z

x y z

b) MA MC cĩ giá trị lớn nhất

Ta cĩ MA MC  AC và A, C nằm cùng phía với mp (P) nên max( MA MC ) = ACMAC ( )P

(4)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 4 -

 

1 1 2

(1;1; 1) ( ) :

1 1 1

1 1 2 1

độ điểm M 1 3 1; 3;4)

2 3 1

0 4 1

  

    



  

     

       

 

  

     

x y z

AC AC

x y z x

Tọa y Vậy điểm M

x y z z c) MA + MC cĩ giá trị nhỏ nhất

Ta cĩ MA + MC AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)

Gọi H(x;y;z) = hc_(P)A ; (d) là đường thẳng đi qua A vả vuơng gĩc với mp(P)

( ) ( )

( )

1 1 2

(2; 1; 1) ( ) :

2 1 1

có

2

H=hc ( ) ( )

1

1 1 2 3

1 1 1 8

độ điểm H: 2 1 1 ; ;

3 3 3 3

8 3 5 1 10

' ' ;

3

3 ;

0

3

  

      

 

 

 

 

           

      

   

 

 

   





 

  



d P

P

x y z

Ta cóu vtptn d

Ta A H d P

x

x y z

Tọa y H

z Gọi A Đ A

y z

A x

3

 

 

 

Ta cĩ: MA + MC = MA’ + MC  A’C vì A, C nằm cùng phía với mp (P) nên A’, C khác phía với mp(P). nên min(MA + MC) = A’C

 M  A C ' ( ) P

.

11 1 7 x 2 y 1 z 1

A 'C ( ; ; ) (A 'C) :

3 3 3 11 1 7

    

   

 

x 2 y 1 z 1 Tọa đo äđiểm M 11 1

2x y z

7 3 0

  

    



 

 

 

x 1 5

1 1 1 12

y Vậy điểm M ; ;

5 5 5 5

z 12 5

  



 

   

 

 



d) MA MB cĩ giá trị lớn nhất

( )

5 1 10

' ' ; ;

3 3 3 Gọi A Đ AP A  

   

 , vì A,B ở khác phía với mp(P) nên A’, B ở cùng phía

(5)

- Trang 5 -

có: ' ' nên max( ) '

( ' ) ( )

1 2 10 2 1

: ' ; ; ( ' ) :

3 3 3 1 2 10

     

 

    

    

Ta MA MB MA MB A B MA MB A B

M A B P

x y z

Ta có A B A B

7 2 1 3

5 7 5 10

độ điểm M 1 2 10 điểm M ; ;

3 3

2 3 0 3 3

10 3

   

  



       

   

   

 

 

   

 x

x y

x y z

Tọa y Vậy

z

Dạng 4: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A, B, A1, A₂, A₃,…, An.và đường thẳng

 

⁰0 ¹2

0 3

x x ta d : y y ta z z ta

  

  

  



1)Xét wk MA₁ ₁k MA₂ ₂k MA₃ ₃ ... k MA_n _nTrong đĩ

1; ; ;...;2 3 _n 1 2 3 ... _n 0

k k k k R vàk    k k k  . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho w nhỏ nhất.

2)Xét biểu thức: Tk MA₁ ₁²k MA₂ ²₂ ... k MA_n ²_n . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) để a)T cĩ giá trị nhỏ nhất biết: k₁   k₂ k₃ ... k_n> 0

b)T cĩ giá trị lớn nhất biết: k₁   k₂ k₃ ... k_n< 0

3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d)để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất(AB, (d) chéo nhau)

PP:

Vì điểm M(d)M(x₀ta ; y₁ ₀ta ;z₂ ₀ta )₃ . Tính w , T, diện tích tam giác MAB ta được một biểu thức theo t, bài tốn đưa về tình GTNN, GTLN của một biểu thức theo t.

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng

 

^d ^:^{x 1}_^₁ ^ ^{y 2}₁^ ^^z₂. Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho a) w  3OM2AM4BM nhỏ nhất

b) T = MA² + MB² nhỏ nhất

c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.

Giải:

(6)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 6 -

2 2

a)Vì M (d) M(1 t; 2 t;2t),t R

Ta có: OM=(1 t; 2 t;2t); AM ( t; t 6;2t 2); BM (2 t; t 4;2t 4) w 3OM 2AM 4BM ( 5 t; t 2; 2t 12)

3 319 319

w 6t 54t 173 6 t t R

2 2 2

min w

     

          

       

 

           

 

 319 3 5 7

t M ; ; 3

2 2 2 2

 

 

     

 

2 2 2 2

b)Ta có: MA=(-t;6-t;2-2t); MB=(t-2;4-t;4-2t)

T=MA +MB  12t  48t  76 12(t 2)    28 28, t    R

minT  28    t 2 M( 1; 0; 4) 

2 ( MAB)

c)Ta có: AM=(-t;t-6;2t-2);AB=(-2;-2;2) AM,AB (6t 16; 4 2t; 4t 12)

1 1 1 19 24 24

S AM,AB 56t 304t 416 56 t

2 2 2 7 7 7



 

    

 

 

           

( MAB)

24 19 12 5 38

minS t M ; ;

7 7 7 7 7



  

     

 

Dạng 5: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai điểm A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B) và đường

thẳng

 

⁰0 ¹2

0 3

  

  

  



. Tìm điểm M trên (d) sao cho

a) MA + MB nhỏ nhất.

b) MAMBlớn nhất PP:

0 1 0 2 0 3

2 2 2 2

M (d) M(x ta ; y ta ;z ta )

a)MA MB k (t a) m (t b) n

    

 

          

2 2 2 2

Trong mp Oxy xét điểm N(t;0) Ox, H(a;m); K(b;n) với m.n<0 HN (t a) m ; KN (t b) n

MA MB k HN KN kHK; min(MA MB) HK

N,H,K thẳng hà ng

N Ox KH

H, K nằm hai phía trục Ox



     

 

       

    



(7)

- Trang 7 -

2 2 2 2

b) MA MB k (t a) m (t b) n

Trong mp Oxy xét điểm N(t;0) Ox, H(a;m); K(b;n) với m.n>0(m n)

MA MB k HN KN kHK; max( MA MB ) HK

N,H,K thẳng hàng

N Ox KH

H,K nằm cùng phía trục Ox

      

 

     

  



VD₁: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) và đường thẳng x 1 2t

(d) : y 1 t z 2t

   

  

 



Tìm điểm M trên (d) Sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Giải:

2 2 2 2

2 2

M (d) M( 1 2t;1 t; 2t)

20 20

MA MB 9t 20 9t 36t 56=3 t (t 2)

9 9

20 20

Trong mp Oxy chọn điểm N(t;0) Ox; H(0; );K(2; )

3 3

20 20

HN KN t (t 2) MA MB 3(HN KN) 3HK

9 9

    

 

           

 

 

 

          

H,N,K thẳng hàng

min(MA MB) 3HK N HK Ox

vì H, K nằm hai phía trục Ox

    



(HK ) : 20x 3y 20 0 N(1; 0) N(t; 0) t 1 Vậy điểm M(1;0;2)

      

VD₂: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(-1; -1; 0); B(5; 2; -3) và đường thẳng

x 1 t (d) : y 2t

z 1 t

  

  

   



Tìm điểm M trên (d) Sao cho MAMB lớn nhất.

Giải:

M  (d)  M(1 t;2t; 1 t)   

2 2 1 2 35 1 2 35

MA MB 6t 2t 6 6t 4t 24 = 6 (t ) (t )

6 36 3 9

 

             

 

 

2 2

1 35 1 35

Trong mp Oxy chọn điểm N(t;0) Ox; H( ; );K( ; )

6 6 3 3

1 35 1 35

HN KN (t ) (t ) MA MB 6( HN KN ) 6HK

6 36 3 9

 

           

(8)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 8 -

H,N,K thẳng hàng

max( MA MB ) 6HK N HK Ox

vì H, K nằm cùng phía trục Ox

2 2

(HK ) : 6 35x 18y 4 35 0 N( ; 0) N(t; 0) t

3 3

1 4 1 Vậy điểm M( ; ; )

3 3 3

    



      



Dạng 6: Trong khơng gian với hệ Oxyz Cho hai điểm phân biệt A và B. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.

PP:

Gọi H là hình chiếu của A lên (P), khi đĩ tam giác ABH vuơng tại H

       

d A; P  AH  AB  maxd A; P

_{= AB}

 H  B

Khi đĩ (P) là mặt phẳng đi qua B và vuơng gĩc với AB

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; -1) và cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên mp(P) cần tìm, khi đĩ OHOB

       

d O; P OHOBmaxd O; P = OB

Vậy mp(P) đi qua B(1; 2; -1) và nhận OB(1;2;1)làm véc tơ pháp tuyến.

mp(P) : 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0  x2yz60

Dạng7: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho điểm A(x_A;y_A;z_A) và đường thẳng

 

⁰0 ¹2

0 3

  

  

   



.

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất PP:

a) + Gọi H là hình chiếu của A trên (d),

+ mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu của H lên (P))

+ Ta cĩ : HI  AH = const  HI lớn nhất khi A  I. Khi đĩ (P) đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

b) + Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P)

+ Ta cĩ: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuơng gĩc và đường xiên). Do đĩ d(A,(P)) _max AK = AH K



^H

+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

(9)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 9 -

VD: Trong khơng gian Oxyz cho A(10; 2; -1) và đường thẳng (d) cĩ phương trình : 3

1 1

2

1  

 y z

x

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất Giải:

a) + Gọi (Q) là mp đi qua A và vuơng gĩc (d)vtpt n(Q) vtcp u(d) (2;1;3) (Q): 2x + y + 3z - 19 = 0; H = hc_(d)A

x 3 x 1 y z 1

H (Q) (d); Tọa độ điểm H 2 1 3 y 1 H(3;1; 4) 2x y 3z 19 0 z 4

    

   

     

      

 

+ Mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu của H lên (P))

+ Ta cĩ : HI  AH = const  d (d,(P)) lớn nhất  HI lớn nhất  A  I. Khi đĩ (P) đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. Ta cĩ AH= (-7 ; -1 ; 5)

(P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) = 0  7x + y - 5z – 77 = 0

b)Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P).

Ta cĩ: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuơng gĩc và đường xiên).

Do đĩ max d(A,(P))= AH K



H; mp (P) đi qua H và nhận AH = (-7 ; -1 ; 5) làm VTPT  (P): 7x + y - 5z - 2 = 0

Dạng 8: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (Q); 2 đường thẳng (d) và (d’). Lập phương trình mp(P) chứa (d) sao cho

a) Gĩc giữa mp(P) và mp(Q) nhỏ nhất ((d) khơng vuơng gĩc với mp(Q)).

b) Gĩc giữa mp(P) và (d’) lớn nhất ( (d) và (d’) chéo nhau) PP:

a) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 ( a² b² c² 0 ) chứa (d) Lấy M(d) M(P) ta cĩ một phương trình (1)

Vec tơ pháp tuyến của (P) :

n (a; b; c)

_(P) và véc tơ chỉ phương VTCP u(d)vuơng gĩc với nhau ta cĩ phương trình (2)

VTPT:

n

^(Q)  H = cos^{( P , Q}

   

^{) =} ^{cos(n ,n )}^P ^Q ⁽³⁾

      1 2 3

    

 

H phương trình 2 ẩn

Gĩc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi H _max .

b) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 (a² b² c² 0 ) chứa (d) Lấy M(d) M(P) ta cĩ một phương trình (1)

Vec tơ pháp tuyến của (P) :

n (a; b; c)

_(P) và véc tơ chỉ phương VTCP

u

(d)vuơng gĩc với nhau ta cĩ phương trình (2)

VTCP (d’):

u

^(d')  K = sin⁽

   

^{P , d’} ^{) =} cos(n , u )^P ^d' ₍₃₎

(10)

- Trang 10 -

     

¹ ² ³

   

  H phương trình 2 ẩn

Gĩc giữa (P) và (d’) lớn nhất nhất khi K_max

VD: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho 2 đường thẳng (d)



















 t z

t y

t x

2 2 1 ;

(d’) ^{x 1} ^{y 2} ^{z 3}

1 1 1

     và mp(Q): 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d)

a) Tạo với mp(Q) một gĩc nhỏ nhất b) Tạo với (d’) một gĩc lớn nhất Giải:

Gọi (P): ax + by + cz + d = 0 (a²+ b²+ c² 0) chứa (d).

 

(P) (d) (P) (d)

(Q) (P) (Q)

2 2 2

(d) M (P) b 2c d 0 d b 2c(1)

vtpt n (a; b; c); vtcp u ( 1; 2;1);(P) (d) n u a 2b c 0 a 2b c(2)

2a b 2c vtpt

a)M 0; 1

n (2; 1; 2) cos((P),(Q)) cos(n ,n ) (3);

3 a b c

(2) 3

;

(

2

)

          

          

  

       

 

  





2 2

0

cos((P),(Q)) 3b

3 5b 4b 2c b 0 cos((P),(Q)) 0 ((P),(Q)) 90

 

  

     

2 2

1 1 1

b 0 cos((P),(Q))

c c c 3

2 4 5 2 1 3

b b b

     

     

   

     

     

 

min max

1 c

((P),(Q)) cos((P),(Q)) cos((P),(Q)) 1

3 b b c; Chọn b=1;c=-1 a=1 ;Vậy(P) : x y z 3 0

d=3

     

         



 

(d') (P) (d')

2 2 2

a b c

b)vtcp u (1;1;1) sin((P),(d') cos(n ,u ) (3')

3 a b c

     

 

2 2

3b 2c (2) (3') sin((P),(d'))

15b 12bc 6c

     

 

 

(11)

- Trang 11 -

 

2

2 2

2 2 2

2

2c 2

b 0 sin((P),(d ')

6c 3

2c 3

2x 3

b c

b 0 K sin((P),(d ')) (x R)

6x 12x 15 b

c c

6 12 15

b b

4x 12x 9 4x 12x 9 24x 12x 72

; Dặt f (x) f '(x)

6x 12x 15 6x 12x 15 6x 12x 15

f '(x) 0 24x 12x 72

    

 

       

 

   

 

   

   

      

   

     

     

x 2

0 3

x 2

 

   



BBT

x -  ³ 2

 2 +  f’(x) - 0 + 0 -

f(x) ²

3 ⁷ 9

0 ²

3

max

7 c a 4

((P),(d')) Maxf (x) x 2 2; chọn b=1;c=2

9 b d 3

Vậy(P) : 4x y 2z 3 0

         

  

   

Dạng 9: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (P); điểm A (P), điểm B≠A, đường thẳng (d’) cắt (P). Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp(P) và thỏa

a) (d) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.

b) (d) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất ( (d’) khơng đi qua A) c) (d) đi qua A và tạo với (d’) một gĩc nhỏ nhất, lớn nhất.

PP:

a) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.

(12)

- Trang 12 -

2 2 2

(d)

(P)

(d) (d)

(d)

Gọi u (a; b;c)là một VTCP của (d)(a +b +c >0) Vì d (P) u n (1);TìmAB; u ,AB

u ,AB

d(B,(d)) (2)

u



 

     

 

 

 

(1) (2) d(B,(d)) f (a,b) (có thể theo a, c hoặc b, c) + xét b=0 d(B,(d))

   

 



xét b 0 đặt t=c d(B,(d)) f (t) b

a

Tìm Max f(t); min f(t) t b pt(d) c

   



  



b) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất

2 2 2

(d)

(P)

(d) (d) (d')

Gọi u (a; b;c)là một VTCP của (d)(a +b +c >0)

Vì d (P) u n (1); Tìm u ,u ;Lấy M (d')



 

      

(d) (d')

Tìm AM và tính u ,u AM

 

(d) (d')

u , u AM

d((d),(d')) (2)

u , u

 

 

 

 

 

(1) (2) d((d),(d')) f (a,b) (có thể theo a, c hoặc b, c)

   

 

+ xé t b=0  d(B,(d))

xét b 0 đặt t= c d(B,(d)) f (t)

  b  

a

Tìm Max f(t); t b pt(d) c

 

   

 

c) nằm trong mp(P) đi qua A và tạo với (d’) một gĩc nhỏ nhất, lớn nhất.

* Vì luơn tồn tại đường thẳng (d) đi qua A và tạo với đường thẳng (d’) một gĩc 90⁰, nên

Max((d),(d'))  90

⁰

 VTCP u

^(d)

   n , u

^(P) ^(d)

 

(13)

- Trang 13 -

2 2 2

(d)

(d) (P)

(d) (d')

Gọi u (a; b; c)là một VTCP của (d)(a +b +c >0)

Vì d (P) u n (1)

Tìm cos((d),(d') u .u (2) u . u

(1) (2) cos((d),(d') f (a,b) (có thể theo a, c hoặc b, c) + xét b=0 cos



   



   

 

 ((d),(d')

xét b 0 đặt t= c d(B,(d)) f (t)

  b  

a

Tìm Max f(t);min f(t) t b pt(d) c



  



VD: Trong khơng gian Oxyz cho (P): x + 2y – z – 1 = 0; điểm A(1; 0; 0)và B(0; 2; -3)

a)Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm Avà d(B,(d)) lớn nhất, nhỏ nhất.

b) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và cách (d’):^{x 1} ^{y 1} ^z

1 2 1

   

 một khoảng lớn nhất.

c) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và tạo với đường thẳng (d’):^{x 1} ^{y 1} ^z

1 2 1

   

 một gĩc lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải:

(P)

2 2 2

(d)

a)Ta co ù n (1;2; 1).

Gọi u (a; b;c)là VTCP của (d) (a +b VTP

+c T

>0)

 



(d) (P)

Ta có d (P)   u  n   a 2b c 0      c a 2b(1)

(d)

2 2 2

(d)

2 2 2

(d)

2 2

u (a; b; a 2b)

AB ( 1; 2; 3); u ,AB ( 2a 7b; 2a 2b; 2a b) u ,AB

( 2a 7b) (2a 2b) (2a b) d(B,(d))

a b (a 2b) u

12a 24ab 54b 2a 4ab 5b

  

 

         

 

     

 

  

  

 

  

(14)

- Trang 14 -

2 2 2

Nếu b=0(a 0) d(B,(d)) 6

12t 24t 54 a

Nếu b 0 d(B,(d)) (với t= R)

2t 4t 5 b

12t 24t 54 96t 96

Đặt f(t)= f '(t)

2t 4t 5 (2t 4t 5)

f '(t) 0 t 1

   

 

    

 

     

   

   

BBT t -  -1 +

f’(t) + 0 -

f(t) 14

6 6

6 d(B,(d)) 14

max d(B,(d)) 14 t 1 a 1 a b

b chọn a=1;b=-1; c=1

x 1 y z

(d): 1 1 1

  

 

            

  

 

min d(B,(d))   6 b 0 chọn a=1; c=1

     

(P) (d')

2 2 2

(d)

(d) (P)

(d) (d) (d')

b)Ta co ù n (1;2; 1). VTCP u (1; 2;1);d' M(1; 1;0) Gọi u (a; b;c)là VTCP của (d) (a +b +c >0)

Ta có d (P) u n a 2b c 0 c a 2b(1) u (a; b; a 2b); u , u (2

VTPT

a 5b; 2b; 2

     



         

 

        a b); AM   (0; 1; 0) 

(d) (d')

2 (d) (d')

2 2

(d) (d')

u , u AM 2b

u , u AM 2b 4b

d((d),(d'))

8a 24ab 30b 8a 24ab 30b

u , u

   

 

 

 

  

 

   

 

2

Nếu b=0(a 0) d((d),(d')) 0

2 a

Nếu b 0 d((d),(d')) (với t= R) 4t 12t 15 b

   

    

 

(15)

- Trang 15 -

2 2 2

2 2(8t 12) 3

đặt f(t)= f '(t) ;f '(t) 0 t

4t 12t 15 (4t 12t 15) 2

 

     

   

BBT t -  ³

2 + f’(t) + 0 -

f(t) ⁴

3 0 0

3 a 3 3b

t a

2 b 2 2

x 1 y z

Chọn a=3; b=-2;

Maxd((d), 4

c=-1 (d'))

3

(d): 3 2 1

  

     

   

 



(P) (d')

2 2 2

(d)

c)Ta co ù n (1;2; 1). VTCP u (1; 2;1);d' M(1; 1; 0) Gọi u (a; b; c)là VTCP của (d) (a

V

+b +c TPT

>0)

     



(P)

Ta có d (P)   u

(d)

 n   a 2b c 0      c a 2b(1) u

(d)

(a; b;a 2b)

  

(d) (d') 2

2 2

(d) (d')

u .u 2a 2a

Gọi (d,d') cos

6a 12ab 15b u . u 6 2a 4ab 5b

      

 

Nếu b=0(a 0) cos = 3

    3

2 2

2t a

Nếu b 0 cos (với t= R)

6t 12t 15 b

     

 

2

2 2 2

2t 60t 24

Đặt f(t)= f '(t)

6t 12t 15 (6t 12t 15)

  

   

f '(t) 0 t 2 5

   

BBT: t -  ²

5 + f’(t) - 0 +

f(t) ¹

3 ⁸

279 ¹ 3

(16)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 16 -

2 62 3

93 cos 3

max cos 3 b 0 nhỏ nhất 3

  

      

x 1 t Chọn a=1; c=1 (d) y 0 t R

z t

2 62 2 a 2 2b

mincos t a lớn nhất

93 5 b 5 5

chọn a=2; b=-5; c=-8

x 1 y z

(d): 2 5 8

  

   

 

  

          

   

 

Dạng 10: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d₁)_,(d2)và hai điểm A,B (A(d )₁ ).

Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.

b) Khoảng cách giữa (d) và (d₂) là lớn nhất c) (d) tạo với (d₂) một gĩc nhỏ nhất, lớn nhất.

PP:

a)Giả sử (d) (d ) M

1

  Tọa đo äđiểm M theo t

VTCP u

(d)

AM; AB; AM,AB AM,AB

d(B,(d)) =f(t) AM

Tìm maxf(t); min f(t) t (d)

 

  

 

 



 

b)Giả sử (d) (d ) M

1

  Tọa đo äđiể m M theo t

2

2 2

2

(d) 2 0 0 0 0 (d )

0 0

(d ) (d )

0 (d )

2

(d )

VTCP u AM; d M (x ; y ; z ); VTCP u Tính u AM ; AM ; u AM AM

u AM AM

d(d,d ) f (t)

u AM

Tìm maxf(t) t (d)

 

   

   

 

 

 

 

 

 

(17)

- Trang 17 -

2

2 2

2

1

(d) 2 0 0 0 0 (d )

(d ) 2 (d )

(d )

c)Giả sử (d) (d ) M Tọa đo äđiểm M theo t VTCP u AM; d M (x ; y ; z ); VTCP u

AM.u

(d,d ) cos cos(AM, u ) f (t)

AM . u Tìm min f(t); max f(t) t (d)

 

 

      

 

VD: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d₁):^{x 1} ^y ^{z 2}

2 1 1

   

 ^,(d₂):^{x 5} ^y ^z

2 2 1

  

 và hai điểm A0;-1;2), B(2;1;1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa

a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.

b) Khoảng cách giữa (d) và (d₂) là lớn nhất c)(d) tạo với (d₂) một gĩc nhỏ nhất, lớn nhất.

Giải:

1 (d)

a)Giả sử (d) (d ) M M( 1 2t;t;2 t),t R

VTCP u AM (2t 1; t 1; t); AB (2;2; 1) AM,AB (t 1; 1;2t 4)

     

 

             

2 2

AM,AB 5t 18t 18

d(B,(d)) =

6t 2t 2 AM

 

 

 

  

 

2

2 2

2

5t 18t 18 98(2t 1)

Đặt f (t) f '(t)

6t 2t 2 6t 2t 2

f '(t) 0 t 1 2

   

  

   

  

BBT: t -  ¹

2 + f’(t) + 0 -

f(t) ⁴¹

10 ⁵

6 ⁵

6 + khơng tồn tại min f(t)

+max f(t)=f(¹ 2)=⁴¹

10  VTCPu(d)=(0;³ 2; ¹

2

 ) (d):

x 0

y 1 3 t 2 z 2 1 t

2

  

    

 

  



(18)

Nguyễn Bá Tường

- Trang 18 -

2

1 (d)

2 (d )

b)Giả sử (d) (d ) M M( 1 2t; t;2 t),t R VTCP u AM (2t 1; t 1; t)

d N(5; 0; 0); VTCP u (2; 2;1)

     

    

  

2 0 2 0

(d ) (d )

u AM (t 1; 4t 1; 6t); AM (5;1; 2); u AM AM 6 3t

           

   

2

0 2 (d )

2 2 2

(d )

2 2

2 2 2

u AM AM 6 3t t 4t 4

d(d,d ) 3

53t 10t 2 53t 10t 2

u AM

t 4t 4 48t 420t 222

đặt f (t) f '(t)

53t 10t 2 (53t 10t 2)

1 37

f '(t) 0 t hoặct

2 4

     

 

  

 

   

 

   

  

   

    

BBT: t -  ¹ 2

 ³⁷

4 +

f’(t) + 0 - 0 + f(t) ¹

9 ¹ 53 ¹

53 ²²⁵ 7901 max f(t)=f( ¹

2

 )=¹

9 u(d)=(-2;¹ 2;¹

2) x y 1 z 2

(d) :

1 1

2

2 2

 

  



2

1 (d) (d )

b)Giả sử (d) (d ) M M( 1 2t; t;2 t),t R VTCP u AM (2t 1; t 1; t)

VTCP u (2; 2;1)

     

     

 

2 2

2

(d) (d ) (d) (d )

2 2

(d) (d )

u .u t 4

(d,d ) cos cos(u , u )

u u 3 6t 2t 2

       

 

2 2 2

2 2 2 2

1 t 8t 16 t 8t 16 16t 188t 46

Đặt f (t) f '(t)

3 6t 2t 2 6t 2t 2 (6t 2t 2)

1 23

f '(t) 0 t hoặc t=

4 2

     

   

     

  

(19)

- Trang 19 -

BBT: t  ¹

4 ²³

2 + f’(t) + 0 - 0 +

f(t) ¹⁵

2 ¹

6 ¹

6 ¹⁵ 206 + max f(t)=f(¹

4)=¹⁵ 2 ^(d)

1 5 1 x y 1 z 2

u ( ; ; ) (d) :

1 5 1

2 4 4

   

    

 

+min f(t)=f(²³ 2 )= ¹⁵

206 ^(d)

25 23 x y 1 z 2

u (22; ; ) (d) :

25 23

2 2 22

2 2

  

    

