Ôn tập Toán 11 HKII

[Type text]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II Môn: TOÁN. Khối: 11.

A. PHẦN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I. GIỚI HẠN DÃY SỐ.

Bài 1. Tính các giới hạn của các dãy số sau:

a). lim(n²4n5) b). lim( 3 n² n 1) c). lim(n³2n² n 1) d). lim( 2 n⁴n²3n4) Bài 2. Tính các giới hạn của các dãy số sau:

a). lim^{6 1} 1 3

n n



 b).

2 2

2 1

lim 4 n n

n

 

 c). lim³⁽ ₂ ^{1)( 4)}

5 3

n n

n n

 

  d). lim ₃^{3 1}

2 n

n n



  e).

5 2 7

lim 2 1

n n n

 

 f).

3

3 2

8 4

lim2 1

n n n n

 

  Bài 3. Tính các giới hạn của các dãy số sau:

a). lim ^{5 1} 3 2.5

n

n n



 b). lim^{3.4 1}

4 2

n n



 c).

2 7 1

lim 1 7

n n

n

 

 Bài 4. Tính các giới hạn của các dãy số sau:

a). lim( n²3nn) b). lim( n²3nn) c). lim( n²  n 1 5 )n d). lim( 4n² 1 2 )n e). lim( 4n² n 4n²1) f). lim( 4n² n 4n²1) II. GIỚI HẠN HÀM SỐ.

Bài 5. Tính các giới hạn của các hàm số sau:

a). lim ( 4 ² 2)

x x x

    b). lim (3 ² 7 1)

x x x

   c). lim ( ^{3 2} 5 1)

x x x x

    d). lim (2 ⁴ 5 ² 3)

x x x

  

Bài 6. Tính các giới hạn của các hàm số sau:

a). lim ^{8 3} 5 4

x

x

 x



 b).

2 2

2 1

lim 4

x

x x

 x

 

 c).

6 2 1

lim 3( 2)( 5)

x

x x

x x



 

  d). lim ₂ ²

1

x

x

x x





  e).

3 3 4

lim 2 5

x

x x

 x

 

 f).

3 2

3

6 3

lim 1 2

x

x x x x



 

  Bài 7. Tính các giới hạn của các hàm số sau:

a).

2 2

2 4

lim^x 2

x x

 x

 

 b).

2

3 6

lim 2 4

x

x

 x



 c).

2 3

4 3

lim^x 3

x x

 x

 

 d).

2 1 2

2 3

lim^x 2 1

x x

x x



 

  e).

2 1 2

2 3 1

lim 1

x

x x

 x

 

 f). ₂

3

3 9

lim 2 3

x

x

x x





  g). ₂

1

lim 1 1

x

x

 x





h).

2 3

lim 9 3

x

x

 x



 i).

3 2

lim 8 2

x

x

 x





j).

3 2

1

lim 1

1

x

x x x

 x

  

 Bài 8. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a).

3

6 3 lim^x 3

x

 x

 

 b).

2

lim 2

7 3

x

x

 x



  c). ₂

1

2 3 1

lim 1

x

x

 x

 



d). ₂

3

lim 1 2 9

x

x

 x

 



[Type text]

e). 1

lim1 1

x

x

 x





f). 4

1 3

lim^x 2 8 x

 x

 

 g). ₂

4

lim 2

5 4

x

x

x x





  h).

2

lim 3 1

6 2

x

x

 x

 

  Bài 9. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a).

2

4 1

lim 2

x

x

 x





 b).

2 1

3 5

lim 1

x

x x

 x



 

 c).

2 ( 1)

3 1

lim 1

x

x

 x

 





d).

1 2

2 5

lim 4 2

x

x

 x

   





III. HÀM SỐ LIÊN TỤC.

Bài 10. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a).

2 3 2

2

( ) 2

1 2

x x

khi x

f x x

khi x

   

 

 



b).

2 4

2

( ) 2

x+1 2

x khi x

f x x

khi x

   

 

  



c).

 

2 2

x 2

2

5 x 2

x x

f x x khi

x khi

   

 

  



d).

 

2 5 4

x 1 1

3 7 x 1

x x

f x x khi

x khi

   

 

  

 Bài 11. Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a).

2 4

2

( ) 2

4 2

x khi x

f x x

khi x

  

 

  



tại x₀ = 2 b).

2 4 3

3

( ) 3

2 - 4 3

x x

khi x

f x x

x khi x

   

 

 



tại x₀ = 3

Bài 12. a). Xác định m để hàm số

2 6 5

1

( ) 1

1 1

x x

khi x

f x x

mx khi x

   

 

  



liên tục tại x₀ 1

b). Xác định a để hàm số

2 4 ( ) 4

2 1

4 4

x khi x

f x x

ax khi x

 

  

   

liên tục tại x₀ 4

Bài 13. CMR:

a). Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x³10x 7 0 b). Chứng minh rằng phương trình 2x⁴4x²  x 3 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng



^1;1



c). Chứng minh rằng phương trình x⁵3x⁴5x 2 0 có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng



^3;5



d). Chứng minh rằng phương trình xsinx có nghiệm.

IV. ĐẠO HÀM.

Bài 14. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1).  ³  ²  10

3 2

x x

y x

2). 3

2 ⁵ 2 

 x

x y

3). y 2 3₂  5₃ x x x 4). y(x² 5)³

[Type text]

5). y(5x³  x² x 1)⁴ 6). y5x²(3x1)

7).y(x² 1)(53x²) 8).yx(2x1)(3x2)

9). ^{2 3}

1 y x

x

 

 10).

2 2 3

1

x x

y x

 

  11).

2 2 5 2 y x

x

 



12).^y_^{2 3}_x ^{ x}_



^x1



13). ^{ }_ ^

2 2

7 5 3

x x

y x x

14).

3 2

2 1

x x

y x x

 

 

15). ₂ ¹

3 4

y x x

  16). y 2x³

17). y 3x⁴x² 18). y x² 6x7 19). y x1 x2 20). y(x1) x² x1

21).

1 2

3

2 2





  x

x y x

22). y ^{1 x} 1 x

 



23).^y



^{2x23 x1}



³

24). yx² x²1 25). yx³x x1

Bài 15. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1) y3sinx2cosx 2). ysin 3xcos 2x 3). yx²sinx

4). yxtan 2x 5).yx²xcosx1 6)ycosx.sin² x 7). ycos 2² xsin³x 8). y cot (2x³ )

4

  9). ysin (cos3 )² x 10). y 3sinx cos2x 11). y3sin² x.sin3x 12). y 2 tan x ² 13). y 1 2tanx 14). ¹₂

1 sin 2

y x

 15). ^{sin cos} sin cos

x x

y x x

 

 16). 

 xsin x

y 1 cot x 17). _y^{sin x}_ ^x

x sin x 18). y cos(xsinx) Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến với parapol (P): yx² 3x 1 trong các trường hợp sau :

a). Tại M (1;-1).

b). Tại điểm có hoành độ bằng 2.

c). Tại điểm có tung độ bằng 1.

d). Biết hệ số gốc của tiếp tuyến bằng 5.

e). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  5x 1 f). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ¹ 2016

y7x

Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y x³ 2x²1 trong các trường hợp sau:

a). Tại điểm có hoành độ bằng -1.

b). Tại điểm có tung độ bằng 1.

c). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x 1

Bài 18. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (H): ^{2 1} 1 y x

x

 

 trong các trường hợp sau :

[Type text]

a). Tại điểm có hoành độ bằng 4.

b). Tại điểm có tung độ bằng 1.

c). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ¹ 9 y3x Bài 19. Chứng minh các đẳng thức sau :

a). Cho y  x³ x 1. Chứng minh rằng: 9(y 1) 3 .x y^' y^'' 0

b). Cho ¹

1 y x

x

 

 . Chứng minh rằng: y²2 .x y^' 1 0

c). Cho yxsinx . Chứng minh rằng: (x²2)y2xy^'x y^{2 ''} 0 d). Cho ytan 2x. Chứng minh rằng: 2y²  y^' 2 0

B. PHẦN HÌNH HỌC

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh AI vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.

a). Chứng minh rằng BC(SAB) và CD(SAD) và BD(SAC).

b). Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.

c). Chứng minh rằng HK(SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng:

a). BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB).

b). SI (ABCD).

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S khác O Chứng minh rằng:

a). (SBC)(ABC); b). (SOI)(SAB); c). (SOI)(SOJ).

Bài 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, có ACa 3, BDa. Đường cao SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO =

4

a. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên BC.

a). Chứng minh (SOE)(SBC) và (SAC)(SBD) b). Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

[Type text]

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD); góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 30⁰ .

a). Chứng minh tam giác SBC vuông.

b). Chứng minh BD  SC và (SCD)(SAD).

c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, ³ 2

SA a và SA(ABC). Gọi I là trung điểm cạnh BC.

a). Chứng minh rằng BC(SAI)

b). Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO

Đề 1:

Câu 1: Tính giới hạn các dãy số sau:

a). lim^{6 1} 1 3

n n





b). lim( n²2nn) Câu 2: Tính giới hạn các hàm số sau:

a).

2 2

2 1

lim^x 1 x x

 x

 

 b).

2 4

6 8

lim^x 4

x x

 x

 

 c).

3

lim 1 2 3

x

x

 x

 

 . Câu 3: Xác định m để hàm số sau liên tục tại x₀ 2.

2 4

2

( ) 2

- 2 2

x khi x

f x x

mx khi x

  

 

 



Câu 4. Chứng minh rằng phương trình 5x⁵3x⁴  x³ 1 0 có ít nhất một nghiệm.

Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y x³ 3x²4. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y9x1.

Câu 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a).

4

2 2 11

4

y x  x  x b). ^{3 1} 2 y x

x

 

 c). yx²sin 2x Câu 7. Cho yx²2x1. Chứng minh rằng: 2(y 1) x y( ^'y^'')0

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, có SAa 6 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

a). Chứng minh rằng: BC(SAB) và BD(SAC) b). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

c). Tính góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy.

---

[Type text]

Đề 2:

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

a). lim^{4 3} 1 8

n n



 b).

2 2

lim 6

2

x

x x

 x

 

 c).

2 1

4 5 1

lim^x 1

x x

 x

 

 d).

4

lim 4

5 3

x

x

 x



  . Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại x₀ 1.

2

2

1 1

( ) 1

a 1

x khi x

f x x

a khi x

  

 

  



Câu 3. Chứng minh rằng phương trình 3x⁴   x³ x 1 0 có nghiệm.

Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H): ^{7 1} 2 y x

x

 

 tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a).

3 2

5 1

3 4

x x

yx    x b). y (x 1) x²1 c). ysin 3 cosx x Câu 6. Cho ^{3 2}

3 2

y x x

 

 . Chứng minh rằng: y²2 .x y^' 1 0

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh ABa 3 , ADa , có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.

a). Chứng minh rằng: CD(SAD) và BC(SAB) b). Tính độ dài đoạn thẳng SA.

c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

---

[Type text]