Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Lê Minh Tâm - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

LÊ MINH TÂM

CHƯƠNG 01

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ... 4

I. ÔN TẬP ... 4

1.1. Các hệ thức cơ bản. ... 4

1.2. Cung liên kết. ... 4

1.3. Công thức cộng. ... 4

1.4. Công thức nhân và hạ bậc. ... 4

1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích. ... 5

1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng. ... 5

1.7. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt. ... 5

II. HÀM SỐ y = sinx VÀ HÀM SỐ y = cosx... 5

III. HÀM SỐ y = tanx Và HÀM SỐ y = cotx. ... 8

IV. BÀI TẬP. ... 10

Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH. ... 10

Dạng 02. TÍNH CHẴN LẺ. ... 13

Dạng 03. CHU KỲ HÀM SỐ. ... 15

Dạng 04. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT... 17

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ... 21

I. PHƯƠNG TRÌNH SinX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CosX = a. ... 21

II. PHƯƠNG TRÌNH TanX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CotX = a ... 23

III. BÀI TẬP. ... 26

§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO HÀM LƯỢNG GIÁC ... 32

I. DẠNG CƠ BẢN. ... 32

II. BÀI TẬP. ... 33

§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI HÀM SIN - COS ... 43

I. DẠNG CƠ BẢN. ... 43

II. BÀI TẬP. ... 44

§4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ... 54

I. DẠNG CƠ BẢN. ... 54

§5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ... 62

I. DẠNG CƠ BẢN. ... 62

II. BÀI TẬP. ... 62

§6. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH KHÁC ... 68

I. BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. ... 68

1.1. Ví dụ minh họa. ... 68

1.2. Bài tập rèn luyện. ... 68

II. BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH. ... 70

2.1. Ví dụ minh họa. ... 70

2.2. Bài tập rèn luyện. ... 70

III. TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP. ... 73

3.1. Ví dụ minh họa. ... 73

3.2. Bài tập rèn luyện. ... 74

IV. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ĐIỀU KIỆN. ... 75

4.1. Ví dụ minh họa. ... 76

4.2. Bài tập rèn luyện. ... 77

§7. TỔNG ÔN CHƯƠNG ...91

Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH. ... 91

Dạng 02. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT... 93

Dạng 03. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ... 96

Dạng 04. TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ... 113

§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. ÔN TẬP

1.1. Các hệ thức cơ bản.

tan .cot 1 sin² cos² 1 ² 1₂

1 tan

 cos ² 1₂

1 cot

 sin 1.2. Cung liên kết.

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau Cung hơn kém Cung hơn kém 2

   

   

cos cos

sin sin

tan tan

cot cot

 

  

  

  

 

 

 

 

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

 

  

  

  

2 2 2 2

sin cos

cos sin

tan cot

cot tan

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

  

  

 

 

sin2 cos

 

cos2  sin

 

tan2  cot

 

cot2   tan

 

1.3. Công thức cộng.

 

sin a b sin cosa bsin cosb a ^cos



^{a b }



^{cos cosa b sin sina b}

 

1

tan tan

tan tan .tan

a b

a b a b

  



 

1

tan tan

tan tan .tan

a b

a b a b

  



Hệ quả: ¹

4 1

tan tan

tan x x

x



 

 

  

  và ¹

4 1

tan tan

tan x x

x



 

 

  

  .

1.4. Công thức nhân và hạ bậc.

Nhân đôi Hạ bậc

2 2

sin  sin cos ² 1 2

2 sin  cos

2 2

cos2 cos sin

2 2

2cos 1 1 2sin

   

2 1 2

2 cos cos



2

2 2 1 tan tan

 tan



2 1 2

1 2

tan cos

cos

 



CHƯƠNG

2 1

2 2

cot cot

cot

  ² 1 2

1 2

cot cos

cos

 

 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích.

2 2 2

cos cos cosa b.cosa b

a b  

  2

2 2

cos cos sina b.sina b

a b  

  

2 2 2

sin sin sina b.cosa b

a b   2

2 2

sin sin cosa b.sina b

a b  

 

tan tan sin

cos .cos a b a b

a b

   ^sin

 

tan tan

cos .cos a b a b

a b

  

 

cot cot sin

sin .sin a b a b

a b

   ^sin

 

cot cot

sin .sin a b b a

a b

  

Đặc biệt

2 2

4 4

sinx cosx sinx  cosx 

       

    2 2

4 4

sinx cosx sinx  cosx 

        

   

1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng.

   

1

cos .cosa b 2cos a b cos a b 

   

1

sin .sina b2cos a b cos a b 

   

1

sin .cosa b 2sin a b sin a b  1.7. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Đơn vị độ

0o 30^o 45^o 60^o 90^o 120^o 135^o 150^o 180^o 360^o Đơn vị

radian ⁰ 6 4 3 2

2 3

3 4

5

6 ²

sin ⁰ 1

2

2 2

3

2 ¹

3 2

2 2

1

2 ^{0 0}

cos 1 3

2

2 2

1

2 ⁰

1

2 2

 2 3

 2 1 1

tan 0 3

3 ¹ 3 KXĐ  3 1 3

 3 ^{0 0}

cot KXĐ 3 ¹ 3

3

0 3

 3 ^1  3 KXĐ KXĐ II. Hàm Số y = sinx Và Hàm Số y = cosx.

Hàm số ysinx Hàm số ycosx

1. Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo x rađian được gọi là hàm số sin , kí hiệu

sin y x .

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo x rađian được gọi là hàm số cos , kí hiệu

cos y x .

2. Tập

xác định: ^{D D}

3. Tập

giá trị: ^{1 1;  1 1; }

4. Tính

chất hàm Là hàm số lẻ. Là hàm số chẵn.

5. Chu kỳ Chu kì 2 . Chu kì 2 .

6. Đơn điệu

Hàm số

+ Đồng biến trên mỗi khoảng

2 2

2 k ;2 k

   

 

 .

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng

2 3 2

2 k ; 2 k

   

 

 .

Hàm số

+ Đồng biến trên mỗi khoảng



^{ k2 ;k2}



^.

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng



^{k2 ; k2}



^.

7. Đồ thị

8. Giá trị đặc biệt

1 2

sinx     x 2 k . sinx  0 x k .

sinx   x k .

1 2

cosx    x k .

0 2

cosx   x k .

1 2

cosx  x k .

Chú ý:

+) Hàm số ^ysin_^{u x}

 

^_^,ycos_^{u x}

 

^_ ^{xác định u x}

 

^{có nghĩa.}

+)  1 sin ,cosx x1 ; 0sin²x,cos²x1; 0 sin , cosx x 1. Ví dụ 01.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. ysin4x. b. 3₂ 1

sin x 1

y x

 

 . c. ycos x2. Lời giải

a. ysin4x.

Hàm số xác định với mọi số thực x nên hàm số có tập xác định D .

b. 3₂ 1

sin x 1

y x

 

 .

Hàm số xác định khi x²    1 0 x 1 . Tập xác định ^{D \}

 

^{1 .}

c. ycos x².

Hàm số xác định khi x    2 0 x 2 . Tập xác định ^{D  }_ ^2;



^.

Ví dụ 02.

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y3cosxsin²x. b.

1 22

1 3

sin cos y x

x

 

 . Lời giải

a. y3cosxsin²x.

Hàm số có tập xác định D .

Lấy x ta có  x và ^y

 

^{ x 3cos}

 

^{ x sin2}

 

^{ x 3cosxsin2xy x}

 

^.

Do đó hàm số là hàm chẵn . b.

1 22

1 3

sin cos y x

x

 



Hàm số xác định khi ^{3 1 3 2 2}

 

3 3

cos k

x   x k   x k .

Tập xác định ²

 

3 3

\ k

D   k 

 .

Ta thấy nếu x D cos3x 1 mà ^cos

 

^{3x cos3xcos}

 

^{3x     1 x D}

Khi đó

   

   

2 2

1 2 1 2

1 3

1 3

sin sin

cos cos

x x

y x y x

x x

  

   



  .

Do đó hàm số là hàm chẵn . Ví dụ 03.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a. y 4 3sin5x. b. y 2sin2xcos2x1. c.

sin , 4 4; y x x  

 . Lời giải

a. y 4 3sin5x.

Hàm số có tập xác định D .

Ta có  1 sinx    1 3 3sinx     3 3 4 4 3sinx    3 4 1 y 7.

Do đó: ^{7 1 2}

 

maxy sinx     x 2 k k .

 

1 1 2

miny sinx   x 2 k k

b. 2 1

2 2 2 1 3 2 2 1

3 3

sin cos sin cos

y x x  x x

      

 

Đặt ^{1 2}

  

⁰



3 3

sin  ; cos   ; ta có

   

3 cos sin2 sin cos2 1 3sin 2 1

y x x   x 

Ta có:

     

1 sin 2x 1 3 3sin 2x 3 3 1 3sin 2x 1 3 1

                

Do đó: maxy 1 3 đạt được khi ^sin



^2x



^1

1 3

miny  đạt được khi ^sin



^2x



^{ 1.}

c. ysin ,x x  4 4; 

 

Hàm số ysinxđồng biến trên khoảng



^{ ;}



^nên

Với ^{2 2}

4 4; sin 4 sin sin 4 2 2

x     x      y

      .

Do đó 2

maxy 2 đạt được khi

x 4; 2

miny 2 đạt được khi

x 4. III. Hàm Số y = tanx Và Hàm Số y = cotx.

Hàm số ytanx Hàm số ycotx

1. Định nghĩa:

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức ^sin



^{cos 0}



cos

y x x

 x  , ký hiệu tan

y x.

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức ^cos



^{sin 0}



sin

y x x

 x  , ký

hiệu ycotx. 2. Tập

xác

định: ²

\ ,

D  k k 

  ^{D \}



^{k k, }



3. Tập

giá trị: ^{1 1;  1 1; }

4. Tính chất hàm

Là hàm số lẻ. Là hàm số lẻ.

5. Chu

kỳ Chu kì . Chu kì .

6. Đơn điệu

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 3

2 k ; 2 k

 

 

 

  .

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng



^{k ; k}



^.

7. Đồ thị

 Chú ý:

- Hàm số ^ytan_^{u x}

 

^_ xác định khi và chỉ khi ^{cosu x}

 

^{0 .}

- Hàm số ^ycot_^{u x}

 

^_ xác định khi và chỉ khi ^{sinu x}

 

^{0 .}

Ví dụ 04.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. ytanx4

 . b.

cot 3

y x 

 . Lời giải

a. ytanx 4

 .

Hàm số xác định khi ⁰

 

4 4 2 4

cosx     x k   x k k

 

Do đó hàm số có tập xác định

 

\ 4

D  k k 

 .

b. ycotx 3

 

Hàm số xác định khi ⁰

 

3 3 3

sinx    x k   x k k

 

Do đó hàm số có tập xác định

 

\ 3

D  k k 

 .

IV. BÀI TẬP.

Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH.

Phương pháp giải:

1. ^{f x}

 

xác định ^{ f x}

 

^{0 ; f x}

 

¹ xác định ^{f x}

 

^{0 .}

2. ^ysin



^{f x}

  

xác định ^{ f x}

 

xác định.

3. ^ycos



^{f x}

  

xác định ^{ f x}

 

xác định.

4. ^ytan



^{f x}

  

xác định

   

f x 2 k k

    .

5. ^ycot



^{f x}

  

xác định ^{ f x}

 

^k



^k



^.

Bài 01.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. 1

2cos 3

y x

 2. y 1sinx

3. 4 ₂

4 1

cos sin y x

x

 

 4. ^{1 cos}₂

cos y x

x

  Lời giải

1. 1

2cos 3

y x



Điều kiện: 3

2 6 2

cosx    x k ,k Tập xác định của hàm sốlà 2

\ 6 ,

D  k k 

  .

2. y 1sinx

Điều kiện: ^{1sinx 0 sinx   1}



^x



Tập xác định của hàm số là D .

3. 4 ₂

4 1

cos sin y x

x

 



Điều kiện: ²

6 2

5 2

1 6

4 1 0

2 2

6

7 2

6

sin sin ,

x k

x k

x x k

x k

x k

  



  

      

   



  



.

Tập xác định của hàm số là ^{2 5 2 2 7 2}

6 6 6 6

\ , , , , k

D  k k k k 

        

  .

4. ^{1 cos}₂ cos y x

x

 

Điều kiện: ¹ ₂ 0 ^{1 0}

0 2

cos cos

cos , cos

x x

x k k

x x

  

       

Tập xác định của hàm số là

\ 2 , k

D  k 

    

  .

Bài 02.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. 1

3 cos cot y x

x

 

 2. 2

3 1

sin tan y x

x

 

3. 2

cot 3

y  x

   

  4. 2

tan 4

y  x 

   

 

5. ytanxcotx 6. y 1tan²x

Lời giải

1. 1

3 cos cot y x

x

 



Điều kiện: ³ ₆

0

cot ,

sin

x k

x k

x x k

      

  

 

  

  

Tập xác định của hàm số là

\ 6 , ,

D  k k k 

  .

2. 2

3 1

sin tan y x

x

 

Điều kiện:

1 3 6

0 2

tan ,

cos

x k

x k

x k

x

    

  

 

    

 

Tập xác định của hàm số là

6 2

\ , , k

D  k k  

  .

3. 2

cot 3

y   x

 

Điều kiện: 2 0 2

3 3 6 2

sin k ,

x x k x k

         

 

 

Tập xác định của hàm số là

6 2

\ k ,

D   k 

  .

4. 2

tan 4

y  x 

 

Điều kiện: 2 0 2

4 4 2 8 2

cos k ,

x x k x k

          

 

 

Tập xác định của hàm số là

8 2

\ k ,

D   k 

  .

5. ytanxcotx

Điều kiện: ⁰ 2 0 2

0 2

cos sin ,

sin

x k

x x k x k

x

 

      

 



Tập xác định của hàm số là

\ k2 ,

D  k 

  . 6. y 1tan²x

Điều kiện: 0

cosx   x 2 k k,  . Tập xác định của hàm số là

\ 2 ,

D  k k 

  .

Dạng 02. TÍNH CHẴN LẺ.

Phương pháp giải:

1.Tập xác định D:     x D x D..

2.Xét ^{f x}

 

^{và f}

 

^{x .}

–Nếu ^f

   

^{ x f x , x D} thì hàm số chẵn trên D. –Nếu ^f

 

^{  x f x}

 

^{, x D} thì hàm số lẻ trên D. Bài tập.

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

1. ysin⁴x; 2. sin .cos tan cot

x x

y x x

 ; 3. sin tan sin cot

x x

y x x

 

 ; 4.

4 3

cos 1 sin y x

x

  ; 5.

cos 4

y x 

 ; 6. ytanx ;

7. ysinx2tanx; 8. ₂

1 cos

sin y x

 x

 . Lời giải

1. ysin⁴x

Tập xác định D ,    x D x D. Đặt ^{y f x}

 

^sin4x.

Ta có: ^f

 

^{ x sin4}

  

^{  x sinx}



^{4 sin4x f x}

 

^.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

2. sin .cos tan cot

x x

y x x



Tập xác định

\ 2, ,

D k k  x D x D

        

  .

Đặt

 

^{sin .cos}

tan cot

x x

y f x

x x

 

 .

Ta có:

     

     

sin .cos sin .cos sin .cos

tan cot tan cot

tan cot

x x x x x x

f x f x

x x x x

x x

  

    

  

   .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

3. sin tan

sin cot

x x

y x x

 



Tập xác định ^{1 5 2}

2 2

\ , arccos , , ,

D k    m k m      x D x D. Đặt

 

^{sin tan}

sin cot

x x

y f x

x x

  

 .

Ta có:

     

     

sin tan sin tan sin tan

sin cot sin cot

sin cot

x x x x x x

f x f x

x x x x

x x

     

    

  

   .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4.

4 3

cos 1 sin y x

x

 

Tập xác định ^{D \}



^{k k, }



^{,    x D x D.}

Đặt

 

⁴3

cos 1 sin y f x x

x

   .

Ta có:

   

   

4 4

3 3

1 1

cos cos

sin sin

x x

f x f x

x x

  

    

  .

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

5. ycosx4

 

Tập xác định D ,    x D x D. Đặt

 

cos 4

y f x  x 

 . Ta có:

 

4 4

cos cos

f  x  x  x 

   .

Ta thấy ^f

     

^{ x f x ,f   x f x}

 

^.

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn, không lẻ.

6. ytanx

Tập xác định

\ 2 ,

D  k      x D x D

  .

Đặt ^{y f x}

 

^{tanx .}

Ta có: ^f

 

^{ x tan x tan x  f x}

 

^.

Ta thấy ^f

     

^{ x f x ,f   x f x}

 

^.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

7. ysinx2tanx Tập xác định

\ 2 ,

D  k      x D x D

  .

Đặt ^{y f x}

 

^{sinx2tanx.}

Ta có: ^f

 

^{ x sin}

 

^{ x 2tan}

 

^{  x sinx2tanx }



^sinx2tanx



^{ f x}

 

^.

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

8. ₂

1 cos

sin y x

 x



Tập xác định D ,    x D x D.

Đặt

 

2

1 cos

sin y f x x

  x

 . Ta có:

   

   

2 2

1 1

cos cos

sin sin

x x

f x f x

x x

    

   . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Dạng 03. CHU KỲ HÀM SỐ.

Phương pháp giải:

Định nghĩa: Hàm số ^{y f x}

 

xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T0 sao cho với mọi x D ta có x T D  và ^{f x T}



^

  

^{ f x .}

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T.

 Lưu ý:

.

Hàm số ^{f x}

 

^{asinux b cosvx c ( với ,u v} ) là hàm số tuần hoàn với chu kì

 

^2,

T u v (

 

^{u v,}

là ước chung lớn nhất).



Hàm số ^{f x}

 

^{a.tanux b .cotvx c (với ,u v} ) là hàm tuần hoàn với chu kì

 

^,

T u v .



y f x1

 

có chu kỳ T₁ ; y f x2

 

có chu kỳ T₂

Thì hàm số y  f x1

 

 f x2

 

có chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂.



y sinx: Tập xác định DR; tập giá trị T   1 1; ; hàm lẻ, chu kỳ T₀  2 .

 

sin

y  ax b có chu kỳ T₀ ²

 a

   

sin

y  f x xác định ^{ f x}

 

^{xác định.}



y cosx: Tập xác định DR; Tập giá trị T   1 1, ; hàm chẵn, chu kỳ T₀  ² . cos

y xcó chu kỳ T₀ ²

 a

   

cos

y  f x xác định ^{ f x}

 

^{xác định.}



y tanx: Tập xác định

\ 2 ,

D   k k Z 

 ; tập giá trị T , hàm lẻ, chu kỳ T₀  .

 

tan

y  ax b có chu kỳ T₀

 a

   

tan

y  f x xác định

   

f x 2 k k

   



y cotx: Tập xác định^{D \}



^{k k Z, }



; tập giá trị T , hàm lẻ, chu kỳ T₀  .

 

cot

y  ax b có chu kỳ T₀

 a

   

cot

y  f x xác định ^{ f x}

 

^{ k}



^k



^.



Phương pháp chứng minh.

Tập xác định hàm số , x T D

D x D

x T D

  

      .

 

¹ Chứng minh: ^{f x T}



^

  

^{ f x , x D.}

 

^{2 Giảsửcó số T sao cho 0 T T thỏa   }_^{x Tf x T}



^{ D}

  

^{ f x , x D vô lý.}

Vậy hàm số ^{f x}

 

là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Bài 01.

Chứng minh rằng ysin2x tuần hoàn có chu kỳ . Lời giải

Hàm số ^{y f x}

 

^sin2x có tập xác định . Chọn số L 0

Ta có: x   x và ^{f x L}



^



^sin_²



^x



^_^sin



^2x2



^{sin2x f x}

 

^.

Vậy hàm số ^{f x}

 

là hàm số tuần hoàn.

Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là .

Thật vậy, giả sử hàm số ^{f x}

 

^sin2x có chu kỳ A mà 0 A , khi đó ta có:

 

2 2

sin x A sin x, x

Cho x 4 thì 2 2 1

4 2 2

sin  Asin sin  A

   

 

2 1

cos A :

  vô lý, vì 02A2

Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số ysin2x là . Bài 02.

Chứng minh rằng

tan 4

y x 

   

  tuần hoàn có chu kỳ . Lời giải Hàm số

 

tan 4

y f x  x 

  có tập xác định

\ 4 ,

D  k k 

 .

Chọn số L 0

Ta có: x   x và

   

4 4

tan tan

f x L x  x  f x

        

    .

Vậy hàm số ^{f x}

 

là hàm số tuần hoàn.

Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là . Thật vậy, giả sử hàm số

tan 4

y x 

  có chu kỳ A mà 0 A , khi đó ta có:

4 4

tanx  tanx , x D

   

Cho x0 thì 1

tanA 4

  vô lý vì 0 A . Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số

tan 4

y x 

  là .

Dạng 04.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất  ¹ sinx¹ và  ¹ cosx¹. Bài tập.

Tìm GTNN và GTLN của các hàm số:

1. y 2cosx 3 4; 2. ycos²x6sinx3;

3. ₂ 2

4 5

cos cos

y x x

  ; 4. ysin⁴x2cos²x5;

5. ysin²x2sinx5; 6. 1

2 sin 3

y x

 ;

7. ycos⁴x2sin²x1; 8. ₂ 1

2 5

sin cos

y x x

  ;

9. y 2cos2x; 10. ysin⁴xcos⁴x.

Lời giải 1. y 2cosx 3 4.

Điều kiện xác định: 3

2 3 0

cosx  cosx 2  x . Ta có:  1 cosx1

2 2cosx 2 1 2cosx 3 5 1 2cosx 3 5 3 2cosx 3 4 5 4

                  

Vậy GTLN của hàm số là 54 khi ^{cosx  1 x k2}



^k



^,

GTNN của hàm số là 3 khi ^{cosx    1 x k2}



^k



^.

2. ycos²x6sinx3.

Ta có: ^{ycos2x6sinx  3}



^{1 sin2x}



^{6sinx  3 sin2x6sinx4.}

Đặt tsin ,x t  1 1; . Khi đó: ^{y f t}

 

^{   t2 6t 4} xác định với t  1 1;  Bảng biến thiên ^{f t}

 

^:

Vậy GTLN của hàm số là 9 khi ^{1 2}

 

sin 2

t x     x k k ,

GTNN của hàm số là 3 khi ^{1 2}

 

sin 2

t x   x k k .

3. ₂ 2

4 5

cos cos

y x x

  .

Đặt tcos ,x t  1 1; . Khi đó: ^{cos2x4cosx    5 t2 4t 5 f t}

 

xác định với t  1 1;  Bảng biến thiên ^{f t}

 

^:

Suy ra: ² ₂ 2 1

2 4 5 10 1

5

4 5

cos cos

cos cos

x x

x x

      

 

Vậy GTLN của hàm số là 1 khi ^{f t}

 

^{    2 t 1 cosx    1 x k2}



^k



^,

GTNN của hàm số là 1

5 khi ^{f t}

 

^{10  t 1 cosx  1 x k2}



^k



^.

4. ysin⁴x2cos²x5.

Ta có: ^{ysin4x2cos2x 5 sin4x2 1}



^sin2x



^{ 5 sin4x2sin2x3.}

Đặt tsin²x t,   0 1; . Khi đó: ^{y f t}

 

^{  t2 2t 3} xác định với t  0 1; . Bảng biến thiên ^{f t}

 

^:

Vậy GTLN của hàm số là ⁶ khi ^{2 1 0}

 

sin x cosx   x 2 k k , GTNN của hàm số là 3 khi ^{sin2x 0 sinx  0 x k}



^k



^.

5. ysin²x2sinx5.

Đặt tsin ,x t  1 1; . Khi đó: ^{y f t}

 

^{  t2 2t 5} xác định với t  1 1; . Bảng biến thiên ^{f t}

 

^:

Vậy GTLN của hàm số là 8 khi ^{sinx   1 x k2}



^k



^,

GTNN của hàm số là 4 khi ^{1 2}

 

sinx     x 2 k k .

6. 1

2 sin 3 y

x

  .

Điều kiện xác định: sinx  3 0 sinx   3 x . Ta có:  1 sinx1

1 1 1 1 1 1

2 3 4 2 3 2

2 4

2 3 2 2 2 3

sin sin

sin sin

x x

x x

             

 

Vậy GTLN của hàm số là 1

2 2 khi ^{1 2}

 

sinx     x 2 k k , GTNN của hàm số là 1

4 khi ^{1 2}

 

sinx   x 2 k k . 7. ycos⁴x2sin²x1.

Ta có: ^{ycos4x2sin2x 1 cos4x2 1}



^cos2x



^{ 1 cos4x2cos2x1.}

Đặt tcos²x t,  0 1; . Khi đó: ^{y f t}

 

^{  t2 2t 1} xác định với t  0 1; . Bảng biến thiên ^{f t}

 

^:

Vậy GTLN của hàm số là 2 khi ^{cos2x 1 sinx  0 x k}



^k



^,

GTNN của hàm số là 1 khi ^{2 0 0}

 

cos x cosx   x 2 k k .

8. ₂ 1

2 5

sin cos

y x x

  .

Ta có: ^{ysin2x2cosx  5}



^{1 cos2x}



^{2cosx  5 cos2x2cosx6.}

Đặt tcos ,x t  1 1; . Khi đó: ^{y f t}

 

^{   t2 2t 6} xác định với t  1 1; . Bảng biến thiên ^{f t}

 

^:

Suy ra: ² 1 ₂ 1 1

3 2 6 7

3 2 6 7

cos cos

cos cos

x x

x x

       

  

Vậy GTLN của hàm số là 1

3 khi ^{cosx    1 x k2}



^k



^,

GTNN của hàm số là 1

7 khi ^{cosx  1 x k2}



^k



^.

9. y 2cos2x.

Ta có:  1 cos2x   1 1 2 cos2x  3 1 2cos2x 3

Vậy GTLN của hàm số là 3 khi ^{cos2x 1 2x k 2}



^k



^{ x k}



^k



^,

GTNN của hàm số là 1 khi ^{2 1 2 2}

   

cos x   x k k   x 2 k k . 10. ysin⁴xcos⁴x.



^{sin2 cos2}



^{2 2sin2 .cos2 1 1}₂^sin22

y x x x x y x

      

Ta có: ² 1 ² 1 1 ² 1

0 2 1 0 2 1 1 2

2 2 2 2

sin x sin x sin x

          

Vậy GTLN của hàm số là 1 khi ^{22 0 2 0 2}

 

sin x sin x  x k  x k2, k , GTNN của hàm số là 1

2 khi ^{22 1 2 0 2}

 

2 4 2

sin x cos x  x k   x k , k .

---HẾT---

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. PHƯƠNG TRÌNH SinX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CosX = a.

Phương trình SinX = m (1) Phương trình CosX = a (2) –Nếu m 1:Phương trình vô nghiệm.

–Nếu 1

2 ;2

m  

     

  thỏa mãn sin m.

 

^{1 2}

 

sin sin x k 2

x k

x k

  

       .

–Nếu m 1: phương trình vô nghiệm.

– Nếu m     1 0;  thỏa mãn cos m.

 

^{2 2}

 

cos cos x k 2

x k

x k

  

       .

 Chú ý: Nếu thỏa mãn _{2 2}

sin m

  



 



thì ta viết arcsin .m

 Chú ý: Nếu thỏa mãn ⁰

cos m

  

 

 thì ta viết arccos .m



Các trường hợp đặc biệt:

 ^{1 2}

 

sinx   x 2 k k .

 ^{1 2}

 

sinx     x 2 k k .

 ^{sinx  0 x k}



^k



^.

Các trường hợp đặc biệt:

 ^{cosx  1 x k2}



^k



^.

 ^{cosx    1 x k2}



^k



^.

 ⁰

 

cosx   x 2 k k .

Ví dụ 01.

Giải các phương trình sau:

a. 3

sinx 2 . b. 1

sinx3.

c.



⁶⁰



²

cos x   2 . d. sin2x 2.

e. 2

3 6

sinx sin x 

   . f. 2 2

sin4 xcos x

  .

Lời giải

a. 3

sinx 2

 

3 2 2

3 2

3 sin sin

x k

x k

x k

  

   

  



.

b. 1

sinx3

 

1 2 3

1 2 3 arcsin

arcsin

x k

k

x k

  

 

   



.

c.



⁶⁰



²

cos x   2



^{90 60}



²

sin x 2

     



³⁰



^{45 30 45 360 15 360}

 

30 135 360 105 360

sin sin x k x k

x k

x k x k

            

                  d. sin2x 2(1)

Vì 2 1 nên phương trình (1) vô nghiệm.

e. 2

3 6

sinx  sin x 

  

   

   

 

2 2 2 2

3 6 2 2

5 5 2

3 2

2 2

6 18 3

3 6

x x k x k x k

k

x k x k

x x k

           

  

   

           

  



f. 2 2

sin4 x cos x

 

 

 

2 2

4 2

sin x sin x

      

   

2 2 2 0 2

4 2 4

16 2

2 2 2 4 2

4 2 4

,

x x k x k

x k k

x x k x k

       

 

      

        

 

 

Ví dụ 02.

Giải các phương trình sau:

a. 3

cosx  2 . b. 1

cosx5.

c.



³⁰



³

cos x   2 . d. 3

cosx 2.

e. 2 ²

3 5

cos cos x

x   

 . f. ⁴ 0

2 3 3

cos x cos

   x 

   

    .

Lời giải

a. 3

cosx  2

5 cosx cos 6

  5

6 2 ,

x k k

     .

1

1 2 arccos5 ,

x k k

     .

c.



³⁰



³

cos x   2



³⁰



^{30 30 30 360 360}

 

30 30 360 60 360

cos cos x k x k

x k

x k x k

         

                   .

d. 3

cosx 2 (2) Vì 3

2 1nên phương trình (2) vô nghiệm.

e. 2 ²

3 5

cos cos x

x  

   

 

 

2 11 2 10 10

2 2 2

3 5 5 3 33 11

2 9 2 10 10

2 2 2

5 3 5 3 27 9

x x k x k x k

x k

x k x k x k

         

  

   

           

  

  

.

f. ⁴ 0

2 3 3

cos x cos

   x 

   

   

4 4

2 3 3 2 3 3

2 0

2 2

cos cos

x x

x x

     

  

3 5

4 2 4 6 0

cos x  cos x 

      

   

 

3 0 3 3 4 4

4 2 4 2 2 4 3 3

5 4 16

5 0 4

4 6 2 4 3 3

4 6 cos

cos

x x x

x k

k k

x x k

x k k x k

      

            

              

II. PHƯƠNG TRÌNH TANX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH COTX = a

Phương trình TanX = m (3) Phương trình CotX = a (4) –Với

, 2 2; : tan .

m   m

     

 

 

^{3 tanxtan   x k .}

–Với

, 2 2; : cot .

m   m

     

 

 

^{4 cotxcot   x k .}

 Chú ý: Nếu thỏa mãn 2 2

tan m

  



 



thì ta viết arctan .m

 Chú ý: Nếu thỏa mãn 2 2

cot m

  



 



thì ta viết arccot .m

Các trường hợp đặc biệt:

 ¹

 

tanx   x 4 k k .

 ¹

 

tanx     x 4 k k .

Các trường hợp đặc biệt:

 ¹

 

cotx   x 4 k k .

 ¹

 

cotx     x 4 k k .

 ^{tanx  0 x k}



^k



^. _ ⁰

 

cotx   x 2 k k . Chú ý:

 ²

2 sin sin ,

,

u v k k

u v

u v k k

   

        ²

2 cos cos ,

,

u v k k

u v

u v k k

   

      



 

 

2 hay 2

tan tan u l v l l

u v

u v k k

  

    

  

   

   





  

 

cot cot u l hay v l l

u v

u v k k

   

  

  



CẦN NHỚ: Phương trình tanx a , cotxa luôn có nghiệm với  a .

Ví dụ 03.

Giải các phương trình sau:

a. tanx1. b. 1

2 3

tan x  . c. cotx0.

d. cot3x 2. e. ³ 2 0

tan 4 xtan x

  . f. ²

tan 3 xcotx

  .

g. 3 2

cot x 3cot x

  .

Lời giải a. tanx1.

Ta có: 1

4 4

tanx tanxtan   x k ,k .

b. 1

2 3

tan x 

Ta có: 2 ¹ 2 ^{1 1 1}

3 3 2 3 2

tan x x arctan  k x arctan  k ,k

          

   

c. cotx0.

Ta có: 0

2 2

cotx cotxcot   x k ,k d. cot3x 2.

Ta có ^{3 2 3}

 

^{2 1}

 

²

3 3

cot x   xarccot  k  x arccot  k ,k

e. ³ 2 0

tan 4 x tan x

  

 

  .

Ta có:

3 2 0 2 3 2 2 4 2

3 3

4 4

2 4 4

tan tan tan tan , ,

x k x k

x x x x k n

x x n x n

 

   

 

          

   

           

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét: Việc giải dạng này theo chú ý ở trên cho kết quả nhanh, tuy nhiên nhiều bài học sinh sẽ khó khăn trong việc nhìn nhận quan hệ bao hàm giữa các họ nghiệm. Nên sử dụng đường tròn lượng giác để minh họa hoặc giải theo cách “dài” hơn như sau:

Điều kiện:

3 0

4 2 0 cos cos

x x

   

  

  

 



. Khi đó

3 3 3 3

2 0 2 2

4 4 4 4

tan xtan x tan xtanx  x x k   x k ,k

   

Thay vào điều kiện ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

f. ²

tan 3 x cotx

 

 

  .

2 2 2 2

2

3 3 2

12 2

3 2

tan cot tan tan , ,

x n

x n

x x x x k k n

x x k x

      

           

        

           

Vậy nghiệm của phương trình là

12 k2 ,

x   k .

g. 3 2

cot x3cot x

  .

Ta có:

 

2 2

3 2

3 3 2

3 3

cot cot , ,

x n x n

x x k n

x x k

x k

   

     

    

     

Vậy nghiệm của phương trình là

3 ,

x k k .

 Tóm tắt như sau:

DẠNG CƠ BẢN:

 ²

2 sin sin ,

,

u v k k

u v

u v k k

   

        ²

2 cos cos ,

,

u v k k

u v

u v k k

   

     �