• Không có kết quả nào được tìm thấy

Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Chứa Tham Số – Lê Bá Bảo

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Chứa Tham Số – Lê Bá Bảo"

Copied!
50
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

CHUYấN ĐỀ:

BÀI TOÁN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH

I- Lí THUYẾT: Một số dạng toỏn và phương phỏp tương ứng:

Cho h¯m sốyf x( ) liên tục trên tập D.Giả sử trờn D tồn tại

   

x D x D

minf x ; maxf x

, nếu khụng

ta cần lập bảng biến thiờn và đưa ra kết luận.

Dạng 1: Phương trình f x

 

m có nghiệm xD

Phương phỏp:

   

x D x D

ycbt minf x m maxf x

  

Dạng 2: Bât phương trình f x

 

m có nghiệm xD

Phương phỏp:

 

ycbt minx D f x m

Dạng 3: Bât phương trình f x

 

m nghiệm đúng  x D

Phương phỏp:

 

ycbt m maxx D f x

 

Dạng 4: Bât phương trình f x

 

m có nghiệm xD

Phương phỏp:

 

ycbt m maxx D f x

 

Dạng 5: Bât phương trình f x

 

m nghiệm đúng  x D

Phương phỏp:

 

ycbt minx D f x m

Dạng 6: Cho h¯m số yf x

 

đơn điệu trên tập D Khi đó: f u

 

f v

 

u v

* THUẬT TOÁN: Để giải cỏc bài toỏn tỡm giỏ trị tham số m để phương trỡnh (PT), bất phương trỡnh (BPT) cú nghiệm ta cú thể thực hiện theo cỏc bước sau:

Thuật to²n 1: Đối với bài toỏn khụng cần đặt ẩn phụ

Bước 1: Biến đổi đưa PT về dạng f x

 

g m

  

hoặcf x

 

g m

 

; hoặcf x

 

g m

  

Bước 2: Lập bảng biến thiờn của hàm số yf x

 

, có tập x²c định Df.

Suy ra:

   

x D x D

minf x , maxf x .

(nếu cú)

Bước 3: Sử dụng cỏc nhận xột và phương phỏp đó nờu ở phần trờn, đưa ra kết luận.

Thuật to²n 2: Đối với bài toỏn đặt ẩn phụ

Bước 1: Đặt ẩn phụ t

 

x . Từ điều kiện ràng buộc của x suy ra miền giỏ trị t

 

x .
(2)

Giả sử:  x Df  t X.

Bước 1: Lỳc này, biến đổi đưa PT về dạng f t

 

h m

 

,

       

hoặc f t h m ; hoặc f t h m

.

Lỳc này biện luận điều kiện cú nghiệm của PT f t

 

h m

 

với t X .

Cỏc bước cũn lại tương tự thuật toỏn 1.

* Với hệ phương trỡnh cú chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào điều kiện cú nghiệm của cỏc dạng hệ đặc thự, hoặc đưa về phương trỡnh chứa 1 ẩn (cú thể là ẩn phụ) vầ xột điều kiện cú nghiệm trờn miền giỏ trị của ẩn (hoặc ẩn phụ) đú.

II- CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ:

Bài tập 1: Tìm c²c gi² trị của m để phương trình: x  9   x x2 9xm có nghiệm.

Bài giải: Điều kiện: 0 x 9

Pt    x 9 x 2 x(9x)  x2 9xm  9 2 x(9x)   x2 9xm (*)

 

Đặt tx(9x) 0  x 9

* Tỡm điều kiện của t:

Cỏch 1: Theo BDT Cauchy: 9 9 9

(9 ) 0

2 2 2

x x

t x x   t

      

Cỏch 2: Ta cú /

2

2 9 0 9

2 9 2

t x x

x x

 

   

  BBT:

Do đó: 0 9

t 2

 

* Lúc đó phương trình (*) trở th¯nh: 92tt2m   t2 2t 9 m (**)

 

Xét h¯m số ( ) 2 2 9 0 9 . Ta có: /( ) 2 2 0 1

f t   t t  t 2 f t      t t Lập bảng biến thiờn:

(3)

Kết luận: Phương trình đ± cho có nghiệm khi chỉ khi PT (**) có nghiệm ycbt

0;9 0;9

2

9 10.

4

x t

m

 

 

     

   

Bài tập 1: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm 4x2  1 xm. Bài giải: Điều kiện: x 0.

Xột hàm số f x

 

4x2 1 x trờn  0;

.

Ta cú:

 

   

3

/ 4 2

2 3 4

1 0 1

2 1 2

f x x x x x

x x

     

 

3

6 2 1 2 2 1

x x x x

      (vụ nghiệm)

Suy ra, f x/

 

khụng đổi dấu trờn

0;

, mà

     

/ /

4

1 1

1 0 0, 0;

2 8 2

f     f x   x  . Do đú f x

 

nghịch biến trờn  0;

.

Ta cú BBT: xlimf x

 

0.

Dựa vào BBT ta cú yờu cầu bài toỏn 0 m1.

Bài tập 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm x2   x 1 x2  x 1 m. Bài giải:

Xột hàm số f x

 

x2  x 1 x2 x 1 trờn .

Ta cú:

     

/ 2 2

2 2

2 1 2 1

0 2 1 1 2 1 1

2 1 2 1

x x

f x x x x x x x

x x x x

 

          

   

  

 

2

 

2

  

2 2

2 1 2 1 0

2 1 2 1 0

1 3 1 3 0

2 1 2 1

2 4 2 4

x x

x x

x x x x x

   

 

    

     

     

               

vụ nghiệm.

(4)

Suy ra, f x/

 

không đổi dấu trên

0;

, mà f/

 

0   1 0 f x/

 

0,  x . Do đó

 

f x đồng biến trên .

Ta có BBT: xlimf x

 

1; limxf x

 

 1.

Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán 0 m1.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x x 12 m

5 x 4x

.

Bài giải: Điều kiện: x   0; 4.

Phương trình 12

12



5 4

5 4

x x x

m m x x x x x

x x

 

        

  

Xét hàm số f x

 

x x x 12



5 x 4x

, x   0; 4 Ta có:

     

/ 3 1 1 1

5 4 12 , 0; 4

2 2 12 2 4 2 5

f x x x x x x x x

x x x

   

     

                 

Dễ thấy 5 x 4x,  x

 

0; 4 f x/

 

0,  x

 

0; 4 . Do đó f x

 

đồng biến trên

0; 4

 

 . Suy ra phương trình f x

 

m có nghiệm trên 0; 4

 

 

 

0

 

4 2 3

5 2

12.

f m f m

      

Nhận xét: Ta có thể giải như sau:

Phương trình 12

5 4

x x x

m x x

 

 

   . Ta có hàm số g x

 

x x x 12 đồng biến và nhận giá trị dương trên 0; 4, hàm số h x

 

5 x 4x nghịch biến và nhận giá trị dương trên 0; 4. Suy ra

 

12

5 4

x x x

f x x x

 

    đồng biến trên 0; 4. Suy ra phương trình

 

f xm có nghiệm trên 0; 4 f

 

0 m f

 

4 2 3

52

m 12.
(5)

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x2  2 x m. Bài giải: Vì x2  2 0,  x  nên phương trình

2 2 1

2

2 1

m x x m x

x

     

  do x2  2 1 0,  x .

Xét hàm số

 

2 ,

2 1

f x x x

x

 

  . Ta có:

 

 

2 /

2 2 2

2 2 2

0 2

2 2 1

x x

f x x x x

   

   

  

   

.

BBT: xlimf x

 

1; limxf x

 

 1.

Yêu cầu bài toán  2 m 2.

Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x33x  4 m

x x 1 1

.

Bài giải: Điều kiện: x 1. Phương trình

3 3 4

1 1

x x

m x x

 

 

   do xx   1 1 0,  x 1.

Xét hàm số

 

3 3 4 , 1;

1 1

x x

f x x

x x

  

      .

Ta có:

       

 

2 3

/

2

1 1

1 1 3 3 3 4

2 2 1

1 1

x x x x x

x x

f x

x x

 

 

          

  

.

Với x 1 thì xx  1 1 0, 3x2 3 0, x33x  4 0 (xét biến thiên) và

1 1

2 x 2 x 1 0

 . Suy ra f x/

 

0,  x 1. Do đó f x

 

đồng biến trên  1;

.

BBT: limf x

 

 .
(6)

Yêu cầu bài toánm 1.

Bài tập 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x x  5 m. Bài giải: Điều kiện: x   5; 4.

Xét hàm số f x

 

4 x x 5, x   5; 4.

Ta có: /

 

1 1 4 5 0

2 4 2 5 2 4 . 5

x x

f x x x x x

   

   

    .

5; 4

1

4 5

4 5 2

x x x x

x x

  

           . BBT:

3 2 3

-5

-1 x 2

f'(x) f(x)

0

4 + _

3

Yêu cầu bài toánm 3 2.

Bài tập 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mxx 3 m1. Bài giải: Điều kiện: x 3.

Bất phương trình 3 1

1 m x

x

   

 do x  1 0,  x 3. Xét hàm số f x

 

xx 31 1, x 3;

.

Ta có:

 

   

/ 2 2

5 0

5 3

0 3 5 4

3 5

2 1 3

x x x

f x x x x

x x

x x

  

   

              . BBT: xlimf x

 

0.
(7)

Yêu cầu bài toán 2 3.

m

Đề 13: (Dự bị- 2004) Chứng minh rằng với mọi m0 thì phương trình sau luôn có nghiệm:

2 2 5 2 3

4 2 0

x m 3 x   mBài giải: TXĐ: D.

Đặt x2   4 t 2.

Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 5 3

4 2 0

t  m 3t m  (1) Xét hàm số f t

 

t2 4 m253t 2 m3

 , ta có f t

 

liên tục trên  2;

 

tlim f t

  . Ta sẽ chứng minh f

 

2 0,  m 0. Thật vậy: f

 

2  m32m243.

Xét hàm số g m

 

 m3 2m243, m 0. Ta có: /

 

3 2 4 0 04 3 m

g m m m

m

 

     

 

. BBT:

Dựa vào BBT, ta suy ra f

 

2 g m

 

0,  m 0. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  3 6 x

x3 6



x

m.

Bài giải: Điều kiện: x   3;6.

(8)

Đặt t x  3 6 x t2  9 2

x 3 6



x

.

Ta có: / 1 1 6 3

2 3 2 6 2 6 3 0

x x

t x x x x

  

   

   

3;6

3

6 3

6 3 2

x x x x

x x

  

          .

Suy ra:

   

3;6 3;6

max 3 3 2, min 3 6 3

t t 2 t t t

  

         hay   x  3;6   t 3; 3 2. Lúc đó phương trình trở thành:

2

9 2

2 9 2

2

t tm t t m

      .

Xét hàm số f t

 

t22 ,t t  3; 3 2 . Ta có: f t/

 

2t    2 0 t 1

3; 3 2

.

BBT:

18-6 2 3

+

3 2

f(t) f'(t)

t 3

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán f

 

3  9 2m f

 

3 2 6 229 m 3.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   

2  x2 2x  3 m1 x  3 1xm 1 0. Bài giải: Điều kiện: x   3;1.

Đặt t x  3 1 x t2  4 2

x 3 1



x

.

Ta có: / 1 1 1 3

2 3 2 1 2 1 3 0

x x

t x x x x

  

   

   

3;1

1 3 1

1 3

x x x x

x x

  

           . Suy ra: max3;1 t t

 

1 2 2, min3;1t t

   

3 t 1 2

       hay   x  3;1   t 2;2 2.

(9)

Hoặc: Do t2  4 2

x 3 1



x

  4 t 2

t x  3 1 x 2

x 3

 

 1 x

2 2   t 2;2 2. Lúc đó phương trình trở thành: t2

m1

tm  3 0 m t2 t t1 3

do t 1 0,   t 2;2 2.

Xét hàm số f t

 

t2 tt1 3, t  2;2 2 . Ta có:

 

   

2 /

2

2 2

0, 2;2 2 1

t t

f t t

t

 

   

 .

BBT:

t 2 f'(t) f(t)

2 2 +

3

12 2+13 7

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 12 2 13

3 .

m 7

  

Bài tập 3: (CĐ 2011) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

    

6 x 2 4x 2x2 m4 4 x 2x 2 . Bài giải: Điều kiện: x   1; 4.

Đặt t 4 x 2x 2 t2   2 x 2 4

x



2x 2 .

Ta có: / 1 1 2 4 2 2

0 2 4 2 2

2 4 2 2 4 . 2 2

x x

t x x

x x x x

   

       

   

   

1; 4 3

4 4 2 2

x x

x x

 

      .

Suy ra:

   

1;4 1;4

maxt t 3 3, mint t 1 3

    hay  x 1; 4   t  3; 3. Lúc đó phương trình trở thành: t24t 4 m.

Xét hàm số f t

 

t24t 4, t  3; 3 . Ta có: f t/

 

2t    4 0 t 2

2;2 2

.

BBT:

(10)

7-4 3

0

1 _ +

3 0

f(t) f'(t)

t 3 2

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 m1.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

 

2 7 2 1 4 2 1 2 1 2

x  m x   x xx  m x   x . Bài giải: Điều kiện: x .

Phương trìnhx2

x2 x 1



x2 x 1

m

x2  x 1 x2  x 1 2

 7 0

Đặt 2 2 /

2 2

2 1 2 1

1 1

2 1 2 1

x x

t x x x x t

x x x x

 

        

    .

Ta có: t/  0

2x 1

x2  x 1

2x1

x2 x 1

  

 

2

2

  

2

2

2 1 2 1 0

2 1 1 2 1 1

x x

x x x x x x

   

        

  

  

2 2 2 2

2 1 2 1 0

2 1 2 1 0

1 1 3 1 1 3 0

2 2 4 2 2 4

x x

x x

x x x x x

   

 

    

     

        

                 

vô nghiệm.

Suy ra t x/

 

không đổi dấu trên , mà t/

 

0  1 0 suy ra t x/

 

0,  x vậy t x

 

đồng

biến trên .

Ta có xlimt x

 

1; limxt x

 

 1. Vậy t  

1;1

.

Lúc đó: t2 2x2  2 2

x2  x 1



x2 x 1

nên phương trình trở thành:

 

2 2 2 12

2 7 0 2

2 2

t t

m t m

t

 

      

 do t 2 0,   t

1;1

.

Xét hàm số f t

 

t2t122 , t  

1;1 .

Ta có:

 

 

2 /

2

4 12 2

0 6

2 t t t

f t t t

   

       .

(11)

BBT:

13 3 _

t -1 f'(t) f(t)

1

13

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 13 13 13

2 13 .

3 m 2 m 6

        

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  2 24x22xm x  0. Bài giải: Điều kiện: x 2.

Phương trình 2 4 2

2 0

x x

x x m

 

    (do x 2)

Đặt 4 x 2

t x

  , khi đó 4 2 4 2

0 x 1 1, 1

t x

x x

        (hoặc khảo sát u x

 

xx 2)

Phương trình trở thành: t22tm   0 m t22 ,t t  0;1

.

Xét hàm số f t

 

t22 ,t t 0;1

f t/

 

2t    2 0 t 1 0;1

.

BBT:

0

1

f(t) f'(t)

t 0

_

-1 Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán      1 m 0 0 m1. Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 24 2 4

2 24 2 4

m x  x   x   x  . Bài giải: Điều kiện: x 2.

+ Ta thấy x 2 không phải là nghiệm của phương trình.

+ Xét x 2, phương trình 4 2 4 2

2 2

2 2

x x

m x x

   

 

       (do x 2)

(12)

Đặt 4 2 2 t x

x

 

 , khi đó 2 4

1 1, 2 1

2 2

x x t

x x

       

  (hoặc khảo sát u x

 

xx 22)

Phương trình trở thành: m1t    2 t 2 m t22t21t, t

1;

  .

Xét hàm số

     

   

2 2

/

2

2 2 2 2

, 1; 0, 1;

2 1 2 1

t t t t

f t t f t t

t t

  

        

  .

BBT: tlimf t

 

 .

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán      1 m 0 0 m1.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x26x  7 m x

1

x22.

Bài giải: Điều kiện: x .

Để ý rằng 5x26x  7 3

x 1

2 2

x22

.

Phương trình2

x22

2 3

x 1

2 m x

1

x22 (*)

Do x  1 không là nghiệm của phương trình (*), nên (*) tương đương:

2

2

2 1

2 3.

1 2

x x

x x m

 

  

 

Đặt 2

1 2 t x

x

 

 , khi đó

 

/

2 3

2 0 2

2

t x x

x

    

.

BBT: xlimt x

 

1; limxt x

 

 1.
(13)

Vậy 6 1; 2 x    t  

 .

Phương trình trở thành: 2 6

3 , 1;

t m t 2 t

 

 

     .

Xét hàm số

 

/

 

22

6

2 3 , 1; 6 3 2 0 3

2 6

3 t t

f t t t f t

t t

t



    

 

 

           



.

BBT:

   

0 0

lim ; lim

t f t t f t

   .

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm   

; 2 6    2 6;

.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1

1 4

1

1

x x m x 1 x x

x

 

 

        . Bài giải: Điều kiện: x 1.

Phương trình

    

 

1 4

1 1 1

1 1

1

x x x x m x x x

x

x x

 

 

         

 

 

 

1 4

1 1

m x 1 x x x x

  x     

   

4

1 4 1

1 1 1 1

1 1

x x

x x x m x m

x x x

           

  .

Đặt 4 x 1

t x

  , khi đó t

 

0;1 .
(14)

Phương trình trở thành: 12 t 1 m m 12 t 1, t

 

0;1

t      t    . Xét hàm số f t

 

12 t 1, t

 

0;1 f t/

 

22 1 0, t

 

0;1

t t

           .

BBT:

 

0

lim

t f t

 .

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 1.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

2 2

2 2

2 1 18 1

1 2 1

x x x

x x x m

   

 

    .

Bài giải: Điều kiện: x . Phương trình

2

2

2

2 18

1 2

1 1

1

x m

x x

x

  

 

       

(*)

Đặt 2

2 1 t x

x

 

 , khi đó

 

/

2 3

1 2 1

0 2

1

t x x

x

    

.

BBT: xlimt x

 

1; limxt x

 

 1.

Vậy x   t

1; 5.

Phương trình trở thành:

t1

2t181 m t,  

1; 5.
(15)

Xột hàm số

        

 

2 /

2

18 18

1 , 1; 5 2 1 0 2

1 1

f t t t f t t t

t t

              .

BBT:

 

1

lim .

t f t

  

Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏnm7.

Bài tập 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:tan2x cot2x m

tanx cotx

 3 0.

Bài giải: Điều kiện:

x k 2

 .

Đặt 1 1

tan cot tan tan 2

tan tan

t x x t x x

x x

       

suy ra: t2  2 tan2x cot2x. Phương trỡnh trở thành:

2

2 1

1 0 t , 2

t mt m t

t

        .

Xột hàm số

 

2 /

 

2 2

1 1

, 2 0, 2

t t

f t t f t t

t t

 

       .

BBT: tlimf t

 

 ; limtf t

 

 .

Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏn 5 m 2

   hoặc 5

m  2.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình 3 tanx 1 sin

x 2 cosx

m

sinx 3 cosx

(1) có
(16)

nghiệm duy nhất 0; . x   2

Bài giải: Xét 0; , khi đó sin 0, cos 0, tan 0 v¯ sin 3 cos 0.

x  2 xxxxx

   

 

PT (1) (2)

Đặt Lúc đó, PT (2) trở th¯nh: (3)

Xét h¯m số Ta có: /

(sin 2 cos ) tan 2

3 tan 1 3 tan 1

(sin 3 cos ) tan 3

tan 0 0; . 3 1 2

2 3

2 3 2 3

( ) 3 1 0 . ( ) .

3 2 1 3

x x x

x m x m

x x x

t x t x t t m

t

t t t

f t t t f t

t t t

 

     

 

      

  

    

   2

1 0, 0

( 3) t

t   

 Lập bảng biến thiờn: tlimf t

 

 .

   

Ta có, ứng với mỗi tho° m±n PT (3), ta được đúng một nghiệm Do đó, PT (1) có nghiệm duy nhất khi v¯ chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất Dựa v¯o BBT, suy ra ycbt l¯

0 0; .

2

0; 0.

2 2.

t x

x t

m

 

 

Bài tập 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm phõn biệt:

6 2 5 3 4 3 3 2 2 1 0

xxxmxxx  (1) Bài giải:

+ Rừ ràng x 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh (1).

+ Với x 0, phương trỡnh (1) 3 13 2 12 1

2 3 0

x x x m

x x x

     

     

          (2)

Đặt 1 1 1

2 2.

t x t x x t

x x x

         

Phương trỡnh (2) trở thành: t t

23

 

2 t2 2

3tm  0 t3 2t2  6t 4 m 0 (3)
(17)

Từ phép đặt 1 t x

 x , ta có với mỗi t  2 cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn t 2 cho ta 2 giá trị x . Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt (3) chỉ có các nghiệm t1  2 và

2 2

t   , hoặc (3) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn t 2. Ta xét hai trường hợp:

TH 1: (3) có đúng hai nghiệm t1 2 và t2  2 8 0 0 m m

  

   không tồn tại m. TH 2: (3) có đúng một nghiệm t và thoả mãn t 2.

Ta có (3)mt32t2 6t 4.

Xét hàm số

 

3 2 /

 

2

2 22

2 6 4, 2 3 4 6 0 3

2 22 3

f t t t t t f t t t t

t

  

 

          

  

 

.

BBT: tlimf t

 

 ; limtf t

 

 .

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán

 

2 22 16 44 22

3 27

2 0

m f m

m f m

    

     

    

      

.

Bài tập 3: (ĐH A - 2002) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1; 3 3

 

 :

2 2

3 3

log x  log x  1 2m 1 0. Bài giải: Điều kiện: x 0.

Đặt t  log23x    1 x 1; 3 3 0 log3x  3  0 log23x 3

2

1 log3x 1 4 t 1;2

        .

Phương trình trở thành: t2   t 2 2m 2mt2 t 2, t   1;2. Xét hàm số f t

 

t2  t 2, t 1;2 f t/

 

2t 1 0,  t 1;2.
(18)

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 2m  4 0 m2. Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1:

   

1 1 2 2

4x 4xm1 2x 2 x 2m. Bài giải: Điều kiện: x .

Phương trình đã cho 4 4

x 4x

4

m1 2

 

x 2x

2m

Đặt

       

   

/ 0;1

0;1

min 0 0

2 2 , 0;1 2 2 ln 2 0, 0;1 3

max 1

2

x x x x

t x t

t x t x x

t x t

  



   

            

0;1 : 0;3

x t  2

   

       

 

Phương trình trở thành: 2

t22

2

m1

tm m2 t22 tt 12, t   0;32

 . Xét hàm số f t

 

t22 tt 12, t   0;23

 .

   

2 /

2

1 11

2 2 5 0 2

1 11 3

2 1 0;

2 2

t t t f t

t t

  

 

  

           

BBT:

(19)

Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏn 2 11

2 2 11 4

2 2

m m

          .

Bài tập 3: Cho phương trình: 22 1 2

2

(1)

2

log x log x  3 m log x3

Tìm c²c gi² trị của m để có phương trình nghiệm x 32; .

Bài giải: Từ điều kiện b¯i ra, ta thấy log2x 5, suy ra log

2x 3

2 nên m0.

 

 

   

     

 

PT (1)

(2)

Đặt PT (2) trở th¯nh: (3)

Xét h¯m số Ta có:

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

/

2

log 2 log 3 log 3

log 2 log 3 log 3

log 5 . 2 3 3 1

1 4 3

5 . 0 5

3 3

x x m x

x x m x

t x t t t m t m t

t t

f t t f t t

t t

    

    

        

  

     

 

Lập bảng biến thiờn:

Lúc đó, phương trình (1) có nghiệm khi chỉ khi PT (3) có nghiệm

ycbt 2 Kết hợp suy ra:

32; 5;

1 3. 0, 1 3.

x t

m m m

  

   

     

Bài tập 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:

4m3

x  3

3m4

1 x m 1 0 (1)

Bài giải: Điều kiện: x   3;1.

(1)m

4 x  3 3 1 x 1

3 x  3 4 1  x 1 m 34 xx   33 4 13 1  xx 11

Vỡ

x 3

 

2 1x

2 4 nờn ta cú thể đặt 3 2 sin

1 2 cos

x x

  

  

 , 0; .

2

 

    Khi đú ta cú phương trỡnh: 6 sin 8 cos 1

8 sin 6 cos 1

m

 

   (2). Đặt tan

t 2

 , khi đú t   0;1 và

2

2 2

2 1

sin ; cos

1 1

t t

t t

 

  , (2) trở thành:

2 2

7 12 9

5 16 7

t t

m t t

 

   , t   0;1.

(20)

Xét hàm số

   

 

2 2

/

2 2

2

7 12 9 52 8 60

, 0;1 0, 0;1

5 16 7 5 16 7

t t t t

f t t f t t

t t t t

       

               . Do đó, f t

 

nghịch biến trên 0;1.

BBT:

9 7

1

f(t) f'(t)

t 0

_

7 9 Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 7 9

9 m 7

   .

Nhận xét: Hoàn toàn ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số

 

3 3 4 1 1

4 3 3 1 1

x x

g x x x

   

     trên

3;1

 

  để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

    

3 2

3 2

23 2x 2 1 3 5 x 3 5 x 0

mm     (1)

Bài giải: Điều kiện: x .

(1)

 

3 2 3 2

3 5 3 5

2 2 1 0

2 2

x x

m m

     

   

 

        .

Đặt

3 2

3 5

2 1,

x

t     t  x .

Khi đó phương trình trở thành: 2m

2m1

1t    t 0 2m tt221, t 1.

Với

3 2

3 3 5

2

3 5

1 : log

2

x

t t x t

  

 

      . Do đó với t 1 ta có duy nhất x 0, với 1

t  thì ta có 2 giá trị x.

(21)

Xét hàm số

   

 

2 2

/

2

1 4 1

, 1 0, 1

2 2

t t t

f t t f t t

t t

  

      

  .

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2m 0 m0.

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn 1 x  2:

   

2 2 2

2 2 2

9 x x 2 m1 6 x xm1 4 x x 0. Bài giải: Điều kiện: x .

Chia 2 vế của bất phương trình cho 42x2x, ta được:

 

2 2

2 2

9 3

2 1 1 0

4 2

x x x x

m m

   

        

   

   

 

   

Đặt

2 2

3 2

x x

t

 

      . Ta có: 1 2

2 0 1

x  2 x    x t .

Bất phương trình trở thành: t22

m1

tm   1 0 m t2 2t2t11, t 1;

.

Xét hàm số

    

  

2 2

/

2

2 1 2 2 4

, 1; 0 2 1;

2 1 2 1

t t t t

f t t f t t

t t

     

             .

BBT: tlimf t

 

 .

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm3.

Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x 2 m

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Các bài toán từ 15 đến 26 thuộc lớp phương trình chứa căn thức bậc ba cơ bản, các bạn độc giả có thể giải theo phương pháp biến đổi tương đương – nâng lũy thừa với chú

Bước 4(Kết luận): Trong các giá trị cña ẩn tìm được ở bước 3, các giái trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế

Heä phöông trình goïi laø oån ñònh neáu moïi thay ñoåi nhoû cuûa A hay b thì nghieäm cuûa heä chæ thay ñoåi nhoû. Heä pt oån

PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có). Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bước 4: Thay x; y vào điều kiện đề bài và

Hỏi mỗi ngày phải sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm loại I và bao nhiêu tấn sản phẩm loại II để số tiền lãi nhiều nhất.. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để

Trong quá trình giải hệ phương trình chứa tham số, để thỏa mãn điều kiện nào đó về nghiệm số của hệ phương trình, chúng ta cần nhớ một số kiến thức

Nói chung, bài toán giải và biện luận hệ phương trình ngoài các vấn đề căn bản như vô nghiệm, có nghiệm, có vô số nghiệm, có nghiệm duy nhất, nó thường kèm theo rất