CHUYấN ĐỀ:
BÀI TOÁN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH
I- Lí THUYẾT: Một số dạng toỏn và phương phỏp tương ứng:
Cho h¯m sốy f x( ) liên tục trên tập D.Giả sử trờn D tồn tại
x D x D
minf x ; maxf x
, nếu khụng
ta cần lập bảng biến thiờn và đưa ra kết luận.
Dạng 1: Phương trình f x
m có nghiệm x DPhương phỏp:
x D x D
ycbt minf x m maxf x
Dạng 2: Bât phương trình f x
m có nghiệm x DPhương phỏp:
ycbt minx D f x m
Dạng 3: Bât phương trình f x
m nghiệm đúng x DPhương phỏp:
ycbt m maxx D f x
Dạng 4: Bât phương trình f x
m có nghiệm x DPhương phỏp:
ycbt m maxx D f x
Dạng 5: Bât phương trình f x
m nghiệm đúng x DPhương phỏp:
ycbt minx D f x m
Dạng 6: Cho h¯m số y f x
đơn điệu trên tập D Khi đó: f u
f v
u v* THUẬT TOÁN: Để giải cỏc bài toỏn tỡm giỏ trị tham số m để phương trỡnh (PT), bất phương trỡnh (BPT) cú nghiệm ta cú thể thực hiện theo cỏc bước sau:
Thuật to²n 1: Đối với bài toỏn khụng cần đặt ẩn phụ
Bước 1: Biến đổi đưa PT về dạng f x
g m
hoặcf x
g m
; hoặcf x
g m
Bước 2: Lập bảng biến thiờn của hàm số y f x
, có tập x²c định Df.Suy ra:
x D x D
minf x , maxf x .
(nếu cú)
Bước 3: Sử dụng cỏc nhận xột và phương phỏp đó nờu ở phần trờn, đưa ra kết luận.
Thuật to²n 2: Đối với bài toỏn đặt ẩn phụ
Bước 1: Đặt ẩn phụ t
x . Từ điều kiện ràng buộc của x suy ra miền giỏ trị t
x .Giả sử: x Df t X.
Bước 1: Lỳc này, biến đổi đưa PT về dạng f t
h m
,
hoặc f t h m ; hoặc f t h m
.Lỳc này biện luận điều kiện cú nghiệm của PT f t
h m
với t X .Cỏc bước cũn lại tương tự thuật toỏn 1.
* Với hệ phương trỡnh cú chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào điều kiện cú nghiệm của cỏc dạng hệ đặc thự, hoặc đưa về phương trỡnh chứa 1 ẩn (cú thể là ẩn phụ) vầ xột điều kiện cú nghiệm trờn miền giỏ trị của ẩn (hoặc ẩn phụ) đú.
II- CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ:
Bài tập 1: Tìm c²c gi² trị của m để phương trình: x 9 x x2 9x m có nghiệm.
Bài giải: Điều kiện: 0 x 9
Pt x 9 x 2 x(9x) x2 9x m 9 2 x(9x) x2 9x m (*)
Đặt t x(9x) 0 x 9
* Tỡm điều kiện của t:
Cỏch 1: Theo BDT Cauchy: 9 9 9
(9 ) 0
2 2 2
x x
t x x t
Cỏch 2: Ta cú /
2
2 9 0 9
2 9 2
t x x
x x
BBT:
Do đó: 0 9
t 2
* Lúc đó phương trình (*) trở th¯nh: 92t t2m t2 2t 9 m (**)
Xét h¯m số ( ) 2 2 9 0 9 . Ta có: /( ) 2 2 0 1
f t t t t 2 f t t t Lập bảng biến thiờn:
Kết luận: Phương trình đ± cho có nghiệm khi chỉ khi PT (**) có nghiệm ycbt
0;9 0;9
2
9 10.
4
x t
m
Bài tập 1: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm 4x2 1 x m. Bài giải: Điều kiện: x 0.
Xột hàm số f x
4x2 1 x trờn 0;
.Ta cú:
3/ 4 2
2 3 4
1 0 1
2 1 2
f x x x x x
x x
36 2 1 2 2 1
x x x x
(vụ nghiệm)
Suy ra, f x/
khụng đổi dấu trờn
0;
, mà
/ /
4
1 1
1 0 0, 0;
2 8 2
f f x x . Do đú f x
nghịch biến trờn 0;
.Ta cú BBT: xlimf x
0.Dựa vào BBT ta cú yờu cầu bài toỏn 0 m1.
Bài tập 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm x2 x 1 x2 x 1 m. Bài giải:
Xột hàm số f x
x2 x 1 x2 x 1 trờn .Ta cú:
/ 2 2
2 2
2 1 2 1
0 2 1 1 2 1 1
2 1 2 1
x x
f x x x x x x x
x x x x
2
2
2 2
2 1 2 1 0
2 1 2 1 0
1 3 1 3 0
2 1 2 1
2 4 2 4
x x
x x
x x x x x
vụ nghiệm.
Suy ra, f x/
không đổi dấu trên
0;
, mà f/
0 1 0 f x/
0, x . Do đó
f x đồng biến trên .
Ta có BBT: xlimf x
1; limxf x
1.Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán 0 m1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x x 12 m
5 x 4x
.Bài giải: Điều kiện: x 0; 4.
Phương trình 12
12
5 4
5 4
x x x
m m x x x x x
x x
Xét hàm số f x
x x x 12
5 x 4x
, x 0; 4 Ta có:
/ 3 1 1 1
5 4 12 , 0; 4
2 2 12 2 4 2 5
f x x x x x x x x
x x x
Dễ thấy 5 x 4x, x
0; 4 f x/
0, x
0; 4 . Do đó f x
đồng biến trên0; 4
. Suy ra phương trình f x
m có nghiệm trên 0; 4
0
4 2 3
5 2
12.f m f m
Nhận xét: Ta có thể giải như sau:
Phương trình 12
5 4
x x x
m x x
. Ta có hàm số g x
x x x 12 đồng biến và nhận giá trị dương trên 0; 4, hàm số h x
5 x 4x nghịch biến và nhận giá trị dương trên 0; 4. Suy ra
125 4
x x x
f x x x
đồng biến trên 0; 4. Suy ra phương trình
f x m có nghiệm trên 0; 4 f
0 m f
4 2 3
52
m 12.Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x2 2 x m. Bài giải: Vì x2 2 0, x nên phương trình
2 2 1
22 1
m x x m x
x
do x2 2 1 0, x .
Xét hàm số
2 ,2 1
f x x x
x
. Ta có:
2 /
2 2 2
2 2 2
0 2
2 2 1
x x
f x x x x
.
BBT: xlimf x
1; limxf x
1.Yêu cầu bài toán 2 m 2.
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x33x 4 m
x x 1 1
.Bài giải: Điều kiện: x 1. Phương trình
3 3 4
1 1
x x
m x x
do x x 1 1 0, x 1.
Xét hàm số
3 3 4 , 1;
1 1
x x
f x x
x x
.
Ta có:
2 3
/
2
1 1
1 1 3 3 3 4
2 2 1
1 1
x x x x x
x x
f x
x x
.
Với x 1 thì x x 1 1 0, 3x2 3 0, x33x 4 0 (xét biến thiên) và
1 1
2 x 2 x 1 0
. Suy ra f x/
0, x 1. Do đó f x
đồng biến trên 1;
.BBT: limf x
.Yêu cầu bài toánm 1.
Bài tập 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x x 5 m. Bài giải: Điều kiện: x 5; 4.
Xét hàm số f x
4 x x 5, x 5; 4.Ta có: /
1 1 4 5 02 4 2 5 2 4 . 5
x x
f x x x x x
.
5; 4
14 5
4 5 2
x x x x
x x
. BBT:
3 2 3
-5
-1 x 2
f'(x) f(x)
0
4 + _
3
Yêu cầu bài toánm 3 2.
Bài tập 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx x 3 m1. Bài giải: Điều kiện: x 3.
Bất phương trình 3 1
1 m x
x
do x 1 0, x 3. Xét hàm số f x
xx 31 1, x 3;
.Ta có:
/ 2 2
5 0
5 3
0 3 5 4
3 5
2 1 3
x x x
f x x x x
x x
x x
. BBT: xlimf x
0.Yêu cầu bài toán 2 3.
m
Đề 13: (Dự bị- 2004) Chứng minh rằng với mọi m0 thì phương trình sau luôn có nghiệm:
2 2 5 2 3
4 2 0
x m 3 x m Bài giải: TXĐ: D.
Đặt x2 4 t 2.
Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 5 3
4 2 0
t m 3t m (1) Xét hàm số f t
t2 4 m253t 2 m3 , ta có f t
liên tục trên 2;
và
tlim f t
. Ta sẽ chứng minh f
2 0, m 0. Thật vậy: f
2 m32m243.Xét hàm số g m
m3 2m243, m 0. Ta có: /
3 2 4 0 04 3 mg m m m
m
. BBT:
Dựa vào BBT, ta suy ra f
2 g m
0, m 0. Suy ra điều phải chứng minh.Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3 6 x
x3 6
x
m.Bài giải: Điều kiện: x 3;6.
Đặt t x 3 6 x t2 9 2
x 3 6
x
.Ta có: / 1 1 6 3
2 3 2 6 2 6 3 0
x x
t x x x x
3;6
36 3
6 3 2
x x x x
x x
.
Suy ra:
3;6 3;6
max 3 3 2, min 3 6 3
t t 2 t t t
hay x 3;6 t 3; 3 2. Lúc đó phương trình trở thành:
2
9 2
2 9 2
2
t t m t t m
.
Xét hàm số f t
t22 ,t t 3; 3 2 . Ta có: f t/
2t 2 0 t 1
3; 3 2
.BBT:
18-6 2 3
+
3 2
f(t) f'(t)
t 3
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán f
3 9 2m f
3 2 6 229 m 3.Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 x2 2x 3 m1 x 3 1x m 1 0. Bài giải: Điều kiện: x 3;1.
Đặt t x 3 1 x t2 4 2
x 3 1
x
.Ta có: / 1 1 1 3
2 3 2 1 2 1 3 0
x x
t x x x x
3;1
1 3 1
1 3
x x x x
x x
. Suy ra: max3;1 t t
1 2 2, min3;1t t
3 t 1 2
hay x 3;1 t 2;2 2.
Hoặc: Do t2 4 2
x 3 1
x
4 t 2và t x 3 1 x 2
x 3
1 x
2 2 t 2;2 2. Lúc đó phương trình trở thành: t2
m1
tm 3 0 m t2 t t1 3do t 1 0, t 2;2 2.
Xét hàm số f t
t2 tt1 3, t 2;2 2 . Ta có:
2 /
2
2 2
0, 2;2 2 1
t t
f t t
t
.
BBT:
t 2 f'(t) f(t)
2 2 +
3
12 2+13 7
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 12 2 13
3 .
m 7
Bài tập 3: (CĐ 2011) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
6 x 2 4x 2x2 m4 4 x 2x 2 . Bài giải: Điều kiện: x 1; 4.
Đặt t 4 x 2x 2 t2 2 x 2 4
x
2x 2 .
Ta có: / 1 1 2 4 2 2
0 2 4 2 2
2 4 2 2 4 . 2 2
x x
t x x
x x x x
1; 4 3
4 4 2 2
x x
x x
.
Suy ra:
1;4 1;4
maxt t 3 3, mint t 1 3
hay x 1; 4 t 3; 3. Lúc đó phương trình trở thành: t24t 4 m.
Xét hàm số f t
t24t 4, t 3; 3 . Ta có: f t/
2t 4 0 t 2
2;2 2
.BBT:
7-4 3
0
1 _ +
3 0
f(t) f'(t)
t 3 2
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 m1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 7 2 1 4 2 1 2 1 2
x m x x x x m x x . Bài giải: Điều kiện: x .
Phương trìnhx2
x2 x 1
x2 x 1
m
x2 x 1 x2 x 1 2
7 0Đặt 2 2 /
2 2
2 1 2 1
1 1
2 1 2 1
x x
t x x x x t
x x x x
.
Ta có: t/ 0
2x 1
x2 x 1
2x1
x2 x 1
2
2
2
2
2 1 2 1 0
2 1 1 2 1 1
x x
x x x x x x
2 2 2 2
2 1 2 1 0
2 1 2 1 0
1 1 3 1 1 3 0
2 2 4 2 2 4
x x
x x
x x x x x
vô nghiệm.
Suy ra t x/
không đổi dấu trên , mà t/
0 1 0 suy ra t x/
0, x vậy t x
đồngbiến trên .
Ta có xlimt x
1; limxt x
1. Vậy t
1;1
.Lúc đó: t2 2x2 2 2
x2 x 1
x2 x 1
nên phương trình trở thành:
2 2 2 12
2 7 0 2
2 2
t t
m t m
t
do t 2 0, t
1;1
.Xét hàm số f t
t2t122 , t
1;1 .
Ta có:
2 /
2
4 12 2
0 6
2 t t t
f t t t
.
BBT:
13 3 _
t -1 f'(t) f(t)
1
13
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 13 13 13
2 13 .
3 m 2 m 6
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2 24x22x m x 0. Bài giải: Điều kiện: x 2.
Phương trình 2 4 2
2 0
x x
x x m
(do x 2)
Đặt 4 x 2
t x
, khi đó 4 2 4 2
0 x 1 1, 1
t x
x x
(hoặc khảo sát u x
xx 2)Phương trình trở thành: t22tm 0 m t22 ,t t 0;1
.Xét hàm số f t
t22 ,t t 0;1
f t/
2t 2 0 t 1 0;1
.BBT:
0
1
f(t) f'(t)
t 0
_
-1 Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 1 m 0 0 m1. Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 24 2 4
2 24 2 4m x x x x . Bài giải: Điều kiện: x 2.
+ Ta thấy x 2 không phải là nghiệm của phương trình.
+ Xét x 2, phương trình 4 2 4 2
2 2
2 2
x x
m x x
(do x 2)
Đặt 4 2 2 t x
x
, khi đó 2 4
1 1, 2 1
2 2
x x t
x x
(hoặc khảo sát u x
xx 22)Phương trình trở thành: m1t 2 t 2 m t22t21t, t
1;
.
Xét hàm số
2 2
/
2
2 2 2 2
, 1; 0, 1;
2 1 2 1
t t t t
f t t f t t
t t
.
BBT: tlimf t
.Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 1 m 0 0 m1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x26x 7 m x
1
x22.Bài giải: Điều kiện: x .
Để ý rằng 5x26x 7 3
x 1
2 2
x22
.Phương trình2
x22
2 3
x 1
2 m x
1
x22 (*)Do x 1 không là nghiệm của phương trình (*), nên (*) tương đương:
2
2
2 1
2 3.
1 2
x x
x x m
Đặt 2
1 2 t x
x
, khi đó
/
2 3
2 0 2
2
t x x
x
.
BBT: xlimt x
1; limxt x
1.Vậy 6 1; 2 x t
.
Phương trình trở thành: 2 6
3 , 1;
t m t 2 t
.
Xét hàm số
/
226
2 3 , 1; 6 3 2 0 3
2 6
3 t t
f t t t f t
t t
t
.
BBT:
0 0
lim ; lim
t f t t f t
.
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm
; 2 6 2 6;
.Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1
1 4
1
1x x m x 1 x x
x
. Bài giải: Điều kiện: x 1.
Phương trình
1 4
1 1 1
1 1
1
x x x x m x x x
x
x x
1 4
1 1
m x 1 x x x x
x
41 4 1
1 1 1 1
1 1
x x
x x x m x m
x x x
.
Đặt 4 x 1
t x
, khi đó t
0;1 .Phương trình trở thành: 12 t 1 m m 12 t 1, t
0;1t t . Xét hàm số f t
12 t 1, t
0;1 f t/
22 1 0, t
0;1t t
.
BBT:
0
lim
t f t
.
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
2 22 2
2 1 18 1
1 2 1
x x x
x x x m
.
Bài giải: Điều kiện: x . Phương trình
2
2
2
2 18
1 2
1 1
1
x m
x x
x
(*)
Đặt 2
2 1 t x
x
, khi đó
/
2 3
1 2 1
0 2
1
t x x
x
.
BBT: xlimt x
1; limxt x
1.Vậy x t
1; 5.Phương trình trở thành:
t1
2t181 m t,
1; 5.Xột hàm số
2 /
2
18 18
1 , 1; 5 2 1 0 2
1 1
f t t t f t t t
t t
.
BBT:
1
lim .
t f t
Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏnm7.
Bài tập 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:tan2x cot2x m
tanx cotx
3 0.Bài giải: Điều kiện:
x k 2
.
Đặt 1 1
tan cot tan tan 2
tan tan
t x x t x x
x x
suy ra: t2 2 tan2x cot2x. Phương trỡnh trở thành:
2
2 1
1 0 t , 2
t mt m t
t
.
Xột hàm số
2 /
2 21 1
, 2 0, 2
t t
f t t f t t
t t
.
BBT: tlimf t
; limtf t
.Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏn 5 m 2
hoặc 5
m 2.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình 3 tanx 1 sin
x 2 cosx
m
sinx 3 cosx
(1) cónghiệm duy nhất 0; . x 2
Bài giải: Xét 0; , khi đó sin 0, cos 0, tan 0 v¯ sin 3 cos 0.
x 2 x x x x x
PT (1) (2)
Đặt Lúc đó, PT (2) trở th¯nh: (3)
Xét h¯m số Ta có: /
(sin 2 cos ) tan 2
3 tan 1 3 tan 1
(sin 3 cos ) tan 3
tan 0 0; . 3 1 2
2 3
2 3 2 3
( ) 3 1 0 . ( ) .
3 2 1 3
x x x
x m x m
x x x
t x t x t t m
t
t t t
f t t t f t
t t t
2
1 0, 0
( 3) t
t
Lập bảng biến thiờn: tlimf t
.
Ta có, ứng với mỗi tho° m±n PT (3), ta được đúng một nghiệm Do đó, PT (1) có nghiệm duy nhất khi v¯ chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất Dựa v¯o BBT, suy ra ycbt l¯
0 0; .
2
0; 0.
2 2.
t x
x t
m
Bài tập 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm phõn biệt:
6 2 5 3 4 3 3 2 2 1 0
x x x mx x x (1) Bài giải:
+ Rừ ràng x 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh (1).
+ Với x 0, phương trỡnh (1) 3 13 2 12 1
2 3 0
x x x m
x x x
(2)
Đặt 1 1 1
2 2.
t x t x x t
x x x
Phương trỡnh (2) trở thành: t t
23
2 t2 2
3tm 0 t3 2t2 6t 4 m 0 (3)Từ phép đặt 1 t x
x , ta có với mỗi t 2 cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn t 2 cho ta 2 giá trị x . Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt (3) chỉ có các nghiệm t1 2 và
2 2
t , hoặc (3) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn t 2. Ta xét hai trường hợp:
TH 1: (3) có đúng hai nghiệm t1 2 và t2 2 8 0 0 m m
không tồn tại m. TH 2: (3) có đúng một nghiệm t và thoả mãn t 2.
Ta có (3)m t32t2 6t 4.
Xét hàm số
3 2 /
22 22
2 6 4, 2 3 4 6 0 3
2 22 3
f t t t t t f t t t t
t
.
BBT: tlimf t
; limtf t
.Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán
2 22 16 44 22
3 27
2 0
m f m
m f m
.
Bài tập 3: (ĐH A - 2002) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1; 3 3
:
2 2
3 3
log x log x 1 2m 1 0. Bài giải: Điều kiện: x 0.
Đặt t log23x 1 x 1; 3 3 0 log3x 3 0 log23x 3
2
1 log3x 1 4 t 1;2
.
Phương trình trở thành: t2 t 2 2m 2mt2 t 2, t 1;2. Xét hàm số f t
t2 t 2, t 1;2 f t/
2t 1 0, t 1;2.BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 2m 4 0 m2. Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1:
1 1 2 2
4x 4x m1 2x 2 x 2m. Bài giải: Điều kiện: x .
Phương trình đã cho 4 4
x 4x
4
m1 2
x 2x
2mĐặt
/ 0;1
0;1
min 0 0
2 2 , 0;1 2 2 ln 2 0, 0;1 3
max 1
2
x x x x
t x t
t x t x x
t x t
0;1 : 0;3
x t 2
Phương trình trở thành: 2
t22
2
m1
tm m2 t22 tt 12, t 0;32 . Xét hàm số f t
t22 tt 12, t 0;23 .
2 /
2
1 11
2 2 5 0 2
1 11 3
2 1 0;
2 2
t t t f t
t t
BBT:
Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏn 2 11
2 2 11 4
2 2
m m
.
Bài tập 3: Cho phương trình: 22 1 2
2
(1)2
log x log x 3 m log x3
Tìm c²c gi² trị của m để có phương trình nghiệm x 32; .
Bài giải: Từ điều kiện b¯i ra, ta thấy log2x 5, suy ra log
2x 3
2 nên m0.
PT (1)
(2)
Đặt PT (2) trở th¯nh: (3)
Xét h¯m số Ta có:
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
/
2
log 2 log 3 log 3
log 2 log 3 log 3
log 5 . 2 3 3 1
1 4 3
5 . 0 5
3 3
x x m x
x x m x
t x t t t m t m t
t t
f t t f t t
t t
Lập bảng biến thiờn:
Lúc đó, phương trình (1) có nghiệm khi chỉ khi PT (3) có nghiệm
ycbt 2 Kết hợp suy ra:
32; 5;
1 3. 0, 1 3.
x t
m m m
Bài tập 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:
4m3
x 3
3m4
1 x m 1 0 (1)Bài giải: Điều kiện: x 3;1.
(1)m
4 x 3 3 1 x 1
3 x 3 4 1 x 1 m 34 xx 33 4 13 1 xx 11Vỡ
x 3
2 1x
2 4 nờn ta cú thể đặt 3 2 sin1 2 cos
x x
, 0; .
2
Khi đú ta cú phương trỡnh: 6 sin 8 cos 1
8 sin 6 cos 1
m
(2). Đặt tan
t 2
, khi đú t 0;1 và
2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1
t t
t t
, (2) trở thành:
2 2
7 12 9
5 16 7
t t
m t t
, t 0;1.
Xét hàm số
2 2
/
2 2
2
7 12 9 52 8 60
, 0;1 0, 0;1
5 16 7 5 16 7
t t t t
f t t f t t
t t t t
. Do đó, f t
nghịch biến trên 0;1.BBT:
9 7
1
f(t) f'(t)
t 0
_
7 9 Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 7 9
9 m 7
.
Nhận xét: Hoàn toàn ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số
3 3 4 1 14 3 3 1 1
x x
g x x x
trên
3;1
để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
3 2
3 223 2x 2 1 3 5 x 3 5 x 0
m m (1)
Bài giải: Điều kiện: x .
(1)
3 2 3 2
3 5 3 5
2 2 1 0
2 2
x x
m m
.
Đặt
3 2
3 5
2 1,
x
t t x .
Khi đó phương trình trở thành: 2m
2m1
1t t 0 2m tt221, t 1.Với
3 2
3 3 5
2
3 5
1 : log
2
x
t t x t
. Do đó với t 1 ta có duy nhất x 0, với 1
t thì ta có 2 giá trị x.
Xét hàm số
2 2
/
2
1 4 1
, 1 0, 1
2 2
t t t
f t t f t t
t t
.
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2m 0 m0.
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn 1 x 2:
2 2 2
2 2 2
9 x x 2 m1 6 x x m1 4 x x 0. Bài giải: Điều kiện: x .
Chia 2 vế của bất phương trình cho 42x2x, ta được:
2 2
2 2
9 3
2 1 1 0
4 2
x x x x
m m
Đặt
2 2
3 2
x x
t
. Ta có: 1 2
2 0 1
x 2 x x t .
Bất phương trình trở thành: t22
m1
tm 1 0 m t2 2t2t11, t 1;
.Xét hàm số
2 2
/
2
2 1 2 2 4
, 1; 0 2 1;
2 1 2 1
t t t t
f t t f t t
t t
.
BBT: tlimf t
.Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm3.
Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
x 2 m