1/Cho tam giác ABC vuông tại A.AB=3cm,AC=4cm
a)Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b)Gọi AD là đường kính của (O).Chứng tỏ ABCD là một hình chữ nhật .Tính diện tích của nó.
c)Kẻ AH vuông góc BC tại H.Chứng tỏ AB.AC=AH.AD
2/Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O,R).đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E.BE và CD cắt nhau tại H
a)chứng tỏ AHBC
b)Gọi AM là một đường kính của đường tròn (O).Chứng tỏ BHCM là hình bình hành.
3/Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và đường cao AH.Kẻ HM và HN lần lượt vuông góc với AB,AC.
a)Chứng tỏ A,H,M,N cùng thuộc một đường tròn .Xác định tâm O đường tròn này . b)Chứng minh AM.AB=AN.AC.Suy ra tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
c)Qua N kẻ đường vuông góc với ON cắt BC tại I.Chứng tỏ I là trung điểm của HC.
4/Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp(O).hai đường cao BM,CN cắt nhau tại H.Gọi I là trung điểm BC,AD là đường kính .
a)cm:BDCH là hình bình hành b)chứng minh AH=2OI
Tam giác ABC nội tiếp (o)có BC là đường kính
tam giác ABC vuông tại A Tam giác ABC vuông tại A
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có BC là đường kính,tâm là trung điểm của BC
A,B,C thuộc đường tròn có BC là đường kính, tâm là trung điểm của BC
“Nếu đường kính vuông góc một dây cung thì chia dây cung ấy ra làm hai phần bằng nhau”
Xét (o)có đường kính BC dây MN tại I
I là trung điểm dây MN
“Đường kính qua trung điểm của một dây cung không qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy”
Xét (o)có đường kính BC đi qua trung điểm I của dây MN
đường kính BCdây MN tại I
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì (MA,MB là 2 tiếp tuyến )
*Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm :MA=MB
*Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến :AMO BMO
*Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác tạo bởi hai bán kính đi qua 2 tiếp điểm :
AOM BOM
C O
A
B
I
“ Nếu đường kính qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây trương cung ấy”
Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn?
“Nếu đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc bán kính tại tiếp điểm”
ĐỂ CHỨNG MINH 1 ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN .CÓ 2 CÁCH
Cách 1:Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng bán kính R.Tức là Chứng minh ABOB tại B và OB=R
Cách 2:Chứng minh ABOB tại B và B(O)
M
A
B O
B
O R
A
Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp(O;R). Gọi H là trực tâm và vẽ đường kính AD gọi I là trung điểm của BC.
a/ C/mR: BHCD là hình bình hành.
b/ C/mR: H, I, D thẳng hàng.
c/ C/mR: AH=2OI.
Bài 2:Cho A nằm ngoài (O;R) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi H là trực tâm của Tam giác ABC.
a/ C/mR: A, H, O thẳng hàng?
b/ C/mR: OBHC là hình thoi?
c/ C/mR:
R2 AB2=OK
AK (Với K là giao điểm của OA với BC).
Bài 3:Cho A nằm ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Vẽ đường kính CD của (O) vẽ đường trung trực của CD cắt DB tại E.
a/ Cm: AE=R
b/ Cm: 5 điểm A, E, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA.
Bài 4: Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By nằm về cùng một nửa mặt phẳng. Từ E thuộc (O) ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a/ Cm: AC+BD=CD; Góc COD=1v; R2=AC.BD b/ BC và AD cắt nhau tại M CmR: ME//AC//BD.
c/Xác định vị trí của E trên (O) để chu vi hình thang ABDC có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho nửa (O;R) đường kính CD. Từ E thuộc (O) (Với E khác D và OE không vuông góc với CD. Ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng CD tại M. Vẽ phân giác của góc EMC cắt OE tại O’. Vẽ đường tròn tâm O’ bán kính O’E.
a/ Cm: (O;R) và (O’;O’E) tiếp xúc trong tại E.
b/ Cm: CD là tiếp tuyến của (O’).
CHỨNG MINH :MN là đường trung trực đoạn AB ta có 2 cách Cách 1: chứng minh MN vuông góc tại trung điểm của đoạn AB Cách 2:Ta có MA=MB
NA=NB
MN là đường trung trực của đoạn AB
d M A N
B
c/ CE và DE cắt (O’) lần lượt tại E,F C/m E, O’, F thẳng hàng.
Bài 6:Cho đường trịn tâm O đường kính AC.trên đoạn OA lấy một điểm B và vẽ đường trịn tâm O’ đường kính BC. Gọi Mlà trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ một dây cung vuơng gĩc với AB cắt đương trịn tâm O tại D và E . DC cắt Đường trịn tâm Ĩ tạiI
a)Tứ giác ADBE là hình gì ?Tại sao?
b)Chứng minh I ,B,E thẳng hàng và MI2 = AM .MC c)Chứng minh MI là tiếp` tuyến của đường tồn (O’)
Bài 7 Cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB = 2R.Kẻ các tiếp tuyến Ax ,By cùng phía với nửa (O) đường kính AB . Vẽ bán kính OE bất kỳ .Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại E cắt Ax ,By theo thứ tự ở C ,D.
a)Chứng minh rằng CD = AC + BD
b)Tính số đo gĩc COD và chứng minh :R2 = AC.BD
c)Chứng minh :AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD d)Tính diện tích tứ giác ABDC theo bán kính R của (O),biết AC =
R 2 Bài 8: Cho tam giác ABC vuơng tại A,BC = 5,AB = 2AC
a) Tính AC
b) Từ A vẽ đường cao AH ,trên AH lây một điểm I sao cho AI = AH .Từ C vẽ Cx // AH .Gọi giao điểm của BI với Cx là D .Tính diện tích tứ giác AHCD .
c) Vẽ hai đường trịn (B;AB)và (C;CA)Gọi giao điểm khác A của hai đường trịn này là E .Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường trịn (B).
Bài 8: Cho tam giác ABC vuơng tại A . Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn :BH = 4cm ;CH = 9cm .Gọi D,E theo thứ tự đĩ là chân đường vuơng gĩc hạ từ HN xuống AB và AC .
a)Tính độ dài đoạn thẳng DE
b)Chứng minh đẳng thức : AE.AC = AD.AB
c)Gọi các đường trịn (O) ,(M) ,(N) theo thứ tự ngoại tiếp các tam giác
ABC ,DHB, EHC .Xác định vị trí tương đối giữa các đường trịn (M)và (N) ;(M) và (O) ; (N) và (O)
d)Chứng minh DE là tiếp chung của hai đường trịn (M) và (N) và là tiếp tuyến của đường trịn đường kính MN.
Bài 9: Từ một điểm A ở bên ngòai đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn đó ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi E là một điểm trên cung nhỏ BC.
Qua E kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt các đoạn AB và AC tại M và N. Đường
thẳng kẻ qua O vuông góc với OA cắt các tia AB và AC lần lượt tại I và J. Chứng minh:
a) MN = MB + NC.
b) IA = JA.
c) OIA = MON = OJA =
1800−ABC 2
Câu 8:Cho đường trịn (O) .M là điểm nằm bên ngồi đường trịn kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB (A,B là tiếp điểm),kẻ đường thẳng đi qua O song song với AM cắt BM tại K .Chứng minh :
a.KO = KM.
b. Đường thẳng vuơng gĩc với AM tại M cắt OB tại S.Chứng minh tam giác OSM cân.
c.Chứng minh SK vuơng gĩc với OM.
Câu 9: Cho đường trịn (O).Từ điểm A nằm bên ngoaì đường trịn kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B, C là 2 tiếp điểm ),OA = 2R.Chứng minh rằng:
a.Tam giác ABC đều.
b.Tia OA cắt đường trịn tại D .Tứ giác OBDC là hình gì?
c.Từ A kẻ tiếp tuyến AMN,I là trung điểm của MN .Chứng minh 4 điểm O,I,A,C cùng thuộc đường trịn (D).
Câu 10: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Từ A,B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By.Từ điểm M nằm trên nữa đường trịn đĩ kẻ tiếp tuyến thứ 3 ,tiếp tuyến này cắt Ax tại C và cắt By tại D.Chứng minh rằng:
a.Tam giác COD vuơng tại O( Gĩc COD vuơng ).
b. MO2 = MC.MD c.CD = AC + BD.
d. Gọi E là giao điểm của AM và OC,F là giao điểm của BM và OD.Chứng minh EF = OM .
e. Tìm vị trí của điểm M để CD nhỏ nhất.
Câu 12:Cho (O) đường kính AC và (O’) đường kính AB tiếp xúc trong.N là điểm nằm trên đường trịn (O) cắt đương trịn (O’) tại M.
a.Chứng minh MB song song với NC.
b. Chứng minh MO song song với NO’.
Câu 13:Cho đường trịn (O).M là điểm nằm bên ngồi đường trịn đĩ,MA và MB là hai tiếp tuyến (A,B là các tiếp điểm).Từ M kẻ đường thẳng song song với AO và cắt OB tại E,đường thẳng đi qua O song song với AM cắt BM tại S.
a.Chứng minhAB ¿ OM.
b.Chứng minh AB//ES
c.Cho biết OA = 9cm,AB = 24cm.Tính OA.
d.Chứng minh 4 điểm O,B,N,M cùng nằm trên một đường tròn.(N là giao điểm của OS với ME)
Câu 14:Cho tam giác cân ABC cân tại A.I là trung điểm của BC ,H là giao điểm của hai đường cao BD và CE
a. Chứng minh các điểm B,E ,D,C thuộc đường tròn đường kính BC
b .Chứng minh 4 điểm A, B ,I ,D nằm trên một đường tròn .Xác định tâm O và bán kính R rồi vẽ đường tròn đó
c. Xác định tâm (O’) của đường tròn đi qua 3điểm C, D ,H d. Chứng minh rằng OO’ vuông góc với ID.
Câu 15:Cho tam giác ABCvuông tại Bcó góc C=600 ,AC = 6cm a.Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC .
b.Trên tia đối của tia CBlấy điểm N sao cho CN =AC .Chứng minh : CB CN=AB
AN c.Đường thẳng song song với đường phân giác của góc CAN kẻ từ Bcắt AN tại H . Chứng minh :
1
BH2= 1
AB2+ 1 AN2
14. Cho hai đường (O) và (O’)tiếp xúc ngoài tại A .Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) ,B, C là các tiếp điểm (B thuộc (O) ,C thuộc (O’) ).Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tại A cắt BC taị M
a. Chứng minh rằng A, B ,C thuộc đường tròn (M ; BC/2 ) c.Xác định tâm của đường tròn đi qua 3điểm O , O’ ,M
15. Cho tam giác cân ABC (AB =AC ),I là trung điểm của BC ,H là giao điểm của hai đường cao BD và CE
a. Chứng minh các điểm D ,E thuộc đường tròn đường kính BC
b .Chứng minh 4 điểm A, B ,I ,D nằm trên một đường tròn .Xác định tâm O và bán kính R rồi vẽ đường tròn đó
c. Xác định tâm (O’) của đường tròn đi qua 3điểm C, D ,H d. Chứng minh rằng OO’ vuông góc với ID
16. Hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại Avà B .Kẻ dây AC đường tròn (O) dây AD của (O’) Gọi K là điểm đối xứng của O qua AC ,E là điểm đối xứng của (O’) qua AD
a. trong trường hợp AC và AD là hai đường kính của (O) , (O’) .Chứng minh : -B ,D ,C thẳng hàng - KE //CD
b. Trong trường hợp AC là tiếp tuyến của (O’) và A là tiếp tuyến của (O) .Gọi Ilà trung điểm của OO’ .Chứng minh :AI ,OK ,O’E đồng quy
18 .Cho hình thang ABCD có A, B cố định và C, D di động sao cho góc A và góc B đều bằng 900.Gọi O là trung trung điểm của AB .Vẽ đường tròn đường kính AB. Hạ OI vuông góc với CD
a.So sánh OI và AB trong các trường hợp -DCcắt (O)
-DCkhông cắt (O) -DCtiếp xúc (O)
b. Trong trường hợp OI =AB/2. Tìm quan hệ giữa độ dài hai đáy bà cạnh bên của hình thang
c. Khi D ,Cdi động ,chứng minh đường tròn qua 3 điểm D ,O, C luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định .
18.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Từ A,B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By.Từ điểm M nằm trên nữa đường tròn đó kẻ tiếp tuyến thứ 3 ,tiếp tuyến này cắt Ax tại C và cắt By tại D.Chứng minh rằng:
a/ Tam giác COD vuông tại O( Góc COD vuông ).
b/ MO2 = MC.MD c/ CD = AC + BD.
d/ Gọi E là giao điểm của AM và OC ,F là giao điểm của BM và OD.Chứng minh EF = OM .
e/ Tìm vị trí của điểm M để CD nhỏ nhất.
19.Cho đường tròn (O).Từ điểm A nằm bên ngoaì đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B, C là 2 tiếp điểm ),OA = 2R.Chứng minh rằng:
a/Tam giác ABC đều.
b/Tia OA cắt đường tròn tại D .Tứ giác OBDC là hình gì?
c/Từ A kẻ tiếp tuyến AMN ,I là trung điểm của MN .Chứng minh 4 điểm O,I,A,C cùng thuộc đường tròn (D).
20.Cho đường tròn (O) .M là điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB (A,B là tiếp điểm),kẻ đường thẳng đi qua O song song với AM cắt BM tại K .Chứng minh : a/KO = KM.
b/ Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt OB tại S.Chứng minh tam giác OSM cân.
c/Chứng minh SK vuông góc với OM.
