5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần đặc biết chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) là tất cả các mẫu thức phải khác 0.
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Bước 1. Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4. Kiểm tra và kết luận.
II. BÀI TẬP
(Phần ĐKXĐ ở mỗi bài toán đều có vì vậy trong phiếu không đề cập dạng tìm ĐKXĐ) Bài 1: Giải phương trình
a)
2
4 8 4 2 1 0
x x
x b)
2 2 1
1 0
x x
x
c) 2 5
5 3
x
x d)
4 2 0
2
x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
7 7 2
1 3 x
x
+ =
- b)
2 1
1 x = 3 7x
+ -
c)
1 3
2 3 2
x
x x
+ = -
- - d)
14 2 3 5
3 12 4 8 2 6
x
x x x
- + = -
- - -
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
4 5
1 2 3 x - x = -
- - b)
1 1
3 2 2
x x
x x
- = -
- -
c) 2 2 2
4 1 2 5
3 2 4 3 4 3
x x x
x x x x x x
+ + +
+ =
- + - + - + d) 2
2 1 4
( 2) ( 2) 0 4
x x x x x x
- + - =
- +
-
e)
2
4 1 6 1 1
3 2 2 4 3
x
x x
x x
æ ö÷
ç ÷
- = ççç + - + ÷÷
+ + è ø f) 2
3 15 7
4(x 5)+50 2x =6x 30
- - +
g)
2
3 2
1 2 5 4
1 1 1
x
x x x x
+ - =
- - + + h)
2 2
12 1 9 5 108 36 9
6 2 3 1 4(9 1)
x x x x
x x x
+ - - -
- =
- + -
i)
2 2
1 1
x x
x x
+ = +
j)
(
2)
1 2 1 2 x 2
x x
æ ö÷
ç ÷
+ =çççè + ÷÷ø +
k)
2 2
1 1
1 1
x x
x x
æ ö÷ æ ö÷
ç + + ÷=ç - - ÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2 2 4 2
1 1 3
1 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
b) 2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18
x x x x x x
c) 2 2 2
1 2 6
2 2 2 3 2 4
x x x x x x
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a)
2 2 2
2 2 4
4 20 322
2 2 2 2 4 65
x x x
x x x x x
+ - - =
+ + - + +
b) 2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30 8
x x +x x +x x +x x =
+ + + + + + + +
c) 2 2 2
2 5 2 9
4 3 11 24 18 80 52
x x +x x +x x =
+ + + + + +
d)
4 4 8 8
1 1 2 2 6
x x x x
x x x x
+ - + -
+ = + +
- + - +
Bài 6: Tìmxsau cho hai biểu thức Avà Bcó giá trị bằng nhau, với
2 2
1 1
; .
A x B x
x x
(Cách giải khác của Bài 3 – câu i)
Bài 7: Tìmxsau cho biểu thức
2 9 3
2 5 3 2
x x
x x có giá trị bằng 2.
Tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) x x
4 3 29 5 3
b)
x x 2 1 2 5 3
c)
x x
x x
4 5 2
1 1
d) x x
7 3
2 5
e)
x x
x x
2 5 0
2 5
Bài 2: Giải phương trình:
a) 1 1+x=5
b) 1 x + 2
x−2=0
c)
1+ 1
2+x=12
x3+8 d)
2 2
1 1
1 1
x x
x x
æ ö÷ æ ÷ö
ç + + ÷=ç - - ÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
2 6 16
2 8
x x
x x b)
1 1
3 2 2
x x
x x
c)
2 15 1
17 2
x x
x x d)
1 1
2 3 2
x x
x x
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) x x x x
8 11 9 10
8 11 9 10
b)
x x x x
x 3x 5 x 4x 6
c) x2 x x2 x
4 3 1 0
3 2 2 6 1
d) x x x x
1 2 3 6
1 2 3 6
Bài 5: Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức
6x−1 3x+2 và
6x−1
3x+2 bằng nhau.
Bài 6: Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức
5 1
1 3
x x
x x
+ +
- - - và
8 (x 1)(x 3)
-
- - bằng nhau.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu là:
A. x+5x2- 3=0 ; B. 2x+ =5 0 ;
C. 3x2+5x- 8=0 ; D.
3 15 x 5
+x = +
Câu 2: ĐKXĐ của phương trình
x+3
2 x = 3 x−5 4 x−9
là:A. x¹ 0 và x¹ - 2,25 ; B. x¹ 0 ; C. x¹ 0 và x¹ 2,25 ; D. x¹ - 2,25
Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình 2
96 2 1 3 1
5 16 4 4
x x
x x
x
- -
+ = -
+ -
- là :
A. x¹ 4 B. x¹ - 4
C. x¹ 4 và x¹ - 4 D. Xác định với mọi x thuộc R.
Câu 4: Phương trình
2 1 2 2 2
x x
x
+ -
=
có tập nghiệm là:
A. S = -
{ }
2 ; B. S = -{ }
4 ; C. S = -{ }
1 ; D.S = -{
1; 3}
.Câu 5:
2 x +1
2+ x = x−2
x
⇔ x x(
2 + =1) (
x- 2 2)(
+x)
(ĐKXĐ: x¹ 0 và x¹ - 2 )A. Đúng ; B. Sai .
Câu 6:
3 2
2
x x
x x
+ -
+ =
⇔ x2+3x=x2+2 A. Đúng ; B. Sai .Câu 7: Giải phương trình 2
96 2 1 3 1
5 16 4 4
x x
x x
x
- -
+ = -
+ -
- ta được nghiệm là :
A.
1
2
B.
1
3 C.
1
4 D.
1
2 Câu 8: Giải phương trình
1 3 4 8 2 x- = - x
ta được nghiệm là : A.
1 x3
B.
1 x 2
C.
1 x4
D.
5 x 4 Câu 9: Giải phương trình
2 2( 3) 2( 1) ( 3)( 1)
x x x
x x x x
ta được nghiệm là :
A. x4 B. x 1 C.x0 D. Vô nghiệm
Câu10: Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng:
A B
1)
x
1+ x = x
x−1
có ĐKXĐ là: a) x¹ - 5 và x¹ 22)
1
2 + x = x
2 x +1
có tập nghiệm làb) x¹ - 1 và x¹ 1
3)
x
5 + x = x
2x−2
có ĐKXĐ là: c) S = -{
1; 1}
1) …. 2) …… 3) …….
d) S = -
{
1; 3}
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1:
a)
2
4 8 4 2 1 0
x x
x
Điều kiện: x2 1 0 x vì
2 1 0
x x
( )
( )
2
4 8 4 2 1 0
4 8 4 2 0
2 4 0 2
x x
x x x
x x
- + - + =
Þ - + - =
Û - =
Û =
Vậy
2 S
b)
2 2 1
1 0
x x
x
Điều kiện: x 1 0 x 1
( )
2
2 2
2 1 0 1
2 1 0
1 0
1 0
x x
x
x x
x x
+ + = +
Þ + + =
Û + =
Û + =
x 1 (loại) Vậy
. S
c) 2 5
5 3
x x
Điều kiện: x 5 0 x 5 2 5 3
5 x x
- = +
( )
3. 5 2 5
5 5
x x
x x
- +
Û =
+ +
( )
2x 5 3. x 5
Þ - = +
2x 5 3x 15
Û - = +
x 20 (nhận). Vậy S
20d)
4 2 0
2
x
Điều kiện: x 2 0 x 2
4 2 0
2
x - =
-2.
(
2)
4 0
2 2
x
x x
Û - - =
- -
( )
4 2. x 2 0
Þ - - =
4 2x 4 0
Û - + =
2x 8 Û - = -
x 4(nhận). Vậy S
4Bài 2: Hướng dẫn giải
a)
7 7 2
1 3 x
x
- =
- (ĐK x1) b)
2 1
1 x= 3 7x
+ - (ĐK
1; 3 x x 7
)
3(7 7) 2( 1) 21 21 2 2 19 23
23( ) 19
x x
x x
x
x tm
Û + = -
Û + = -
Û = - Û =-
Vậy
23 S 19
6 14 1
15 5 1( ) 3
x x x
x tm
Þ - = +
Û =
Û =
Vậy
1 S 3
c)
1 3
2 3 2
x
x x
+ = -
- - (ĐK x2) 1 3( 2) 3
2 2 2
1 3 6 3
2 2
3 5 3 4 8
x x
x x x
x x
x x
x x
x
- -
Û + =
- - -
+ - -
Û =
- -
Û - = -
Û =
2
x (loại) Vậy S
d)
14 2 3 5
3 12 4 8 2 6
x
x x x
- + = -
- - - (ĐK x4
)
14 2 3 5
3( 4) 4 2(4 ) 6 56 24 12 18 10 40
12( 4) 12( 4) 32 12 58 10
26 2 13( )
x
x x x
x x
x x
x x
x
x tm
Û - + = -
- - -
- - - - +
Û =
- -
Û - = -
Û - = Û = - Vậy S
13
Bài 3: KQ:
a)
4 5
1 2 3
x x
(1) Điều kiện:1 0 1
2 0 2
x x
x x
Mẫu chung:
(
x- 1)(
x- 2)
Phương trình (1) trở thành
4( 2) 5( 1) 3( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 2)( 1) ( 1)( 2)
x x x x
x x x x x x
- - - - -
- =
- - - -
4(x 2) 5(x 1) 3(x 1)(x 2)
Þ - - - = - - -
4x 8 5x 5 3(x2 3x 2)
Û - - + = - - +
3 3 2 9 6
x x x
Û - - = - + - 3x2 10x 3 0
Û - + =
3x2 9x x 3 0
Û - - + =
3 (x x 3) (x 3) 0
Û - - - =
(x 3)(3x 1) 0
Û - - =
3 0 3 3 1 0 1
3 x x
x x
é - = é =ê
ê ê
Û êêë - = Û êêë = (nhận) . Vậy
1 ;3 S 3
b) Điều kiện:
x 2 0 x 2
. Giải ra nghiệm
2 ( ) 1 ( / ) 3
x l
x t m
. Vậy
1 S 3
c) Điều kiện
1 0 1
2 0 2
3 0 3
x x
x x
x x
. Tập nghiệm S
4d) Điều kiện:
0 0
2 0 2
2 0 2
x x
x x
x x
.Giải ra nghiệm
2 ( ) 3 ( / )
x l
x t m
. Vậy S
3e) Điều kiện:
1 0 1
3 0 3
x x
x x
. Giải ra nghiệm0 ( / m) 3 ( )
x t
x l
. Vậy S
0f) Điều kiện:
5 0 5
5 0 5
x x
x x
Giải ra nghiệm x=5(loại) . Vậy S
g) Điều kiện: x 1 0 x 1 vì x2 x 1 0 x .
Giải ra nghiệm
0( / ) 1( )
x t m
x l
. Vậy S
0h) Điều kiện:
3 1 0 13
3 1 0 1
3 x x
x x
ìïï ¹
ì ï
ï - ¹ ï
ï Û ï
í í
ï + ¹ ï -
ï ï
î ïïïî ¹ . Giải ra tập nghiệm
1 S 2
i) Điều kiện:
x 0
2 2
1 1
x x
x x
1 1 2 2 .1
x x x
x x x
æ ö÷
ç ÷
Û + =çççè + ÷÷ø-
1 2 1 2 0
x x
x x
æ ö÷ æ ö÷
ç ÷ ç ÷
Û çççè + ÷÷ø - çççè + ÷÷ø- =
Điều kiện:
x 0
. Đặtx 1 t
x
, phương trình trở thành t2 t 2 0
2 2 2 0 ( 1) 2( 1) 0
t t t t t t
Û + - - = Û + - + =
2 0 2
( 2)( 1) 0
1 0 1
t t
t t
t t
é- = é=
ê ê
Û - + = Û êêë+ = Û êêë= -
Với t = 2, ta có
2 2
1 2 1 2 2 1 0
x x x x x
+ = Þx + = Û - + =
Û (x- 1)2= Û0 x- 1 0= Û x=1(nhận)
Với t= - 1 , ta có
2 2
1 1 1 1 0
x x x x x
+ = - Þx + = - Û + + = 12 3
2 4 0 æx ö÷
ç ÷
Û çççè + ÷÷ø + = (vô nghiệm) vì
1 2 3 2 4 0
x x
æ ö÷
ç + ÷+ > "
ç ÷
ç ÷
çè ø
Vậy S
1j) Điều kiện: x 0
. Dùng pp nhóm giải ra nghiệm
1 S 2
k)
2 2
1 1
1 1
x x
x x
2 2
1 1
1 1 0
x x
x x
æ ö÷ æ ÷ö
ç ÷ ç ÷
Û çççè + + ÷÷ø- çççè - - ÷÷ø = Điều kiện: x0
1 1 1 1 2
1 1 1 1 0 2 2 0
x x x x x
x x x x x
æ öæ÷ ÷ö æ ö÷
ç ÷ç ÷ ç ÷
Û çççè + + + - - øè÷÷ççç + + - + + ÷÷ø= Û çççè + ÷÷ø=
0 0 ( )
2 1 ( / )
2 0
x x l
x t m
x
é = é =
ê ê
Û êêêë+ = Û êêë = - . Vậy S
1Bài 4:
a)
2 2 4 2
1 1 3
1 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
+ - - =
+ + - + + +
ĐKXĐ: x0
2 2 4 2
1 1 3
1 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
+ -
- =
+ + - + + +
2 2 2 2
1 1 3
1 1 ( 1)( 1)
x x
x x x x x x x x x
+ -
Û - =
+ + - + + + - +
2 2
(x 1)(x x 1).x (x 1)(x x 1)x 3
Þ + - + - - + + =
3 3 3
( 1) ( 1) 3 2 3 ( / )
x x x x x x 2 t m
Û + - - = Û = Û =
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { 3 2}
b) 2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18
x x +x x +x x =
+ + + + + +
ĐKXĐ: x¹ - 4,x¹ - 5,x¹ - 6,x¹ - 7
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18
x x +x x +x x =
+ + + + + +
1 1 1 1
(x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18
Û + + =
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18
x x x x x x
Û - + - + - =
+ + + + + +
1 1 1
4 7 18
x x
Û - =
+ +
(x 7).18 (x 4).18 (x 4)(x 7)
Þ + - + = + +
2 2
18x 126 18x 72 x 11x 28 x 11x 26 0
Û + - - = + + Û + - =
( 2)( 13) 0 2
13 x x x
x é =ê Û - + = Û ê =-êë
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2; -13}
c) 2 2 2
1 2 6
2 2 2 3 2 4
x x x x x x
. Đặt
2 2 2 , 0
x x t t
2 2 2
1 2 6
2 2 2 3 2 4
x x +x x =x x
- + - + - +
1 2 6
1 2
t t t
Þ + =
+ +
(t 1)(t 2) 2 (t t 2) 6 (t t 1)
Û + + + + = + Û t2+3t+ +2 2t2+4t =6t2+6t
2
3( )
3 2 0 (3 2)( 1) 0 2
1
t l
t t t t
t é - ê =ê
Û - - = Û + - = Û
ê =ê ë
Với t1 Þ x2- 2x+ = Û2 1 (x- 1)2= Û0 x=1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S=
{ }
1Bài 5: a)
2 2 2
2 2 4
4 20 322
2 2 2 2 4 65
x x x
x x x x x
+ - - =
+ + - + + ( 1)
Điều kiện với mọi
x R
Ta có x4+ =4
( )
x2 2+22=(
x2+2)
2- 2.2x2 =(
x2+ -2 2x x)(
2+ +2 2x)
(1)
2 2 2 2 2
2 2 2 2 4
65 ( 2 2) 65 ( 2 2) 65(4 20)
65( 2 2)( 2 2) 65( 2 2)( 2 2) 65( 4)
x x x x x x x
x x x x x x x x x
- + + + -
Û + -
+ + - + - + + + +
4 4
322( 4) 65( 4)
x x
= +
+
4 3 2 4 3 2 2
65x 130x 130x 65x 130x 130x 260x 1300
Þ - + + + + - + =322x4+1288
4 4
130x 1300 322x 1288
Û + = + Û 192x4=12
4 12 1
192 16 x
Û = = 1
x 2 Û = ±
Vậy
1 S 2
b) 2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30 8
x x +x x +x x +x x =
+ + + + + + + +
ĐK: x¹ -
{
2; 3; 4; 6 ;6- - - -}
1 1 1 1 1
(x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) 8
Û + + + =
+ + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 5 6 8
x x x x x x x x
Û - + - + - + - =
+ + + + + + + +
1 1 1
2 6 8
x x
Û - =
+ +
8( 6) 8( 2) ( 6)( 2) 8( 2)( 6) 8( 6)( 2) 8( 6)( 2)
x x x x
x x x x x x
+ + + +
Û - =
+ + + + + +
2 2
8x 48 8x 16 x 8x 12 x 8x 20 0
Þ + - - = + + Û + - =
2 2 10 20 0 ( 2) 10( 2) 0
x x x x x x
Û - + - = Û - + - = Û (x- 2)(x+10)=0
2 0 2
10 0 10
x x
x x
é - = é =
ê ê
Û êêë + = Û êêë = - (nhận). Vậy S
2; 10
c) 2 2 2
2 5 2 9
4 3 11 24 18 80 52
x x +x x +x x =
+ + + + + +
ĐKXĐ:x¹ - -
{
1; 3; 8; 10- -}
2 5 2 9
(x 3)(x 1) (x 8)(x 3) (x 8)(x 10) 52
Û + + =
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1 9
1 3 3 8 8 10 52
x x x x x x
Û - + - + - =
+ + + + + +
1 1 9
1 10 52
x x
Û - =
+ +
52( 10) 52( 1) 9( 10)( 1) 52( 1)( 10) 52( 10)( 1) 52( 10)( 1)
x x x x
x x x x x x
+ + + +
Û - =
+ + + + + +
52(x 10) 52(x 1) 9(x 10)(x 1)
Þ + - + = + +
52x 520 52x 52 9x2 99x 90
Û + - - = + +
2 2
9x 99x 378 0 x 11x 42 0
Û + - = Û + - = Û
(
x- 3)(
x+14)
=03 0 3
14 0 14
x x
x x
é - = é =
ê ê
Û êêë + = Û êêë = - (nhận). Vậy S
3; 14
d)
4 4 8 8 6
1 1 2 2
x x x x
x x x x
+ + - = + + - +
- + - + Điều kiện
x 1; x 2
5 5 10 10
1 1 1 1 6
1 1 2 2
x x x x
- -
Û + + + = + + + +
- + - +
1 1 1 1
5 10 6
1 1 2 2
x x x x
æ - ö÷ æ - ö÷
ç ÷ ç ÷
Û çççè - + + ÷÷ø- çççè - + + ÷÷ø=
5.2 10.4
(x 1)(x 1) (x 2)(x 2) 6
Û - =
- + - +
2 2 2 2
10(x 4) 40(x 1) 6(x 1)(x 4)
Þ - - - = - -
2 2 4 2 4
10x 40 40x 40 6(x 5x 4) 6x 24 0
Û - - + = - + Û + =
6(x4 4) 0
Û + = (vô nghiệm) vì x4 4 0 x. Vậy S
Bài 6: (Cách giải khác của Bài 3 – câu i)
Ta có
2 2
1 1
x x
x x
2 2
1 1
x x 0
x x . Điều kiện: x0
3 4
2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 x x x 0
x x
x x x x x x
+ - - = Û + - - =
( ) ( )
3 4 1 0 4 3 1 0
x x x x x x
Þ + - - = Û - - + - =
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3
1 1 0 1 1 0 1 0
1 0
x x x x x x
x é - = Û - - + - = Û - - = Û ê - =êêë
x 1(nhận)
Bài 7: Biểu thức có giá trị bằng 2 tức là
2 9 3
2 5 3 2 2
x x
x x . Ta sẽ đi giải phương trình này.
Điều kiện:
2 5 0 25
2 3 2 0
3 x x
x x
2 9 3
2 5 3 2 2
x x
x x
- + =
- -
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
2 9 3 2 3 2 5 2. 3 2 2 5
2 5 3 2 3 2 2 5 3 2 2 5
x x x x x x
x x x x x x
- - - - -
Û + =
- - - -
(
2x 9 3)(
x 2)
3 2x x(
5)
2. 3(
x 2 2)(
x 5)
Þ - - + - = - -
2 2 2
6x 4x 27x 18 6x 15x 12x 30x 8x 20 8x 2
Û - - + + - = - - + Û - =
1 x -4 Û =
(nhận)