Chuyên đề công thức lượng giác và phương trình lượng giác - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Định nghĩa

Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM= β với 0≤ β ≤ π2

Đặt α = β +k2 ,k Zπ ∈ Ta định nghĩa:

sinα =OK cosα =OH tg sin

cos α = α

α ^với cosα ≠0 cot g cos

sin α = α

α ^với sinα ≠0

II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α

Giá trị ^{0 0}

( )

^o ₆^π

( )

^{30o π}₄

( )

^45o ₃^π

( )

^60o ₂^π

( )

^90o

sinα 0 1

2 2

2

3 2

1

cosα 1 3

2

2 2

1 2

0

tgα ₀ 3

3

1 3 ^||

cot gα _|| 3 ¹ 3

3

0

III. Hệ thức cơ bản

2 2

sin α +cos α =1

2

2

1 tg 1 + α = cos

α ^{với α ≠ + π ∈π}₂ ^{k k Z}

( )

2

2

t cot g 1 + =sin

α ^{với α ≠ π ∈k k Z}

( )

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo) a. Đối nhau: α và −α

( )

sin −α = −sinα

( )

cos −α =cosα

( ) ( )

tg −α = −tg α

( ) ( )

cot g −α = −cot g α

b. Bù nhau: α và π − α

( )

( )

( )

( )

sin sin

cos cos

tg tg

cot g cot g π − α = α

π − α = − α π − α = − α

π − α = − α c. Sai nhau π: và α π + α

( )

( )

( )

( )

sin sin

cos cos

tg t g

cot g cot g π + α = − α π + α = − α π + α = α

π + α = α d. Phụ nhau: α và

2 π− α

sin cos

2

cos sin

2

tg cot g

2

cot g tg

2

⎛π− α =⎞ α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛π− α =⎞ α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛π− α =⎞ α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛π− α = α⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

e.Sai nhau 2

π_{: và} α 2 π+ α

sin cos

2

cos sin

2

tg cot g

2

cot g tg

2

⎛π+ α =⎞ α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛π+ α = −⎞ α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛π+ α = −⎞ α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛π+ α = − α⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

f.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

+ π = − ∈

+ π = − ∈

+ π = ∈

+ π =

k k

sin x k 1 sin x,k Z cos x k 1 cosx,k Z tg x k tgx,k Z

cot g x k cot gx

V. Công thức cộng

( )

( )

( )

sin a b sinacosb sin bcosa cos a b cosacosb sinasin b

tga tgb tg a b

1 tgatgb

± = ±

± =

± = ±

∓

∓ VI. Công thức nhân đôi

=

= − = − =

= −

= −

2 2 2 2

2 2

sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 tg2a 2tga

1 tg a cot g a 1 cot g2a

2cot ga

−

VII. Công thức nhân ba:

3 3

sin3a 3sina 4sin a cos3a 4cos a 3cosa

= −

= −

VIII. Công thức hạ bậc:

( )

( )

2

2

2

sin a 1 1 cos2a 2

cos a 1 1 cos2a 2

1 cos2a tg a 1 cos2a

= −

= +

= − + IX. Công thức chia đôi

Đặt t tga

= 2 (với a≠ π +k2π)

2 2 2

2

sina 2t

1 t cosa 1 t

1 t tga 2t

1 t

= +

= − +

= −

X. Công thức biến đổi tổng thành tích

( )

( )

a b a b cosa cosb 2cos cos

2 2

a b a b cosa cosb 2sin sin

2 2

a b a b sina sin b 2cos sin

2 2

a b a b sina sin b 2cos sin

2 2

sin a b tga tgb

cosacosb sin b a cot ga cot gb

sina.sin b

+ −

+ =

+ −

− = −

+ −

+ =

+ −

− =

± = ±

± = ±

XI. Công thức biển đổi tích thành tổng

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

cosa.cosb 1 cos a b cos a b 21

sina.sin b cos a b cos a b 2

sina.cosb 1 sin a b sin a b 2

= ⎡⎣ + + − ⎦

−

⎤

= ⎡⎣ + − − ⎦⎤

= ⎡⎣ + + − ⎤⎦

Bài 1: Chứng minh sin a cos a 1 2⁴₆ ⁴₆ sin a cos a 1 3

+ −

+ − = Ta có:

( )

²

4 4 2 2 2 2 2

sin a cos a 1+ − = sin a cos a+ −2sin acos a 1− = −2sin acos a² Và:

( )( )

( )

6 6 2 2 4 2 2 4

4 4 2 2

2 2 2 2

2 2

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1 sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 1 3sin acos a

+ − = + − +

= + − −

= − − −

= −

−

Do đó: sin a cos a 1⁴₆ ⁴₆ 2sin acos a 2₂² ₂² sin a cos a 1 3sin acos a 3

+ − = − =

+ − −

Bài 2: Rút gọn biểu thức

( )

²

2

1 cosx 1 cosx

A 1

sin x sin x

⎡ − ⎤

= + = +⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Tính giá trị A nếu cosx 1

= −2 và x 2

π< < π

Ta có: A 1 cosx sin x 1 2cosx cos x² ₂ ²

sin x sin x

⎛ ⎞

+ + − +

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

2

2 1 cosx 1 cosx

A .

sinx sin x + −

⇔ =

(

²

)

²

3 3

2 1 cos x 2sin x 2 A sin x sin x sin x

⇔ = − = = (với sinx 0≠ )

Ta có: sin x 1 cos x 1^{2 2} 1 3

= − = − =4 4

Do: x

2

π< < π nên sinx 0>

Vậy sin x 3

= 2

Do đó A 2 4 4

sin x 3 3

= = = 3

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a. A=2cos x sin x sin xcos x 3sin x⁴ − ⁴ + ^{2 2} + ²

b. 2 cot gx 1

tgx 1 cot gx 1 +

− −

B= +

a. Ta có:

4 4 2 2

A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x= − + + ²

( ) ( ) ( )

( )

4 2 2 2 2 2

4 2 4 2 4

A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x

⇔ = − − + − + −

⇔ = − − + + − + − ²

A 2

⇔ = (không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1≠ ≠ Ta có: B 2 cot gx

tgx 1 cot gx 1 1

= + +

− −

1 1

2 tgx 2

B tgx 1 1 1 tgx 1 1 tgx tgx

+ +

⇔ = + = +

− − −

1 tgx

−

( )

2 1 tgx 1 tgx

B 1

tgx 1 tgx 1

− − −

⇔ = = = −

− − (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh

( )

^{2 2 2} 2 2

2 2 2

1 cosa

1 cosa 1 cos b sin c cot g bcot g c cot ga 1 2sina sin a sin bsin c

⎡ − ⎤

+ −

− + − =

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

− Ta có:

* cos b sin c cotg b.cotg c²_{2 2}^{2 2 2} sin b.sin c

− −

2 2 2

2 2

cotg b 1 cot g bcot g c sin c sin b

= − −

( ) ( )

2 2 2 2 2

cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g bcot g c 1

= + − + − = − (1)

*

( )

²

2

1 cosa 1 cosa 1

2sina sin a

⎡ − ⎤

+ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )

²

2

1 cosa 1 cosa 1

2sina 1 cos a

⎡ − ⎤

= + ⎢ − ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

1 cosa 1 1 cosa 2sina 1 cosa

+ ⎡ − ⎤

= ⎢⎣ − + ⎥⎦ 1 cosa 2cosa. c

2sina 1 cosa

= + =

+ ot ga (2)

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC= Ta có: A B+ = π −C

Nên: ^{tg A B}

(

⁺

)

^{= −tgC}

tgA tgB tgC 1 tgA.tgB

⇔ + =

− −

+ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC

⇔ + = − +

Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥ 3

P 3 P3

⇔ ≥

3P2 3 P 3 3

⇔ ≥

⇔ ≥

Dấu “=” xảy ra

= =

⎧ π

⇔⎪⎨⎪⎩ < < π ⇔ = tgA tgB tgC

A B C 3 0 A,B,C

2

= =

Do đó:

MinP 3 3 A B C

3

= ⇔ = = = π

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a/ y 2sin x cos 2x= ⁸ + ⁴

b/ y = ⁴sin x − cosx a/ Ta có :

4

1 cos 2x 4

y 2 cos 2x

2

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

Đặt t cos 2x= với − ≤ ≤1 t 1 thì

( )

^{4 4}

y 1 1 t

= 8 − +t

=> ^{y '= −1}₂

(

^{1 t−}

)

^{3 +4t3}

Ta có : ^{y ' 0=} Ù

(

^{1 t−}

)

^{3 =8t3}

⇔ 1 t− = 2t

⇔ t 1

= 3

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y 1 1

3 2

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠ 7

Do đó : và

∈ =

x y 3

Max ∈ =

x

y 1 Min 27

b/ Do điều kiện : sinx 0≥ và cos x 0≥ nên miền xác định

⎡ π ⎤

= ⎢⎣ π + π⎥⎦ D k2 , k2

2 ^với k∈

Đặt t = cosx với 0 t 1≤ ≤ thì t⁴ = cos x 1 sin² = − ²x Nên sin x = 1 t− ⁴

Vậy y = ⁸1 t− ⁴ −t trên ^D'=

[ ]

^0,1

Thì

( )

= − − <

−

3 4 7 8

y ' t 1 0

2. 1 t ^{∀ ∈t}

[

^{0; 1}

)

Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :^{max y y 0}_{x D∈} ⁼

( )

^{=1, min y y 1}_{x D∈} ⁼

( )

^{= −1}

Bài 7: Cho hàm số y = sin x cos x 2msin x cos⁴ + ⁴ − x Tìm giá trị m để y xác định với mọi x

Xét f (x) sin x cos x 2m sin x cos x= ⁴ + ⁴ −

( ) (

^{2 2}

)

^{2 2}

f x = sin x cos x+ −m sin 2x 2sin x cos x− ²

( )

^{1 2}

f x 1 sin 2x msin 2x

= − 2 −

Đặt : t sin 2x= với ^{t∈ −}

[

^1,1

]

y xác định ∀x ⇔ ^{f x}

( )

^{≥ ∀ ∈0 x R}

⇔ 1⁻1₂t^{2 −mt ≥0 ∀ ∈t}

[

^−1,1

]

⇔ ^{g t}

( )

^{= t2 +2mt 2 0− ≤ t}

[

^−1,1

]

t

∀ ∈

Do Δ =' m² + >2 0 ∀m nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2

Lúc đó t t1 t2

g(t) + 0 - 0

Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ t₁ ≤ − < ≤1 1 ₂

⇔

( )

⇔

( )

1g 1 0 1g 1 0

⎧⎪ − ≤

⎨ ≤

⎪⎩

2m 1 0 2m 1 0

− − ≤

⎧⎨ − ≤

⎩

⇔ m 1

2 m 1

2

⎧ ≥ −

⎪⎪⎨

⎪ ≤

⎪⎩

⇔ 1 m 1

2 2

− ≤ ≤

Cách khác :

g t

( )

^{= t2+2mt 2 0− ≤ ∀ ∈ −t}

[

^1,1

]

{ }

[ , ]

max ( ) max ( ), ( )

t g t g g

⇔ ∈ − ≤ ⇔ − ≤

1 1 0 1 1 0

{ }

max m ), m )

⇔ −2 − −1 2 +1 ≤0⇔ m 1

2 m 1

2

⎧ ≥ −

⎪⎪⎨

⎪ ≤

⎪⎩

⇔ − ≤ ≤1 m 1

2 2

Bài 8 : Chứng minh A sin⁴ sin⁴ 3 sin⁴ 5 sin⁴7

16 16 16 16 2

π π π π

= + + + = 3

Ta có : sin⁷ sin cos

16 2 16 16

π = ⎛⎜π− π ⎞⎟ = π

⎝ ⎠

π = ⎛⎜⎝π− π⎞⎟⎠=

5 5

sin cos cos

16 2 16 16

3π

Mặt khác : ^{sin4α +cos4α =}

(

^{sin2α +cos2α −}

)

^{2 2sin2αcos2α}

2 2

1 2sin cos

= − α α

1 2

1 sin 2

= −2 α

Do đó : A sin⁴ sin⁴7 sin⁴ 3 sin⁴

16 16 16 16

π π π π

= + + + 5

4 4 4 3 4 3

sin cos sin cos

16 16 16 16

π π π

⎛ ⎞ ⎛

=⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝+ +

π ⎞⎟⎠

2 2

1 1

1 sin 1 sin

2 8 2 8

3

π π

⎛ ⎞ ⎛

=⎜⎝ − ⎟ ⎜⎠ ⎝+ −

⎞⎟

⎠

2 2

1 3

2 sin sin

2 8 8

π π

⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ⎟⎠

2 2

2 1 sin cos

2 8 8

π π

⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ⎟⎠ ^π = ^π

⎝ ⎠

do sin3 cos

8 8

⎛ ⎞

⎜ ⎟

1 3 2 2 2

= − =

Bài 9 : Chứng minh :16sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70^{o o o o} =1 Ta có : A A cos10_o^o 1

cos10 cos10

= = _o (16sin10^ocos10^o)sin30^o.sin50^o.sin70^o

⇔ o

(

^o

)

^o

1 1 _o

A 8 sin 20 cos 40 . cos 20 2

cos10

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ o

(

^{0 o}

)

1 o

A 4 sin 20 cos 20 .cos 40 cos10

=

⇔ o

(

^o

)

^o

A 1 2 sin 40 cos 40 cos10

=

⇔ A 1 _o sin 80^o cos10^o_o 1

cos10 cos10

= = =

Bài 10 : Cho ΔABC. Chứng minh : tg tgA B tg tgB C tg tgC A 1 2 2 + 2 2 + 2 2 =

Ta có : A B C

2 2

+ = π − 2 Vậy : tgA B cot gC

2 2

+ =

⇔

A B

tg 2 tg 2 1

A B C

1 tg .tg tg

2 2 2

+ =

−

⇔ tg^A tg^B tg^C 1 tg ^Atg

2 2 2 2

⎡ + ⎤ = −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B 2

⇔ tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1 2 2 + 2 2 + 2 2 =

Bài 11 : Chứng minh : ^{8 4tg+} ₈^π+2tg₁₆^{π +tg}₃₂^{π = cot g}₃₂^π

( )

^*

Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg

32 32 16 8

π π π

= − − − π

Mà : cot ga tga cos a sin a cos a sin a^{2 2} sin a cos a sin a cos a

− = − = −

cos 2a 2 cot g2a 1 sin2a

2

= =

Do đó :

(*) ⇔ cot g tg 2tg 4tg 8

32 32 16 8

π π π π

⎡ − ⎤− −

⎢ ⎥

⎣ ⎦ =

⇔ 2cot g 2tg 4tg 8

16 16 8

π π π

⎡ − ⎤−

⎢ ⎥

⎣ ⎦ =

⇔ 4 cot g 4tg 8

8 8

π − π =

⇔ 8cot g 8 4

π = (hiển nhiên đúng)

Bài :12 : Chứng minh :

a/ cos x cos^{2 2 2} x cos^{2 2} x

3 3

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3

+ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠ = 2

b/ 1 1 1 1 cot gx cot g16x

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = − a/ Ta có : cos x cos^{2 2 2} x cos^{2 2} x

3 3

π π

⎛ ⎞ ⎛

+ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ −

⎞⎟

⎠

( )

1 1 cos 2x 1 1 cos 2x 4 1 1 cos 4 2x

2 2 3 2 3

⎡ ⎛ π ⎤⎞ ⎡ ⎛ π ⎤

= + + + ⎜ + ⎟ + + ⎜ − ⎞

⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎝ ⎟⎠⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 1 cos 2x cos 2x 4 cos 4 2x

2 2 3 3

⎡ ⎛ π⎞ ⎛

= + ⎢⎣ + ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎥⎦ π ⎞⎤

⎟⎠ 3 1 cos 2x 2cos 2x cos4

2 2 3

⎡ π⎤

= + ⎢⎣ + ⎥⎦

3 1 cos 2x 2cos 2x 1

2 2 2

⎡ ⎛ ⎞⎤

= + ⎢⎣ + ⎜⎝− ⎟⎠⎥⎦ 3

= 2

b/ Ta có : cot ga cot gb cosa cos b sin b cosa sin a cos b sin a sin b sin a sin b

− = − = −

( )

sin b a sin a sin b

= −

Do đó : cot gx cot g2x ^{sin 2x x}

( )

¹

( )

1 sin x sin 2x sin 2x

− = − =

( ) ( )

sin 4x 2x 1

cot g2x cot g4x 2

sin 2x sin 4x sin 4x

− = − =

( ) ( )

sin 8x 4x 1

cot g4x cot g8x 3

sin 4x sin 8x sin 8x

− = − =

( ) ( )

sin 16x 8x 1

cot g8x cot g16x 4

sin16x sin 8x sin16x

− = − =

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được

1 1 1 1

cot gx cot g16x

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x

− = + + +

Bài 13 : Chứng minh : 8sin 18^{3 0} +8sin 18^{2 0} =1 Ta có: sin18⁰ = cos72⁰

⇔ sin18⁰ = 2cos²36⁰ - 1

⇔ sin18⁰ = 2(1 – 2sin²18⁰)² – 1

⇔ sin18⁰ = 2(1 – 4sin²18⁰+4sin⁴18⁰)-1

⇔ 8sin⁴18⁰ – 8sin²18⁰ – sin18⁰ + 1 = 0 (1 )

⇔ (sin18⁰ – 1)(8sin³18⁰ + 8sin²18⁰ – 1) = 0

⇔ 8sin³18⁰ + 8sin²18⁰ – 1 = 0 (do 0 < sin18⁰ < 1) Cách khác :

Chia 2 vế của (1) cho ( sin18⁰ – 1 ) ta có ( 1 ) ⇔ 8sin²18⁰ ( sin18⁰ + 1 ) – 1 = 0 Bài 14 : Chứng minh :

a/ sin x cos x^{4 4 1}

(

3 cos4x

)

+ = 4 +

b/ sin 6x cos6x ¹

(

5 3cos4x

)

+ = 8 +

c/ sin x cos x^{8 8 1}

(

35 28cos4x cos8x

)

+ = 64 + +

a/ Ta có: sin x cos x⁴ + ⁴ =

(

sin x cos x² + ²

)

² −2sin x cos x^{2 2} 2 2

1 sin 2

= − 4 x

( )

1 1 1 cos4

= −4 − x 3 1 cos4x

= 4 4+ b/ Ta có : sin6x + cos6x

(

sin x cos x sin x sin x cos x cos x^{2 2}

)(

^{4 2 2 4}

)

= + − +

(

sin x cos x^{4 4}

)

¹sin 2x²

= + − 4

3 1cos 4x 1

(

1 cos 4x

4 4 8

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠− −

)

( do kết quả câu a ) 3cos4x 5

8 8

= +

c/ Ta có : sin x cos x^{8 + 8 =}

(

sin x cos x^{4 + 4}

)

^{2 −}2sin x cos x^{4 4}

( )

= 1 3 cos4x+ ² − 2 sin 2x⁴

16 16

( )

^⎡

( )

^⎤

= + + − ⎢⎣ − ⎥⎦

2

1 9 6cos 4x cos 4x2 1 1 1 cos 4x

16 8 2

( ) (

²

)

9 3cos4x 1 1 cos8x 1 1 2cos4x cos 4x

16 8 32 32

= + + + − − +

( )

= 9 + 3cos4x+ 1 cos8x+ 1 cos4x− 1 1 cos8x+

16 8 32 16 64

35 7 cos4x 1 cos8x

64 16 64

= + +

Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x³ + ³ = ³ Cách 1:

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x³ + ³ = ³

(

3sin x 4 sin x sin x³

)

³

(

4 cos x 3cos x cos x³

)

³

= − + −

4 6 6

3sin x 4sin x 4 cos x 3cos x

= − + − ⁴

(

^{4 4}

) (

^{6 6}

)

3 sin x cos x 4 sin x cos x

= − − −

(

^{2 2}

)(

^{2 2}

)

3 sin x cos x sin x cos x

= − +

(

^{2 2}

)(

^{4 2 2 4}

)

4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x

− − + +

2 2

3cos 2x 4 cos 2x 1 sin x cos x⎡ ⎤

= − + ⎣ − ⎦

1 2

3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x 4

⎛ ⎞

= − + ⎜⎝ − ⎟⎠

1 2

cos 2x 3 4 1 sin 2x 4

⎡ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣− + ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦

(

²

)

cos 2x 1 sin 2x

= −

cos 2x3

= Cách 2 :

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x³ + ³

3sin x sin 3x 3cos x cos 3x

sin 3x cos 3x

4 4

− +

⎛ ⎞ ⎛

= ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝

⎞⎟

⎠

( ) (

^{2 2}

)

3 sin 3x sin x cos3x cos x 1 cos 3x sin 3x

4 4

= + + −

( )

3cos 3x x 1cos6x

4 4

= − +

( )

1 3cos2x cos3.2x

= 4 +

( )

= 1 3cos2x 4cos 2x 3cos2x+ ³ −

4 ( bỏ dòng này cũng được)

cos 2x3

=

Bài 16 : Chứng minh : cos12^o cos18^o 4 cos15 .cos 21 cos 24^{o o o 3 1} 2

+ − = − +

Ta có : ^cos12o +^cos18o −4 cos15 cos 21 cos 24^o

(

^{o o}

)

( )

o o o o

2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3

= − + ^o

o o o o o o

2cos15 cos3 2cos15 cos45 2cos15 cos3

= − −

o o

2cos15 cos45

= −

(

^{cos 60o cos 30o}

)

= − +

3 1 2

= − +

Bài 17 : Tính P sin 50= ^{2 o} +sin 70 cos50 cos70² − ^{o o}

Ta có : ^{P = 1}₂

(

^{1 cos100− o}

) (

⁺¹₂ ^{1 cos140− o}

) (

^{− 1}₂ ^{cos120o +cos20o}

)

(

^{o o}

)

1 1 1

P 1 cos100 cos140 cos 20

2 2 2

⎛ ⎞

= − + − ⎜⎝− + ⎟⎠

o

(

^{o o}

)

^{1 1}

P 1 cos120 cos20 cos20

= − + 4 2− ^o

o o

5 1 1 5

P cos20 cos20

4 2 2 4

= + − =

Bài 18 : Chứng minh : tg30^o tg40^o tg50^o tg60^{o 8 3}cos 20

+ + + = 3 ^o

Áp dụng : _{tga tgb} ^{sin a b}

( )

cos a cos b + = +

Ta có :

(

^{tg50o +tg40o}

) (

^{+ tg30o +tg60o}

)

o o

o o o

sin 90 sin 90 cos50 cos 40 cos 30 cos60

= + _o

o o

o

1 1

sin 40 cos 40 1cos 30 2

= +

o o

2 2

sin 80 cos30

= +

o o

1 1

2 cos10 cos 30

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

o o

o o

cos30 cos10 2 cos10 cos 30

⎛ + ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

p o

o o

cos 20 cos10 4cos10 cos 30

=

8 3 cos20o

= 3

Bài 19 : Cho ΔABC, Chứng minh :

a/ sin A sin B sin C 4 cos cos cosA B C

2 2

+ + =

2 b/ socA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C

2 2

+ + = +

2 c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C+ + = d/ cos A cos B cos C² + ² + ² = −2cos A cosBcosC e/ tgA +tgB tgC tgA.tgB.tgC+ =

f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + = g/ cot gA +cot gB+cot gC =cot g .cot g .cot gA B

2 2 2 2 2

C 2

a/ Ta có : sin A sin B sin C 2sin^{A B}cos^{A B} sin A B

( )

2 2

+ −

+ + = + +

A B A B A B

2sin cos cos

2 2 2

+ ⎛ − + ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

+ π

⎛ ⎞

= ⎜⎝ = ⎟⎠

C A B A B C

4 cos cos cos do

2 2 2 2 2 2−

b/ Ta có : cos A cosB cosC 2cos^{A B}cos^{A B} cos A B

( )

2 2

+ −

+ + = − +

A B A B 2 A B

2cos cos 2cos 1

2 2 2

+ − ⎛ + ⎞

= − ⎜⎝ − ⎟⎠

A B A B A B

2cos cos cos 1

2 2 2

+ ⎡ − + ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦+

A B A B

4 cos sin sin 1

2 2 2

+ ⎛ ⎞

= − ⎜⎝− ⎟⎠+

C A B

4sin sin sin 1

2 2 2

= +

c/ sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B+ =

(

+

) (

−

)

+2sin C cosC

= 2sin C cos(A B) 2sin C cosC− +

= 2sinC[cos(A B) cos(A B) ]− − +

2

= −4sinCsin A sin( B)−

= 4 sin C sin A sin B d/ cos A cos B cos C² + ² +

( )

²

1 1 cos2A cos2B cos C

= + 2 + +

( ) ( )

²

1 cos A B cos A B cos C

= + + − +

( )

1 cosC cos A B cosC

= − ⎡⎣ − − ⎤⎦ do

(

^{cos A B}

(

⁺

)

^{= −cosC}

)

( ) ( )

1 cosC cos A B cos A B

= − ⎡⎣ − + + ⎤⎦

1 2 cos C.cos A.cos B

= −

e/ Do a b+ = π −C nên ta có ^{tg A B}

(

⁺

)

^{= −tgC}

⇔ tgA tgB tgC 1 tgAtgB

+ = −

−

⇔ tgA tgB+ = −tgC tgAtgBtgC+

⇔ tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + = f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC

⇔ 1 tgAtgB cot gC tgA tgB

− = −

+

⇔ cot gA cot gB 1 cot gC cot gB cot gA

− = −

+ (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)

⇔ cot gA cot gB 1− = −cot gCcot gB cot gA cot gC−

⇔ cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ + = g/ Ta có : tgA B cot gC

2 2

+ =

⇔

A B

tg 2 Atg 2B cot gC2 1 tg tg

2 2

+ =

−

⇔

A B

cot gA2 cot gB 2 cot gC2 cot g .cot g 1

2 2

+ =

− (nhân tử và mẫu cho cotg^A

2 .cotgB 2)

⇔ cot gA cot gB cot g cot g cot gA B C cot g

2 + 2 = 2 2 2 − C

2

⇔ cot gA cot gB cot gC cot g .cot g .cot gA B

2 + 2 + 2 = 2 2 C

2 Bài 20 : Cho ΔABC. Chứng minh :

cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)

= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos²C

= - 2cosCcos(A - B) + 2cos²C

= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

Bài 21 : Cho ΔABC. Chứng minh :

cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin3Asin3Bsin3C

2 2 2

Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C

3 3 2

2cos (A B) cos (A B) 1 2sin

2 2

= + − + − 3C

2 Mà : A B+ = π −C nên ³₂

(

^{A B+}

)

^{= π −3}₂ ^3C₂

=> ^cos3₂

(

^{A B+}

)

^{= cos⎛}_⎜³₂^{π − ⎞}_⎟

⎝ ⎠

3C 2 cos 3C

2 2

⎛π ⎞

= − ⎜⎝ − ⎟⎠ sin3C

= − 2

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C

( )

2

3 A B

3C 3C

2sin cos 2sin 1

2 2 2

= − − − +

( )

3 A B

3C 3C

2sin cos sin 1

2 2 2

−

⎡ ⎤

= − ⎢ + ⎥+

⎣ ⎦

( ) ( )

3 A B

3C 3

2sin cos cos A B 1

2 2 2

−

⎡ ⎤

= − ⎢ − + ⎥+

⎣ ⎦

= 4 sin3Csin3Asin(−3B) 1+

2 2 2

3C 3A 3B

4sin sin sin 1

2 2 2

= − +

Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :

sin A sin B sin C tg tg cot gA B C cos A cosB cosC 1 2 2 2

+ −

+ − + =

Ta có :

2

A B A B C C

2sin cos 2sin cos

sin A sin B sin C 2 2 2

A B A B C

cos A cos B cosC 1 2cos cos 2sin

2 2 2

2

+ − −

+ − = + −

+ − + +

C A B C A B A

2cos 2 cos 2 sin2 cot g .C cos 2 cos 2 B

A B A

C A B C 2 cos cos

2sin 2 cos 2 sin 2 2 2

⎡ − ⎤

B

− +

− −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

− +

⎡ − + ⎤ +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A B

2sin .sin

C 2 2

cot g .2 2cos .cosA B

2 2

⎛ ⎞

− ⎜⎝− ⎟⎠

=

C A B cot g .tg .tg

2 2 2

=

Bài 23 : Cho ΔABC. Chứng minh :

A B C B C A C A B

sin cos cos sin cos cos sin cos cos

2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2

A B C A B B C A C

( )

sin sin sin tg tg tg tg tg tg *

2 2 2 2 2 2 2 2 2

= + + +

Ta có : A B C

2 2 2

+ π

= − vậy tg ^{A B} cot g^C

2 2 2

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔

A B

tg 2 tg 2 1

A B C

1 tg tg tg

2 2 2

+ =

−

⇔ tg^A tg^B tg^C 1 tg ^Atg

2 2 2 2

⎡ + ⎤ = −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B 2

⇔^{tg tgA}₂ ^C₂ ^{+tg tgB}₂ ^C₂ ^{+tg tgA}₂ ^B₂ ^{=1 1}

( )

Do đó : (*) Ù sin cos cosA B C sin cos cosB C A sin cos cosC A

2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 B2

A B C

sin sin sin 1

2 2 2

= + (do (1))

⇔ sin^A cos cos^{B C} sin sin^{B C} cos^A sin cos^{B C} sin cos^{C B} 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ − ⎤+ ⎡ +

⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦

⇔ sin cosA B C cos sinA B C 1

2 2 2 2

+ + + =

⇔ sinA B C 1 2

+ + = ⇔ sinπ 1

2 = ( hiển nhiên đúng)

Bài 24 : Chứng minh : tg^A tg^B tg^C 3 cos A cosB cosC

( )

* 2 2 2 sin A sin B sin C

+ + +

+ + =

+ +

Ta có :

A B A B 2C

cos A cos B cosC 3 2cos cos 1 2sin 3

2 2 2

+ − ⎡ ⎤

+ + + = + ⎢⎣ − ⎥⎦+

C A B 2

2sin cos 4 2sin

2 2

C 2

= − + −

C A B C

2sin cos sin 4

2 2 2

⎡ − ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦+

C A B A B

2sin cos cos 4

2 2 2

− +

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦+

C A B

4 sin sin .sin 4

2 2 2

= + (1)

A B A B

sin A sin B sin C 2sin cos sin C

2 2

+ −

+ + = +

C A B C

2cos cos 2sin cos

2 2 2

C 2

= − +

C A B A B

2cos cos cos

2 2 2

− +

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦

C A

4 cos cos cos

2 2

= B

2 (2) Từ (1) và (2) ta có :

(*) ⇔

A B C A B C

sin sin sin sin sin sin 1

2 2 2 2 2 2

A B C A B C

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

+ + = +

⇔ sin^A cos cos^{B C} sin^B cos cos^{A C} sin^C cos cos^{A B}

2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤+ ⎡ ⎤+ ⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

A B C

sin sin sin 1

2 2 2

= +

⇔ sin^A cos cos^{B C} sin sin^{B C} cos^A sin cos^{B C} sin cos^{C B} 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ − ⎤+ ⎡ +

⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦

⇔ sin .cosA B C cos sinA B C 1

2 2 2 2

+ + + =

⇔sin ^{A B C} 1 2

+ +

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⇔ sin 1 2

π = ( hiển nhiên đúng)

Bài 25 : Cho ΔABC. Chứng minh:

A B C

sin sin sin

2 2 2 2

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

+ + =

Cách 1 :

A B A A B B

sin sin sin cos sin cos

2 2 2 2 2 2

B C C A A B C

cos cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2 2

+ = +

Ta có :

A B A

sin cos

1 sin A sin B 2 2

B

A B C A B C

2 cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

+ −

= + =

⎛ − ⎞

− ⎜⎝ ⎟⎠

= =

C A B cos A B

cos .cos2 2 2

A B C A

cos .cos .cos cos cos

2 2 2 2

B 2

Do đó : Vế trái

A B C A B A

cos 2 sin2 cos 2 cos

A B A B A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

⎛ − ⎞ B

2

− + +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + =

A B

2cos cos

2 2 2

A B

cos cos

2 2

= =

Cách 2 : Ta có vế trái

B C A C A B

cos cos cos

2 2

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2

+ + +

= + + 2

B C B C A C2 A C

cos cos sin sin cos cos sin sin

2 2 2 2 2 2 2

B C C A

cos cos cos cos

2 2 2 2

− −

= + 2

A B A

cos cos sin sin

2 2 2

A B

cos cos

2 2

+ −

B 2

B C A C A B

3 tg tg tg tg tg tg

2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤

= −⎢⎣ + + ⎥⎦

Mà : tg tgA B tg tgB C tg tgA B 1 2 2 + 2 2 + 2 2 = (đã chứng minh tại bài 10 )

Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 : Cho ΔABC. Có cot g ,cot g ,cot gA B

2 2

C

2 theo tứ tự tạo cấp số cộng.

Chứng minh cot g .cot gA C 3

2 2 =

Ta có : cot g ,cot g ,cot gA B

2 2

C

2 là cấp số cộng

⇔ cot gA cot gC 2cot gB 2 + 2 =

2

⇔

+

=

A C B

sin 2cos

2 2

A C B

sin sin sin

2 2 2

⇔

cosB

2 2

A C B

sin sin sin

2 2 2

=

⇔ 1 = 2+

A C A

sin sin cos

2 2 2

C (do 0<B<π nên cosB 0 2 > )

⇔

A C A C

cos cos sin sin

2 sin .sin2A C2 2 2

2 2

− = ⇔ cot g cot gA C 3

2 2 =

Bài 27 : Cho ΔABC. Chứng minh :

1 1 1 1 tgA tgB tgC cot gA cot gB cot gC

sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤

+ + = ⎢⎣ + + + + + ⎥⎦

Ta có : cot gA cot gB cot gC cot g .cot g .cot gA B

2 + 2 + 2 = 2 2 C

2 (Xem chứng minh bài 19g )

Mặt khác :tg cot g sin cos 2

cos sin sin 2

α α

α + α = + =

α α α

Do đó : ¹ tg^A tg^B tg^C cotg ^A cotg^B cotg^C

2 2 2 2 2 2 2

⎡ + + + + + ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 tgA tgB tgC 1 cotg A cotgB cotgC

2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤ ⎡

= + + + + + ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 tgA cot gA 1 tgB cot gB 1 tgC cot gC

2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

= + + + + + ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 1

sin A sin B sin C

= + +

BÀI TẬP 1. Chứng minh :

a/ cos cos2 1

5 5

π− π = 2 b/ cos15^o_o sin15^o_o 3

cos15 sin15

+ =

−

c/ cos2 cos4 cos6

7 7 7

π π π

+ + = 1

−2

d/ sin 2xsin 6x cos 2x.cos6x cos 4x³ + ³ = 3

e/ tg20 .tg40 .tg60 .tg80^{o o o o} =3

f/ tg^π+tg2^π +tg5^π+tg^π = 8 3cos

6 9 18 3 3

π 9

g/ cos .cos2 .cos3 .cos4 .cos5 .cos6 .cos7 ₇

15 15 15 15 15 15 15 2

π π π π π π π = 1

2cos B

h/ tgx.tg x .tg x tg3x

3 3

π π

⎡ − ⎤ ⎡ + ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k/ tg20^o +tg40^o + 3tg20 .tg40^{o o} = 3 e/ sin 20 .sin 40 .sin 80^{o o o 3}

= 8 m/ tg5 .tg55 .tg65 .tg75^{o o o o} =1

2. Chứng minh rằng nếu

( )

( ) ( )

sin x 2sin x y

x y 2k 1 k z

2

= +

⎧⎪

⎨ + ≠ + π ∈

⎪⎩

thì ( ) ^sin cos tg x y y

+ = y

−2

3. Cho ΔABC có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥ a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q

Chứng minh (p-1)(q-1)≥4

4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :

a/ A sin x 1 sin x= ⁴

(

+ ²

)

+cos x 1 cos x⁴

(

+ ²

)

+5sin x cos x 1^{2 2} + b/ B 3 sin x cos x=

(

⁸ − ⁸

) (

+4 cos x 2sin x⁶ − ⁶

)

+6sin x⁴

c/ ^{C cos x a}= ²

(

−

)

+^{sin x b2}

(

−

)

−2cos x a sin x b sin a b

(

−

) (

−

) (

−

)

5. Cho ΔABC, chứng minh :

a/ cot gB cosC cot gC cosB sin Bcos A sin Ccos A

+ = +

b/ sin A sin B sin C 3cos cos cos^{3 3 3} A B C cos3Acos3Bcos3

2 2 2 2 2 2

+ + = + C

c/ sin A sin B sin C cos .cosA B C cos .cosB A C

2 2 2 2

− −

+ + = +

C A

cos .cos

2 2

B + −

d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 e/ cos A cos B cos C 1 2cos A cosBcosC² + ² + ² = − f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a/ y 1 1

sin x cos x

= + với 0 x

2

< < π b/ y 4x= + 9π +sin x

x với 0 x< < ∞ c/ y 2sin x 4 sin x cos x= ² + + 5 7. Tìm giá trị lớn nhất của :

a/ y sin x cos x cos x sin x= + b/ y = sinx + 3sin2x

c/ y cos x= + 2 cos x− ²

Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

= + π

= ⇔ ⎢⎡⎣ = π − + π u v k2 sin u sin v

u v k2

cosu cos v= ⇔ = ± +u v k2π

⎧ ≠ + ππ

= ⇔ ⎨⎪

⎪ = + π

⎩

u k

tgu tgv 2

u v k '

(

^{k, k ' Z∈}

)

cot gu cot gv u k

u v k '

⎧ ≠ π

= ⇔ ⎨⎩ = + π

Đặc biệt : sin u 0= ⇔ = πu k cos u 0= ⇔ =u π + πk 2

(

sin u 1 u k2 k Z

2

= ⇔ = π + π ∈

)

cosu 1= ⇔ =u k2π

(

k Z∈

)

sin u 1 u k2

2

= − ⇔ = − +π π cosu = − ⇔ = π +1 u k2π Chú ý : sinu 0≠ ⇔ cosu ≠ ±1

cosu 0≠ ⇔ sin u ≠ ±1

Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)

[ ]

x∈ 0,14 nghiệm đúng phương trình Tìm

( )

cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0 *− + − =

Ta có (*) : ⇔

(

4 cos x 3cos x³ −

) (

−4 2 cos x 1² −

)

+3cos x 4 0− =

⇔ 4 cos x 8cos x 0³ − ² = ⇔ 4 cos x cos x 2²

(

−

)

= 0

⇔ cos x 0 hay cos x 2 loại vì cos x 1^{= =}

(

≤

)

⇔ ^{x =} ₂^{π + πk k}

(

^∈Z

)

Ta có : ^x∈

[

^0,14

]

^{⇔ ≤0} ₂^{π+ π ≤k 14}

⇔ k 14

2 2

π π

− ≤ π ≤ − ⇔ 0,5 1 k 14 1 3,9

2 2

− = − ≤ ≤ − ≈ π

Mà k Z∈ nên k∈

{

0,1,2,3

}

. Do đó : x ,^{3 5 7}, , 2 2 2 2 π π π π

⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình :

(

2 cos x 1 2sin x cos x−

)(

+

)

=sin 2x sin x *−

( )

Ta có (*) ⇔

(

2 cos x 1 2sin x cos x⁻

)(

⁺

)

⁼sin x 2 cos x 1

(

−

)

⇔

(

^{2cos x 1}−

) (

⎡⎣ 2sin x cos x+

)

−sin x⎤⎦ =0

)

⇔

(

2 cos x 1 sin x cos x−

)(

+ =0

⇔ cos x 1 sin x cos x

= 2 ∨ = −

⇔ cos x cos tgx 1 tg

3 4

π ⎛ π⎞

= ∨ = − = ⎜⎝− ⎟⎠

⇔ x ^{= ± +π} k2π ∨ = − + πx ^π k , k

(

∈

)

3 4 Z

Bài 30 : Giải phương trình cos x cos2x cos3x cos4x 0(*)+ + + = Ta có (*) ⇔

(

cos x cos 4x+

) (

+ cos 2x cos 3x+

)

=0

⇔ 2cos5x.cos3x 2cos5x.cosx 0

2 2 + 2 2 =

⇔ 2cos5x cos3x cosx 0

2 2 2

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ 4 cos5xcos x cosx 0

2 2 =

⇔ cos5x 0 cos x 0 cosx 0

2 = ∨ = ∨ 2 =

⇔ 5x = π + π ∨ =k x π + π ∨k x = π + πk

2 2 2 2 2

⇔ x ^{= π +} 2k^{π∨ =}x ^π + π ∨ = π + πk x 2 ,

(

∈

)

5 5 2 k Z

Bài 31: Giải phương trình sin x sin 3x cos 2x cos 4x *² + ² = ² + ²

( )

Ta có (*) ⇔ ¹₂

(

^{1 cos 2x−}

)

^{+ 1}₂

(

^{1 cos6x−}

)

^{= 1}₂

(

^{1 cos 4x+}

)

⁺¹₂

(

^{1 cos 8x+}

)

⇔ −

(

cos 2x cos 6x+

)

=cos 4x cos 8x+

⇔ −2cos4x cos2x 2cos6x cos2x=

⇔ 2 cos 2x cos 6x cos 4x

(

+

)

= 0

⇔ 4 cos2x cos5x cos x 0=

⇔ cos2x 0 cos5x 0 cos x 0= ∨ = ∨ =

⇔ 2x = π + π ∨k 5xπ+ π ∨ =k x π + π ∈k , k ]

2 2 2

⇔ π π π π π

= + k ∨ = + k ∨ = + π

x x x k

4 2 10 5 2 , k∈]

Bài 32 : Cho phương trình

π

( )

⎛ ⎞

− = ⎜⎝ − ⎟⎠−

2 2 x 7

sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *

4 2 2

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: x 1− < 3

Ta có : (*)⇔ sin x.cos 4x ¹

(

1 cos 4x

)

2 1 cos x ⁷

2 2

⎡ ⎛π ⎞⎤

− − = ⎢⎣ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦− 2

⇔ sin x cos 4x− +1 1cos 4x = − −3 2sin x

2 2 2

⇔ sin x cos4x 1cos4x 1 2sin x 0

+ 2 + + =

⇔ ^⎛⎜⎝ + ^⎞⎟⎠+ ^⎛⎜⎝ + ^⎞⎟⎠ =

1 1

cos 4x sin x 2 sin x 0

2 2

⇔

(

cos 4x 2 sin x

)

¹ 0 2

⎛ ⎞

+ ⎜⎝ + ⎟⎠ =

⇔

( )

cos 4x 2 loại sin x 1 sin

2 6

= −

⎡⎢

⎛ π

⎢ = − = ⎜− ⎟

⎢ ⎝ ⎠

⎣

⎞ ⇔

⎡ = − + ππ

⎢⎢

⎢ = π + π

⎢⎣

x k

6

x 7 2

6

2 h Ta có : x 1− <3 ⇔ − < − <3 x 1 3 ⇔ − < <2 x 4

Vậy : 2 k2

6

− < − +π π < 4

⇔ 2 2k 4

6 6

π π

− < π < + ⇔ 1 1 k 2 1 12 − < < +12

π π

Do k∈Z nên k = 0. Vậy x 6

= −π

− <2 7π +h2π <

6 4

⇔ π π

− − < π < − ⇔ − − < < −

π π

7 7 1 7 2

2 h2 4 h

6 6 12

7 12

⇒h = 0 ⇒ x = 7π

6 .Tóm lại x= −πhay x= 7π

6 6

Cách khác : sin x = − ⇔ = −1 x ( 1)^k −π + πk , k∈]

2 6

Vậy : − < − −π + π < ⇔ − < − − + <

π π

k 2 k 1

2 ( 1) k 4 ( 1) k

6 6

4

⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với x = −πhay x = 7π

6 6

Bài 33 : Giải phương trình

( )

3 3 3

sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+ =

Ta có : (*)⇔ sin x 4 cos x 3cos x³

(

³ −

)

+cos x 3sin x 4 sin x³

(

− ³

)

=sin 4x³

⇔ 4sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4sin x cos x sin 4x^{3 3} − ³ + ³ − ^{3 3} = ³

⇔ 3sin x cos x cos x sin x

(

² − ²

)

=sin 4x³

⇔ 3 sin2xcos2x sin 4x³

2 =

⇔ 3 sin4x sin 4x³

4 =

⇔ 3sin 4x 4sin 4x 0− ³ =

⇔ sin12x = 0

⇔ 12x k= π ⇔ ^{x = k}₁₂^π

(

^k∈Z

)

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình :

( )

2 2 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *− = − Ta có : (*)⇔

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 cos 6x 1 1 cos 8x 1 1 cos10x 1 1 cos12x

2 − − 2 + = 2 − − 2 +

⇔ cos6x cos8x cos10x cos12x+ = +

⇔ 2cos7x cos x 2cos11x cos x=

⇔ 2 cos x cos7x cos11x

(

−

)

=0

⇔ cos x 0 cos7x cos11x= ∨ =

⇔ x = π + π ∨k 7x= ±11x k+ π

2 2

⇔ x = π + π ∨ = −k x kπ∨ =x kπ, k∈]

2 2 9

Bài 35 : Giải phương trình

(

sin x sin 3x+

)

+sin 2x =

(

cos x cos 3x+

)

+cos 2x

⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos2x+ = +

⇔ sin 2x 2 cos x 1

(

⁺

)

⁼cos 2x 2 cos x 1

(

⁺

)

⇔

(

2 cos x 1 sin 2x cos 2x+

)(

−

)

=0

⇔ cos x 1 cos2 sin 2x cos 2x

2 3

= − = π ∨ =

⇔ x 2 k2 tg2x 1

3π tg4π

= ± + π ∨ = =

⇔ ^{x = ±2}₃^{π+k2π ∨ =x π}₈ ^{+k , kπ}₂

(

^∈Z

)

Bài 36: Giải phương trình

( )

+ ² + = + ³

cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x. cos 3x *

Ta có : (*)⇔ ^cos10x +

(

^{1 cos 8x}+

)

= cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x+

(

³ −

)

⇔

(

cos10x cos 8x+

)

+ =1 cos x 2 cos x.cos 9x+

⇔ 2cos9x cos x 1 cos x 2cos x.cos9x+ = +

⇔ cos x 1=

⇔ ^{x k2 k Z= π}

(

^∈

)

Bài 37 : Giải phương trình

( )

3 3 2

4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+ − − =

Ta có : (*) ⇔ sin x 4 sin x 3

(

² −

)

−cos x sin x 3cos x

(

² − ²

)

= 0

⇔ sin x 4 sin x 3

(

^{2 −}

)

⁻cos x sin x 3 1 sin x^⎡_⎣ ^{2 −}

(

^{− 2}

)

^⎤_⎦ ⁼ 0

=

=

⇔

(

4 sin x 3 sin x cos x² −

) (

−

)

0

⇔ ⎡⎣^{2 1 cos 2x}

(

−

)

−3 sin x cos x⎤⎦

(

−

)

0

⇔

1 2

cos 2x cos

2 3

sin x cos x

⎡ = − = π

⎢⎢

⎣ =

⇔

2x 2 k2

3 tgx 1

⎡ = ± π + π

⎢⎢

⎣ =

⇔ ^{x 3 k}

x k

4

⎡ = ± + ππ

⎢⎢

⎢ = + ππ

⎢⎣

(

k Z∈

)

Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) Giải phương trình :

( )

sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+ + + + =

Ta có : (*) ⇔ sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0+ + + ² =

⇔ sin x cos x 2 cos x sin x cos x+ +

(

+

)

= 0

⇔

(

sin x cos x 1 2 cos x+

)(

+

)

=0

⇔

sin x cos x

1 2

cos 2x cos

2 3

⎡ = −

⎢ π

⎢ = − =

⎣

⇔

tgx 1

x 2 k

3

⎡ = −

⎢ π

⎢ = ± + π

⎣ 2

⇔ ^{x 4 k}

x 2 k2

3

⎡ = − + ππ

⎢⎢

⎢ = ± π + π

⎢⎣

k Z∈

( )

Bài 39 : Giải phương trình

(

2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+

)(

+ −

)

+4 cos x 3 *² =

( )

Ta có : (*) ⇔

(

2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+

)(

+ −

)

+4 1 sin x

(

− ²

)

− =3 0

⇔

(

2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+

)(

+ −

) (

+ 1 2sin x 1 2sin x+

)(

−

)

= 0

⇔

(

2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+

)

⎡⎣ + − +

(

1 2sin x−

)

⎤⎦ = 0

⇔ 3 cos 4x 1 2sin x 1

(

−

)(

+

)

= 0

⇔ cos 4x 1 sin x ¹ sin

2 6

⎛ π⎞

= ∨ = − = ⎜⎝− ⎟⎠

⇔ π π

= π ∨ = − + π ∨ = 7 +

4x k2 x k2 x k2

6 6 π

⇔ ^{x = k}₂^{π∨ = − +x π}₆ ^{k2π ∨ =x 7}₆^{π+k2 , kπ}

(

^∈Z

)

Bài 40: Giải phương trình

( ) ( )

+ = +

6 6 8 8

sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*) ⇔ sin x 2sin x cos x 2cos x 0⁶ − ⁸ + ⁶ − ⁸ =

⇔ sin x 1 2sin x⁶

(

− ²

)

−cos x 2cos x 1⁶

(

² −

)

= 0

⇔ sin x cos 2x cos x.cos 2x 0⁶ − ⁶ =

⇔ cos 2x sin x cos x

(

⁶ − ⁶

)

= 0

⇔ cos2x 0 sin x cos x= ∨ ⁶ = ⁶

⇔ cos2x 0 tg x 1= ∨ ⁶ =

⇔ ^{2x =}

(

^{2k 1+}

)

₂^{π ∨tgx= ±1}

⇔ ^{x =}

(

^{2k 1+}

)

₄^{π ∨ = ± + πx} ₄^{π k}

⇔ x k 4 2 π π

= + ,k ∈]

Bài 41 : Giải phương trình 1

( )

cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x *

= 16

Ta thấy x k= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó cos x = ±1,cos2x cos4x cos8x 1= = =

(*) thành : 1 1

± = 16 vô nghiệm

Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0≠ ta được

(*)⇔

(

16sin x cos x cos 2x.cos 4x.cos 8x sin x

)

= và sin x 0≠

⇔

(

8sin 2x cos 2x cos 4x.cos 8x sin x

)

= và sin x 0≠

⇔

(

4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x

)

= và sin x 0≠

⇔ 2sin 8x cos8x sin x= và sin x 0≠

⇔ sin16x sin x= và sin x 0≠

⇔^{x = k2}₁₅^{π ∨ =x} _{17 17}^{π + kπ, k}

(

^∈Z

)

Do : x h= π không là nghiệm nên k 15m≠ và 2k 1 17n n, m Z^{+ ≠}

(

^∈

)

Bài 42: Giải phương trình 8cos³ x cos 3x *( )

3 + π =

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Đặt t x x t

3 3

π π

= + ⇔ = −

Thì cos 3x cos 3t=

(

− π =

)

cos

(

π −3t

)

= −cos 3t Vậy (*) thành 8 cos t³ = −cos 3t

⇔ 8 cos t³ = −4 cos t 3cos t³ +

⇔12 cos t 3cos t 0³ − =

⇔ 3 cos t 4 cos t 1

(

² −

)

= 0

⇔ 3 cos t 2 1 cos 2t⎡⎣

(

+

)

−1⎤⎦ = 0

⇔cos t 2 cos 2t 1

(

+

)

=0

⇔cos t 0 cos 2t 1 cos2

2 3

= ∨ = − = π

⇔^{t =}

(

^{2k 1+}

)

^π₂ ^{∨2t = ±2}₃^π+k2π

⇔ π π

= + π ∨ = ± + π

t k t

2 3 k

Mà x t 3

= − π

Vậy (*)⇔ x ^{= π +}k2π ∨ = π ∨ =x k x 2^π+ πk , vớik

(

∈

)

6 3 Z

Ghi chú :

Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn... ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không.

+ Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa

Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện.

Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình.

Bài 43 : Giải phương trình tg x tgx.tg3x 2 *² − =

( )

Điều kiện cos x 0 ₃

cos 3x 4 cos x 3 cos x 0

⎧ ≠

⎨ = − ≠

⎩

π π

⇔ ≠ ⇔ ≠ + h cos3x 0 x

6 3

Lúc đó ta có (*) ⇔tgx tgx tg3x

(

−

)

=2

⇔sin x sin x sin 3x 2 cos x cos x cos 3x

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔sin x sin x cos 3x cos x sin 3x

(

−

)

= 2 cos x cos 3x²

⇔sin x sin 2x

(

−

)

= 2 cos x.cos 3x²

⇔−2sin x cos x 2 cos x cos 3x² = ²

⇔−sin x cos x cos 3x² = (do cosx 0≠ )

⇔ ¹

(

^{1 cos 2x}

)

¹

(

cos 4x cos 2x

)

2 2

− − = +

⇔ cos 4x= − ⇔1 4x = π +k2π

⇔^{x =} ₄^{π + k}₂^π

(

^k∈Z

)

so với điều kiện

Cách 1 : Khi x k thì 4 2 π π

= + ^{cos3x cos= ⎛}_⎜³₄^{π + 3k}₂^π⎞_⎟ ^{= ±} ₂^{2 ≠ 0 nhận}

( )

⎝ ⎠

Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó :

(*)⇔ x k

4 2 π π

= +

Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 :

Nếu = 3π + 3kπ = π +hπ

4 2 2

h 6k 3x

Thì 3 6k 2 4h+ = +

⇔1 4= −

⇔ =1 2h 3k−

2 (vô lý vì k,h Z∈ ) Bài 44: Giải phương trình

( )

2 2 2 11

tg x cot g x cot g 2x *

+ + = 3

Điều kiện

cos x 0

sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0

⎧ ≠

⎪ ≠ ⇔ ≠

⎨⎪ ≠

⎩ Do đó :

(*)⇔ ¹₂ 1 ¹₂ 1 ¹₂ 1

cos x sin x sin 2x 3

⎛ − ⎞ ⎛+ − ⎞ ⎛+ − ⎞=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

⇔ 1₂ 1_{2 2}1 ₂

cos x sin x 4 sin x cos x+ + = 203

⇔4 sin x 4 cos x 1 20² _{2 2}² 4 sin x cos x 3

+ +

=

⇔ 5₂ 2 sin 2x = 30

⇔sin 2x² 3

= 4 (nhận do sin2x ≠ 0)

⇔¹₂

(

^{1 cos 4x−}

)

⁼ ₄³

⇔cos 4x 1 cos2

2 3

= − = π

⇔4x 2 k2 3

= ± π + π

⇔^{x = ± +}₆^{π k}₂^π

(

^k∈Z

)

Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : tgx cot gx 2 sin 2x

+ =

Vậy (*)⇔

( )

² 2

1 1

tgx cot gx 2 1

sin x 3

⎛ ⎞

+ − +⎜⎝ − ⎟⎠= 1

⇔ 5₂ 2 sin 2x = 30

Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình

( )

2 x 2 2 x

sin tg x cos 0 *

2 4 2

⎛ − π⎞ − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Điều kiện : cos x 0≠ ⇔ sin x≠ ±1 lúc đó :

(*) ⇔ ²2

[ ]

1 1 cos x sin x 1 1 cos x 0

2 2 cos x 2

⎡ − ⎛⎜ − π ⎤⎞⎟ − +

⎢ ⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦ =

⇔

( ) (

²

) ( )

2

1 sin x 1 cos x

1 cos x 0 1 sin x

− −

− + =

−

⇔ ^{1 cos x}_{1 sin x}^{− 2 −}

(

^{1 cos x+}

)

⁼⁰

+

⇔

(

^{1 cos x+}

)

^⎡_⎢^{1 cos x}_{1 sin x}^{− −1⎤}_⎥ ⁰

⎣ + ⎦ =

=

⇔

(

^{1 cos x}+

)(

−cos x sin x−

)

0

⇔ ^{cos x} 1 nhậndo cos x 0

( )

tgx 1

= − ≠

⎡⎢

⎣ = −

⇔

= π + π

⎡⎢ π

⎢ = − + π

⎣

x k2

x k

4

Bài 46 : Giải phương trình

( )

²

( )

sin 2x cot gx tg2x+ =4 cos x *

Điều kiện : sin x 0 ⇔ cos 2x 0

⎧ ≠

⎨ ≠

⎩ ²

sin x 0 2cos x 1 0

⎧ ≠

⎨ − ≠

⎩ ⇔

cos x 1 cos x 2