BÀI 12: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bài 2.44 (trang 42 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Hãy tìm các tập B(8), B(12) và BC(8, 12).
Lời giải.
+) Nhân lần lượt 8 với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;… ta được: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56;
64; 72;…
Do đó: B(8) = { 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72;…}
+) Nhân lần lượt 12 với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được 0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; … Do đó B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
BC(8, 12) = {0; 24; 48; 72; …}
Bài 2.45 (trang 42 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Điền các từ thích hợp vào chỗ chấm:
a) Nếu 20 a và 20 b thì 20 là …….. của a và b;
b) Nếu 30 là số tự nhiên nhỏ nhất mà 30 a và 30 b thì 30 là ……… của a và b.
Lời giải.
a) Nếu 20 a và 20 b thì 20 là bội chung của a và b;
b) Nếu 30 là số tự nhiên nhỏ nhất mà 30 a và 30 b thì 30 là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Bài 2.46 (trang 42 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Tìm BCNN của hai số m, n biết:
a) m=2.3 .73 2; n=3 .5.112 2 b) m=2 .3.54 5; n=2 .3 .73 2 2 Lời giải.
a) Ta có: m=2.3 .73 2; n=3 .5.112 2
+) Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 2; 5; 7; 11.
+) Số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 1, số mũ lớn nhất của 7 là 2, số mũ lớn nhất của 11 là 2
Khi đó BCNN(m, n) = 2.3 .5.7 .113 2 2 = 1 600 830.
b) Ta có: m=2 .3.54 5; n=2 .3 .73 2 2
+) Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3 và riêng là 5; 7
+) Số mũ lớn nhất của 2 là 4, số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 5, số mũ lớn nhất của 7 là 2
Khi đó BCNN(m, n) = 2 .3 .5 .7 = 22 050 000. 4 2 5 2 Bài 2.47 (trang 42 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Hãy tìm BCNN(105, 140) rồi tìm BC(105, 140) Lời giải.
+) Phân tích 105 và 140 ra thừa số nguyên tố:
105 3.5.7= ; 140=2 .5.72
+) Thừa số nguyên tố chung là 5 và riêng là 2; 3 và 7
+) Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 1, số mũ lớn nhất của 7 là 1
Khi đó BCNN(105, 140) = 2 .3.5.7 = 420 2 BC(105, 140) = B(420) = {0; 420; 840; …}
Vậy BCNN(105, 140) = 420 và BC(105, 140) = B(420) = {0; 420; 840; …}
Bài 2.48 (trang 42 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Tìm BCNN của các số sau:
a) 31 và 93;
b) 24; 60 và 120.
Lời giải.
a) Vì 93 31 nên BCNN(31, 93) = 93 Vậy BCNN(31, 93) = 93
b) Vì 120 24; 120 60 nên BCNN(24, 60, 120) = 120 Vậy BCNN(24, 60, 120) = 120.
Bài 2.49 (trang 42 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Có ba bạn học sinh đi dã ngoại, sử dụng tin nhắn để thông báo cho bố mẹ nơi các bạn ấy đi thăm. Nếu như lúc 9 giờ sáng ba bạn cùng nhắn tin cho bố mẹ, hỏi lần tiếp theo ba bạn cùng nhắn tin lúc mấy giờ? Biết rằng cứ mỗi 45 phút Nam nhắn tin một lần, Hà 30 phút nhắn tin một lần và Mai 60 phút nhắn tin một lần.
Lời giải.
Vì cứ mỗi 45 phút Nam nhắn tin một lần, Hà 30 phút nhắn tin một lần và Mai 60 phút nhắn tin một lần nên khoảng thời gian ngắn nhất để ba bạn cùng một lúc gửi tin nhất là BCNN (45, 30, 60)
Ta có: 45 = 3 .52 ; 30 = 2. 3. 5; 60 = 2 .3.52 BCNN(45, 30, 60) = 2 .3 .52 2 = 180
Đổi 180 phút = 3 giờ
Do đó sau 3 giờ ba bạn sẽ cùng một lúc gửi tin nhắn cho bố mẹ.
Lần tiếp theo ba bạn cùng nhắn tin lúc:
9 + 3 = 12 (giờ)
Vậy lúc 12 giờ trưa thì ba bạn nhắn tin cùng một lúc.
Bài 2.50 (trang 43 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Trong một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng 400 đến 500 người tham gia. Thầy tổng phụ trách cho xếp thành hàng 5, hàng 6 và hàng 8 thì đều thấy thừa một người. Hỏi có chính xác bao nhiêu người dự buổi tập đồng diễn thể dục.
Lời giải.
Gọi số người trong buổi tập đồng diễn thể dục là x (người, x *, 400 x 500)
Vì thầy tổng phụ trách xếp thành hàng 5 thì thừa 1 người nên x chia 5 dư 1 hay (x - 1) 5 Vì thầy tổng phụ trách xếp thành hàng 6 thì thừa 1 người nên x chia 6 dư 1 hay (x - 1) 6 Vì thầy tổng phụ trách xếp thành hàng 8 thì thừa 1 người nên x chia 8 dư 1 hay (x - 1) 8 Do đó (x - 1) là bội chung của 5; 6 và 8.
Ta có: 5 = 5; 6 = 2. 3; 8 = 23 BCNN(5; 6; 8) = 2 .3.5 1203 =
(x - 1) B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; 600;…}
Ta có bảng sau:
x – 1 0 120 240 360 480 600
x 1 121 241 361 481 601
Mà buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng 400 đến 500 người tham gia nên 400 x 500 Vì thế x = 481.
Vậy có chính xác 481 người dự buổi tập đồng diễn thể dục.
Bài 2.51 (trang 43 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Tìm các số tự nhiên a và b (a < b), biết:
a) ƯCLN(a, b) = 15 và BCNN(a, b) = 180;
b) ƯCLN(a, b) = 11 và BCNN(a, b) = 484.
Lời giải.
a) Ta có: ab = ƯCLN(a, b). BCNN(a, b) = 15. 180 = 2 700.
Vì ƯCLN(a, b) = 15 nên a 15;b 15, ta giả sử a = 15m, b = 15 n. Do a < b nên m < n;
m, n * và ƯCLN(m, n) = 1.
Ta có: ab = 2 700 15m. 15n = 2 700 m. n. 225 = 2 700 m. n = 2 700: 225
m. n = 12 = 1. 12 = 2. 6 = 3. 4
Vì m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, m < n và có tích là 12 nên ta có:
(m; n) {(1; 12); (3; 4)}
+) Với (m; n) = (1; 12) thì a = 1. 15 = 15; b = 12. 15 = 180.
+) Với (m; n) = (3; 4) thì a = 3. 15 = 45; b = 4. 15 = 60.
Vậy các cặp (a; b) thỏa mãn là (15; 180); (45; 60).
b) Ta có: ab = ƯCLN(a, b). BCNN(a, b) = 11. 484 = 5 324.
Vì ƯCLN(a, b) = 11 nên a 11;b 11, ta giả sử a = 11m, b = 11n. Do a < b nên m < n;
m, n * và ƯCLN(m, n) = 1.
Ta có: ab = 5 324 11m. 11n = 5 324
m. n. 121 = 5 324 m. n = 5 324: 121
m. n = 44 = 1. 44 = 4. 11
Vì m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, m < n và có tích là 44 nên ta có:
(m; n) {(1; 44); (4; 11)}
+) Với (m; n) = (1; 44) thì a = 1. 11 = 11; b = 44. 11 = 484.
+) Với (m; n) = (4; 11) thì a = 4. 11 = 44; b = 11. 11 = 121.
Vậy các cặp (a; b) thỏa mãn là (11; 484); (44; 121).
Bài 2.52 (trang 43 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Quy đồng mẫu các phân số sau:
a) 5
14 và 4
21; b) 4 7
5 12; và 8 15 Lời giải.
a) Ta có:
14 = 2. 7; 21 = 3. 7
BCNN(14, 21) = 2. 3. 7 = 42
Do đó ta có thể chọn mẫu chung của hai phân số là 42.
5 5.3 15
14 =14.3 = 42; 4 4.2 8 21= 21.2 = 42 b) Ta có: 5 = 5; 12 = 2 .32 ; 15 = 3. 5
BCNN(5, 12, 15) = 2 .3.52 =60
Do đó ta có thể chọn mẫu chung của ba phân số là 60.
4 4.12 48
5 = 5.12 =60; 7 7.5 35
12=12.5= 60; 8 8.4 32 15 =15.4 = 60 Bài 2.53 (trang 43 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Máy tính xách tay (laptop) ra đời năm nào?
Laptop ra đời năm abcd , biết abcd là số nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 25 và 79.
Em hãy cho biết máy tính xách tay ra đời năm nào.
Lời giải.
Vì số cần tìm là số nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 25 và 79 nên số cần tìm là bội chung nhỏ nhất có 4 chữ số của 25 và 79
Ta có: 25 = 52; 79 = 79
+) Không có thừa số nguyên tố chung và thừa số riêng là 5; 79.
+) Số mũ lớn nhất của 5 là 2, số mũ lớn nhất của 79 là 1 Khi đó BCNN(25, 79) = 5 .792 = 1 975.
Vậy máy tính ra đời năm 1 975.
Bài 2.54 (trang 43 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Vua Lý Công Uẩn (Lý Thái Tổ) dời đô từ Hoa Lư về Đại La (nay là Hà Nội) năm abcd thuộc thế kỉ XI. Biết abcd là số có bốn chữ số chia hết cho cả 2; 5; 101. Em hãy cho biết vua Lý Thái Tổ đã dời đô vào năm nào.
Lời giải.
Vì abcd là số có bốn chữ số chia hết cho cả 2; 5; 101 nên abcd là bội chung của 2; 5;
101.
Ta có: 2 = 2; 5 = 5; 101 = 101.
+) Không có thừa số nguyên tố chung và có thừa số riêng là 2; 5; 101.
+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 1, số mũ lớn nhất của 101 là 1 Khi đó BCNN(2, 5, 101) = 2. 5. 101 = 1 010.
Do đó abcd B(1 010) = {0; 1 010; 2 020; …}
Mà năm abcd thuộc thế kỉ XI nên abcd = 1 010.
Vậy vua Lý Thái Tổ đã dời đô vào năm 1 010.
Bài 2.55 (trang 43 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):
Một bộ phận của máy có hai bánh xe răng cưa khớp nhau, bánh xe I có 20 răng cưa, bánh xe II có 15 răng cưa. Người ta đánh dấu “x” vào hai răng cưa đang khớp nhau (như hình dưới). Hỏi mỗi bánh xe phải quay ít nhất bao nhiêu răng để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước? Khi đó mỗi bánh xe đã quay bao nhiêu vòng?
Lời giải.
Có bánh xe I có 20 răng cưa, bánh xe II có 15 răng cưa.
Số răng cưa mà mỗi bánh xe phải quay ít nhất để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước là BCNN(20, 15)
Ta có: 20 = 2 .52 ; 15 = 3. 5 BCNN(20, 15) = 2 .3.5 = 60 2
Do đó mỗi bánh xe phải quay ít nhất 60 răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước
Khi đó, bánh xe I phải quay số vòng là:
60: 20 = 3 (vòng)
Bánh xe II phải quay số vòng là:
60: 15 = 4 (vòng)
Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 60 răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước và bánh xe I phải quay 3 vòng; bánh xe II phải quay 4 vòng.
