LŨY THỪA

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TOÁN

KHỐI 12

CHỦ ĐỀ:

LŨY THỪA

I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên .

Hãy tính :

( ) 1,5

⁴

= 1,5.1,5.1,5.1,5 = 5, 0625 2

3

3

 − 

 

 

2 2 2

. .

3 3 3

     

= −       −     −  

8

= − 27

( ) 3

⁵

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 9 3

Có : Cho n là số nguyên dương .

Với a là số thực tùy ý , lũy thừa bậc n của a là tích của n số a

so

. ....

n

n

a = a a a

Với a ≠ 0 0

1

n

1

n

a

a a

−

=

=

Trong biểu thức a^m , ta gọi a là cơ số , số nguyên m là số mũ

Chú ý :

0⁰ và 0^{- n} không có nghĩa

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biều thức :

1

¹⁰

.27

³

( ) 0, 2

⁴

.25

²

128 .

¹

1

⁹

3 2

A

− −

− − − −

   

=     + +     Giải

:

10 9

3 4 2

1 1 1 1

3 . . .2

27 0, 2 25 128

A = + + = + + = 3 1 4 8

Ví dụ 2 : Rút gọn biều thức :

( ) ( )

1

1 1 2

2

2 2 2

. 0 ; 1

1 1

a a

B a a

a a

a

−

− − −

 

 

= −   

 +  −

 

Giải

: Với a ≠ 0 , a ≠  1 ta có :

(

²

)

³

( 1

²

)

2. 1 2 2. .

B a a a 1

a a

⁻

 

=  + −  −

3

3

2 . 2 2 2 . 1

a a a

a a

 

=  + −  −

(

²

) ( ) 1

²

2 1 . 2

a a 1

= − a a =

−

2. Phương trình x

ⁿ

= b .

Dựa vào đồ thị hàm số y = x³ và y = x⁴ hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình x³ = b và x⁴ = b

O

^x

y y = x³

y = b

O

y y = x⁴

y = b

Đồ thị y = x^{2k + 1} có dạng như đồ thị hàm số y = x³ Đồ thị y = x^2k có dạng như đồ thị hàm số y = x⁴

Nên biện luận được số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau : a) Trường hợp n lẻ :

Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất b) Trường hợp n chẵn :

• b < 0 phương trình vô nghiệm

• b = 0 phương trình có 1 nghiệm x = 0

• b > 0 phương trình có 2 nghiệm đối nhau .

3. Căn bậc n .

Cho số nguyên dương n , phương trình aⁿ = b đưa đến 2 bài toán ngược nhau :

• Biết a tìm b ( là tính lũy thừa của 1 số )

• Biết b tính a ( dẫn đến khái niệm lấy căn của 1 số )

Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ = b .

a) Khái niệm :

Ví dụ 2 và – 2 là căn bậc 4 của 16 ;

1

− 3

là căn bậc 5 của

1

− 243

Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xⁿ = b . Ta có : a) Trường hợp n lẻ và b  R :

Có duy nhất một căn bậc n của b . Kí hiệu : ⁿ

b

b) Trường hợp n chẵn và b  R :

• b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .

• b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .

• b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu . Kí hiệu :



ⁿ

b

Từ định nghĩa có các tính chất sau :

b) Tính chất của căn bậc n :

( )

^.

.

n

n n n n

n

m n m n

n k n k

n n

a a

a b ab

b b

a a a a

a a

a

= =

= =

=  



Khi n lẻ Khi n chẵn

Chứng minh tính chất sau : ⁿ

a b .

ⁿ

=

ⁿ

ab

Ví dụ 3 : Rút gọn biều thức :

a )

⁵

4.

⁵

− 8 b )

³

3 3

Giải

:

a )

⁵

4.

⁵

− = 8

⁵

4. ( ) − = − 8

⁵

32 = − 2

( )

³

3 3

) 3 3 3 3

b = =

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ .

Cho số thực a dương và số hữu tỉ

m

r = n

, trong đó m  Z , n  N , n ≥ 2 . Lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi :

m

n

r n m

a = a = a

Ví dụ 4 : Tính :

1 3 1

3 2

) 1 ) 4 )

8

a   b

⁻

c a

n

   

1 3

1

3

1 1

) 8 8 2

a   = =    

3 2 3

3

1 1

) 4 4

4 8

b

⁻

=

⁻

= = c ) a

¹ⁿ

=

ⁿ

a ( a  0 ; n  2 )

Ví dụ 5 : Rút gọn biều thức :

( )

5 5

4 4

4 4

, 0

x y xy

D x y

x y

= + 

+

Giải : Với x , y > 0 ta có :

( )

1 1

4 4

4 4

4 4 4 4

xy x y

xy x y

D xy

x y x y

 

 +  +

 

= = =

+ +

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ .

Cho a là số dương và  số vô tỉ

.

Ta thừa nhận rằng luôn có dãy số hữu tỉ (r_n) có

giới hạn là  và dãy số tương ứng

( ) a

^rn Có giới hạn không phụ thuộc việc chọn dãy số (r_n) Ta gọi giới hạn dãy số

( ) a

^rn Là lũy thừa của a với số mũ  . Kí hiệu : a^

lim

^rn

lim

_n

n n

a

^

a voi  r

→+ →+

= =

•Từ định nghĩa suy ra 1^= 1

II - TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

•Lũy thừa với số mũ thực có tính chất tương tự lũy thừa số mũ nguyên dương . Cho a , b những số thực dương ,  ,  số thực tùy ý . Ta có :

( )

( )

. a

a a a a a a

a

a a

ab a b

b b

 

       



 

  



+ −

= = =

=       =

• Nếu a > 1 thì a^ > a^ khi và chỉ khi  > 

• Nếu a < 1 thì a^ > a^ khi và chỉ khi  < 

Ví dụ 6 : Rút gọn biều thức :

( ) ( )

7 1 2 7

2 2 2 2

. 0

a a

E a

a

+ −

− +

= 

Giải : Với a > 0 ta có :

( )( )

7 1 2 7 3

5 2 2 2 2 2

a a

E a

a a

+ + −

− + −

= = =

Tương tự làm nhanh Rút gọn biều thức :

(

^{3 1}

)

^{3 1}

( )

5 3 4 5

0

. a

F a

a a

− +

− −

= 

Ví dụ 7 : Không sử dụng máy tính hãy so sánh các số :

5

^{2 3}

& 5

^{3 2}

Giải : Ta có :

2 3 = 12 & 3 2 = 18  2 3  3 2

Và cơ số 5 > 1 nên có :

5

^{2 3}

 5

^{3 2}

Tương tự làm nhanh so sánh :

8 3

3 3

&

4 4

   

   

   