Chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện - Nguyễn Hoàng Việt - TOANMATH.com

(1)

* PHÂN DẠNG TOÁN CỤ THỂ CHI TIẾT

* KÈM THEO ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Cuốn sách này của:……….

Lớp:………. Trường:……….

Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán

CHINH PHỤC KỲ THI

KỲ THI THPT QG

2021 - 2022

(2)

I Hình Học 1

Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 2

§1 – KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 2

A

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .2

B B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .2

| Dạng 1. Nhận biết hình đa diện. . . .2

| Dạng 2. Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện. . . .4

| Dạng 3. Phân chia, lắp ghép khối đa diện. . . .5

§2 – KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 8 A A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .8

B B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .11

| Dạng 1. Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều. . . .11

| Dạng 2. Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện. . . .14

§3 – THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 18 A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . .18

B B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA. . . .20

| Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. . . .20

| Dạng 2. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy. . . .47

| Dạng 3. Khối chóp có hai mặt phẳng chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy. . . .48

| Dạng 4. Khối chóp đều. . . .56

| Dạng 5. Khối chóp biết hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy. . . .70

C C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .71

§4 – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 83 A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . .83

B B MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA. . . .83

| Dạng 1. Khối lăng trụ đứng tam giác. . . .83

| Dạng 2. Khối lăng trụ đứng tứ giác. . . .85

| Dạng 3. Khối lăng trụ xiên. . . .87

C C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .89

(3)

§5 – PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH 104 A

A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . .104 B

B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA. . . .105

| Dạng 1. Tỉ số thể tích trong khối chóp. . . .105

| Dạng 2. Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ. . . .108 C

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .112

§6 – MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP 122

A

A ĐỀ ÔN SỐ 1. . . .122 B

B ĐỀ ÔN SỐ 2. . . .130 C

C ĐỀ ÔN SỐ 3. . . .138

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688

(4)

HÌNH HỌC I

1

2 3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13

14

15 16

17

18 19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

³⁹

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

(5)

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1

C h KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

B ÀI 1 . KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khi cho một hình đa diện, ta cần xác định được:

1 Đỉnh, mặt; điểm thuộc, điểm trong, điểm ngoài.

2 Mặt bên, cạnh bên.; mặt đáy, cạnh đáy (nếu có).

Các khối đa diện cần nhớ rõ tính chất:

1 Khối tứ diện đều, khối chóp.

2 Khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật, khối lập phương.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

| Dạng 1. Nhận biết hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

cCâu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàođúng? Số các đỉnh hoặc các mặt bất kỳ hình đa diện nào cũng

A lớn hơn hoặc bằng4. B lớn hơn4.

C lớn hơn hoặc bằng5. D lớn hơn5.

ÊLời giải.

. . . . . . . .

cCâu 2. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện?

A Không có mặt nào. B Ba mặt. C Bốn mặt. D Hai mặt.

ÊLời giải.

(6)

. . . .

cCâu 3. Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đềđúng. Trong một khối đa diện thì

A hai mặt bất kì có ít nhất một cạnh chung. B hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.

C hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung. D mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 4. Mỗi đỉnh của một đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?

A Ba mặt. B Hai mặt. C Bốn mặt. D Năm mặt.

ÊLời giải.

. . . . cCâu 5. Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hìnhkhônglà hình đa diện.

A B C D

ÊLời giải.

. . . . cCâu 6. Vật thể nào trong các hình sau đâykhôngphải là khối đa diện?

A . B . C . D .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cCâu 7. Cho các hình vẽ sau:

Số các hình đa diện trong các hình trên là

A 3. B 0. C 1. D 2.

ÊLời giải.

(7)

. . . . cCâu 8. Hình nào dưới đâykhôngphải là hình đa diện?

A . B . C . D .

| Dạng 2. Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện

Số cạnh của hình chóp (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 2 lần số đỉnh của mặt đáy.

Số cạnh của hình lăng trụ (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 3 lần số đỉnh của một mặt đáy.

Số cạnh (C), số đỉnh (Đ) và số mặt (M) trong đa diện lồi liên hệ bởi hệ thức (Đ) + (M) = (C) +2

cCâu 9.Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên.

A 11. B 10.

C 12. D 9.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 10.Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A 10. B 15.

C 8. D 11.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 11.Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt?

A 12.

B 10.

C 6.

D 11.

ÊLời giải.

(8)

. . . . . . . .

cCâu 12. Khối chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

A 20. B 15. C 5. D 10.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 13. Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?

A 20. B 25. C 10. D 15.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 14. Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.

A 20. B 11. C 12. D 10.

ÊLời giải.

. . . . . . . .

cCâu 15. Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?

A 2018. B 2016. C 2017. D 2015.

ÊLời giải.

. . . . . . . .

| Dạng 3. Phân chia, lắp ghép khối đa diện

cCâu 16. Mặt phẳng (AB⁰C⁰) chia khối lăng trụABC.A⁰B⁰C⁰ thành các khối đa diện nào?

A Hai khối chóp tứ giác.

B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

C Hai khối chóp tam giác.

D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

A

B

C

A⁰

B⁰

C⁰

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(9)

. . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 17. Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰thành hai khối lăng trụ?

A (A⁰BC⁰). B (ABC⁰).

C (AB⁰C). D (A⁰BD).

D

A B

C A⁰ B⁰

C⁰ D⁰

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 18.Cắt khối lăng trụMNP.M⁰N⁰P⁰bởi các mặt phẳng(MN⁰P⁰)và (MNP⁰)ta được những khối đa diện nào?

A Ba khối tứ diện.

B Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.

C Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.

D Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.

M N

P P⁰ M⁰

N⁰

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(10)

cCâu 19.Cho khối tứ diệnABCD. Hai điểmM,Nlần lượt là trung điểm của BC và BD. Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành

A Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.

B Hai khối tứ diện.

C Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.

D Hai khối chóp tứ giác. B

C M A

D

N

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 20. Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật?

A 4. B 3. C 5. D 6.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

—–HẾT—–

B. A B. D B. D B. A B. D B. C B. C 8. C B. D B. A

B. D B. D B. D B. B B. B B. D B. B B. A B. A B. C

(11)

B ÀI 2 . KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khối đa diện(H)là khối đa diện lồi nếu đoạn nối hai điểm bất kì thuộc(H)thì luôn thuộc(H)(đoạn đó nằm trên mặt hoặc nằm trong(H)).

Khối đa diện đều

— Mỗi mặt của nó là một đa giác đều pcạnh;

— Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúngqmặt.

— Khối đa diện đều như vậy được kí hiệu loại(p;q).

Hình ảnh năm khối đa diện đều và các tóm tắt:

Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối12mặt đều Khối20mặt đều

Loại {3;3} Loại {4;3} Loại {3;4} Loại {5;3} Loại {3;5}

Đ,C,M: 4, 6, 4 Đ,C,M: 8, 12, 6 Đ,C,M: 6, 12, 8 Đ,C,M: 20, 30, 12 Đ,C,M: 12, 30, 20

Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi a) Cho một khối tứ diện đều, ta có

+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

+ Các trung điểm của các trung điểm của các cạnh của nó là đỉnh của một khối bát diện đều(khối tám mặt đều).

b) Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.

c) Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.

d) Hai đỉnh của một khối bát diện đều gọi là hai đỉnh đối diện của bát diện khi chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo cuả khối bát diện đều. Khi đó

+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo đôi một vuông góc.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

(12)

Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện đều

Đa diện đều cạnha Đỉnh Cạnh Mặt Thể tíchV Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Tứ diện đều{3; 3} 4 6 4

V =

√ 2a³

12 R= a√

6 4

Lập phương{4; 3} 8 12 6 V =a³

R= a√ 3 2

Bát diện đều{3; 4} 6 12 8

V =

√2a³

3 R= a√

2 2

Mười hai mặt đều{5; 3} 20 30 12

V = 15+7√ 5

4 a³ R=

√3+√ 15

4 a

Hai mươi mặt đều{3; 5} 12 30 20

V = 15+5√ 5

12 a³ R=

√10+√ 20

4 a

1. Phép đối xứng qua mặt phẳng

cĐịnh nghĩa 2.1. Cho mặt phẳng (P), phép biến hình biến mỗi điểm thuộc(P)thành chính nó, biến mỗi điểmMkhông thuộc(P)thànhM⁰sao cho(P)là mặt phẳng trung trực củaMM⁰.

o

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng(P)biến hình (H )thành chính nó thì (P)được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình(H ).

Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp a) Hình hộp chữ nhật có3mặt phẳng đối xứng.

Hình1. Hình2. Hình3.

b) Hình lăng trụ tam giác đều có4mặt đối xứng.

(13)

1

Hình1. Hình2. Hình3. Hình4.

c) Hình chóp tam giác đều có cạnh bên và cạnh đáy khác nhau có3mặt đối xứng.

Hình1. Hình2. Hình3.

d) Tứ diện đều có6mặt phẳng đối xứng.

Hình1. Hình2. Hình3.

Hình4. Hình5. Hình6.

e) Hình chóp tứ giác đều.

(14)

f) Hình bát diện đều.

Hình5. Hình6. Hình7. Hình8. Hình9.

g) Hình lập phương.

Hình5. Hình6. Hình7. Hình8. Hình9.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

| Dạng 1. Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều

cCâu 1. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?

Hình(I) Hình(II) Hình(III) Hình(IV)

A Hình(IV). B Hình(III). C Hình(II). D Hình(I).

ÊLời giải.

(15)

. . . . . . . .

. . . . . . . . cCâu 2. Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là

A 3. B 0. C 1. D 2.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 3. Hỏi khối đa diện đều loại{4; 3}có bao nhiêu mặt?

A 4. B 20. C 6. D 12.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 4. Khối mười hai mặt đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây?

A {3; 4}. B {4; 3}. C {3; 5}. D {5; 3}.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 5. Số cạnh của khối12mặt đều là bao nhiêu?

A 14. B 20. C 30. D 16.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 6. Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh?

A 8. B 6. C 12. D 10.

ÊLời giải.

. . . .

cCâu 7. Số cạnh của hình bát diện đều là

A 8. B 10. C 12. D 24.

cCâu 8. Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào?

A loại{3; 5}. B loại{5; 3}. C loại{3; 4}. D loại{4; 3}.

ÊLời giải.

(16)

. . . .

cCâu 9. Số đỉnh của hình hai mươi mặt đều là

A 12. B 20. C 30. D 16.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 10. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng hình bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài8cm. Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm100cái đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)?

A 96m. B 960m. C 192m. D 128m.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 11. Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau?

A Khối lập phương. B Khối bát diện đều.

C Khối mười hai mặt đều. D Khối tứ diện đều.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(17)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 12. Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh khối đa diện nào?

A Hình hộp chữ nhật. B Hình bát diện đều. C Hình lập phương. D Hình tứ diện đều.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 13. Tâm các mặt của hình lập phương tạo thành các đỉnh của khối đa diện nào sau đây?

A Khối bát diện đều. B Khối lăng trụ tam giác đều.

C Khối chóp lục giác đều. D Khối tứ diện đều.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện

cCâu 14. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 5. B 6. C 3. D 4.

ÊLời giải.

(18)

. . . . . . . .

cCâu 15. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 4. B 3. C 2. D 1.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 16. Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 6. B 4. C 3. D 2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 17. Hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 6. B 4. C 3. D 7.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(19)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 18. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 3mặt phẳng. B 2mặt phẳng. C 5mặt phẳng. D 4mặt phẳng.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cCâu 19. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 6mặt phẳng. B 4mặt phẳng. C 10mặt phẳng. D 8mặt phẳng.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(20)

. . . . . . . . . . . .

cCâu 20. Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là

A 8. B 9. C 6. D 7.

ÊLời giải.

. . . .

—–HẾT—–

B. A B. C B. C B. D B. C B. B 7. C B. A B. A B. A

B. D B. B B. A B. D B. C B. C B. D B. D B. A B. B

(21)

B ÀI 3 . THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

A – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Công thức tính (độ dài, diện tích,...) cho các hình phẳng đặc biệt

Tam giácABCvuông tạiA:

— Diện tíchS_ABC= 1

2·AB·AC;

— Mlà tâm đường tròn ngoại tiếp4ABC;

— Pi–ta–go: BC²=AB²+AC² ;AM= 1

2BC; B H M C

A

— AC²=CH·CB;

— AB²=BH·BC;

— 1

AH² = 1

AB²+ 1 AC²;

— AH²=HB·HC;

— AH= AB·AC

√

AB²+AC²;

— AB·AC=BC·AH;

Tam giác đềuABCcạnh bằnga:

— Diện tíchS_ABC= (cạnh)²·√ 3

4 =a²√ 3 4 ;

— Đường caoAM= (cạnh)·√ 3 2 =a√

3 2 ;

— Glà trọng tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC;

— GA= 2

3AM= a√ 3

3 vàGM= 1

3AM= a√ 3

6 . B M C

A

G

Hình vuôngABCDcạnh bằnga:

— Diện tíchS_ABCD= (cạnh)²=a²;

— Đường chéoAC=BD= (cạnh)·√

2=a√ 2;

— Ilà tâm đường tròn ngoại tiếpABCD;

— AC⊥BD;AN⊥DM. A M B C D

I N

Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước AB=a và BC=b:

— Diện tíchS_ABCD=AB·BC=a·b;

— Đường chéoAC=BD=√

a²+b²;

— Ilà tâm đường tròn ngoại tiếpABCD;

— Chú ý:AC không vuôngBD. A B

C D

I

(22)

Hình thangABCDcó hai đáyABvàCD:

— DHlà chiều cao của hình thangABCD;

— Diện tíchS_ABCD= AB+CD

2 ·DH. A H B

C D

Hình thoiABCD:

— Các cạnh của hình thoi bằng nhau;

— Diện tíchS_ABCD= 1

2AC·BD;

— Nếu có một góc bằng 60^◦ hoặc 120^◦ thì hình thoi này thực chất là ghép của hai tam giác đều.

Suy ra

S_ABCD=2·(cạnh)²·

√3

4 = (cạnh)²·

√3

2 .

B D

A C

I

2. Các công thức tính trong tam giác thường (không đặc biệt)

Các hệ thức lượng cần nhớ

— Định lý hàm số sin: a

sinA= b

sinB= c

sinC =2R.

— Định lý hàm số cos:











a²=b²+c²−2bccosA ⇒cosA= b²+c²−a² 2bc b²=a²+c²−2accosB ⇒cosB= a²+c²−b²

2ac c²=a²+b²−2abcosC ⇒cosC= a²+b²−c²

2ab .

— Tính góc:cosA= b²+c²−a² 2bc ;

— Tính đường trung tuyếnm²_a= b²+c² 2 −a²

4;

— Định lý sin: a

sinA = b

sinB = c

sinC =2R.

— Định lý Thales











PQ∥BC⇒ AP AB =AQ

AC = PQ BC =k S_4APQ

S_4ABC = ÅAP

AB ã2

= ÅPQ

BC ã2

=k².

B H M C

A

P Q

— Định lý Menelaus: Cho tam giácABC. Các điểm D, E,F lần lượt nằm trên các đường thẳngBC,CA,AB.

Khi đó:D,E,Fthẳng hàng⇔ FA FB·DB

DC·EC EA =1.

A

B C D

F

E

(23)

Công thức tính diện tích tam giác

— S_ABC=1 2a·h;

— S_ABC =p

p(p−a)(p−b)(p−c), với p= a+b+c

2 .

— S_ABC= 1

2b·c·sinA;

— S_ABC= abc

4R;S_ABC= p·r, với R,r là bán kính đ.tròn ngoại, nội tiếp.

3. Cách xác định góc trong không gian Góc giữa đường thẳngSM với mặt phẳng

(α)

S

M α H

— Dựng hình chiếu củaSM làMH;

— Góc cần tìm là’SMH.

Góc giữa hai mặt phẳng(SMN)và(α).

S

N K H

M α

— KẻHK⊥MNvàSK⊥MN

— Góc cần tìm làSKH.‘

B – MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Ta có thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với đường cao hình chóp.

V_chóp= 1

3·S_đáy·h Trong đó

Ë S_đáy = S_ABCD là diện tích mặt đáy của khối chóp.

Ë h=SH là chiều cao của khối chóp.

S

A

B C

H

D

| Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

¬ Khi vẽ hình, nên vẽ cạnh vuông góc với đáy thẳng đứng.

Xác định mặt đáy và tính diện tíchS_đáy.

® Xác định và tính chiều caohlà cạnh bên vuông với đáy.

¯ Thay vào công thứcV_chóp= 1

3·S_đáy·h.

S

A D

B C

(24)

c Ví dụ 1.

Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a√

3. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

. . . . . . . . . . . .

S

A D

B C

c Ví dụ 2.

Cho khối chóp S.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiB, độ dài cạnhAB= BC=a,cạnh bênSAvuông góc với đáy vàSA=2a.Tính thể tíchV của khối chóp S.ABC.

. . . . . . . . . . . .

S

B

A C

c Ví dụ 3.

Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB=2a,BC=a, SAvuông góc với mặt đáy, cạnhSChợp với đáy một góc30^◦. Tính thể tích V của khối chópS.ABCDtheoa.

. . . . . . . . . . . . . . . .

A S

B

D C

30^◦

c Ví dụ 4.

Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác đều cạnha, cạnh bên SAvuông góc với đáy (ABC). Biết góc tạo vởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng60^◦, tính thể tíchV của khối chópS.ABC.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B M S

C A

c Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC). Tam giácABC vuông tạiC, AB=a√

3, AC =a, SC=a√

5. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A

√6a³

6 . B

√6a³

4 . C

√2a³

3 . D

√10a³

6 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(25)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 6. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, cạnhSAvuông góc với đáy vàAB=a, SA=AC=2a. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A 2√ 3a³

3 . B 2a³

3 . C

√3a³

3 . D √

3a³.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 7. Hình chópS.ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiA, cạnhAB=a, BC=2a, chiều cao SA=a√

6. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A

√2a³

2 . B

√6a³

3 . C

√2a³

3 . D 2√

6a³.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(26)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 8. Cho khối chópS.ABCcóSAvuông góc với đáy,SA=4,AB=6,BC=10vàCA=8. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A 40. B 192. C 32. D 24.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 9. Cho tứ diệnABCD cóADvuông góc với mặt phẳng(ABC). Biết đáyABC vuông tạiBvà AD=5,AB=5,BC=12. Thể tích của tứ diệnABCD

A 120. B 325

16 . C 50. D 140

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(27)

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 10. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, cạnhAB=a,BC=a√

3,SAvuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữaSCvà(ABC)bằng60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A 3a³. B a³

3. C a³. D

√3a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 11. Cho hình chópS.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB=a, AC =a√

3.

Biết góc giữaSBvà(ABC)bằng30^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A

√6a³

9 . B

√6a³

18 . C 2√

6a³

3 . D

√6a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(28)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiA,SB⊥(ABC),AB=a,ACB‘=30^◦, góc giữa đường thẳngSCvà mặt phẳng(ABC)là60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A 3a³. B 4a³

3 . C a³. D 3a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 13. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông cân tạiB,AB=a,SA⊥(ABC). Góc giữa cạnh bênSBvà(ABC)bằng45^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A

√3a³

3 . B a³

3 . C

√2a³

6 . D a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(29)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Cho hình chópS.ABCcó chiều cao bằnga,AB=a,BC=a√

3,ABC‘=60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A

√ 3a³

12 . B a³

4. C

√ 3a³

4 . D a³

2. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 15. Cho hình chópS.ABCcóSA⊥(ABC), SA=a,AB=a,AC =2a, BAC‘=120^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A

√3a³

3 . B

√3a³

2 . C √

3a³. D

√3a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(30)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 16. Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều có cạnh bằnga,SA⊥(ABC), góc giữa SBvà(ABC)bằng60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A a³

4. B √

3a³. C a³

2. D a³.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 17. Cho hình chópS.ABCcó đáy ABC là tam giác có độ dài ba cạnh làAB=5a, BC=8a, AC=7a,SA⊥(ABC), góc giữaSBvà mặt phẳng(ABC)bằng45^◦. Thể tích khối chópS.ABCbằng

5a 8a 7a

A B

C S

A 50√

3a³. B 50√ 3a³

3 . C 50a³

3 . D 50√

7a³ 3 . ÊLời giải.

(31)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 18. Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều có cạnh bằnga,SA⊥(ABC), góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng60^◦. Thể tích khối chópS.ABCbằng

a

a a

A B

C S

A

√3a³

24 . B 3√

3a³

8 . C

√3a³

8 . D

√3a³

12 .

(32)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 19. Cho tứ diệnSABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiA, độ dài đường caoAHcủa tam giácABCbằnga, SA⊥(ABC), góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng60^◦. Thể tích khối tứ diện SABCbằng

(33)

a

A B

C S

H

A

√6a³

3 . B

√3a³

3 . C 2√

6a³

3 . D

√2a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(34)

c Ví dụ 20. Cho khối chópS.ABCDcó thể tích bằng 4√ 3a³

3 , đáyABCDlà hình vuông có cạnh bằng 2a. Chiều cao của khối chópS.ABCDbằng

2a A 2a

B C

S

D H

A 4√

3a. B

√3a

3 . C √

3a. D 4√

3a 3 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 21. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật,SA⊥(ABCD),AB=3a,AD=2a, SB=5a. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

(35)

3a 5a

A 2a

B C

S

D

A 8a³

3 . B 24a³. C 10a³

3 . D 8a³.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA ⊥(ABCD), SC=a√

3. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

(36)

a

a√ 3 A a

B C

S

D

A 3a³

2 . B a³

3 . C

√3a³

3 . D

√2a³

3 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 23. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông,SA⊥(ABCD), SA=a√

3. Biết tam giác SBDlà tam giác đều. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A √

3a³. B

√3a³

6 . C 2√

3a³

3 . D

√3a³

3 .

(37)

A

B C

D S

a√ 3

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 24.

Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông,SA⊥(ABCD),SA=a√ 2.

Biết tam giácSBDlà tam giác đều. Thể tích khối chópS.ABCDbằng A 2√

2a³

3 . B 2√

2a³. C

√2a³

3 . D √

2a³.

A

B C

D S

a√ 2

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(38)

c Ví dụ 25. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha,SA⊥(ABCD),SC tạo với đáy một góc45^◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A √

2a³. B

√2a³

3 . C √

3a³. D a³

3 .

A

B C

D S

a

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= 2a, BC =a, SA⊥ (ABCD),SCtạo với đáy một góc30^◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A 2√ 15a³

3 . B

√15a³

3 . C

√15a³

9 . D 2√

15a³ 9 .

A

B C

D S

a

ÊLời giải.

(39)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√

3, SA⊥ (ABCD),SCtạo với(SAB)một góc30^◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A 2√ 6a³

3 . B 2a³

3 . C √

3a³. D

√ 3a³ 3 .

A

B C

D S

a

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(40)

c Ví dụ 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha, SA⊥(ABCD),SC tạo với (SAD)một góc30^◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A

√3a³

3 . B

√2a³

4 . C

√2a³

2 . D

√2a³

3 .

A

B C

D S

a

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 29. Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật vớiAB=2a,AD=a. Hình chiếu của đỉnhStrên mặt phẳng đáy(ABCD)là trung điểmHcủaAB,SCtạo với mặt phẳng đáy một góc45^◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng

A 2a³

a . B 2√

2a³

3 . C a³

3. D

√ 3a³ 2 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(41)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 30. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh bằng2a, cạnhSB vuông góc với đáy và mặt phẳng(SAD)tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCD bằng

A 3a³√ 3

8 . B 4a³√

3

3 . C 8a³√

3

3 . D 3a³√

3 4 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 31. Cho khối chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật, AB=a, AD=a√

3,SA vuông góc với đáy và mặt phẳng(SBC)tạo với mặt phẳng đáy một góc60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng

A a³

3 . B 3a³. C a³. D

√3a³

. . . . . . . . . . . . . . . .

(42)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 32. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh avàSA⊥(ABCD). Góc giữa (SCD)và(ABCD)bằng60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng

A

√ 6a³

3 . B

√ 3a³

3 . C

√ 3a³

6 . D

√ 6a³ 6 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 33. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông tâmOcạnh bằnga. Hình chiếu vuông góc của đỉnhSlên mặt phẳng(ABCD)là trung điểm của cạnhOC. Góc giữa mặt phẳng(SAB)và mặt phẳng (ABCD)bằng60^◦. Thể tích của hình chópS.ABCDbằng

A

√3a³

8 . B

√3a³

4 . C 3√

3a³

4 . D 3√

. . . . . . . . . . . .

(43)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 34. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật,SA⊥(ABCD),AC=2AB=4a. Biết góc giữa(SBD)và(ABCD)bằng30^◦. Thể tích khối chópS.ABCbằng

A 4a³

9 . B 2√

3a³

3 . C 4√

3a³

3 . D 4√

6a³ 9 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(44)

c Ví dụ 35. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha, hai mặt(SAB),(SAD)cùng vuông góc với đáy,SCtạo với đáy một góc bằng60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng

A a³√ 2

3 . B a³√

6

3 . C 2a³√

6

3 . D 4a³√

6 3 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

o

Hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì chiều cao là giao tuyến của hai mặt bên.

c Ví dụ 36. Cho khối chóp S.ABCcó đáyABC là tam giác đều cạnha. Hai mặt bên(SAB)và(SAC) cùng vuông góc với đáy. BiếtSC=a√

3, thể tích khối chóp bằng A 2√

6a³

9 . B

√6a³

12 . C

√3a³

2 . D

√3a³

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(45)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 37. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh3, hai mặt(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với đáy, góc giữaSCvà mặt đáy là60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng

A 6√

6. B 9√

6. C 3√

3. D 3√

6.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 38. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB=a,AC=5a. Hai mặt bên (SAB)và(SAD)cùng vuông góc với đáy, cạnh bênSBtạo với đáy một góc bằng60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng

A 2√

2a³. B 4√

2a³. C 6√

2a³. D 2a³. ÊLời giải.

(46)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 39. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB=a,AD=a√

3,SAvuông góc với đáy và(SBC)tạo với đáy một góc bằng60^◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng

A a³

2. B a³. C a³√

3

3 . D 3a³.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(47)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 40. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh2a. Hai mặt bên(SAB)và(SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa(SBC)và(ABCD)bằng30^◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A a³√ 3

2 . B √

3a³. C 8√

3a³

9 . D 8√

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 41. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành cóAB=a,AD=2a,BAD‘=60^◦. Hai mặt phẳng(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với đáy,SCA‘=60^◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng

A

√ 21a³

3 . B √

7a³. C 2√

21a³

3 . D 2√

7a³.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(48)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 42. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha, hai mặt(SAC)và(SAB)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa(SCD)và(ABCD)bằng60^◦. Thể tích khối chóp bằng

A

√ 6a³

3 . B

√ 3a³

6 . C

√ 6a³

6 . D

√ 3a³ 3 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 43. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha. Hình chiếuSlên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy 60^◦. Thể tích khối chóp S.ABCDbằng

A a³√ 15

3 . B a³√

15

27 . C a³√

15

9 . D a³

3 .

(49)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 44. Cho hình chópS.ABCcóAB=a,AC=2a,BAC‘=120^◦vàSA⊥(ABC). Biết mặt phẳng (SBC)và(ABC)bằng60^◦. Thể tích khối chópSABCbằng

A

√21a³

14 . B

√7a³

14 . C

√7a³

7 . D 3√

21a³ 14 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(50)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 45. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB=a, AC = b, AD=c. Thể tích khối tư diệnABCDbằng

A abc

2 . B abc

6 . C abc

3 . D abc.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 46. Cho tứ diện OABCcó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=2a, OB=3a, OC=4a. Thể tích khối tứ diệnOABCbằng

A 8a³. B 4a³. C 3a³. D 6a³. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

¬ Xác định giao tuyến của mặt phẳng(α)với mặt đáy.

Từ đỉnhS, kẻ đoạnSH vuông góc với giao tuyến. Suy raSH là đường cao của khối chóp.

(51)

c Ví dụ 47.

Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giácABCvuông cân tạiB, AB=a, tam giác SACcân tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.