Tài liệu hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Lư Sĩ Pháp - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TOÁN 11

CHƯƠNG I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định.

N ộ i dung g ồ m 4 ph ầ n

Phần 1. Kiến thức cần nắm

Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.

Mọi góp ý xin gọi về số 0355334679 – 0916.620.899 Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn.

L ư S ĩ Pháp

Gv_Trường THPT Tuy Phong

L Ờ I NÓI ĐẦ U

M Ụ C L Ụ C

CHƯƠNG I. ^{HÀM S} Ố L ƯỢ NG GIÁC VÀ

PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC

ÔN T Ậ P CÔNG TH Ứ C L ƯỢ NG GIÁC 1 – 2

§1. HÀM S Ố L ƯỢ NG GIÁC 3 – 11

§2. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC C Ơ B Ả N 11 – 17

§3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP 18 – 27

ÔN TẬP CHƯƠNG I 28 – 41

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I 41 – 58

Đ ÁP ÁN 59 – 60

CHƯƠNG I

---0o0---

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

---0O0---

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

2 2

sin α+cos α=1 tan sin ; ,

cosα π2 k k

α α π

= α ≠ + ∈ℤ

cot cos ; ,

sinα k k

α α π

= α ≠ ∈ℤ tan .cot 1; ,

2 kπ k α α = α ≠ ∈ℤ

2

2

1 tan 1 ; ,

2

cos π k k

α α π

+ = α ≠ + ∈ℤ 1 cot² 1₂ ; ,

sin k k

α α π

+ = α ≠ ∈ℤ

2. Các công thức lượng giác 2.1. Công thức cộng

( )

cos α β± =cos cosα β∓sin sinα β

( )

sin α β± =sin cosα β ±cos sinα β

( )

tan 1 tan tan

α β

α β α β

± = ±

∓ , với mọi α β, làm cho các biểu thức có nghĩa.

2.2. Công thức nhân đôi sin 2α=2sin cosα α

2 2 2 2

cos2α=cos α−sin α=2 cos α− = −1 1 2sin α

2

2 tan

tan 2 ; ,2 ,

1 tanα π2 k k

α α α π

= α ≠ + ∈

− ℤ

2.3. Công thức nhân ba

cos3α =4 cos3α−3cosα sin3α =3sinα−4sin³α 2.4. Công thức hạ bậc

2 1 cos2

cos 2

α= ⁺ α sin² 1 cos2

2 α= ⁻ α

2 1 cos2 tan 1 cos2

α α

α

= −

+ , với α làm cho biểu thức có nghĩa.

2.6. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos .cos

2 2

α β α β

α+ β = ^{+ −} cos cos 2sin .sin

2 2

α β α β

α− β = − ^{+ −}

sin sin 2sin .cos

2 2

α β α β

α+ β = ^{+ −} sin sin 2 cos .sin

2 2

α β α β

α− β = ^{+ −}

, với mọi α β, làm cho các biểu thức có nghĩa.

2.7. Công thức biến đổi tích thành tổng

( ) ( )

cos .cos 1 cos cos

α β =2^ α β+ + α β− ^

( ) ( )

sin .sin 1 cos cos

α β = −2^ α β+ − α β− ^

( ) ( )

sin .cos 1 sin sin

α β =2^ α β+ + α β− ^ 2.8. Công thức rút gọn

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

π π

α+ α = ^α+ ^= ^α− ^

   

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

π π

α− α= ^α− ^= − ^α+ ^

   

tan cot 2

sin 2

α α

+ = α, với α làm cho biểu thức có nghĩa 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt

3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) (α làm cho các biểu thức có nghĩa) cos(− =α) cosα sin(− = −α) sinα tan(− = −α) tanα cot(− = −α) cotα 3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(π α− ) sin= α cos(π α− )= −cosα tan(π α− )= −tanα cot(π α− )= −cotα 3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin cos

π α2 α

 

− =

 

  cos sin

π α2 α

 

− =

 

 

tan cot

π α2 α

 

− =

 

  cot tan

π α2 α

 

− =

 

 

3.4. Hai góc hơn kém π(cung hơn kém π^),(α làm cho các biểu thức có nghĩa) sin(π α+ )= −sinα cos(π α+ )= −cosα tan(π α+ ) tan= α cot(π α+ ) cot= α 3.5. Hai góc hơn kém

2

π (cung hơn kém 2

π _),(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin cos

π α2 α

 

+ =

 

  cos sin

π α2 α

 

+ = −

 

 

tan cot

π α2 α

 

+ = −

 

  cot tan

π α2 α

 

+ = −

 

 

3.6. Cung bội. (k∈ℤ, α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(α+k2 ) sinπ = α cos(α+k2 ) cosπ = α tan(α+kπ) tan= α cot(α+kπ) cot= α 4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt

α HSLG

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 120⁰ 135⁰ 150⁰ 180⁰

0 6

π

4 π

3 π

2

π ²

3

π ³

4

π ⁵

6

π π

sinα

0 1

2 2

2

3

2 1 3

2

2 2

1

2 0

cosα

1 3

2

2 2

1

2 0 1

−2 2

− 2 3

− 2 - 1 tanα

0 3

3 1 3

|| − 3

- 1 3

− 3 0 cotα

|| 3

1 3

3 0 3

− 3 - 1 − 3

||

|| : Không xác định

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

Hàm số y=sinx Hàm số y=cosx

• Có tập xác định là ℝ

• Có tập giá trị là −1;1

• Là hàm số lẻ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

2 ; 2

2 k 2 k

π π π π

 

− + +

 

  và nghịch biến trên

mỗi khoảng 2 ;3 2 ,

2 k 2 k k

π π π π

 

+ + ∈

 

  ℤ

• Có đồ thị là một đường hình sin

• Có tập xác định là ℝ

• Có tập giá trị là −1;1

• Là hàm số chẵn

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

(

)

(

)

• Có đồ thị là một đường hình sin

Hàm số y=tanx Hàm số y=cotx

• Có tập xác định là ₁ \ ,

D = ^π2+kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

• Có tập giá trị là ℝ

• Là hàm số lẻ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

; ;

2 k 2 k k

π π π π

 

− + + ∈

 

  ℤ

• Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng 2 ;

x= +π kπ k∈ℤ làm một đường tiệm cận

• Có tập xác định là ^{D2 =ℝ\}

{

}

• Có tập giá trị là ℝ

• Là hàm số lẻ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Nghịch biến trên mỗi khoảng

(

)

• Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x=kπ;k∈ℤ làm một đường tiệm cận

B. BÀI TẬP

ạng 1. Tập xác định của hàm số - Hàm số xác định với một điều kiện - Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện - Hàm số y=sin ;x y=cosx có tập xác định là ℝ

- Hàm số y=tanxxác định khi và chỉ khi cosx≠0; Hàm số y=cotxxác định khi và chỉ khi sinx≠0

D

Lưu ý:

1 sin 1 2

u= ⇔ = +u π2 k π sin 1 2

u= − ⇔ = − +u π2 k π sinu= ⇔ =0 u kπ 2 cosu= ⇔ =1 u k2π cosu= − ⇔ = +1 u π k2π cos 0

u= ⇔ = +u π2 kπ 3 tan 1

u= ⇔ = +u π4 kπ tan 1

u= − ⇔ = − +u π4 kπ tanu= ⇔ =0 u kπ 4 cot 1

u= ⇔ = +u π4 kπ cot 1

u= − ⇔ = − +u π4 kπ cot 0

u= ⇔ = +u π2 kπ - Hàm số 1

y= A xác định khi và chỉ khi A≠0 - Hàm số y= A xác định khi và chỉ khi A≥0

- Hàm số 1

y= A xác định khi và chỉ khi A>0 Bài 1.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) 1 cos sin y x

x

= + ^{b) y 1 sin}_cos ^x x

= + ^{c) y 1 cos}_{1 cos}^x x

= +

− d) y= 3 sin− x HD Giải

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈^ℤ. Vậy ^D=ℝ\

{

}

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 ,

x≠ ⇔ ≠ +x π2 kπ k∈ℤ. Vậy \ , D= ^π2+kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 cos 0 1 cos

x x

+ ≥

− . Vì 1 cos+ x≥0 nên điều kiện là 1 cos− x>0 hay 1 cos− x≠ ⇔0 cosx≠ ⇔ ≠1 x k2 ,π k∈ℤ. Vậy ^{D=ℝ\ 2 ,}

{

}

d) Vì − ≤1 sinx≤1 nên 3 sin− x≥ ∀ ∈0, x ^ℝ. Vậy D=ℝ Bài 1.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) tan

y₌ ^x₋π3^

 

  b) cot

y₌ ^x₊π6^

 

  c) tan 2

y₌ ^ x₊π3^

 

  d) y=tanx+cotx HD Giải

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 5 ,

3 3 2 6

x π x π π kπ x π kπ k

 

− ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈

 

  ℤ.

Vậy \ 5 ,

D= ^ 6π +kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0 ,

6 6 6

x π x π kπ x π kπ k

 

+ ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ∈

 

  ℤ.

Vậy \ ,

D= ^− +π6 kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 2 0 ,

3 3 2 12 2

x π x π π kπ x π kπ k

 

+ ≠ ⇔ + ≠ + ⇔ ≠ + ∈

 

  ℤ.

Vậy \ ,

12 2

D₌ ^π ₊kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 sin 2 0 , sin 0 2

x k

x x k

x

π

 ≠

⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈

 ≠

 ℤ.

Vậy \ , 2

D₌ ^kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

Bài 1.3. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) cos 2 1 y x

= x

− b) tan

3

y= x c) y = cot2x

d) sin ₂1 y 1

= x

− e) y= cosx+1 f) 2

cos cos3

y= x x

−

g) ₂ 3 ₂

sin cos

y= x x

− h) 1 sin

1 cos y x

x

= −

+ i) 3sin 7

2 cos 5 y x

x

= −

− HD Giải

a) Ta có cos 2 1 y x

= x

− xác định trên ℝkhi và chỉ khi 2 1 0 1

1

x x x

x ∈ ⇔ − ≠ ⇔ ≠

− ℝ .

Vậy tập xác định của hàm số cos 2 1 y x

= x

− là ^{D=ℝ\ 1}

{ }

b) Hàm số tan 3

y= x xác định khi và chỉ khi cos 0 3 3 ,

3 3 2 2

x x

k x k k

π π π π

≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈ℤ. Vậy tập xác định của hàm số \ 3 3 ,

D= ^ 2π +k π k∈ ^

 

ℝ ℤ

c) Tập xác định của hàm số \ , 2

D₌ ^kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

d) Tập xác định của hàm số ^{D=ℝ\ 1;1}

{ }

e) Ta có cosx+ ≥ ∀ ∈1 0, x ℝ. Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ f) Ta có cosx−cos3x= −2sin 2 sin( ) 4sinx − =x ²xcosx.

Vậy tập xác định của hàm số \ , 2

D₌ ^kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

g) Ta có sin²x−cos²x= −cos2x. Vậy tập xác định của hàm số \ ,

4 2

D₌ ^π ₊kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

h) Ta có 1 sin− x≥0,1 cos+ x≥0. Do đó hàm số xác định ∀ ∈x ℝ khi cosx≠ −1. Vậy tập xác định của hàm số ^D=ℝ\

{

}

i) Ta có 3sinx− <7 0, 2 cosx− <5 0 nên 3sin 7 0, 2 cos 5

x x

x^{− > ∀ ∈}− ℝ. Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ Bài 1.4. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) y=cos x b) sin 1

1 y x

x

= +

− c) 1 cos2₂

1 cos 2 y x

x

= −

+

d) cot

cos 1 y x

= x

− e) 2 cos

1 tan 3 y x

x π

= −  +  − 

 

f) tan cot

1 sin 2

x x

y x

= +

− HD Giải

a) Ta có y=cos xxác định trên ℝ khi và chỉ khi x∈ ⇔ ≥ℝ x 0. Vậy tập xác định của hàm số D=[0;+∞)

b) Ta có sin 1 1 y x

x

= +

− xác định trên ℝ khi và chỉ khi 1 1 0 1 1

1 1

x x

x x x

+ ∈ ⇔ + ≥ ⇔ − ≤ <

− ℝ − .

Vậy tập xác định của hàm số D= −[ 1;1)

c) Ta có 1 cos2− x≥0,1 cos 2+ ² x≥ ∀ ∈0, x ℝ. Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ d) Hàm số cot

cos 1 y x

= x

− xác định sin 0

cos 1 2 ;

x x k

x k k

x x k

π π

π

 ≠  ≠

⇔ ⇔ ⇔ ≠ ∈

≠ ≠

  ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số ^D=ℝ\

{

}

e) Hàm số 2 cos

1 tan 3 y x

x π

= −

 

+  − 

 

xác định

cos 0 5

3 6 ;

tan 0

3 12

x x k

k

x k

x

π π π

π π π

  − ≠ 

    ≠ +

   

⇔ ⇔ ∈

 

  − ≠  ≠ +

   



ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \ 5 ;

6 12

D= ^^ π +kπ^∪^π +kπ^ k∈ ^

   

 

ℝ ℤ

f) Hàm số tan cot 1 sin 2

x x

y x

= +

− xác định

cos 0

sin 0 2 ;

sin 2 1

4

x x k

x k

x k

x

π π π

 ≠  ≠

 

⇔ ≠ ⇔ ∈

 ≠  ≠ +

 

ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \ ;

2 4

D= ^^kπ^∪^π +kπ^ k∈ ^

   

 

ℝ ℤ

ạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y= f x( )

Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x x, ∈D⇒− ∈x D (1) Tính f( )−x và so sánh f( )−x với f x( ):

Nếu f( )− =x f x( ) thì f x( ) là hàm số chẵn (2) Nếu f( )− = −x f x( ) thì f x( ) là hàm số lẻ (3) Do vậy

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D Để kết luận f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x₀ sao cho f(−x₀)≠ f x( )₀ và f(−x₀)≠ −f x( )₀

Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG Bài 1.5. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) cosx

y= x b) y = x – sinx c) y= 1 cos− x

d) 1 cos .sin 3 2 y_{= +} x ^ 2π ₋ x^

 

  e) y = sinx.cos²x + tanx f) y = sinx – cosx g) y=sin³x−tanx h) tan cot

sin

x x

y x

= +

HD Giải a) Hàm số ( ) cosx

y f x

= = x có tập xác định ^{D=ℝ\ 0}

{ }

cos( ) cos

( ) ( )

( )

x x

f x f x

x x

− = − = − = −

− . Vậy hàm số ( ) cosx

y f x

= = x là hàm số lẻ.

b) Hàm số lẻ c) Là hàm số chẵn d) Là hàm số chẵn e) Là hàm số lẻ

f) Hàm số y= f x( ) sin= x−cosxcó tập xác định D=ℝ.

D

Lấy

x₌π6 _{ta có :} ^{1 3}_; ^{1 3}

6 2 2 6 2 2

f^π^_{= −} f^₋π ^_{= − −}

   

    . Suy ra

6 6

f^π ^_≠ f^₋π ^

   

   

Vậy hàm số y= f x( ) sin= x−cosx là hàm số không chẵn, không lẻ g) Là hàm số lẻ

h) Là hàm số lẻ

ạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m.

Nếu ∀ ∈x D f x, ( )≤M và ∃x₀ sao cho f x( )₀ =Mthì M gọi là GTLN của hàm số y= f x( ) trên D và kí hiệu

D

Max y=M

Nếu ∀ ∈x D f x, ( )≥m và ∃x₀ sao cho f x( )₀ =mthì m gọi là GTNN của hàm số y= f x( ) trên D và kí hiệu

D

Min y=m Chú ý:

− ≤1 sinx≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 sin≤ ²x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 sin≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

− ≤1 cosx≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ ²x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ Bài 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) y=2 cosx+1 b) y= −3 2sinx c) ^{y= 2 1 cos}

(

)

HD Giải a) y=2 cosx+1. Điều kiện: cos 0

0 cos 1,

1 cos 1

x x x

x

≥

 ⇔ ≤ ≤ ∀ ∈

− ≤ ≤

 ℝ

Ta có: 0≤ cosx ≤ ⇔ ≤1 0 2 cosx≤ ⇔ ≤2 1 2 cosx ≤3 hay 1≤ ≤y 3 Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈

ℝ

ℤ

1 cos 0 ,

Min y= ⇔ x= ⇔ = +x π2 kπ k∈

ℝ

ℤ b) y= −3 2sinx. Tập xác định: D=ℝ

Ta có: − ≤1 sinx≤ ⇔ ≥ −1 2 2sinx≥ − ⇔ + ≥ −2 2 3 3 2sinx≥ − + ⇔ ≥ −2 3 5 3 2sinx≥1hay 5≥ ≥y 1

Vậy: 5 sin 1 2 ,

Max y= ⇔ x= − ⇔ = − +x π2 k π k∈

ℝ

ℤ

1 sin 1 2 ,

Min y= ⇔ x= ⇔ = +x π2 k π k∈

ℝ

ℤ c) ^{y= 2 1 cos}

(

)

Ta có: ^{− ≤1 cosx≤ ⇔ ≤ +1 0 1 cosx≤ ⇔ ≤2 0 2 1 cos}

(

)

^{⇔ ≤0 2 1 cos}

(

)

(

)

Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈

ℝ

ℤ

1 cos 1 2 ,

Min y= ⇔ x= − ⇔ = +x π k π k∈

ℝ

ℤ

Bài 1.7. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) 2 cos 3

y₌ ^π3₊x^₊

 

  b) cos cos

y₌ x₊ ^x₋π3^

 

  c) y= −3 2 sinx d) y=cos²x+2cos 2x e) y= 5 2 cos .sin− ²x ²x f) 2sin²x−cos 2x

HD Giải

D

a) Hàm số 2 cos 3 y₌ ^π3₊x^₊

 

  có tập xác định là D=ℝ.

Ta có: _{− ≤} ^π ₊ ^_{≤ ⇔ − ≤} ^π ₊ ^_{≤ ⇔ − + ≤} ^π ₊ ^_{+ ≤ +}

     

     

1 cos 1 2 2 cos 2 1 3 2 cos 3 2 3

3 x 3 x 3 x

_{⇔ ≤} ^π ₊ ^_{+ ≤ ≤ ≤}

 

 

1 2 cos 3 5 1 5

3 x hay y

Vậy: Max y=5

ℝ khi cos 1 2 ,

3 x x 3 k k

π π π

 

+ = ⇔ = − + ∈

 

  ℤ

1 Min y= −

ℝ khi cos 1 2 2 ,

3 x x 3 k k

π π π

 

+ = − ⇔ = + ∈

 

  ℤ

b) Hàm số cos cos

y₌ x₊ ^x₋π3^

 

  có tập xác định là D=ℝ.

Ta có cos cos 2 cos cos 3 cos

3 6 6 6

x₊ ^x₋π ^₌ ^x₋π ^ π ₌ ^x₋π ^

     

     .

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: 3 3 cos 3 3 3

x π6 hay y

 

− ≤  − ≤ − ≤ ≤

 

Vậy: GTLN của y là 3, đạt đựơc khi cos 1 2 ;

6 6

x π x π k π k

 

− = ⇔ = + ∈

 

  ℤ

GTNN của y là − 3, đạt được khi cos 1 7 2 ;

6 6

x π x π k π k

 

− = − ⇔ = + ∈

 

  ℤ

c) Hàm số y= −3 2 sinx có tập xác định là D=ℝ.

Ta có 0 sin≤ x ≤ ⇔ − ≤ −1 2 2 sinx ≤ ⇔ ≤ −0 1 3 2 sinx ≤3 hay 1≤ ≤y 3 Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sinx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là 1, đạt được khi sin 1 , x= ± ⇔ = ± +x π2 kπ k∈ℤ d) Hàm số y=cos²x+2 cos2x có tập xác định là D=ℝ.

Ta có cos² 2 cos2 1 cos2 2 cos2 1 5cos2

2 2

x x

x+ x= + + x= + .

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: 2 1 5cos2 3 2

+ x

− ≤ ≤ .

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ GTNN của y là -2, đạt được khi cos2 1 ,

x= − ⇔ = +x π2 kπ k∈ℤ e) Hàm số y= 5 2 cos .sin− ²x ²x có tập xác định là D=ℝ.

Ta có 5 2 cos .sin^{2 2} 5 1sin 2²

x x 2 x

− = − .

Vì 0 sin 2≤ ² x≤1 nên 1 1sin 2² 0 9 5 1sin 2² 5 3 2 5

2 2 x 2 2 x hay 2 y

− ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ≤ ≤ .

Vậy: GTLN của y là 5, đạt được khi sin 2² x= ⇔0 sin 2x= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ GTNN của y là 3 2

2 , đạt được khi sin 2² 1 sin 2 1 ,

4 2

x_{= ⇔} x= ± ⇔ = ± +x π kπ k∈ℤ f) Hàm số y=2sin²x−cos2x= −1 2 cos2x có tập xác định là D=ℝ.

Ta có − ≤ −1 1 2 cos2x≤3

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2 1 , x= − ⇔ = +x π2 kπ k∈ℤ GTNN của y là -1, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y= +3 sin cosx x b) y= −4 2 cos²x c) 2 3 cos

y= x

+

d) 3 ₂

5 sin

y= x

− e) ^{y= 1 sin−}

( )

HD Giải a) GTLN của y là 7

2, đạt được khi , x= +π4 kπ k∈ℤ GTNN của y là 5

2, đạt được khi ,

x= − +π4 kπ k∈ℤ b) GTLN của y là 4, đạt được khi ,

x= +π2 kπ k∈ℤ

GTNN của y là 2, đạt được khi x=k2π ∨ = +x π k2 ,π k∈ℤ

c) Hàm số 2

3 cos

y= x

+ có tập xác định là D=ℝ.

Ta có 1 cos 1 2 3 cos 4 1 1 1 1 2 1

4 3 cos 2 2 3 cos

x x

x x

− ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

+ +

GTLN của y là 1, đạt được khi x= +π k2 ,π k∈ℤ GTNN của y là 1

2, đạt được khi x=k2 ,π k∈ℤ d) GTLN của y là 3

4, đạt được khi , x= +π2 kπ k∈ℤ GTNN của y là 3

5, đạt đươc khi x=kπ,k∈ℤ

e) Hàm số ^{y= 1 sin−}

( )

( )

GTLN của y là 2 1− , đạt được khi ² 2 , 1 x = − +π2 k π k≥ GTNN của y là 1− , đạt được khi ² 2 , 0

x = +π2 k π k>

f) Hàm số y=4sin xcó tập xác định là ^{D=0;+∞}

)

x = +π2 k π k≥ GTNN của y là 4− , đạt được khi 2 , 1

x = − +π2 k π k≥ Bài 1.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y=sin⁴x−cos⁴x b) y=sin⁴x+cos⁴x c) y=sin²x+2sinx+6 d) y=cos⁴x+4 cos²x+5

HD Giải

a) ^{y=sin4x−cos4x=}

(

)(

)

Mặt khác: − ≤1 cos2x≤1

GTLN của y là 1, đạt được khi , x= +π2 kπ k∈ℤ GTNN của y là −1, đạt được khi x=kπ,k∈ℤ

b) ^{y=sin4x+cos4x=}

(

)

Mặt khác 1 1 1sin 2² 1 2≤ −2 x≤

GTLN của y là 1, đạt được khi , 2 x₌ kπ k_∈

ℤ GTNN của y là 1

2, đạt được khi ,

4 2

x_{= +}π kπ k_∈ ℤ

c) Ta có ^{y=sin2x+2sinx+ =6}

(

)

(

)

GTLN của y là 9, đạt được khi 2 , x= +π2 k π k∈ℤ GTNN của y là 5, đạt được khi 2 ,

x= − +π2 k π k∈ℤ

d) Ta có ^{y=cos4x+4 cos2x+ =5}

(

)

(

)

GTLN của y là 10, đạt được khi x=kπ,k∈ℤ GTNN của y là 5, đạt được khi ,

x= +π2 kπ k∈ℤ ạng 4. Chu kì tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y= f x( ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số 0

T ≠ sao cho với mọi x∈Dta có:

i) x T− ∈D và x T+ ∈D ii) (f x T+ )= f x( ).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Định lí:

1. Hai hàm số y=sin(ax+b) và y=cos(ax+b) với a≠0 là hai hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 . a

= π

2. Hai hàm số y=tan(ax b+ ) và y=cot(ax b+ ) với a≠0 là hai hàm số tuần hoàn với chu kì T . a

= π

3. Hàm số y= +y₁ y₂ với T T₁, ₂ lần lượt là chu kì tuần hoàn của hàm số y y₁, ₂. Chu kì tuần hoàn của hàm số y là T =BCNN T T( , )_{1 2} .

MTCT: Nhập hàm số đã cho

Calc cho x=1 và ghi nhớ kết quả nhận được.

Calc cho x T+ so sánh với kết quả nhận được ở trên, đưa ra đáp án đúng. T là chu kì ở bốn đáp án mà câu trắc nghiệm cho.

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) tan

1 tan y x

= x

+ b) 1

3 cot 2 1 y

= x

+ c) 3sin 1

3 3cos 6 y x

x⁺ π

=  

−  + 

 

d) sin

1 cos 4 y x

x π

=  

−  + 

 

D

e) 1 cos9 1 cos9 cot9

y x x

x

= + +

+ f) sin

2 cos 2 y x

= x

+ ^g)

tan 2 1 1 sin 1 y x

x

= −

+ + h) 2 cot 3

1 1 sin3 y x

x

= −

− + Bài 1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y= 1 cos2+ x−5 b) 4 5cos 3 y_{= +} ^ x₊π3^

 

 

c) y= −2 4 2sin 5+ x _d)

2

3 1

cot 1

y= x +

+ e) 1 3sin 2

y_{= −} ^ x₋π3^

 

 

f) y= −1 8sin 2² x g) y= 9 9 sin 9− x h) y= sin 2x−5

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Phương trình sinx=m (1)

Nếu m >1: phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sinα =m

sin 2 ;

2

x k

x m k

x k

α π

π α π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 ℤ

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì:

0

0 0

sin 360 ;

180 360

x k

x m k

x k

α α

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 ℤ

Nhận thấy, trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

Chú ý:

i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện: 2 2

sin m

π α π α

− ≤ ≤



 =



thì ta viết α =arcsinm.

Khi đó: π

π π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 arcsin 2 ℤ

sin ,

arcsin 2

x m k

x m k

x m k

ii) Các trường hợp đặc biệt

• m= −1 , phương trình sinx= −1 có nghiệm là = − +π 2 ,π ∈^ℤ

x 2 k k

• m=0 , phương trình sinx=0 có nghiệm là x=kπ;k∈^ℤ

• m=1 , phương trình sinx=1 có nghiệm là 2 ; x= +π2 k π k∈ℤ

iii) Tổng quát: π

π π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 2 ℤ

sin sin ,

2 u v k

u v k

u v k

2. Phương trình cosx=m (2)

Nếu m >1: phương trình (2) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cosα =m

α π

α π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 2 ℤ

cos ,

2

x k

x m k

x k

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: α α

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 ℤ

0 0

cos 360 ,

360

x k

x m k

x k

Chú ý:

i) Nếu α thoả điều kiện 0≤ ≤α π và cosα = m thì ta viết α = arccosm.

Khi đó pt (2) có nghiệm là : x= ±arccosm k+ 2 ;π k∈ℤ ii) Các trường hợp đặc biệt khi ^m∈

{ }

• cos 0

x= ⇔ = +x π2 kπ ,k∈ℤ

• cosx= − ⇔ = +1 x π k2π,k∈ℤ

• cosx= ⇔ =1 x k2π,k∈ℤ

iii) Tổng quát: π

π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 2 ℤ

cos cos ,

2 u v k

u v k

u v k

3. Phương trình tanx=m(3) Điều kiện: , x≠ +π2 kπ k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa làtanα=m thì tanx= ⇔ = +m x α kπ;k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tanx= ⇔ = +m x α k180 ;⁰ k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện

2 2

π α π

− < < và tanα =m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:x=arctanm k+ π,k∈ℤ

• Các trường hợp đặc biệt biệt khi ^m∈

{ }

tanx= ⇔ =0 x kπ,k∈^ℤ

tan 1

x= − ⇔ = − +x π4 kπ,k∈ℤ tan 1

x= ⇔ = +x π4 kπ,k∈ℤ

• Tổng quát : tanu=tanv có nghiệm: u= +v kπ,k∈^ℤ 4. Phương trình cotx=m (4) Điều kiện: x≠kπ,k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa làcotα=m thì cotx= ⇔ = +m x α kπ,k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cotx= ⇔ = +m x α k180 ;⁰ k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện 0< <α π và cotα =m thì ta viết α =arccotm. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:x=arccotm k+ π,k∈ℤ

• Tổng quát : cotu=cotv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ

Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản Với u=u x v( ), =v x( ) và u v, làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ 1/ sin sin 2

2 u v k

u v

u v k

π

π π

 = +

= ⇔

= − +

 2 / cos cos 2

2 u v k

u v

u v k

π π

 = +

= ⇔

= − +



3 / tanu=tanv⇔ = +u v kπ 4 / cotu=cotv⇔ = +u v kπ B. BÀI TẬP

ạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản

- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản - Cung đối và cung bù

Bài 2.1. Giải các phương trình sau:

a) 1

sinx=2 b) sin 3

x= − 2 c) sin 2

x= 3 d) sin 2 sin

5 5

x π π x

   

− = +

   

   

D

e) sin 10⁰ 1

2 2

x 

+ = −

 

  f) sin 2 1

6 2

x π

 

+ = −

 

  g)sin 2 0

3 3

x π

 

− =

 

  h) 1

sin 9

3 2

x π

 

− =

 

 

HD Giải a) Ta có: sin 30⁰ 1 sin

2 6

= = π . Phương trình đã cho tương đương với:

2 2

6 6

sin sin ,

5

6 2 2

6 6

x k x k

x k

x k x k

π π π π

π

π π

π π π

 

= + = +

 

= ⇔ ⇔ ∈

 = − +  = +

 

 

ℤ

Vậy phương trình có các nghiệm là: 5

2 ; 2 ,

6 6

x= +π k π x= π +k π k∈ℤ b) Ta có: _{− = −} π ₌ ^₋π ^

 

 

3 sin sin

2 3 3 (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(− = −α) sinα )

Phương trình đã cho tương đương:

π π

π

π π

 = − +

  

⇔ = − ⇔ ∈

   = +

ℤ 3 2

sin sin ,

3 4 2

3

x k

x k

x k

c) Vì 2 1

3< nên có số α để sin 2 arcsin2

3 3

α= ⇒α= . Do đó:

2 2

sin sin sin

3 2

x k

x x

x k

α π

α π α π

 = +

= ⇔ = ⇔

= − +

 hay

arcsin2 2

3 ,

arcsin2 2 3

x k

k

x k

π

π π

 = +

 ∈



= − +



ℤ

d)

π π π π π

π π

π π π π π π

 − = + +  = +

 

 − =  + ⇔ ⇔ ∈

       

     − = − + +  = +

ℤ

2 5 5 2 25 2

sin 2 sin ,

5 5 2 2 2

5 5 3 3

x x k x k

x x k

x x k x k

e) x= −80⁰+k720⁰ và x=400⁰+k720 ;⁰ k∈ℤ f) x= − +π6 kπ và ;

x= +π2 kπ k∈^ℤ

g) 3 ;

2 2

x_{= +}π k π k_∈ ℤ

h) 2 7 2

; ,

18 9 54 9

k k

x₌ π ₊ π x₌ π ₊ π k_∈ ℤ Bài 2.2. Giải các phương trình sau:

a) 2

cosx= 2 b) cos = −1

x 2 c) cos = 4

x 5 d) ^ ₋π ^₌ ^π ₊ ^

   

   

cos 3 cos

6 3

x x

e) ^{cos 3}

(

)

HD Giải

a) Ta có: 2

2 cos4

= π . Phương trình đã cho tương đương với:

4 2

cos cos ,

4 2

4

x k

x k

x k

π π

π

π π

 = +

= ⇔ ∈

 = − +



ℤ

Vậy phương trình có nghiệm là 2 , x= ± +π4 k π k∈ℤ

b) Ta có: 1 2

cos cos cos

2 3 3 3

π ^π π ^ π

− = − =  − =

  (Áp dụng cung bù_ cos(π α− )= −cosα) Phương trình đã cho tương đương với: cos =cos2π ⇔ = ±2π + 2 ,π ∈^ℤ

3 3

x x k k

c) Vì 4<1

5 nên có số α để cosα =4⇒α=arccos4

5 5. Do đó:

α π

α α π

 = +

= ⇔ = ⇔

= − +

 4 2

cos cos cos

5 2

x k

x x

x k hay

π π

 = +

 ∈



= − +



ℤ arccos4 2

5 ,

arc os4 2 5

x k

k

x c k

d)

π π π π π

π π

π π π π π

 

− = + + = +

 

 − =  + ⇔ ⇔ ∈

       

     − = − + +  = − +

ℤ

3 2

6 3 12

cos 3 cos ,

6 3 3 2

6 3 24

x x k x k

x x k

x x k x k

e) ^{cos 3}

(

)

(

)

f)

π π π π π

π π π

π π π π π

 

− = + = +

 

   

− = − ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈

   

 

     − = − +  = − +

ℤ

3 2 2 11 4

3 1 3 2 2 4 3 18 3

cos cos cos ,

2 4 2 2 4 3 3 2 2 5 4

2 4 3 18 3

x k

k x

x x

x k k

k x

g) ^ −π ^= − ⇔ − = +π π π ⇔ = π + π ∈

3  3 7 ℤ

cos 1 2 4 ,

2 6 2 6 9

x x

k x k k

h) Vì 3 1

2 > nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2.3. Giải các phương trình sau:

a) tanx= 3 b) 3

tanx= − 3 c) tan tan 2

4 x x

π

 

− =

 

  d) ^tan

(

)

HD Giải

a) tan 3 tan tan ,

3 3

x= ⇔ x= π ⇔ = +x π kπ k∈ℤ

b) 3

tan tan tan ,

3 6 6

x= − ⇔ x= ^−π ^⇔ = − +x π kπ k∈

  ℤ

c) tan tan 2 2 ,

4 4 12 3

x x x x k x k k

π π π π π

 

− = ⇔ − = + ⇔ = − ∈

 

  ℤ

d) ^tan

(

)

(

)

e) 1 1 1 1

tan 2 2 arctan arctan ,

2 2 2 2 2

x= ⇔ x= +kπ ⇔ =x +kπ k∈ℤ Bài 2.4. Giải các phương trình sau:

a) 3

cotx= 3 b) cotx= − 3 c) cot cot 2

4 x x

π

 

− =

 

  d) ^cot

(

)

HD Giải

a) cot 3 cot cot ,

3 3 3

x= ⇔ x= π ⇔ = +x π kπ k∈ℤ

b) cot 3 cot cot ,

6 6

x= − ⇔ x= ^−π ^⇔ = − +x π kπ k∈

  ℤ

c) cot cot 2 2 ,

4 4 12 3

x x x x k x k k

π π π π π

 

− = ⇔ − = + ⇔ = − ∈

 

  ℤ

d) ^cot

(

)

(

)

e) 3 3 1 3

cot 3 3 arc cot arc cot ,

5 5 3 5 3

x= ⇔ x= +kπ ⇔ =x +kπ k∈ℤ Bài 2.5. Giải các phương trình sau:

a) sin3 0

cos3 1 x

x =

− b) cot 3 tan2

x₌ 5π _c)

(

) (

)

d) tan 12 3

12π x

 

+ = −

 

  e) sin 2 cos3

x 3π x

 

+ =

 

  f)^{tan 2}

(

)

HD Giải a) Điều kiện : cos3x≠1. Ta có sin3x= ⇔0 3x=kπ .

Do điều kiện, các giá trị k=2 ,m m∈ℤbị loại, nên 3 (2 1) (2 1) , x= m+ π ⇔ =x m+ π3 m∈^ℤ Vậy nghiệm của phương trình là (2 1) ,

x= m+ π3 m∈^ℤ b) Nghiệm của phương trình là: ,

30 3

x₌ π ₊kπ k_∈ ℤ c) Nghiệm của phương trình là: 2

x= − +π2 k π và , x= ± +π8 kπ k∈^ℤ d) Nghiệm của phương trình là: 5 ,

144 12 x_{= −} π ₊kπ k_∈

ℤ

e) sin 2 cos3 cos3 cos 0

3 6

x π x x x π

   

+ = ⇔ − + =

   

    . Vậy nghiệm của phương trình:

; ,

24 2 12

x= − π +kπ x= π +kπ k∈^ℤ

f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có ^{tan 2}

(

)

(

)

(

)

(

)

tan 2 45 tan 180 1 cot 45 2 .tan 1

2 2

x x

x x

^⇔tan_⁻₂^x_^{=tan 45}

(

)

ạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn.

- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho.

Bài 2.6. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:

a) sin 2 1

x= −2 với 0< <x π b) cos( 5) 3

x− = 2 với − < <π x π c) ^{tan 2}

(

)

HD Giải

D

a)

2 2

1 6 12

sin 2 ,

2 2 7 2 7

6 12

x k x k

x k

x k x k

π π π π

π π π π

 

= − + = − +

 

= − ⇔ ⇔ ∈

 

= + = +

 



ℤ

Xét điều kiện 0< <x π , ta có

• 0 1 1 1 1

12π kπ π 12 k 12 k

< − + < ⇔ < < + ⇒ = ( Do k∈ℤ). Vì vậy : 11 x₌ 12π

• 0 7 0

12π kπ π k

< + < ⇒ = . Vì vậy: 7 x= 12π Vậy: 11

x₌ 12π _và 7 x₌ 12π

b)

5 2 5 2

3 6 6

cos( 5) ,

2 5 2 5 2

6 6

x k x k

x k

x k x k

π π π π

π π π π

 

− = + = + +

 

− = ⇔ ⇔ ∈

 

− = − + = − + +

 

 

ℤ

Xét điều kiện − < <π x π, ta có:

• 5 2 1

6 k k

π π π π

− < + + < ⇒ = − . Do vậy, có 5 11 x= − 6π

• 5 2 1

6 k k

π π π π

− < − + + < ⇒ = − . Do vậy, có 5 13 x_{= −} 6π

Vậy: 5 11

x= − 6π ^và 5 13 x= − 6π

c) ^{tan 2}

(

)

Xét điều kiện −180⁰< <x 90⁰, ta có

• ^{−1800 <300+k900<900} ⇔ − < + < ⇔ ∈ − −^{2 1}₃ ^{k 1 k}

{

}

Vậy các nghiệm của phương trình là: x= −150 ,⁰ x= −60⁰ và x=30⁰

d) cot 3 1 ,

9 3

3

x_{= − ⇔ = − +}x π kπ k_∈

ℤ. Xét điều kiện 0 2 x

− < <π , ta có:

• ^{− < − +π}₂ ^π₉ ^k₃^{π < ⇔ ∈ −0 k}

{ }

Vậy các nghiệm của phương trình là: 4 x= − 9π và

x= −π9

Bài 2.7. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40⁰ bắc trong một ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: ( ) 3sin ( 80) 12

d t ₌ ^182π t₋ ^₊

 

  với t∈ℤ và 0< <t 365. a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có it giờ có ánh sáng mặt trời nhất ? c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

HD Giải a) Ta phải giải phương trình: 3sin ( 80) 12 12

182π t

 

− + =

 

  với t∈ℤ và 0< <t 365.

Phương trình dẫn đến sin ( 80) 0 ( 80) 182 80,( )

182π t 182π t kπ t k k

 

− = ⇔ − = ⇔ = + ∈

 

  ℤ

Mặt khác ^{0 182< k+80 365< ⇔ ∈k}

{ }