Chuyên đề tích phân – Phạm Thanh Phương - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Tác giả: PHẠM THANH PHƯƠNG (Đà Nẵng) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Chủ đề 2:

I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f liên tục trên K và a b, là hai số thực bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số ^{F b}

   

^{F a} gọi là tích phân của f từ a đến b, ký hiệu

 

^d

b

a

f x x



^{. Nếu a b thì b}

 

^d

a

f x x



gọi là tích phân của f trên đoạn a b; .

Hiệu số ^{F b}

   

^{F a} còn được ký hiệu là ^{F x}

 

^b

a, do đó nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì ^b

 

^d

     

a

f x x F x b F b F a

 a 



^.

Vì



f x x( )d là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có ^b

  

^{( )d}



a

f x dx f x x b

 a

 

^.

Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích phân, ^{f x x}

 

^d là biểu thức dưới dấu tích phân.

Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:

 

^d

 

^d

 

^d

   

b b b

a a a

f x x f t t f u u F b F a

  

Ví dụ 1: d

3

2 1

1 1 3 1 1 1

4 2 ln 2 1 18 ln 5 2 ln1 16 ln 5

1

2 1 2 2 2 2

I x x x x

x

       





                ^.

Ví dụ 2:

 

d d d

3 2 3 2 3 2

1 1 1

1 2 1 1 3

2 2 ln

1 2

x x x x

I x x x x x x

x x x

      

          

   

  

9 1

6 ln 3 2 ln1 ln 3

2 2

   

       

    .

Ví dụ 3: d

2 4

3 2

1

2 2

2 2 ln

4 1

I y y y y y y

y

 

 

        

   





^{4 4 2 ln 2}



^{1 1 2 ln1 27 2 ln 2}

4 4

 

       

 

Ví dụ 4: ²

 

^d

0

cos 2 1 1

2 cos sin 2 2 sin 2 2 0 1

2 2 2

0

I t t t t t

 

     

          

     



^.

Ví dụ 5: ⁴



²



^{d 4}



²



^d

 

2 2

4 cot 3 1 cot 3 cot 4

2

I s s s s s s

 

 







 



    

3 3 3 4

1 0

4 2 4

  

     

     

    .

2. TÍNH CHẤT

Với 2 hàm số ,f g liên tục trên K và a b c, , là 3 số thực bất kỳ thuộc K, ta có:

 ^a

 

^{d 0}

a

f x x



^{ b}

 

^{d a}

 

^d

a b

f x x  f x x

 

 ^b

 

^{d c}

 

^{d c}

 

^d

a b a

f x x f x x f x x

  

^{ b}

   

^{d b}

 

^{d b}

 

^d

a a a

f x g x x f x x g x x

    

 

  

 ^{b .}

 

^{d .b}

 

^{d ,}

a a

k f x xk f x x k

 

^.

Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:

 Nếu ^{f x}

 

^{0 trên }_^{a b; }_ ^{thì b}

 

^{d 0}

a

f x x



^.

 Nếu ^{f x}

   

^{g x trên }_^{a b; }_ ^{thì b}

 

^{d b}

 

^d

a a

f x x g x x

 

^.

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối, 1 số hàm lượng giác đơn giản.

- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ bản.

Ví dụ 1: Tính

 

^d

1

2

0 1

I x x

x





 ^.

Gợi ý: Đặt



¹



^{2 1}



¹



^{2 , 1}

x A B

x x

x x

    

  

   

 

2 2

1 , 1

1 1

A x B

x x

x x

      

 

, 1

x Ax A B x

       1 1

0 1

A A

A B B

   

      . Do đó



^xx1



^{2  x11}



^x11



^{2 .}

Khi đó:

 

^d

1

2 0

1 1 1 1 1

ln 1 ln 2 .

1 1 1 0 2

I x x

x x x

   

 





           

Ta tìm ra A B, như trên bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta có thể phân tích và biến đổi trực tiếp như sau:



^{x x1}

 

^{2 xx 1 11}



^{2 x11}



^{x 11}



²

    

    , cách này hiệu quả hơn.

Ví dụ 2: Tính

 

d

1 2 0

1 4

I x x x

x

 



 ^.

Gợi ý: Với mọi x 0;1, ta có:

 

^{2 2}

2 2 2 2 2

1 4 4 1 2 4

1 .

2

4 4 4 4 4

x x x x x x x

x x x x x

    

    

     .

Lúc đó: d d d d

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 0

1 2 4 1 2 4

1 .

2 4 4 2 4 4

x x

I x x x x

x x x x

 





      







 





     

  

d

d d

1 1 2 1

2

0 0 0

4 2 2

1

2 4 2 2

x x x

x x

x x

x

   

  

 

 





 

d

d d

1 1 2 1

2

0 0 0

1 4 1 1

2 4 2 2

x x x

x x

x

  









 



    

1 1 ² 1 2 1 1 3 1

ln 4 ln 1 ln ln

0 2 0 2 0 2 4 3

x x x

x

       

 .

Ví dụ 3: Tính d

2 2 2

1

I x x







 ^.

Gợi ý: Ta có: ^khi khi

2 2

2

2 2

1, 1 0

1 1 , 1 0

x x

x x x

   

  

  



 

khi khi

2 2

1, , 1 1,

1 , 1,1

x x

x x

        

  

     

Khi đó: d d d

1 1 2

2 2 2

2 1 1

1 1 1

I x x x x x x



 





 



 



 ¹



²



^{d 1}



²



^{d 2}



²



^d

2 1 1

1 1 1

x x x x x x



 





 



 





3 1 3 1 3 2

2 1 1 4

3 3 3

x x x

x  x x

     

          .

Ví dụ 4: Tính ⁴ d

0

cos

I x x







^.

Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: ^cos4



^cos2



^{2 1 cos 2 2 cos 22 2 cos 2 1}

2 4

x x x

x x      

 

1 cos 4

2 cos 2 1 cos 4 4 cos 2 3 2

4 8

x x x x

    

 

Khi đó :

 

^d

0

1 1 sin 4 3

cos 4 4 cos 2 3 2 sin 2 3

0

8 8 4 8

I x x x x x x

   

        

 



^.

Ví dụ 5: Tính d

6

0

sin .cos 5

I x x x







^.

Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: ^{sin .cos 5 1}



^{sin 6 sin 4}



x x 2 x x

Ta có: ⁶

 

^d

0

1 1 cos 6 cos 4 1

sin 6 sin 4 6

2 2 6 4 48

0

x x

I x x x

 

 

       

 



^.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1. Tính d

2 2 1

2 1

4 4

I x x

x x

 

 



^. Bài tập 2. Tính d

2 2

2 0

3 1

9

I x x

x

 



 ^.

Bài tập 3. Tính d

3

0

1

I 



x x^. Bài tập 4. Tính d

4 2 0

sin

I x x







^.

Bài tập 5. Tính ⁴



^{4 2}



^d

0

4 cos 3cos

I x x x







 ^.

2. PHƯƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

- Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt t t x ( ), biến lấy tích phân vẫn là biến x, cận lấy tích phân không đổi. Nói cách khác, ta có thể trình bày gọn bằng công thức vi phân ^{dt x}

   

^{t x x/ d} . Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất nhiều bài toán tích phân.

- Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{và t t x}

 

là một hàm của biến x thì

   

^d

     

b

a

t x t x F t x b

f  a



^.

Chẳng hạn với t là hàm bậc nhất ^{t t x}

 

^{x }



^0



^thì

 

^{d 1}

  

^d



^1.

 

b b

a a

f x x f x x F x b

        a

 

     

 

^.

Ví dụ 1: Tính d

4

0

tan

I x x







Gợi ý: ^d

 

d d

4 4 4

0 0 0

sin cos 2

tan ln cos 4 ln ln 2

cos cos 2

0 x x

I x x x x

x x

 

 









 



     ^.

Ví dụ 2: Tính ^l d

0 ^x 1

I x

 e





Gợi ý: d

 

^d

 

d d d d

l l l l l l

0 0 0 0 0 0

1 1

1 1 1 1

x x x x

x x x x

e e e

x e

I x x x x

e e e e

  

     

   

     

1 1 2

ln 1 1 ln( 1) ln 2 ln

0 0 1

x e

x e e

        e



Ví dụ 3: Tính sin sin d

2 4

0

1 2

1 2

I x x

x



 





Gợi ý: ^{cos d}



^sin



sin d sin

4 4

0 0

1 2

2 1 1 1

ln 1 sin 2 4 ln 2

1 2 2 1 2 2 2

0 x x

I x x

x x

 

 

    

 

 

^.

Ví dụ 4: Tính d

3

1

2 3

I



x x

Gợi ý:

       

d

3 3

3 1 2 2

2 1

2 3 3 2 3 3

1 1 27 5 5

2 3 2 3 .

3 1 1

2 2 3 3

2

x x

I



x x       ^.

Ví dụ 5: Tính

 

ln 3 d

0 1 3

x

x

I e x

e







Gợi ý:



d

      

d

1

ln 3 ln 3 3 2

2

0 3 0

1 ln 3 2 ln 3

1 1 2 1

1 0 1 0

1 2

x x

x x

x x

e x e

I e e

e e



  

       

 







^.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1. Tính d

4

0

cot

I x x







^. Bài tập 2. Tính d

3 3

2 0

2 tan cos

I x x

x







 ^.

Bài tập 3. Tính d

sin

2 6

0

2 cos 1

3 2

I x x

x



 



 ^. Bài tập 4. Tính d

3 2 2

4 3

2 3 1

I x x

x x

 

 



^.

Bài tập 5. Tính d

ln 6

0 x x 3

I 



e e  x^.

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

- Cho các hàm số ^{u x}

   

^{,v x} có đạo hàm liên tục trên K và hai số thực ,a b thuộc K, ta có: ( ) ( )^/ d ( ) ( ) ( ) ( )^/ d

b b

a a

u x v x x u x v x b v x u x x

   a

 

. Viết gọn: d d

b b

a a

u v uv b v u

     a

 

^.

- Nếu hàm số ^{f x}

 

là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa yx^, hàm số mũ

x, x

y a y e , hàm lôgarit ylog_ax y, lnx, hàm lượng giác ysin ,x ycosx thì ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi ^{f x x}

 

^{d về dạng u x v x x( ) ( )/ d .}

- Việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn các điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích phân mới d

b

a



v u đơn giản hơn tích phân ban đầu d

b

a



u v. Chọn hàm để đặt bằng u theo thứ tự ưu tiên giảm dần như sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lƣợng giác.

Ví dụ 1: Tính ¹



²



^d

0

.ln 1

I



x x x^.

Gợi ý: Đặt ^{uln 1}



^x2



^{,dv x x d , ta có: d} 2 ^d

2 1

u x x

 x

 , chọn

2

2 v x .

Khi đó: ²



²



^{1 3} 2^{d 1} 2 ^d

0 0

1 ln 2

ln 1 0

2 1 2 1

x x x

I x x x x

x x

 

  



  



   

2

2 1

ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1

ln(1 ) ln 2

0

2 2 2 2 2 2 2

x x

   

          

 

 

Ví dụ 2: Tính d

1 2 0

. ^x I



x e^ x^.

Gợi ý: Đặt u x ²,dv e ^xdx, ta có: du2x xd , chọn v e^x.

Khi đó:



²



^{1 d}

0

1 1

. 2 . 2

0

x x

I e x x e x K

e

 

  



   ^{, với 1 d}

0

. ^x K



x e^ x^. Tính K: Đặt u x ,dv e ^xdx, ta có: dudx, chọn v e^x.

Khi đó:

 

^{1 d}

0

1 1 1 1 1 2

1 1

0 0

x x x

K xe e x e

e e e e

    

            

 



^.

Vậy 5

2 I   e .

Ví dụ 3: Tính d

2 3 1

lnx

I x





x

Gợi ý: Đặt ulnx, d

d 3

v x

 x , ta có d

d x

u x , chọn 1₂ v 2

  x .

Khi đó: ² d

2 3 2

1

2 2

ln ln 2 1 3 2 ln 2

1 8 1 16

2 2 4

x x

I x x x

  



     ^.

Ví dụ 4: Tính d

2

2

1 1

ln ln

e

e

I x

x x

 

   

 



Gợi ý:

 

d d

2 2

2 2

1 ln 1 ln

ln .ln

e e

e e

x x

I x x x

x x x

 









Đặt ^{u x}



^{1 ln x}



^{, d 1}₂ ^d

v .ln x

x x

 , ta có du lnx xd , chọn ¹ v ln

  x .

Khi đó:



^{ln 1}



^{2 2d 2}



²



²

ln 2 2

e

e

x x e e e

I x e e e

x e

  



     ^.

Ví dụ 5: Tính d

3

2 1

3 ln ( 1)

I x x

x

 



 Gợi ý: Đặt u 3 lnx,

 

d d ₂

1 v x

x

  , ta có d

d x

u x , chọn 1 v 1

 x

 . Khi đó:



^d



^d

3 3

1 1

3 ln 3 3 1 27

ln 3 ln

1

4 1 4 16

3 ln 3 3 ln 3 3 1 1

1

1 1 4 2 1

x x

x x

I x

x x x x x

  



     

   



    



       ^. Bài tập tương tự:

Bài tập 1. Tính ¹

 

^d

0

.ln 1

I 



x x x^. Bài tập 2. Tính ²



²



^d

1

1 ^x I



x  x e x^.

Bài tập 3. Tính d

2

0

.sin

I x x x







^. Bài tập 4. Tính d

2

0

. ^x I 



x e x^. Bài tập 5. Tính d

1

ln

e

I 



x x^.

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1

- Đặt t t x ( ), với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.

- Cho hàm số ^{t t x}

 

có đạo hàm liên tục trên K, hàm số ^{yg t}

 

liên tục và hàm hợp ( )

g t x  xác định trên K, a và b là 2 số thuộc K, ta có

   

^{/ d ( )}

 

^d

( )

.

b t b

a t a

g t x t x x g t t

 

^.

- Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 1 để tính tích phân ^b

 

^d

a

I



f x x^: + Bước 1: Đặt ^{t t x}

 

^{, suy ra dt t x x /}

 

^{d .}

Đổi cận: ^{x a  t t a}

 

^{,x b  t t b}

 

^.

+ Bước 2: Biến đổi ^{f x x}

 

^{d thành g t}

 

^dt.

+ Bước 3: Khi đó d ²

2

1 x ln x x a C

x a

   



 (đơn giản hơn tích phân đã

cho). Giả sử ^{G t}

 

là một nguyên hàm của ^{g t}

 

^{thì I G t}

 

_^.

Ví dụ 1: Tính



^{2 d}



²

4

0 tan 3 tan 2 cos x

x x x

I



 





^.

Gợi ý: Đặt ttanx d ₂ d cos

t 1 x

  x . Đổi cận: 0 0, 1

x t x 4 t

      .

Lúc đó:

      

  

d d d

1 1 1

2

0 0 0

2 1

1 1

1 2 1 2

3 2

t t

I t t t

t t t t

t t

  

  

   



 

 

d

1

0

1 1 1 1 4

ln ln

0

1 2 2 3

t t

t t t

  





        ^.

Ví dụ 2: Tính d

2

11 1

I x x

x





 

Gợi ý: Đặt t x1    x t² 1 dx2t td . Đổi cận: x  1 t 0,x  2 t 1.

Lúc đó: d d d

1 2 1 3 1

2

0 0 0

1 2

2 2 2 2

1 1 1

t t t

I t t t t t t

t t t

   





 



 



     

3 2 1 11

2 2 2 ln 1 4 ln 2

0

3 2 3

t t

t t

 

        

  .

Ví dụ 3: Tính d

2 5 0

sin

I x x







Gợi ý: ^{2 4 d 2}



²



^{2 d}

0 0

sin .sin 1 cos .sin

I x x x x x x

 











Đặt tcosx dt sinx xd . Đổi cận: 0 1, 0 x_{  }t x_{  }2 t

. Khi đó: ⁰



²



^{2d 1}



^{2 4}



^{d 3 5}

1 0

2 1 8

1 1 2 .

0

3 5 15

t t

I t t t t t t 

          

 

 

Ví dụ 4: Tính d

2

0

1

4 sin 3cos 5

I x

x x







 

Gợi ý: Đặt tan 2

t x , ta có ^{d d 2 d}



²



^d

2

1 1 1 1

. 1 tan 1

2 2 2 2

cos 2

t x x x t x

x

 

      

 

d 2d ₂ 1 x t

  t

 .

Ta có:

2

2 2

2 1

sin , cos

1 1

t t

x x

t t

  

  . Đổi cận: 0 0, 1

x_{  }t x_{  }2 t . Khi đó:

   

^d

 

^d

1 1

2 2 2

0 0

2 1 1 1 1

0 .

2 6

8 3 1 5 1 2

I t t

t t t t t

    

     

 

Ví dụ 5: Tính ^d

8 2

3 1

I x

x x







Gợi ý: ^d

8

2 2

3 1

I x x

x x





 ^{, đặt t x21, ta có t2 x21 2t td 2x xd x x t td  d .} Đổi cận: x 3 t 2,x 8 t 3.

Khi đó:



^d

   

^{d d}

3 3 3

2

2 2 2

1 1 1 1 1 3 1 3

ln ln .

2

2 1 1 2 1 2 2

1 1

1

t t t t

I t

t t t

t t

t t

  





 



  



       

Bài tập tương tự:

Bài tập 1. Tính ¹

 

^7d

0

1

I 



x x^. Bài tập 2. Tính

 

d

2

0

1 2

x x

e x

I x

xe

 



 ^.

Bài tập 3. Tính ¹

 

^10d

0

2 1

I 



x x x^. Bài tập 4. Tính sin d

2

2

3

2 .cos

I x x x









^.

Bài tập 5. Tính d

8

0 1

I x x

 x



 ^.

5. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2

- Đặt ^{xx t}

 

^{, với x} là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.

- Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:

 Nếu ^{f x}

 

^{chứa 1x2 , đặt xsint, ;}

t   2 2

  

  hoặc xcost, t 0,.

2 2

a x



^a0



^{, đặt x a sint hoặc x a cost .}

 

²

a2 x ;



^a0



^{, đặt x  asint hoặc x  acost.}

 Nếu ^{f x}

 

^{chứa x21, đặt ; \ 0}

 

2 2 1 ,

x sin t t

 

 

    hoặc 0; \

2 1 ,

x cos t t

  

     

 

2 2

x a



^a0



^{, đặt}

sin x a

 t hoặc

cos x a

 t .



^x



^{2a2 ;}



^a0



^{, đặt}

sin x a

   t hoặc

cos x a

   t .

 Nếu

 

₂¹

f x 1

 x

 hoặc ^{f x}

 

^{chứa x21, đặt tan , ,}

x t t   2 2

   

 .

 

₂¹ ₂

f x  x a

 hoặc ^{f x}

 

^{chứa x2a2}



^a0



^{, đặt x a tant .}

  

¹



^{2 2}

f x

x a

 

   hoặc ^{f x}

 

^chứa



^x



^{2a2 ; 0, đặt x  atant.}

Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 2 để tính tích phân ^b

 

^d

a

I



f x x^: + Bước 1: Đặt ^{xx t}

 

^{, suy ra dx x t /}

 

^dt.

Đổi cận: x a  t ,x b  t  . + Bước 2: Biến đổi ^{f x x}

 

^{d thành g t}

 

^dt.

+ Bước 3: Khi đó d ²

2

1 x ln x x a C

x a

   



 (đơn giản hơn tích phân đã

cho). Giả sử ^{G t}

 

là một nguyên hàm của ^{g t}

 

^{thì I G t}

 

_^.

Ví dụ 1: Tính d

2 2 2 0 1 2

I x x

x





 Gợi ý: Đặt xsint, ;

t   2 2

  , ta có: dxcost td , 1x²  1 sin ²t  cos²t cost.

Đổi cận: 0 0, ²

2 4

x_{  }t x_{  }t  .

Khi đó: ^{4 2 d 4 2 d 4}

 

^d

0 0 0

sin .cos 1 1 1 1

sin 1 cos 2 sin 2 4 .

cos 2 2 2 8 4

0 t t t

I t t t t t t

t

      

         

 

  

Ví dụ 2: Tính d

2

2 2

1

4

I



x x x Gợi ý: Đặt 2 sin , ;

x t t   2 2

 , ta có dx2cost td . Đổi cận: 1 , 2

6 2

x_{  }t  x_{  }t  . Ta có: 4x²  4 4 sin ²t 2 cos²t 2 cost 2 cos .t Khi đó:

 

d d d

2 2 2

2 2

6 6 6

sin 4 2

2 4

6

2 3

4 sin .2 cos .2 cos 4 sin 2 2 1 cos 4

3 4

t t

I t t t t t t t t

  

  





  

 













     ^.

Ví dụ 3: Tính d

2 3

1 2 1

I x

x





 Gợi ý: Đặt 1

, ;

sin 2 2

x t

t

 

 

   

  ^{d 2 d}

cos sin

x t t

t

  . Đổi cận: 1 , ²

2 3 3

x_{  }t  x_{  }t  .

Ta có: ² 1₂ cos

1 1

sin sin

x t

t

  t  . Khi đó:

d d

3 2 2

2 3

cos sin

cos sin

sin t t

t t

I t t

t

 

 

 







. Ta có 2 cách sau:

Cách 1:

d d d

2 2 2

2

3 3 3

tan2

1 1 ln tan 2 ln 3

2 2 2

sin cos tan cos tan

2 2 2 2 2 3

t

t t t

I t t t t t

  

  





 

 

 













  ^.

Cách 2: Đặt ^{d 2 d}



²



^{d d d} 2

1 1 2

tan 1 tan 1

2 2 2 2 1

t t u

u u t u t t

u

 

           , 2 ₂

sin 1 t u

 u

 . Khi đó:

d d

1 1

1 1

3 3

2 1

ln 1 ln 3

2 3

u u

I u

u u









  ^.

Ví dụ 4: Tính d

1 2 0

1

I 1 x

 x





Gợi ý: Đặt tan , ; x t t   2 2

   

 , ta có: ^d 2 ^d



²



^d

1 1 tan

x cos t t t

 t   .

Đổi cận: 0 0, 1

x_{  }t x_{  }t 4

. Khi đó:

 

^d

d

4 2 4

2

0 0

1 tan

4. 1 tan

t t

I t

t

 

 

  







Ví dụ 5: d

1 2 3

1 6 13

I x

x x









  Gợi ý:

 

^d

1

2 3

1

3 4

I x

x









  ^{. Đặt x 3 2 tan ,t t }_ ^{ }_{2 2}^{, }_^{, ta có dx2 1 tan}



^{ 2t}



^dt.

Đổi cận: 3 0, 1

x t x t 4

        . Khi đó:

 

d d

4 2 4

2

0 0

2 1 tan 1

2 8

4 tan 4

I t t t

t

 

 

  







^.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1. Tính d

1

2 0

1

I 



x x^. Bài tập 2. Tính d

3

4 2

0

9

I 



x x x^. Bài tập 3. Tính ⁰ d

1 2 2

1 I x

x





 ^. Bài tập 4. Tính



^{d 2}



1 1 ln

e x

I  x x



 ^.

Bài tập 5. Tính ⁰ d

1 3 2 2

I x

x x







  ^.

6. MỘT SỐ LƯU Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến dạng 2, cách đặt t t x ( ) hoặc x x t ( ) rất đơn giản, chẳng hạn: , , ,...

t x t 2 x t  x Các biến đổi thường gặp:

 Đổi biến với I để có .

I   I I 1

    

 với , , 1.

 Đổi biến với I, ta có 1

2I    I I K I 2K, với K là tích phân đơn giản.

 Biến đổi I thành tổng I I₁ I₂, thực hiện phép đổi biến đối với I₁ hay I₂ ta được

1 2

I  I hay I₁ I₂ K, với K là tích phân đơn giản.

-Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm ^{f x}

 

. Ta xét 3 loại tích phân sau:

* Loại 1: Tích phân ^a

 

^d

a

I f x x







^{, với a0, f x}

 

là hàm lẻ trên đoạn  a a; , tức là

   

f   x f x ,   x  a a; . Cách giải:

Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) ⁰

 

^d

 

^d 1 2 0

a

a

I f x x f x x I I











  ^.

Với I₁: đặt t x 1 ⁰

 

^d

a

I f t t

  





 

^d

 

^{d 2}

0 0

a a

f t t f x x I

 



 



  ^{ I 0.}

Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t x ^a

 

^{dt a}

 

^{dt a}

 

^dt

a a a

I f t f t f t I



 

  



  



 



  ^. 2I 0 I 0

    .

Ví dụ: Tính d

1 10 1

sin

I x x x







Gợi ý:

Cách 1: d d

0 1

10 10

1 2

1 0

sin sin

I x x x x x x I I











  , trong đó d

0 10 1

1

sin

I x x x







^{, 2 1 10 d}

0

sin

I 



x x x^{. Đối với} I1: đặt t x, ta có dt dx, sinx sin ,t x¹⁰t¹⁰.

Đổi cận: x   1 t 1, x  0 t 0.

Khi đó: d d d

0 1 1

10 10 10

1 2

1 0 0

.sin .sin .sin

I 



t t t 



t t t 



x x x I ^{. Suy ra I 0.} Cách 2: Đặt t x, ta có dt dx, sinx sin ,t x¹⁰ t¹⁰.

Đổi cận: x   1 t 1, x   1 t 1.

Khi đó: d d

1 1

10 10

1 1

.sin .sin

I t t t t t t I









 



  . Suy ra 2I  0 I 0.

* Loại 2: Tích phân

 

1d

a x a

I f x x

 k





 ^{, với a0, k, f x}

 

là hàm chẵn trên đoạn  a a; , tức là

   

f  x f x ,   x  a a; . Cách giải:

Cách 1: (tách thành 2 tích phân)

   

d d

0

1 2

1 0 1

a

x x

a

f x f x

I x x I I

k k



   

 

 

^.

Với I₁: đặt t x

       

d d d d

0 1

0 0 0

. .

1 1 1 1

1

a a a

a

t x

t t x

t

f t f t k f t k f x

I t t t x

k k k

k



      

   

   

 

^d

 

^d

 

^d

1 2

0 0 0

.

1 1

a x a a

x x

k f x f x

I I I x x f x x

k k

     

 

  

^.

Cách 2: Đặt t x

       

d d . d . d

1 1 1 1 1

a a a a

a a a a

t x

t t x

t

f t f t k f t k f x

I t t t x

k k k

k



  



      

   

   

Khi đó: ²

 

^{d .}

 

^d

 

1 1

a a a

x

a a a

x x

f x k f x

I I I I x x f x dx

k k

  

     

 

  

¹₂ ^a

 

^d

a

I f x x



 



^.

Ví dụ: ¹ d

1

cos

x 1 I x x

 e





 Gợi ý:

Cách 1: ^{d d}

0 1

1 2

1 0

cos cos

1 1

x x

x x x x

I I I

e e



   

 

 

, trong đó ⁰ d

1 1

cos

x 1 I x x

 e





 ^{, 2 1 d}

0

cos

x 1 I x x

 e





Đối với I₁, đặt t x, ta có dt dx, cosxcost. Đổi cận: x   1 t 1, x  0 t 0.

Khi đó: ^{d d d d}

0 1 1 1

1

1 0 0 0

cos cos .cos .cos

1 1 1 1

1

t x

t t x

t

t t t t e t t e x x

I e e e

e

     

   

   

^.

Suy ra: d d

 

^d

d

1 1 1 1

0 0 0 0

1 cos 1

.cos cos

cos sin sin1

0

1 1 1

x x

x x x

e x x

e x x x x

I x x x

e e e

      

  

   

^.

Cách 2: Đặt t x, ta có dt dx, cosxcost. Đổi cận: x   1 t 1, x   1 t 1.

Khi đó: ¹ d ¹ d ¹ d ¹ d

1 1 1 1

cos cos .cos .cos

1 1 1 1 1

t x

t t x

t

t t t t e t t e x x

I e e e

e





  

    

   

   

Suy ra: d d

d

1 1 1

1 1 1

cos .cos 1

2 cos sin 2 sin1

1

1 1

x

x x

x x e x x

I I I x x x

e e

  

      



 

  

^{ I sin1.}

* Loại 3: Tích phân

 

^d

0 a

I 



f x x ^{, với a,}₂^{,... và f x}

 

có chứa các hàm lượng giác

Cách giải: Ta thử đặt t a x, khi biến đổi hàm ^{f x}

 

^{về hàm g t}

 

phải chú ý các cung có liên quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,…). Chú ý tính chất của tích phân:

 

^d

 

^d

b b

a a

f x x f t t

 

^.

Ví dụ: d

4 2

4