Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Phần 1: Biết đồ thị hàm số y f x=

( )

Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y f x=

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

, trong bài toán không chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

( )

lim 1

x f x

→−∞ = − nên đường thẳng y= −1 là một đường tiệm cận ngang.

( )

lim 1

x_→+∞ f x = nên đường thẳng y=1 là một đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y= ±1. Tương tự

2

( )

xlim₊ f x

→− = +∞ và

( )

lim2

x ₋ f x

→− = −∞ nên đường thẳng x= −2 là đường tiệm cận đứng.

2

( )

xlim₋ f x

→ = +∞ và và

( )

lim2 x ₊ f x

→ = −∞ nên đường thẳng x= −2 là đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x= ±2.

(2)

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

( )

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=2. B. Tiệm cận đứng x= −1, tiệm cận ngang y=2. C. Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngangy= −2. D. Tiệm cận đứng x= −1, tiệm cận ngang y= −2.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có

( )

1lim

x ₋ f x

→ − = +∞ và

( )

1lim

x ₊ f x

→ − = +∞ nên đường thẳng x= −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

( )

lim 2

x_→−∞ f x = và lim 2 ₊

( )

x_{→ ∞} f x = nên đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

( )

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

(3)

A. Tiệm cận đứng x= −2, tiệm cận ngang y=1. B. Tiệm cận đứng x=2, tiệm cận ngang y= −1. C. Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngangy= −2. D. Tiệm cận đứng x= −1, tiệm cận ngang y=2.

( )

lim 2

x ₋ f x

→ − = +∞ và

( )

lim 2

x ₊ f x

→ − = −∞ nên đường thẳng x= −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

+) ^{lim 1}_x_→−∞ f x

( )

= và ^{lim 1}_x_→+∞ f x

( )

= nên đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

(4)

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0. Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị của hàm số y f x=

( )

ta có lim

( )

1

x f x

→+∞ = nên đường thẳng y=1 là đường tiệm cận ngang.

Tương tự lim

( )

1

x f x

→−∞ = − nên đường thẳng y= −1 là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có 2 đường tiệm cận ngang.

( )

. Có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có

( )

lim1

x ₊ f x

→ − = +∞ và

( )

lim1

x ₋ f x

→ − = −∞ nên đường thẳng x= −1 là đường tiệm cận đứng.

1

( )

limx ₊ f x

→ = +∞ và

( )

lim1 x ₋ f x

→ = −∞ nên đường thẳng x=1 là đường tiệm cận đứng.

2

( )

xlim₊ f x

→ = +∞ và và

( )

lim2 x ₋ f x

→ = −∞ nên đường thẳng x= −2 là đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là x= ±1 và x=2. Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

( )

lim 1

x_→−∞ f x = và lim

( )

1

x_→+∞ f x = nên đường thẳng y=1 là một đường tiệm cận ngang.

(5)

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y=1. Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

là

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 6 .

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x=

( )

ta có:

( )

¹

lim 2

x f x

→−∞ = − nên đường thẳng 1

y= −2 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

( )

¹

lim 2

x_→+∞ f x = nên đường thẳng ¹

y= 2 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

⇒ Đồ thị hàm số y f x=

( )

có hai đường tiệm cận ngang là ¹ y= ±2.

1

( )

2

lim

x

− f x

 

→ − 

= −∞ và

( )

1 2

lim

x

+ f x

 

→ − 

= +∞ nên đường thẳng 1

x= −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

(6)

1

( )

2

lim

x

− f x

→  

 

= −∞ và

( )

1 2

lim

x

+ f x

→  

 

= +∞ nên đường thẳng 1

x=2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

⇒ Đồ thị hàm số y f x=

( )

có hai đường tiệm cận đứng là 1 x= ±2 Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có tất cả 4 đường tiệm cận.

( )

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

là:

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x=

( )

ta có:

( )

lim 1

x_→−∞ f x = nên đường thẳng y=1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

( )

lim 3

x f x

→+∞ = nên đường thẳng y=3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

(7)

0

( )

xlim₋ f x

→ = +∞ và

( )

lim0 x ₊ f x

→ = +∞ suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x=

( )

.

Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có tất cả 3 đường tiệm cận.

Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

như hình vẽ dưới đây:

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4

Dựa vào đồ thị hàm số ta có

lim 1

x_→±∞y= nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y=1 và lim1 x _±y

→ = +∞ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x=1. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

có hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

(8)

Lời giải Chọn C

Ta có: lim

( )

2

x f x

→±∞ = nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y=2 Lại thấy:

( )

lim1

x ₊ f x

→− = +∞ và

( )

lim1 x ₋ f x

→ = +∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là x= −1;x=1

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức a²+a bằng

A. 6. B. 12. C. 20. D. 30.

( ) ( )

¹

lim lim

2

x_→−∞ f x =x_→+∞ f x = . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1

y= 2.

1

( )

2

lim

x

+ f x

→

= +∞,

( )

1 2

lim

x

− f x

→

= −∞ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 1 x= 2

1

( )

2

lim

x

+ f x

→−

= −∞,

( )

1 2

lim

x

− f x

→−

= +∞suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 1

x= −2

(9)

Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ⇒ =a 3. Vậy a²+ =a 12

Câu 10. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị là đường cong hình bên dưới.

x y

4

-1 2

O 1

Đồ thị hàm số

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1

2

x x

g x f x f x

− −

= − có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Ta xét mẫu số:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 0 1

2 0

2 2 f x f x f x

f x

=

− = ⇔ 

 = .

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

x y

4

y=2

-1 2

O 1

(10)

+) Phương trình

( )

1 có nghiệm x a₁= < −1 (nghiệm đơn) và x₂ =1 (nghiệm kép)

( ) ( )(

1

)

²

f x x a x

⇒ = − − .

+) Phương trình

( )

2 có nghiệm x b₃ = ∈

(

a; 1−

)

, x₄ =0 và x₅ = >c 1

( )

²

( ) ( )

f x x b x x c

⇒ − = − − .

Do đó

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1

2

x x

g x f x f x

− −

=  − 

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1 1

1 .

x x x

x a x b x x c x a x x b x x c

− + +

= =

− − −

− − − − .

⇒ đồ thị hàm số y g x=

( )

có 4 đường tiệm cận đứng.

( )

có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm

( )

( ) ( )

2 2

2

4 3

2

x x x x

y x f x f x

+ + +

=  −  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.2 . B. 3. C. 4 . D. 6 .

(11)

Ta thấy phương trình bậc ba f x

(

=2

)

có 3 nghiệm phân biệt là

x c

₁

= < − 3

,

x b

2

=

. với 3− < < −b 1 và

x

₃

= − 1

.

Và phương trình bậc ba

f x ( ) = 0

có nghiệm kép

x = − 3

và nghiệm đơn

x a =

với 1− < <a 0. Do lim

( )

x f x

→+∞ = −∞ và lim

( )

x f x

→−∞ = +∞ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử

( )

0

(

3

)

²

( )

0

f x = ⇔ − +x x a− = và

f x ( ) = ⇔ − − 2 ( x c x b x ) ( − ) ( + = 1 0 )

^.

Ta có:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

4 3 1 3 1

. . 2

2

x x x x x x x x

y x f x f x x f x f x

+ + + + + +

= =

−

 −   

  .

Khi đó:

( )( )

( ) ( )

0 0

1 3 1

lim lim

. . 2

x x

x x x

y x f x f x

+ +

→ →

+ + +

= = +∞

−

 

  .

( ) ( )

( )( ) ( )

3 3

1 1

lim lim

3 . 2

x x

x x x

y x x x a f x

+ +

→− →−

+ +

= = −∞

− + −  −  .

( )( ) ( )

( )(

¹ ³

)( )(

¹

)

lim lim

. 1

x c x c

x x x x

y x f x x c x b x

+ +

→ →

+ + +

= = +∞

− − − + .

( )( ) ( )

( )( )( )( )

1 3 1

lim lim

. 1

x b x b

x x x x

y x f x x c x b x

+ +

→ →

+ + +

= = +∞

− − − + .

( ) ( )

( )( )( )

1 1

3 1

lim lim 0

.

x x

x x x y x f x x c x b

− −

→− →−

+ +

= =

− − − .

lim1 x ₊ y

→− không tồn tại.

Vậy đồ thị hàm số

( )

( ) ( )

2 2

2

4 3 2

x x x x

y x f x f x

+ + +

=  −  có 4 đường tiệm cận đứng là x=0; x= −3; x c= ; x b= .

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

( )

, trong bài toán chứa tham số.

(12)

( )

có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để đồ thị hàm số

( )

y f x m= − có tiệm cận đứng là trục Oy?

A. 0 . B. −1. C. 2 . D. 1.

Đồ thị hàm số y f x=

( )

có tiệm cận đứng là đường thẳng x= −1. Tịnh tiến theo véc tơ v=

(

m^;0

)

thì:

Đồ thị hàm số y f x=

( )

biến thành đồ thị hàm số y f x m=

(

−

)

.

Tiệm cận x= −1 của đồ thị hàm số y f x=

( )

biến thành tiệm cận x= − +1 m của đồ thị hàm số y f x m=

(

−

)

.

Đồ thị hàm số y f x m=

(

−

)

có tiệm cận đứng là trục Oy⇔ − + = ⇔ =1 m 0 m 1 Câu 2. Cho hàm số y f x

( )

^{ax b}

x c

= = +

+ , a,b ,c ∈ có đồ thị như hình bên.

Giá trị của P a b c= + + bằng

(13)

A. 2 . B. 1. C. 3. D. −1.

Điền kiện:

0 x c ac b

 ≠ −

 − ≠



Hàm số y f x=

( )

có tiệm cận đứng: x= −c; tiệm cận ngang: y a= Dựa vào đồ thị hàm số y f x=

( )

ta nhận xét được:

• 0

1 0

m m

 >

 − <

 ^{⇔ >}^m ¹

• Khi x= ⇒ = −0 y 2 b 2

⇒ = −c ⇒ = −b 2c

• Tiệm cận đứng: x= −1 m; tiệm cận ngang: y m= Suy ra: c 1 m

a m

− = −

 =



c m 1 a m

 = −

⇔  = ^{⇒ = − = −}^b ²^c ²^m⁺² (thỏa điều kiện) Nên: P a b c m= + + = −2m+ + − =2 m 1 1

Câu 3. Cho hàm số

(

2m 1

)

x 3

y x m

− −

= − có đồ thị như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trong đường tròn tâm gốc tọa độ O bán kính bằng 2019 ?

A. 40 . B.0 . C. 1. D.

38.

(14)

Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra

( )

(

² ^{1 3}

)

₂ 0

(

2 1 3 0

)

1 ³

2

y m m m m m

x m

− − +

′ = > ⇒ − − + > ⇔ − < <

− .

Khi đó dễ thấy đồ thị có hai đường tiệm cận là x m= , y=2m−1 . Vậy tâm đối xứng là điểm I m m

(

;2 −1

)

.

Từ đồ thị và giả thiết kèm theo ta có :

2 1 0

0 2019 y m x m OI

 = − >

 = >

 <



( )

1 02

19 20

m m

 >



⇔ >

− ≤ ≤ ∈

 

.

Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra m=1. Câu 4. Cho hàm số

( )

^nx ¹

y f x= = x m+

+ ;

(

mn≠1

)

xác định trên R\ 1

{ }

− , liên tục trên từng khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên:

Tính tổng m n+ ?

A. m n+ =1. B. m n+ = −1. C. m n+ =3. D. m n+ = −3. Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số

( )

^nx ¹

y f x= = x m+

+ ;

(

mn≠1

)

có hai đường tiệm cận x= − = −m 1;

2 1

y n= = ⇒ =m ; n= ⇒ + =2 m n 3

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y g x=

( )

, trong bài toán không chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba f x

( )

=ax bx cx d³+ ² + +

(

a b c d, , , ∈

)

(15)

Hỏi đồ thị hàm số

( ) ( )

2 2

3 2 1

x x x

g x x f x f x

− + −

=  −  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 4. C. 5. D.

6.

Xét phương trình:

( ) ( ) ( )

( )

2

0

0 0

1 x

x f x f x f x f x

 =

 − = ⇔ =

 

 =



+) Từ điều kiện x≥ ⇒ =1 x 0 không là tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị ^⇒ phương trình

( ) (

1

)

0 2

x a a

f x x

= <

= ⇔ 

 =

• x a= không là tiệm cận đứng.

• x=2 là nghiệm kép và tử số có một nghiệm x= ⇒ =2 x 2 là một đường tiệm cận đứng.

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình

( ) ( )

( )

1

1 1 2

2 x

f x x b b

x c c

 =

= ⇔  = < <

 = >



• _x=₁ không là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm x=1)

• _{x b}= , x c= là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g x

( )

=ax bx cx d³+ ² + +

(

a b c d, , , ∈

)

(16)

Hỏi đồ thị hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^f

(

⁴⁻¹^x²

)

⁻³ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 2. B. 3. C. 4. D.

5.

Từ đồ thị ta có ^f

(

⁴⁻^x²

)

^{− =}^{3 0} ^⇔ ^f

(

⁴⁻^x²

)

⁼³ ⁴₄ ^x²₂ ₄²

x

 − = −

⇔  − =

6 0 x x

 = ±

⇔  =

⇒ đồ thị hàm số g x

( )

có ba đường tiệm cận đứng.

Lại có _x^lim_→±∞ ^f

(

⁴⁻^x²

)

^{= −∞} ^⇒_x^lim_→±∞^{g x}

( )

⁼⁰ ^{⇒ =}^y ⁰ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Vậy đồ thị hàm số g x

( )

có bốn đường tiệm cận.

( )

có đồ thị hàm số như hình vẽ

(17)

Hỏi đồ thị hàm số ^{g x}

( )

=

(

x ¹

)

f x²

( )

^x f x

( )

 

+  −  có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 .

Hàm số xác định

( )

( ) ( )

2

0 1

0 x

f x f x

 ≥

⇔  − ≠ .

Xét

(

x+1

)

f x²

( )

− f x

( )

=0 ²

( ) ( )

1

0 x

f x f x

 = −

⇔  − =

( ) ( )

2 0

f x f x

⇔ − =

( )

0 1 f x f x

=

⇔ 

 = .

* Với f x

( )

=⁰:

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x₃ <x₂ < <0 x₁. Từ điều kiện

( )

1 thì phương trình f x

( )

=⁰ có 1 nghiệm x x= ₁.

* Với f

( )

1 1= :

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x₆ <x₅ = <0 x₄. Từ điều kiện

( )

1 thì phương trình f x

( )

=1 có 2 nghiệm x x= ₅ và x x= ₄ và cả 2 nghiệm này đều khác x₁.

Suy ra phương trình

(

x+1

)

f x²

( )

− f x

( )

=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số

( ) (

1

)

²

( ) ( )

g x x

x f x f x

= +  −  có 3 tiệm cận đứng.

( )

=ax bx cx d³+ ²+ + có đồ thị như hình vẽ

(18)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 1

3 3

x x x

g x x f x f x

− −

= −  +  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 5. B. 4 . C. 6 . D. 3.

Điều kiện hàm số có nghĩa

( )

²

( ) ( )

1 0

3 3 0

x

x f x f x

 − ≥

 −  + ≠

  



( )

²

( ) ( )

1 *

3 3 0

x

x f x f x

 ≤

⇔  −  + ≠

Xét phương trình

(

x−³

)

f x²

( )

+³f x

( )

=⁰

( ) ( )

3 0

3 x

f x f x

 =

⇔ =

 = −



Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

suy ra f x

( )

=0 có 3 nghiệm − < <1 x x₁ ₂ < <1 x₃

( )

3

f x = − có hai nghiệm x₄ <1 và x₅ =2

Kết hợp với điều kiện

( )

* phương trình

(

x−3

)

f x²

( )

+3f x

( )

=0 có nghiệm

1, ,2 5

x x x .

Và x₁, x₂, x₅ không là nghiệm của tử nên hàm số g x

( )

Câu 5. Cho hàm số bậc ba

( )

³ ²

y f x= =ax bx cx d+ + + có đồ thị là đường cong như hình bên. Đồ thị hàm số

( ) ( )

( ( ) ) ( )

2 2

2

4 3

2

x x x x

g x x f x f x

+ + +

=  − 

có bao nhiêu đường tiệm cận

A. 4 . B. 5. C. 6. D. 3.

Lời giải

(19)

Chọn B

Điều kiện:

( ) ( ) ( )

( )

2 2

0 01

0 0

2 0 2

x xx

x x

f x f x f xf x

 >

 ≠  ≤ −

 

 + ≥ ⇔

  ≠

  − ≠ 

  

  ≠

( )

ta thấy phương trình f x

( )

=0 có nghiệm x= −3 (bội 2), và nghiệm x x= ₀; x0∈ −

(

1;0

)

nên : f x

( )

=a x

(

+3

) (

² x x− 0

)

Đường thẳng y=2 cắt đồ thị y f x=

( )

tại ba điểm phân biệt có hoành độ x= −1; x x= 1; x₁∈ − −

(

3; 1

)

;x x= ₂;

(

x₂ < −3

)

. Nên f x

( )

− =2 a x

(

+1

)(

x x x x− ₁

)(

− ₂

)

.

Do đó:

( ) ( )

( ( ) ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2

4 3 4 3

. 2

2

x x x x x x x x

g x x f x f x x f x f x

+ + + + + +

= =

−

 −   

 

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

2 2

0 1 2

1 3

. 3 . . 1 3

x x x x x x

a x x x x x x x x x a x x x a x x x x x

+ + + +

= =

+ − − −

+ − + − − .

Ta có:

( )

( )( )( )( )

0 0 2

0 1 2

lim lim 1

3

x x

g x x

a x x x x x x x x

+ +

→ →

= = + = +∞

+ − − − nên x=0 là

một đường tiệm cận đứng của đồ thị y g x=

( )

+)Các đường thẳng x= −3; x x= ₁; x x= ₂ đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x=

( )

Do đó đồ thị y g x=

( )

+) Hàm số y g x=

( )

xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên đồ thị y f x=

( )

có một đường tiệm cận ngang y=0.

Vậy đồ thị hàm số y g x=

( )

có 5 đường tiệm cận.

Câu 6. Cho hàm bậc ba y f x=

( )

=ax bx cx d³+ ²+ + . Đồ thị y f x=

( )

như hình vẽ. Tìm số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

( ) ( ( ) ( ) )

4 2

2

4 3

1 2

x x

y x f x f x

− +

= − − .

(20)

A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải

Chọn A

( )

³ ²

f x =ax bx cx d+ + +

Dựa vào đồ thị của y f x=

( )

, ta có

( ) ( ) ( ) ( )

1 4

0 2

1 0

2 4

f f f f

− =



 =

 =

 =



⇔

4 2

0

8 4 2 4

a b c d d

a b c d a b c d

− + − + =

 =

 + + + =

 + + + =



⇔

1 0 3 2 a b c d

 =

 =

 = −

 =



Do đó f x

( )

=x³−3x+ =2

(

x−1

) (

² x+2

)

Xét hàm số

( ) ( ( ) ( ) ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

4 2

2

1 3

4 3

1 . . 2

1 2

x x

y x f x f x x f x f x

− −

− +

= =

− −

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

2 2

2 2 2

1 3 1

1 . 1 . 2 . . 3 1 . 2 .

x x x

x x x x x x x x

− − +

= =

− − + − − +

Hàm số có các đường tiệm cận đứng là x=0; x=1; x= −2 và đường tiệm cận ngang y=0.

Câu 7. Cho hàm số f x

( )

=ax bx cx d³+ ² + + có đồ thị như hình vẽ.

(21)

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

( ) ( )

2 g x x

= f x +

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1.

Từ đồ thị ta có: f x

( )

+ =2 0 ⇔ f x

( )

= −2

( )

2

2 0

0 x a a

x b b

x c c

= < −



⇔ = − < <

 = >



Kết hợp với điều kiện có nghĩa của x suy ra đồ thị hàm số g x

( )

có 1 tiệm cận đứngx c c=

(

>0

)

.

Hàm số

( ) ( )

2 g x x

= f x

+ có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu (Hàm số có bậc tử là 1

2 còn bậc mẫu là 3) suy ra đồ thị hàm số g x

( )

có 1 tiệm cận ngang là y=0 . Vậy đồ thị hàm số ^{g x}

( )

= f x

( )

^x ²

+ có hai đường tiệm cận.

Câu 8. Cho hàm số bậc bốn f x

( )

=ax bx c⁴+ ²+ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

(22)

( )( )

( ) ( )

2 2

2

4 2

2 3

x x x

y f x f x

− +

=   + − có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.

Xét phương trình

( ) ( ) ( )

2

( )

1

2 3 0

3 f x f x f x

f x

= + − = ⇔ 

 = −

1 2

0; 2; 2

2; 2

x x x x x

x x

= = < − = >

⇔  = − =

Trong đó nghiệmx=0, x= −2, x=2 đều có bội 2 và x x x= ₁

(

₁< −2

)

;

( )

2 2 2

x x x= > là nghiệm đơn (bội 1).

So sánh bội nghiệm ở mẫu và bội nghiệm ở tử thì thấy đồ thị có các TCĐ là x=0; 2

x= ; x x= ₁; x x= ₂

( )

có đồ thị như hình vẽ sau:

(23)

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm sốg x

( )

3

( )

² 2

= f x

−

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

( ) ( )

² ²

lim 3. 1 2 5

x g x

→−∞ = = −

− −

( )

²

lim 2

3.1 2

x_→+∞g x = =

−

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.

Xét phương trình 3

( )

2 0

( )

²

f x − = ⇔ f x =3

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình

( )

²

f x = 3 có duy nhất một nghiệm.

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.

( )

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ^{y g x}⁼

( )

, trong bài toán chứa tham số.

( )

=ax bx c⁴+ ²+ có đồ thị như hình vẽ.

x y

-1 2

1

Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số ^{g x}

( )

= f x f x m

( ) ( )

^2020x

−

 

  có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.

(24)

Ta có g x

( )

là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên

( )

lim 0

x_→±∞g x = , do đó đồ thị hàm số g x

( )

luôn có một tiệm cận ngang là y=0.

Phương trình

( ) ( )

1 1

2 3 4

; 2 1

0 1;0

0;1 1;2

x x x

f x x x

x x x x

= − < < −

 = ∈ −

= ⇔  = ∈

 = ∈



.

Ta thấy phương trình f x

( )

=⁰ có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x x= ₁, x x= 2, x x= ₃, x x= ₄ là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g x

( )

.

Vậy để đồ thị hàm số g x

( )

có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình f x

( )

=m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm ^{x i}ⁱ

(

⁼^1,4

)

_m− < <¹ ₀^m ²

⇔  ≠ mà m∈ nên m=1.

( )

=x²−2x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số

( ) ( )

(

^{f x}

)

g x = f x m

+ có số tiệm cận là số lẻ.

A. m≠2 và m≠0. B. m≠ −2 và m≠0.

C. m≠0. D. m≠ ±2.

Ta có:

( )

( ) ( ) ( )

2 2

f x x x

f x m x m x m

= −

+ + − +

(25)

2 2 0 0 2 x − x= ⇔ = ∨ =x x .

(

x m+

)

²−2

(

x m+

)

= ⇔ = − ∨ = −0 x m x 2 m.

Vì

( )

lim 1

x

f x f x m

→±∞ =

+ , ∀ ∈m ^* nên hàm số

( ) ( ) (

^{f x}

)

g x = f x m

+ luôn có 1 tiệm cận ngang là y=1.

Với m=0 , ta có

( ) (

^{f x}

)

¹

f x m =

+ , ∀ ∈x \ 0;2

{ }

. Suy ra đồ thị hàm số

( ) ( )

(

^{f x}

)

g x = f x m

+ không có tiệm cận đứng.

Do vậy với m=0, đồ thị hàm số

( ) ( ) (

^{f x}

)

g x = f x m

+ có 1 tiệm cận.

Với m=2 , ta có

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

f x x x x x

f x m x x x x

− −

= =

+ + − + + có tập xác định là

{ }

\ 2;0 D= − .

Có

( )

( ) ( )

( )

2 2

lim lim 2

2

x x

f x x x

f x m x x

→− →−

= − = ∞

+ + ,

( ( ) ) ( )

( )

0 0 0

2 2

lim lim lim 1

2 2

x x x

f x x x x

f x m x x x

→ → →

− −

= = = −

+ + + .

Do đó đồ thị hàm số

( ) (

^{f x}

)

f x m+ có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).

Với m= −2, ta có

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2 4

2 2 2

f x x x x x

f x m x x x x

− −

= =

+ − − − − − , có tập xác định

{ }

\ 2;4 D= .

Có

( )

( ) ( )

( )( )

2 2 2

lim lim 2 lim 1

2 4 4

x x x

f x x x x

f x m x x x

→ → →

= − = = −

+ − − − ,

( ( ) ) ( )

( )( )

4 4

lim lim 2

2 4

x x

f x x x

f x m x x

→ →

= − = ∞

+ − − .

Do đó đồ thị hàm số

( ) (

^{f x}

)

f x m+ có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).

(26)

Với m≠0 và m≠ ±2, ta có −m và 2−m không là nghiệm của x²−2x. Suy ra đồ thị hàm số

( )

(

^{f x}

)

f x m+ có 2 tiệm cận đứng là x= −m và x= −2 m. Do vậy đồ thị hàm số

( )

(

^{f x}

)

f x m+ có 3 tiệm cận.

Vậy với m≠ ±2, đồ thị hàm số

( ) (

^{f x}

)

f x m+ có số tiệm cận là số lẻ.

Câu 3. Cho hàm số ^{g x}

( )

=h x m m

( )

²⁰¹⁸²

− − với h x

( )

=mx⁴+nx³+px²+qx

(

m n p q^{, , ,} ∈

)

. Hàm số y h x= ′

( )

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x=

( )

là 2.

A. 11. B. 10. C. 9. D. 20 .

Ta có h x′

( )

=4mx³+3nx²+2px q+ . Từ đồ thị ta có

( )

1 0 5

34 x

h x x

x

 = −



′ = ⇔ =

 =



và

(

m<⁰

)

.

Suy ra

( )

4

(

1

)

⁵

(

3

)

4 ³ 13 ² 2 15 h x′ = m x+ x−4 x− = mx − mx − mx+ m

  .

Suy ra

( )

⁴ ¹³ ³ ² 15

h x =mx − 3 mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C=0.

Vậy

( )

⁴ ¹³ ³ ² 15

h x =mx − 3 mx mx− + mx.

Xét

( )

² 0 ⁴ ¹³ ³ ² 15 1

h x m m− − = ⇔ =m x − 3 x −x + x− .

(27)

Xét hàm số

( )

⁴ ¹³ ³ ² 15 1

f x =x − 3 x −x + x− ^⇒ ^{f x}^′

( )

⁼⁴^x³⁻¹³^x² ⁻^{2 15 0}^x⁺ ⁼

1 5 34 x x x

 = −



⇔ =

 =



.

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số g x

( )

có 2đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình

( )

² ⁰

h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

4 13 3 2 15 1

m x= − 3 x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m<0 ta có 35 1

3 m

− < < − .

Do m nguyên nên m∈ −

{

11; 10;...; 2− −

}

. Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

( )

=ax bx cx d³+ ²+ +

(

a≠0

)

Tìm m để đồ thị hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²^{− −}¹³

)

^m có đúng 6 tiệm cận đứng?

A. m≤0. B. − ≤ ≤2 m 0.

C. − < < −3 m 1. D. 0< <m 4. Lời giải

(28)

Chọn D

Xét hàm số ^{h x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁻³

)

^⇒^{h x}^′

( )

⁼^{2 .}^{x f x}^′

(

²⁻³

)

( ) (

²

)

²₂

0 0

0 0 3 1 2

3 0 3 1 2

x x

h x x x x

f x x x

 =

 =  

⇒ ′ = ⇔ ′ − = ⇔ − = − ⇔− =  = ±= ±

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²^{− −}¹³

)

^m có đúng 6 tiệm cận đứng ⇔ h x

( )

=m có 6 nghiệm phân biệt⇔ ₀< <_m ₄.

( )

=mx nx³+ ²+ px q+

(

m n p q, , , ∈

)

Tìm số giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( ) ( )

²⁰¹⁹8 ² g x = f x mx m

− − là 3

A. 31. B. 8. C. 9. D. 30.

Lời giải

(29)

Chọn B

Từ đồ thị ta có

( )

0 1¹ 3 x

f x x

x

 = −

= ⇔  =

 =

và m>0.

Suy ra f x

( )

=m x

(

+1

)(

x−1

)(

x− =3

)

mx³−3mx mx²− +3m. Xét f x m

( )

− ²−8mx=0⇔ =m x³−3x²−9x+4.

Xét hàm số y x= ³−3x²−9x+4 ² 1

3 6 9 0

3 y x x x

x

 = −

⇒ ′= − − = ⇔  = . Bảng biến thiên

( )

có 3 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình

( )

² 8 0

f x m− − mx= có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

3 3 2 9 4

m x= − x − x+ có 3 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m>0 ta có 0< <m 9.

Do m nguyên nên m∈

{

1;2;...;8

}

Câu 6. Cho hàm số ^{g x}

( )

=h x m m

( )

²⁰¹⁸²

− − với

( )

⁴ ³ ²

h x =mx +nx + px +qx

(

m n p q, , , ∈

)

. Hàm số y h x= ′

( )

(30)

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x

( )

là 2

A. 11. B.10. C. 9. D. 20 .

Ta có h x′

( )

=⁴mx³+³nx²+²px q+ . Từ đồ thị ta có

( )

1 0 5

34 x

h x x

x

 = −



′ = ⇔ =

 =



và

(

m<0

)

.

Suy ra h x′

( )

=⁴m x

(

+¹

)

x−⁵₄

(

x− =³

)

⁴mx³−¹³mx²−²mx+¹⁵m.

Suy ra

( )

⁴ ¹³ ³ ² 15

h x =mx − 3 mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C=0.

Vậy

( )

⁴ ¹³ ³ ² 15

h x =mx − 3 mx mx− + mx.

Xét h x m m

( )

− ² − = ⇔ =⁰ m x⁴−¹³₃ x³−x²+^{15 1}x− . Xét hàm số

( )

⁴ ³ ²

( )

³ ²

1

13 15 1 4 13 2 15 0 5

3 4

3 x

f x x x x x f x x x x x

x

 = −



= − − + − ⇒ ′ = − − + = ⇔ =

 =



.

Bảng biến thiên

(31)

( )

có 2đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình

( )

² 0

h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình

4 13 3 2 15 1

m x= − 3 x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m<0 ta có 35 1

3 m

− < < − .

Do m nguyên nên m∈ −

{

11; 10;...; 2− −

}

(32)

( )

có đồ thị hàm số như sau:

x y

-4

O 1

Tìm m để đồ thị hàm số ^y= f x

( )

² m²

− có đúng ba đường tiệm cận đứng?

A.m=1 B.m=2 C.m=0 D.m= ±2 Lời giải

Chọn D

y = 4

x y

O 1

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng khi phương trình f x

( )

−m² =0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Đồ thị hàm số y= f x

( )

và đường thẳng y m= ² có 3 giao điểm.

Dựa vào ĐTHS đã cho suy ra m² =4 ⇔ = ±m 2

( )

=ax bx cx d³+ ²+ + có đồ thị như hình vẽ.

(33)

Số giá trị nguyên của ^m^{∈ −}

[

^10;1

]

để đồ thị hàm số

( ) ( ) ( )

2 3 2

1 x x

g x f x m f x

− +

= −    −  có đúng bốn đường tiệm cận đứng là :

A. 9. B. 12. C.11. D. 10.

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

2 1

* 3 2 0

2

* 1 0

1 x x x

x

f x m f x m f x

f x

 =

− + = ⇔  =

 =

− − = ⇔ 

 =

Nhìn vào đồ thị hàm số ta có

( )

1;2

1 ;2

2;3 x a

f x x b a

x c

= ∈



= ⇔ = ∈

 = ∈



.(có ba tiệm cận)

Suy ra đồ thị hàm số y g x=

( )

có đúng 4 tiệm cận đứng với m∈ −

[

10;1

]

là

[

^10;0

]

m∈ −

Do đó số giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 11 số.

( )

(34)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[

⁻^2019;2020

]

để đồ thị hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻ có 5 đường tiệm cận?

A. 4038. B. 2019. C. 2020. D. 4040.

( )

ta suy ra f x

( )

có tập xác định D=\ 1

{ }

± và các giới hạn: lim

( )

0

x f x

→±∞ = ,

( )

lim1

x ₊ f x

→− = +∞ ,

( )

lim1

x ₋ f x

→− = −∞ ,

( )

lim1 x ₊ f x

→ = +∞ ,

1

( )

limx ₋ f x

→ = −∞.

Vì hàm số t x= ²−2x m+ xác định trên  nên hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻

xác định ²₂ 2 1

2 1

x x m x x m

 − + ≠

⇔ 

− + ≠ −



Vì _x^lim_→±∞

(

^x²⁻²^{x m}⁺

)

^{= +∞}^nên_x^lim_→±∞^^{f x}

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻ ^⁼_t^lim_→+∞^^{f t m}

( )

⁻ ^^{= −}^m. Do đó đồ thị hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻ có đúng một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y= −m (về cả hai phía x→ +∞ và x→ −∞ ).

Để đồ thị hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻ có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4 đường tiệm cận đứng.

Điều kiện cần: ²₂ 2 1

2 1

x x m x x m

 − + =

 − + = −

 phải có 4 nghiệm phân biệt

( )

2 2

1 2

1

x m

 − = − +

⇔

 − = −



có 4 nghiệm phân biệt 2 0 0 0

m m

m

− + >

⇔− > ⇔ < .

Điều kiện đủ: Giả sử x₁, x²

(

x x1< 2

)

là hai nghiệm phân biệt của phương trình

2 2 1

x − x m+ = ; x₃ , x⁴ là hai nghiệm phân biệt của phương trình

2 2 1

x − x m+ = − .

Xét đường thẳng x x= ₁, ta có

( ) ( )

1

2

lim 2 lim1

x x f x x m m t _± f t m

→ ^ − + − = →  − = ±∞. Suy ra đường thẳng x x= ₁ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

(

² ²

)

y f x= − x m m+ − .

Tương tự các đường thẳng x x= ₂, x x= ³, x x= ⁴ cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻ ^.

Vậy để đồ thị hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻²^{x m m}⁺

)

⁻ có 5 đường tiệm cận thì m<0 . Do m∈ và m∈ −

[

2019;2020

]

nên có tất cả 2019 giá trị của m .

(35)

( )

có đồ thị như hình vẽ

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y= f x

(

−16 10

)

+ −m² có tiệm cận ngang nằm phía dưới đường thẳng :d y=8 (không trùng với d).

A. 8 B. 2 C. 6 D.

4

Đồ thị hàm số g x

( )

= f x

(

−16 10

)

+ −m² có được bằng cách thực hiện liên tiếp 2 phép tịnh tiến là tịnh tiến theo phương trục hoành sang phải 16 đơn vị và theo phương trục tung

(

¹⁰⁻^m²

)

^{đơn vị.}

Từ hình vẽ: _x^lim_→±∞ f x

(

−¹⁶

)

=_x^lim_→±∞ f x

( )

= −¹ ⇒_x^lim_→±∞g x

( )

= −⁹ m²

Do vậy đồ thị hàm số g x

( )

có một tiệm cận ngang là y= −9 m², ta có 2 TH