LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM TOÁN
Năm học: 2016-2017
Giáo viên: Nguyễn Đại Dương
Chuyên Luyện Thi THPT QG 10 – 11 – 12 Chuyên Luyện Thi Trắc Nghiệm
Địa chỉ: 76/5 Phan Thanh – 135 Nguyễn Chí Thanh Hotline: 0932589246
CHINH PHỤC GIẢI TÍCH 12
TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
(KHÔNG SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC)
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
NGUYÊN HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1. Khái niệm nguyên hàm
— ( )f x .K ( )F x nguyên hàm ( )
f x trên K F x( ) f x( ), x K.
— ( )F x ( )f x trên K h nguyên hàm ( )f x trên K
( ) ( ) , .
f x dx F x C const C
2. Tính chất ( ), ( )f x g x 2 ụ K và k 0 thì ta luôn có:
( ) . f x dx f x C
.
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
ng nguyên hàm c m t hàm th ng g p v i C à h ng t y
1
1
x dx x C
1 ( ) 1
( )
1
n
n ax b
ax b dx C
a n
1 dx lnx C x
1 1
ln
dx ax b C
ax b a
2
1 1
dx C
x x 2
1 1 1
( ) dx C
a ax b ax b
sinx dx cosx C 1
sin(ax b dx) cos(ax b) C a
cosx dx sinx C 1
cos(ax b dx) sin(ax b) C a
2
1 cot
sin dx x C
x 2
1 1
cot( )
sin ( )dx ax b C
ax b a
2
1 tan
cos dx x C
x 2
1 1
tan( )
cos ( )dx ax b C
ax b a
x x
e dx e C ax b 1 ax b
e dx e C
a
ln
x
x a
a dx C
a 2 2
1 ln 2
dx x a
a x a C x a
♦ Nhận xét. Khi thay x (ax b) 1 a M t u
1. ầ ắ vữ .
2. h ng ao gi ữ ầ .
3. i n i thành m t t ng ho c hiệu ữ v .
Câu 1. F(x) f(x) ạ a b, A.Vớ x
a b, ta có f x'
F x .B.Vớ x
a b, ta có F x'
f x .C.Vớ x a b, ta có f x'
F x .LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
D.Vớ x a b, ta có F x'
f x .Câu 2. K ẳ v ẳ ? A.
f x
g x dx
f x dx
g x dx
.B.
f x g x dx
f x dx g x dx
.
.C.
k f x dx.
k f x dx
.D.
f x dx'
f x
C vớ .Câu 3. G ử F x1
và F x2
f x
. K ẳ ẳ ú ?A. F x1
F x2
B.Tồ ạ F x1
k F x. 2
C.Tồ ạ F x1
F x2
k D.Tồ ạ F x1
k F x2
Câu 4. Xé ẳ
(1) – ụ ạ a b, ó ạ ó.
(2) – ũ ú . T ẳ
A. ỉ ó 1 ú . B. ỉ ó 2 ú . C. 1 v 2 ú D. 1 v 2 . Câu 5. Xé ẳ
(1) – f ó ạ K thì f có nguyên hàm trên K.
(2) – f v ó ạ F ậ K F f.
T ẳ
A. ỉ 1 ú . B. ỉ 2 ú .
C. 1 v 2 ú . D. 1 v 2 . Câu 6. K ẳ ?
A. 1
1
x dx x C
B.
1xdxlnx CC.
ax b
ax b e
e dx C
a
D.
sinkxdx coskkxCCâu 7. f x
x3 2x2 12 x A.
4 3 ln 23
F x x x x B.
4 2 3 ln 24 3
x x
F x x
C.
4 2 3 14 3
x x x
F x x
D.
4 2 3 14 3
x x x
F x x
Câu 8. f x
x1
x1
2ex ? A. g x
2
x2 1
ex. B. g x
x4 x3 x2 x exC. g x
3x22x e x1 D.
4 3 2 14 3 2 x x x x
g x x e Câu 9. ô f x
x2
4A.
2
55
F x x x
B.
2
55 F x x
C.
2
55 2017 F x x
D.
2
55 2016 F x x
Câu 10.
1f x cos
x có nguyên hàm trên:
A.
0, B. ,2 2
C.
,2
D. ,2 2
Câu 11.
12f x cot
x A. F x
2 ln cotx C B. F x
tanx x C C. F x
tanx x C D. F x
cotx x C Câu 12.
221 f x x
x
A. F x
x2 1 C B.
21F x 1 C
x
C.
2
1 1
F x C
x
D. F x
ln
x2 1
CCâu 13. f(x) ó ạ '
1f x 1
x
và f
0 1 thì f
5 ? A. ln 4 1 B. 2ln2 1 C. 2ln2 D. 2ln 2Câu 14. f x
x x21A.
2 12
F x x C
B.
2 133
F x x C
C.
2
1 2 1
F x C
x
D. F x
x2 1 CCâu 15. f x
xex2A. F x
ex2 C B. F x
xex2 C C.
22 ex
F x C D.
2 22 x ex
F x C
Câu 16. Vớ F x
x m e
x là f x
xex ex1A. m1. B. 1
m e. C. 1
1
m e . D. 1 1 m e.
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Dạng 1: Tìm nguyên hàm ằng c ng thức cơ ản.
1. T ứ ặ ũ ừ PP ễ . 2. T ũ PP ể e ô ứ ũ.
3. ứ ă PP ể v ũ ừ .
4. T PP ử ụ ô ứ v ậ e ặ ô ứ .
sin .cos 1 sin( ) sin( )
ax bx 2 a b x a b x
sin .sin 1 cos( ) cos( )
ax bx 2 a b x a b x
cos .cos 1 cos( ) cos( )
ax bx 2 a b x a b x
cos2 1 cos 2 2
x x sin2 1 cos 2 2 x x
ài tập vận dụng Câu 1. T ( ) 3 2
2 f x x x
A.
2
( ) 3 .
4
F x x x C B. ( ) 6 1 .
F x x 4 C
C.
2
( ) 2 3 .
2
F x x x C D. ( ) 3 1 .
F x x 2 C
……….
……….
Câu 2. T f x( ) 2x3 5x 7.
A.F x( ) 6x2 5 C. B.
4 2
( ) 5 7 .
4 2
x x
F x x C
C.F x( ) 2x4 5x2 7x C. D.
4 2
( ) 5 7 .
2 2
x x
F x x C
……….
……….
Câu 3. T f x( ) 6x5 12x3 x2 8.
A.F x( ) 30x4 36x2 2x C. B.F x( ) 6x6 12x4 x3 8x C. C.
3
6 4
( ) 3 8 .
3
F x x x x x C D.
3
6 4
( ) 3 .
3
F x x x x C
……….
……….
Câu 4. T f x( ) (x2 3 ) (x x 1) A.
3 2 2
( ) 3 .
3 2 2
x x x
F x x C B.
4 3 2
2 3
( ) .
4 3 2
x x x
F x C
C.F x( ) 3x2 4x 3 C. D.F x( ) x4 2x3 3x2 C.
……….
……….
……….
Câu 5. T f x( ) (3 x) .3 A.
(3 )4
( ) .
4
F x x C B.F x( ) 3(3 x)2 C.
C.
(3 )4
( ) .
4
F x x C D.F x( ) 3(3 x)2 C.
……….
……….
Câu 6. T ( ) 12 2 1
f x x 3
x A.
1 3
( ) .
3 3
x x
F x C
x B.F x( ) 23 2x C.
x C.
3
( ) ln 2 .
3 3
x x
F x x C D. ( ) 1 3 .
3
F x x x C
x
……….
……….
Câu 7. T f x( ) 10 .2x A.
102
( ) .
ln10
x
F x C B.F x( ) 10 ln102x C. C.
102
( ) .
2 ln10
x
F x C D.F x( ) 2.10 ln102x C.
……….
……….
Câu 8. T f x( ) x3 4x 3 x A.F x( ) 3x2 4 32 C.
x B.F x( ) x4 4x2 3.lnx C.
C.
4 2
2
( ) 2 3 .
4
F x x x C
x D.
4
( ) 2 2 3.ln .
4
F x x x x C
……….
……….
Câu 9. T
2 4 2 ( ) t
f t t
A.F t( ) 4t 43 C.
t B. ( ) 2 3 2 .
F t 3 t C
t C. ( ) 2 3 ln 2 .
F t 3t t C D.F t( ) 2t3 2 C.
t
……….
……….
……….
Câu 10. T ( ) x 21
f x x
A.F x( ) 12 23 C.
x x B.F x( ) lnx lnx2 C.
C.F x( ) lnx 1 C.
x D.F x( ) 12 23 C.
x x
……….
……….
Câu 11. T ( ) 2 sin2 2 f x x
A.F x( ) x sinx C. B.F x( ) x sinx C. C. ( ) cos2 .
2
F x x C D. ( ) cos2 .
2
F x x C
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
……….
……….
……….
Câu 12. T f x( ) cos2x.
A.F x( ) sin2x C. B. ( ) 1 1sin 2 .
2 4
F x x x C
C. ( ) 1 1sin 2 .
2 2
F x x x C D. ( ) 1 1sin 2 .
2 4
F x x x C
……….
……….
……….
Câu 13. T f x( ) tan2x. A. ( ) 2 tan2 .
cos
F x x C
x B.F x( ) tanx x C.
C.F x( ) tanx x C. D. ( ) tan2 .
cos
F x x C
x
……….
……….
……….
Câu 14. T ( ) 2 1 2 sin .cos
f x x x
A.F x( ) tanx cotx C. B.F x( ) tan cotx x C. C.F x( ) 4cot 2x C. D.F x( ) 2cot 2x C.
……….
……….
……….
Câu 15. T ( )f x 2sin 3 cos 2 .x x
A.F x( ) 5cos5x cosx C. B.F x( ) 5cos5x cosx C. C. ( ) 1cos 5 cos .
F x 5 x x C D. ( ) 1cos 5 cos .
F x 5 x x C
……….
……….
……….
Câu 16. T ( )f x ex.(ex 1).
A. ( ) 1 2 .
2
x x
F x e e C B.F x( ) 2e2x ex C.
C.F x( ) e2x ex C. D. ( ) 2 1 .
2
x x
F x e e C
……….
……….
Câu 17. T ( ) 2 2 cos
x
x e
f x e
x
A.F x( ) 2ex ln cos2x C. B. ( ) 2 2 sin3 . cos
x x
F x e C
x C. ( ) 2 2 sin3 .
cos
x x
F x e C
x D.F x( ) 2ex tanx C.
……….
……….
Câu 18. T I ( x 3x dx) .
A. 3 2
1 1
2 3 .
I C
x x B. 2 3 33 4 .
3 4
I x x C
C.
4 3
3
2 2 3
3 4 .
I x x C D.
4 3
3
3 2 4 2 3 .
I x x C
……….
……….
Câu 19. T 2
3 2
2 1
I x dx
x A. 2 3 33 .
I 3x x C B.
1
3 3
2 3 .
I 3x x C
C. 3 5
2 5 .
3
I x C
x D. 2 3 33 .
I 3x x C
……….
……….
……….
Câu 20. T x x 2 x .
I dx
x A.
1 1
2 2
2 .
I x x C B.I 2 x 2 C.
x C.I 2 x 2 C.
x D.
1 1
2 2
2 .
I x x C
……….
……….
……….
Câu 21. T 1 33 55
I 2 dx
x x x
A.
2
1 5
2 9 3 25 4
( ) .
2 4
F x x x x C B. ( ) 93 2 255 4 .
2 4
F x x x x C
C.
2 4
1
3 5
2 9 25
( ) .
2 4
F x x x x C D.F x( ) x 23x2 45x4 C.
……….
……….
……….
Câu 22. T I 4 sin2x dx.
A.I 4sin 2x C. B.I 2x 2sin2x C.
C.I 2x sin 2x C. D.I 2x sin 2x C.
……….
……….
Câu 23. T 1 cos 4 . 2
I x dx
A. sin 4 .
2 2
x x
I C B. sin 4 .
2 8
x x
I C
C. sin 4 .
2 2
x x
I C D. sin 4 .
2 8
x x
I C
……….
……….
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 24. T I (3cosx 3x 1) dx A.
3 1
3sin .
ln 3
x
I x C B.I 3sinx 3x 1ln3 C.
C.I 3sinx 3x 1ln 3 C. D.
3 1
3 sin .
ln 3
x
I x C
……….
……….
Câu 25. T I (tanx 2 cot ) . .x dx2
A.I tanx 4cotx 9x C. B. tan2 4 cot2 .
cos sin
x x
I C
x x
C.I tanx 4cotx 6x C. D.I tanx 4cotx C.
……….
……….
……….
Câu 26. T I 3u u.( 4). .du A.
7 4
3 3
3 3 .
I 7u u C B. 33 7 33 4 .
I 7 u u C
C. 43 34 .
3 3
I u C
u D.
1 1
3 3
4 4
3 3 .
I u u C
……….
……….
……….
Câu 27. f x( ) 15x2 8x 7 A.F x( ) 5x3 4x2 7x 120 B.F x( ) 15x3 8x2 7x
C.F x( ) 15x3 8x2 7 D.F x( ) 5x3 4x2 7
……….
……….
Câu 28.
2
( ) 1
3 f x
x A.F x( ) ln(x x2 3) B.F x( ) ln(x x2 3)
C.F x( ) x2 3 2017 D.
2 3
( ) x 2017
F x x
……….
……….
Câu 29. ( )f x (4x 1) ex A.F x( ) (4x 1) ex 1 B.F x( ) (4x 3) ex 1
C.F x( ) (4x 5) ex D.F x( ) (2x2 x e). x 3
……….
……….
Câu 30. f x( ) 4tan5x 4tan3x 3 A.
4 2
2 2
20 tan 12 tan
( ) cos cos
F x x
x x B.F x( ) tan4x 3
C.
4 2
2 2
20 tan 12 tan
( ) 3
cos cos
F x x
x x D.F x( ) tan4x 3x 5
……….
……….
Câu 31. ( ) 2 2 2
( 4) ( 3)
f x x
x x
A.F x( ) ln x2 4 ln x2 3 2 B.
2 2
( ) ln 4 3
F x x x
x C.
2 2
( ) ln 4 3 F x x
x D.F x( ) ln x2 4 ln x2 3
……….
……….
……….
Câu 32.
2 4
2 2( 1)
( ) 1
f x x
x A.
2 2
2 1 ( ) ln
2 1
x x
F x x x B.F x( ) ln x4 1
C.F x( ) 2016 ln x4 1 D.
2 2
2 1 ( ) ln
2 1
x x
F x x x
……….
……….
……….
Câu 33. Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x3 4x 5 (1)F 3.
A.F x( ) x4 4x2 5x 5 B.
4
2 1
( ) 2 5
4 4
F x x x x
C.
4
2 5
( ) 2 5
4 4
F x x x x D.F x( ) x4 4x2 5x 1
……….
……….
……….
Câu 34. Tìm nguyên hàm F(x) ( )f x 3 5cosx ( )F 2.
A.F x( ) 3x 5sinx 2. B.F x( ) 3x 5sinx 2 3 . C.F x( ) 3x 5sinx 2. D.F x( ) 3x 5sinx 2 3 .
……….
……….
……….
Câu 35. Tìm nguyên hàm F(x)
3 5 2
( ) x
f x x ( )F e 1.
A.F x( ) 3ln x 5x2 5e2 1. B.F x( ) 3lnx 5x2 5e2 2.
C.
2 2
5 5
( ) 3ln 2.
2 2
x e
F x x D.
2 2
5 5
( ) 3ln 1.
2 2
x e
F x x
……….
……….
……….
Câu 36. Tìm nguyên hàm F(x)
2 1
( ) x
f x x (1) 3 F 2 A.
2
( ) ln 1.
2
F x x x B.
2
( ) ln 2.
2
F x x x
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH C. ( ) 2 ln 5.
F x x x 2 D. ( ) 2 ln 1.
F x x x 2
……….
……….
Câu 37. Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x x 1
x (1)F 2.
A. ( ) 2 5 2 4
F x 5 x x B. ( ) 2 5 17
5 5
F x x x
C. ( ) 2 5 4
F x 5 x x D. ( ) 2 5 2 22
5 5
F x x x
……….
……….
……….
Câu 38. Tìm nguyên hàm F(x) f x sin 2 .cosx x 0.
F 3 A. ( ) 1cos 3 1cos 1
2 2 4
F x x x B. ( ) 1cos 3 1cos 1
6 2 12
F x x x
C. ( ) 1cos 3 1cos 1
2 2 4
F x x x D. ( ) 1cos 3 1cos 1
6 2 12
F x x x
……….
……….
……….
Câu 39. Tìm nguyên hàm F(x)
4 3
2
3x 2x 5
f x x (1)F 2.
A.F x( ) x3 x2 5 7.
x B.F x( ) x3 x2 5ln x2 2.
C.F x( ) x3 x2 5 3.
x D.F x( ) x3 x2 5 ln x2 2.
……….
……….
……….
Câu 40. Tìm nguyên hàm F(x)
3 2
2
3 3 7
( 1)
x x x
f x x (0)F 8.
A.
2 8
( ) 2 1
F x x x
x B.
2 8
( ) 16
2 1
F x x x
x C.
2 8
( ) 16
2 1
F x x x
x D.
2 8
( ) 2 1
F x x x
x
……….
……….
……….
Câu 41. Tìm nguyên hàm F(x) sin2 2 f x x
2 4
F
A. ( ) sin 1
2 2 2
x x
F x B. ( ) sin 1
2 2 2
x x
F x
C. ( ) sin 1
2 2 2
x x
F x D. ( ) sin 1
2 2 2
x x
F x
……….
……….
Câu 42. Tìm nguyên hàm F(x) f x x 3 x 1
x (1) 7 F 2 A.
1 2
( ) 3 3ln 6.
2
F x x x x
x B.
1 2
( ) 3 3ln 1.
2
F x x x x
x C.
2 2
( ) 3 ln 7.
2 2 4
x x
F x x x D.
2 2
( ) 3 ln 21.
2 2 4
x x
F x x x
……….
……….
……….
Câu 43. Tìm nguyên hàm F(x)
2 2
2 cos 1 cos f x x
x
4 2
F A.F x( ) 2x tanx 1. B.F x( ) 2x tanx 1.
C.F x( ) 2x tanx 1. D.F x( ) 2x tanx 1.
……….
……….
……….
Câu 44. T ể F x( ) mx3 (3m 2)x2 4x 3 f x( ) 3x2 10x 4
A.m 1. B.m 3. C. 1.
m 3 D.Không có m.
……….
……….
……….
Câu 45. T ể F x( ) lnx2 mx 5
2
2 3
( ) 3 5
f x x
x x
A.m 3. B.m 5. C. Không có m. D.m 3.
……….
……….
Câu 46. T ể F x( ) (ax2 bx c e) x ( )f x (x 3) ex
A.a 0, b 1, c 3. B.a 0, b 1, c 4.
C. 1, 3, 0.
a 2 b c D.Không có a, b, c.
……….
……….
……….
Câu 47. T ể F x( ) (ax2 bx c e) 2x
2 2
( ) (2 8 7) x
f x x x e
A.a 2, b 3, c 1. B. 1, 4, 7.
a b c 2
C.a 1, b 3, c 2. D.Không có a, b, c.
……….
……….
……….
……….
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH Câu 48. T ể F x( ) (ax2 bx c e) x
( ) ( 2 3 2) x
f x x x e
A.a 1,b 1, c 1. B.a 1, b 1, c 1.
C.a 1, b 1, c 1. D.Không có a, b, c.
……….
……….
……….
……….
Câu 49. T ể ( ) ( 1)sin sin 2 sin 3
2 3
b c
F x a x x x ( )f x cosx
A.a b c 1. B.a 1,b c 0.
C.Không có a, b, c. D.a b c 0.
……….
……….
……….
Câu 50. T ể F x( ) (ax2 bx c) 2x 3
20 2 30 7
( ) 2 3
x x
f x x
A.a 5, b 0, c 7. B. 20, 123, 194.
9 25 25
a b c
C.a 4, b 2, c 1. D.Không có a, b, c.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 51. T ể F x( ) (ax2 bx c) 3 x f x( ) x 3 x, (x 3)
A. 2, 2, 12
5 5 5
a b c B. 2, 2, 12
5 5 5
a b c
C. 2, 2, 12
5 5 5
a b c D.Không có a, b, c.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Dạng toán 2: Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.
ài toán t ng quát T ( ) , ( ) I P x dx
Q x vớ ( )P x v ( )Q x ứ ô ă .
Ph ng pháp gi i:
— ậ ử ( )P x ậ ( )Q x PP ứ .
— ậ ử ( )P x ậ ( )Q x PP Xe é v ó ử ụ ồ ứ ể v ạ ổ .
ồ ứ ặ
1 1
( ) ( )
a b
ax m bx n an bm ax m bx n
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A B m
mx n A B A B x Ab Ba
Ab Ba n
x a x b x a x b x a x b
2 2
1 ,
( ) ( )
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c vớ b2 4ac 0.
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
ô ổ v v ạ . Câu 52. 3 13
( 1)
I x dx
x ĐS: 3 1 2 .
1 ( 1)
I C
x x
……….
……….
……….
Câu 53.
2 1
2
x x
I dx
x ĐS:
2
3ln 2 .
2
I x x x C
……….
……….
……….
Câu 54.
4 2 6 1
2 1
x x
I dx
x ĐS: 2 2 1ln 2 1 .
I x x 2 x C
……….
……….
……….
Câu 55.
3 2
4 4 1
2 1
x x
I dx
x ĐS:
3 2
2 1
ln 2 1 .
3 2 2 2
x x x
I x C
……….
……….
……….
Câu 56. 2
6 9
I dx
x x ĐS: 1 .
I 3 C
x
……….
……….
……….
Câu 57. 23 2
4 4 1
I x dx
x x ĐS: 3ln 2 1 7 .
4 4(2 1)
I x C
x
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
……….
……….
……….
Câu 58.
2
( 2)2
x x
I dx
x ĐS: 3ln 2 2 .
I x x 2 C
x
……….
……….
……….
Câu 59.
( 1) I dx
x x ĐS: ln .
1
I x C
x
……….
……….
……….
……….
Câu 60. 2
4 I dx
x ĐS: 1ln 2 .
4 2
I x C
x
……….
……….
……….
……….
Câu 61. 2
6 5
I dx
x x ĐS: 1ln 5 .
4 1
I x C
x
……….
……….
……….
……….
Câu 62. 2
2 3
I dx
x x ĐS: 1ln 1 .
5 2 3
I x C
x
……….
……….
……….
……….
Câu 63. 2
2 7 5
I dx
x x ĐS: 1ln 2 5 .
3 1
I x C
x
……….
……….
……….
……….
Câu 64. 24 5 2
I x dx
x x ĐS: I lnx 2 3 ln x 1 C.
……….
……….
……….
……….
Câu 65. 24 11
5 6
I x dx
x x ĐS: I 3lnx 2 lnx 3 C.
……….
……….
……….
……….
Câu 66. 2 1
6
I x dx
x x ĐS: 1ln 2 4 ln 3 .
I 5 x x C
……….
……….
……….
……….
Câu 67. 25 3
3 2
I x dx
x x ĐS: I 2 ln x 1 7 lnx 2 C.
……….
……….
……….
……….
Câu 68. 1 22 2
I x dx
x x ĐS: 1ln 3ln 2 .
2 2
I x x C
……….
……….
……….
……….
Câu 69.
2
2 7 12
I x dx
x x ĐS: I x 16 lnx 4 9 ln x 3 C.
……….
……….
……….
……….
Câu 70.
2 2
1 1
I x dx
x ĐS: ln 1 .
1
I x x C
x
……….
……….
……….
……….
Câu 71.
2 4
2
3 2
x x
I dx
x ĐS:
3 2
ln .
3 2
x x
I x C
x
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 72.
2 2 2
.
(1 )
I x dx
x ĐS: 1 ln 1 1 1 .
4 1 1 1
I x C
x x x
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH Câu 73.
2
3 2
2 5 3
2
x x
I dx
x x x ĐS: 3ln 2 ln 1 5ln 2 .
2 2
I x x x C
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 74.
2
3 2
2 8 10
4 4
x x
I dx
x x x ĐS: 1ln 2 20ln 1 17ln 2 .
6 3 2
I x x x C
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 75.
3
3 2
1
5 6
I x dx
x x x ĐS: 1ln 9ln 2 28ln 3 .
6 2 3
I x x x x C
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 76.
2 3
3 3 3
3 2
x x
I dx
x x ĐS: 2 ln 1 ln 2 3 .
I x x 1 C
x
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Dạng toán 3: Tìm nguyên hàm ằng phương pháp i i n số.
nh : Cho f u du( ) F u( ) C v u u x( ) ó ạ ụ
( ) ( ) ( ) .
f u x u x dx F u x C 1. i i n d ng ặ t ( ).x
1 1
2 2
( ) .
1 ( 1) . ,
1
( ) 2 .
n PP
n m
PP n n
n
n PP
I f ax b xdx t ax b dt a dx
I x dx t x dt n x dx
ax
I f ax b xdx t ax b dt ax dx
vớ m n, .
( ) ( )
I n f x f x dx PP Đặ t n f x( ), ừ ổ ạ 2.
(ln ) 1
( ln ) 1
I f x dx
x
I f a b x dx
x
PP Đặ ln ln
t x
t a b x
( )x x
I f e e dx PP Đặ t ex. (cos ) sin
I f x xdx PP Đặ t cosx dt sinxdx. (sin ) cos
I f x xdx PP Đặ t sinx dt cosxdx.
2
(tan ) 1
I f x cos dx
x
PP Đặ tan 12 (1 tan2 ) .
t x dt cos dx x dx
x
2
(cot ) 1
I f x sin dx
x
PP Đặ cot 12 (1 cot2 ) .
t x dt sin dx x dx
x
2 2
(sin ; cos ) sin 2
I f x x xdx PP Đặ
2 2
sin sin 2
cos sin 2
t x dt xdx
t x dt xdx
(sin cos ) (sin cos )
I f x x x x dx PP Đặ t sinx cos .x 2. i i n d ng ặ x ( ).t
2 2 2
( ) n
I f a x x dx PP Đặ x a.sint dx a.cos . .t dt
2 2 2
( ) n
I f x a x dx PP Đặ .tan 2 cos x a t dx adt
t
2 2 2
( ) n
I f x a x dx PP Đặ sin2
cos cos
a a t
x dx dt
t t
( ) .n 2
I dx
x a ax bx c
PP Đặ x a 1 dx dt2
t t
1 ,...,nk
I R n ax b ax b dx PP Đặ tn ax b vớ n B C N N n n. . . 1; 2;...;nk
( )( )
I dx
x a x b
PP Đặ
khi 0
0 khi 0
0 x a
t x a x b
x b x a
t x a x b
x b
Câu 77. I x3 (2 3 )x2 8 dx ĐS:
2 10 2 9
(2 3 ) (2 3 )
180 81 .
x x
I C
……….
……….
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH Câu 78. 2
2 I xdx
x ĐS: 1ln 2 2 .
I 2 x C
……….
……….
Câu 79.
3
1 2
I x dx
x ĐS: 1 2 1 2 2 .
2(1 ) 4(1 )
I C
x x
……….
……….
……….
Câu 80.
3 2
1 1
1
I dx
x x ĐS: 14 13 32 1 .
4 2
I C
x
x x x
……….
……….
Câu 81.
5
2 1
I x dx
x ĐS:
4 2
1 2
ln( 1) .
4 2 2
x x
I x C
……….
……….
……….
Câu 82.
4
10 4
I x dx
x ĐS:
5 5
1 2
ln .
20 2
I x C
x
……….
……….
……….
Câu 83.
2
( 1)
2 4
x dx I
x x ĐS: I x2 2x 4 C.
……….
……….
Câu 84. I x. 2 x dx2. . ĐS:
(2 2 3) 3 .
I x C
……….
……….
……….
Câu 85.
2 3
2 4 I xdx
x ĐS: 33( 2 4)2 .
I 2 x C
……….
……….
……….
Câu 86.
2
1 I x dx
x ĐS:
2(3 2 4 8) 1 15 .
x x x
I C
……….
……….
……….
Câu 87. I 5 . 1x3 x dx2. . ĐS:
4
15 2 3
(1 ) .
I 8 x C
……….
……….
……….
Câu 88. I x5. (1 2 ) . .3 x2 2dx ĐS:
4 2 2 2
3(20 4 3). (1 2 )
320 .
x x x
I C
……….
……….
……….
Câu 89. 4 1 .
2 1 2
I x dx
x ĐS: I 2x 1 4 2x 1 5ln 2x 1 2 C.
……….
……….
……….
Câu 90.
3
2 .
4
I x dx
x
ĐS:
2 3
(4 ) 2
4 4 .
3
I x x C
……….
……….
……….
Câu 91.
2 4
I dx
x x ĐS:
2 2
1 4 2
ln .
4 4 2
I x C
x
……….
……….
……….
Câu 92.
3 2
2
2 3
. 1
x x x
I dx
x x ĐS:
2 3
2 ( 1) 2
2 1 .
3
x x
I x x C
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 93. I ln2x 1dx
x ĐS:
ln3
3 .
I x C
……….
……….
Câu 94. 3ln 1
ln
I x dx
x x ĐS: I 3 lnx ln lnx C.
……….
……….
Câu 95. ln
1 ln
I x dx
x x ĐS:
2 (1 ln )3
2 1 ln .
3
I x x C
……….
……….
……….
Câu 96.
2
ln . 2x3 ln xdx
I x ĐS: 33(2 ln2 )4 .
I 8 x C
……….
……….
……….
……….
……….
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 97.
3 2
2
log 1 3ln
I x dx
x x ĐS:
2 3
2 3
(1 3ln )
1 1 3ln .
9 ln 2 3
I x x C
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 98.
x 1 I dx
e ĐS: ln 1 .
x x
I e C
e
……….
……….
……….
Câu 99.
2 3
x x
I dx
e e ĐS: ln 2 .
1
x x
I e C
e
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 100.
x
x x
I e dx
e e ĐS: 1ln 2 1 . 2
I e x C
……….
……….
……….
Câu 101.
x 4. x
I dx
e e ĐS: 1ln 2 .
4 2
x x
I e C
e
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 102.
(1 x)3 x
I e dx
e ĐS:
(1 )2 1
2(1 ) 3 .
2
x
x
x
I e e x C
e
……….
……….
……….
Câu 103.
2 2
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e ĐS: 1ln( 2 3 2) 3ln 1 .
2 2 2
x
x x
x
I e e e C
e
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 104.
2
1
x x
I e dx
e ĐS:
2 ( 1)3
1 .
3
x
e x
I e C
……….
……….
Câu 105.
x x
I dx
e e ĐS: 2 2 ln 2 1 .
x x
I e e C
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 106.
x 1 I dx
e ĐS: 2 ln .
1
x x
I e C
e
……….
……….
……….
……….
……….
Câu 107. cos 1 sin I xdx
x ĐS: I ln 1 sinx C.
……….
……….
Câu 108. (2 sin 3)cos 2 sin 1
x x
I dx
x ĐS: 1(2 sin 1) 4 ln 2 sin 1 .
I 2 x x C
……….
……….
Câu 109. 3cos 2 (1 sin ) I xdx
x ĐS: 3 .
1 sin
I C
x
……….
……….
Câu 110.I sin2x.cos . .3x dx ĐS:
3 5
sin sin
3 5 .
x x
I C
……….
……….
……….
Câu 111.I cos2xsin3xdx ĐS:
5 3
cos cos
5 3 .
x x
I C
……….
……….
……….
Câu 112.
1 2 sin2
1 sin 2
I x dx
x ĐS: 1ln 1 sin 2 .
I 2 x C
……….
……….
……….
Câu 113.
3 2
cos sin
I x dx
x ĐS: 1 sin .
I sin x C
x
……….
……….
……….
Câu 114.
4 sin3
1 cos
I x dx
x ĐS: I 2(1 cos )x 2 C.
LỚP TOÁN THẦY DƯƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
……….