Bất đẳng thức Toán 10

Những Bất đẳng thức th-ờng gặp

Những kiến thức th-ờng gặp (a+b)²  4ab Bất đẳng thức hay dùng cho a+b  0 

( 2 2

b a b

aⁿ  ⁿ  

)ⁿ , n là số tự nhiên Dấu bằng xảy ra khi a= b với n chẵn, a² = b² nếu n lẻ

giải ph-ơng trình: Giải ph-ơng trình (x+1)⁶+ (x + 5)⁶ = 18- 8 5

 

 





 6

6 6

2 ) 1 ( 5 2

) 5 ( ) 1

( x x

9 - 4 5 x = -

2 1 5

Bài 1

Chứng minh a b c

ab c ca b bc

a³  ³  ³    ; với a, b, c d-ơng.

Giải: a⁴ + b⁴  2a²b²  a⁴ + b⁴ + c⁴  a²b² + b²c² + c²a² a²b² + b²c²  2ab²c  a²b² + b²c² + c²a²  abc(a + b + c) a⁴ + b⁴ + c⁴  abc(a + b + c) , chia abc  a b c

ab c ca b bc

a³  ³  ³   

Bài 2

Chứng minh:

) )(

(a b a c a

a





 +

) )(

(b a b c b

b





 +

) )(

(c b c a c

c





  1

Với a, b, c > 0

Giải: (ab)(ac)  ab ac(a+b)(a+c)-( ac ab)² (a bc)² 0

a b c

a ac

ab a

a c

a b a a

a



 



 





 ( )( )

Cộng ba vế lại có (đpcm) Bài 3

Cho a, b, c là ba số d-ơng và

c b a

1 1

1  = a + b + c. Chứng minh:

a + b + c  3abc Giải: Từ

c b a

1 1

1   = a + b + c  ab + bc + ca = abc(a+b+c)

a² + b² + c²  ab + bc + ca  a² + b² + c²+ 2(ab + bc + ca)  3(ab + bc + ca) (a+b+c)²  3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c)  a + b + c  3abc

Bài 4

Chứng minh bất đẳng thức: 1

1 1 1 1 1

1 

 

 

 bc ca

ab

với a, b, c là các số d-ơng và a² + b² + c² = 6.

Giải: Sử dụng

z y x z y

x 1 1  9

1  

 

 

 1

1 1 1 1 1

ca bc

ab 3

9





bc ca ab

a² + b² + c²  ab + bc + ca dấu bằng khi a = b = c 

3 9

3 9

2 2

2   

 



bc ca a b c

ab =1

dấu bằng khi a = b = c = 2. Bài 5

Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh a³ + b³ + 3abc > c³

Giải: a+b> c và a² - ab + b² > 0, a³ + b³ + 3abc = (a+b)(a²-ab+b²) + 3abc >

> c(a²-ab+b²) + 3abc = c(a+b)² > c³ Bài 6

Cho a, b, c là ba số d-ơng và có tổng bằng 3.

Chứng minh a b c ab + bc + ca

Giải: a² +b²+c² +2(ab+bc+ca) = 9  ab+bc+ca =

2 9a² b² c²

Thay vào ta cần chứng minh: a² +b²+c² + 2( a b  c ) 9 a² + 2 a= a² + a + a 3³ a aa² = 3a

Cộng các vế ta có (đpcm) Bài 7

Cho a, b là các số thực thoả mãn a² + b³  a³ + b⁴. Chứng minh:

a³ + b³  2 Giải:

Cách 1: Tr-ớc hết chứng minh a + b²  a² + b³

Giả sử a + b² < a² + b³  2(a² + b³) > a + b²+ a³ + b⁴  2(a² + b³) vô lý a + b²  a² + b³ a³ + b⁴  2(a + b²)  a² + b³ + a³ + b⁴

(1+a² ) + (1+b⁴)  2(a + b²)  a² + b³ + a³ + b⁴  a³ + b³  2

Cách 2: Bằng ph-ơng pháp phản chứng . Giả sử a³ + b³ > 2. Chứng minh:

a² + b³ < a³ + b⁴

Từ ³

3 3 2

2

2 2

b a b

a 

   a² + b² ³ 2(a³ b³)² < ³ (a³ b³)²(a³ b³)=a³+b³ a² - a³ < b³- b² , nh-ng 0  b²(b - 1)²  b³ - b²  b⁴ - b³  a²- a³ < b⁴ - b³

 a² + b³ < a³ + b⁴. Bài 8

Cho a, b, c là các số thực đặt M = a + b + c + 2 a² b² c² abbcca

Chứng minh M  max{3a, 3b, 3c} và một trong 3 số:

M3a; M3b; M3cbằng tổng hai số kia.

Giải: 3(b - c)²  0  4b² + 4c² - 4bc  b² + c² + 2bc 

4(a² + b² + c² - ab - bc - ca)  (2a - b - c)²

2 a² b² c² abbcca 2a - b – c  cộng hai vế với a + b + c T-ơng tự M  3b, M  3c  M  max{3a, 3b, 3c}

đặt x = M 3a, y = M 3b, z = M3c a=

3 x2

M 

,b= 3

y2

M 

,c= 3 z2

M 

 x² + y² + z² =6 ^{2 2} ( )² 2

) 1 2(

) 1 2(

1 ab  bc  ca

x² + y² + z²=2 x⁴  y⁴ z⁴ x²y² y²z² z²x²

x⁴+y⁴+z⁴ - 2x²y²- 2y²z² – 2z²x² = 0 (x²+y²)² - 2z²(x²+y²) + z⁴ - 4x²y² = 0

(x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 0 Bài 9

Cho 4 số thực a, b, c, d và a² + b²  1. Chứng minh:

(ac + bd - 1)²  (a² + b² - 1)( c² + d² - 1) Giải: Nếu c² + d²  1 bất đẳng thức đúng.

Chúng ta chứng minh c² + d ² < 1, đặt x = 1- a² - b² và y = 1- c² - d ² 0  x, y  1. Bđt  (2 - 2ac - 2bd)²  4xy  ((a-c)²+(b-d)²+x+y)² 4xy ((a-c)²+(b-d)²+x+y)²  (x + y)²  4xy.

Bài 10

Cho a, b, c là ba số d-ơng và ab+bc+ca = 1. Chứng minh    a c c b b

a^{3 3 3}

1 Giải: a³+b³  ab(a+b) 

b a³

+ b²  ab+a² cộng lại (cđpcm) Bài 10

Chứng minh: _{2 2}

3

c b

a

 + _{2 2}

3

a c

b

 + _{2 2}

3

b a

c

 2

c b a 



Giải: a² + b²  2ab từ đó ₂ ³ ₂

c b

a

 = a - _{2 2}

2

c b

ab

  a -

2 b

Bài 11

Cho a, b, c, d là các số d-ơng và có tổng bằng 1. Chứng minh:

2

2 1

2 2

2 

 

 

 

 d a

d d c

c c b

b b a

a

Giải:

b a

a



2

+   4

b

a a

Dờu bằng khi a = b = c=d =

4 1. Bài 12

Cho a, b, c với 0 < a, b, c  1. Chứng minh:

1) a b c 1 1

1   a + b+ c

2) _{k k k}

c b a

1 1

1    a^k + b^k + c^k (k là là số tự nhiên)

Giải:1) (a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab - bc - ca + a + b + c-1=

=1- a b c

c b

a11  

1 -1= a b c

c b

a11  

1  0

2) 0 <a  1  0 < a^k - 1 0

(a-1)(b-1)(c-1)  0  (a^k-1)(b^k-1)(c^k-1)  0

(a^k-1)(b^k-1)(c^k-1) = a^kb^kc^k- a^kb^k- b^kc^k- c^ka^k+a^k+b^k+c^k-1 0

k k

k b c

a

1 1

1    a^k + b^k + c^k. Bài 13

Cho a, b, c là các số không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh:

a²b + b²c + c²a

27

 4 (CanMO1999) Giải: Gọi x =max{a, b, c}

 a  b  c  a²b + b²c + c²a  a²b + b²c + c²a + c(ab + (a-b)(b-c))=

= a²b+ 2abc +bc² = (a + c)²b = 4(

2 1-

2 1b)(

2 1-

2 1b)b

27

 4

dấu bằng khi a =

3 2, b =

3

1, c = 0.

* a  c  b  a²b + b²c + c²a = a²c + c²b + b²a + (a-c)(c-b)(a-b) 

 a²c + c²b + b²a

27

 4 ( trở lại tr-ờng hợp trên) dấu bằng xảy ra khi hoán vị a =

3 2, b =

3

1, c = 0.

Bài 14

Cho a, b, c là các số d-ơng. Chứng minh:

1 8 8

8 ^{2 2}

2 

 

 

 c ab

c ca

b b bc

a

a . (IMO-2001)

Giải: Cách 1- f(a, b, c) = f(ka, kb, kc)  đặt abc = 1

3

2 8

1 1 8

a bc

a a



  , đặt x = 1 + ⁸₃

a , y = 1 + ⁸₃

b , z = 1 + ⁸₃

c

1 1 1

1   

z y

x  ^xy  ^yz  ^zx ^xyz

 xy + yz + zx + 2 xyz ( x  y  z)  xyz

x = 1 + ⁸₃

a

9 24

9 1

 a =

3 2

2

9 a a

 3

3 a a

x   27

) (

27

3 4 

 abc xyz

9

3³ 





 y z xyz

x

Cách 2

Chứng minh:

3 3 3

3

2 8 a a b b c c

a a bc

a a



 



 (a³ ab³ b c³ c)² ³ a²(a² 8bc)







 ^{3 3 2 3 2}

3 ) ( )

(a a b b c c a a (b³ bc³ c) (2a³ ab³ bc³ c)=

)

(b³ bc³ c (a³ aa³ a b³ bc³ c)2³ (bc)²4³ a²³ bc 8bc³ a² 

3 2 3 2

3

3 ) ( )

(a a b bc c  a a 8bc³ a² ³ a²(a² 8bc), t-ơng tự

3 3 3

3

2 8 a a b b c c

b b ca

b b



 

 ,

3 3 3

3

2 8 a a b b c c

c c ab

c c



 

 cộng lại (đpcm)

Mở rộng

kab k c

c kca

b b kbc

a a

 

 

 

 1

3

2 2

2 , k  8

Bài 15

Chứng minh bất đẳng thức abbcca abc 7 9 7 2



với a, b, c là các số d-ơng và có tổng bằng 1(Chọn đội tuyển QG 2004) Giải: Nếu a

9

 7 1 7

9a   bc

7

9abc , a+ b+c = 1 b + c 

9

2, do a < 1  ab + ac <

7 2 9

2   ab + bc + ac abc 7 9 7 2



Nếu a <

9

7 1 -

7

9a> 0, bc

4 ) (bc ²

 ,  bc

4 ) 1 ( a ²



ab + bc + ac - abc 7

9 = bc(1- a 7

9 ) + a(b+c)

7 ) 2 1 4 (

) 1 )( 7 1 9 (

2





 



 a a a a

(7 - 9a)(1 - a)² + 28a(1 - a)  8  (a + 1)(3a - 1)²  0 Dấu bằng khi a = b = c =

3 1

Bài 16

Cho a, b, c là các số d-ơng a+b+c = abc. Chứng minh:

1 2

1

a +

1 2

1

b +

1 2

1

c 2

 3

Giải: Đặt a = tg , b = tg , c = tg, vói  ,  ,   (0,/2) và  +  +  = 

tg( +  + ) =

ca bc ab

abc c b a tg tg tg tg tg tg

tg tg tg tg tg tg











 













1

1      













cos + cos + cos = cos + cos - cos( + ) = 2cos(

2



  )cos(

2



  )-2cos²

2



  +1

2cos 2



 

- 2cos²

2



 

+1=2sin

2

 - 2sin²

2

 + 1= (2sin 2 1 2 3

2

 -1)²

2

 3

Bài 17

Cho a, b, c là các số d-ơng. Chứng minh:

) (

1 c a

a  +

) (

1 a b

b  +

) (

1 b c

c   ₂

) (

2 27

c b a 

Giải:

) (

1 c a

a  +

) (

1 a b

b  +

) (

1 b c

c  ³ ( )( )( )

3

a c c b b a

abc   



a + b + c 3³ abc, a + b + c =

2

1(a+ b+b+c+c+a) ³ ( )( )( ) 2

3 ab bc ca



(a+b+c)^{2 3} ( )( )( )

2

9 ab bc ca abc

 thay vào (đpcm)

Bài 18

Tìm hàm số f(x) biết rằng với mọi số thực x, y, z ta có:

f(x + y) + f(y + z) + f(z + x)  3f(x + 2y + 3z) Giải: Thay x = y = -z  f(2x)  f(0)

Thay x=z=-y  f(2x)  f(0)  f(x) = const Bài 19

Chứng minh [ n n1 n2] = [ 9n8], với n số tự nhiên Giải Thực ra đây là chứng minh bđt:

( n1 n)( n1 n) = 1  n1 n=

n n1

1 >

> 2 1

1





 n

n = n2 n1 2 n¹ > n2 n 2

1 



 n n

n < 3 n¹= ⁹n⁹

Chứng minh n n¹ n² > ⁹n⁸ với n =0 và n = 1 đúng n  2, n(n+2)-(n+

9 7)² =

81 49 9

4n  > 0 với n  2,  n(n2) > n +

9 7

Từ 2 n1 > n2 n 2( n  n1 n2)>3( n2 n) ( n  n¹ n²)² >

4

9(2n+2+ n⁽n²⁾)>

4

9(2n+2 +2n+2.

9

7) =9n+8

Bài 20

Cho a, b, c là các số d-ơng có tích bằng 1. Chứng minh:

2 1 2 1 2 1 1 1 1

1 1

1

 

 

 



 



 



b b c a c a b c

a

Giải: đặt x = a + b+ c và y = ab + bc + ca (x, y  3)

9 2 4

12 4

2

3 4

2 2







 













y x

y x y xy x x

y x

x  3x²y + xy² + 6xy - 5x² - y² - 24x - 3y - 27  0 (3x²y - 5x² - 12x) + (xy² - y² - 3x - 3y) + (6xy - 9x - 27)  0 , đúng x, y  3 Bài 21

a, b, c là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh:

1 < ab + bc + ca - abc 

27 28

Giải: Giả sử c  b  a , từ 2- a = b + c > a  a < 1

Xét: ab+bc+ca-abc-1 = a(b+c)+bc(1-a)-1=a(2-a)+bc(1-a)-1=(1-a)(bc+a-1) b < 1, c <1  (b-1)(c-1)>0  bc + 1- b-c> 0  bc+a-1>0  Vế trái đpcm bc  4

) (bc ²

= (1-

2

a)²=1- a+

4

a2  bc+a-1

4 a2 

4 ) 1

( a a² 

27 1

 (3a+1)(3a-2)²  0 Bài 22

Cho a, b, c là ba số d-ơng. Chứng minh:

1) a⁶b⁶ + b⁶c⁶ + c⁶a⁶ + 3a⁴b⁴c⁴  2a³b³c³(a³+b³+c³) 2) a⁶+b⁶+c⁶+3a²b²c²  2(a³b³+b³c³+c³a³)

Giải:

1) Chia hai vế cho  a⁴b⁴c⁴ Đặt x =

bc a²

; y=

ac b²

; z =

ab c²

 ¹₂ ¹₂ ¹₂

z y

x   + 3  2(x+y+z) (1 1)²

y

x + 2(x-1)(y-1) + (yz-1)²  0, vì xyz = 1 nên bao giờ cũng tồn tại hai trong ba số x, y, z cùng lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1.

2) T-ơng tự nh- trên chia hai vế cho a²b²c² ; đặt x = ₂

c

ab; y = ₂

a

bc ; z = ₂

b

ac  xyz = 1sau đó

trở lại nh- 1) Bài 23

Cho a, b là các số d-ơng nhỏ hơn 1. Chứng minh

1 2

1

a +

b  ab

 1

2 1

1

2

Giải:

1 2

1

a + )

1 1 1

( 1 2 1

1

2

2 a2 b

b  

 

 

ab b

a  

 

 1

2 1

1 1

1

2 2

(2+a²+b²)(1+ab)  2(1+a²+b²+a²b²)  a²+b² +2 a²b²- (a²+b²)ab-2ab  0 (ab-1)(a-b)²  0 dấu bằng khi a= b

Bài 24

Gọi R, r là bán kính đ-ờng tròn ngoại, nội tiếp tam giác và r₁ là bán kính đ-ờng tròn qua ba tiếp điểm của đ-ờng tròn nội tiếp với các cạnh tam giác.

Chứng minh: 2r₁  r  Rr₁

Bài 25

Chứng minh: (ⁿ n!)²  ^n1(n^1)!n1(n^1)! (với n là các số tự nhiên n  2) Bài 26

a) a b c

c ab b ac a

bc    

b)

ca bc

c ab b a

1 1

1 1 1

1    

c) c a a b



 ²

2

+ a b b c



 ²

2

+ b c c a



 ²

2  0 , hd

a c

a b



 ²

2

= ((b c) (c a)) a

c a

b   





đặt u = a+b, v=b+c, z = c+a Bài 27

Cho a, b, c là các số thực d-ơng có tích bằng 1. Chứng minh:

(a-1+

b

1)(b-1+

c

1)(1+c-

c 1)  1 Giải: Đặt a =

y

x ; b =

z

y ; c =

x

z  abc = xyz (a-1+

b

1)(b-1+

c

1)(c- 1+

c 1) = (

y x -1+

y z )(

z y -1+

z x)(

x z-1+

z x)  1 (x+z-y)(y+x-z)(z+x-y)  xyz trở lại bài toán đơn giản

Bài 28

a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh _{2 2}

2 2

c b

bc a



 + _{2 2}

2 2

c a

ac b



 + _{2 2}

2 2

a b

ba c



 >3 H-ớng dẫn : a² > (b-c)²  a² + 2bc > b² + c²

Bài 29

a, b, c, d là các số d-ơng và

d c

b a



 < 2. Chứng minh _{2 2}

2 2

d c

b a



 < 8

H-ớng dẫn :(c + d)² < 2(c² + d ²) , (a+b)² > a² + b²

) (

2 ^{2 2}

2 2

d c

b a



 <(

d c

b a



 )² < 4

Bài 30

a, b, c > 0 . Chứng minh:

bc a

bc

2 2 +

ca b

ca

2 2 c ab

ab

2 2  1 

bc a

a

2 2

2

 +

ca b

b

2 2

2

 +

ab c

c

2 2

2



Giải: b² + c²  2bc  a² + b² + c²  a² +2bc 

bc a

a

2 2

2

  ₂ ²_{2 2}

c b a

a



 từ đó:

bc a

a

2 2

2

 +

ca b

b

2 2

2

 +

ab c

c

2 2

2

  _{2 2}² ₂

c b a

a



 + _{2 2 2}

2

c b a

b



 + _{2 2 2}

2

c b a

c



 = 1

VP + 2VT = 3  3 = VP + 2VT  VT + 2  VT  1 Bài 31

Cho a, b, c là các số thực d-ơng. Chứng minh:

2 2

2

) ( 2

) 2

(

c b a

c b a







 + _{2 2}

2

) ( 2

) 2

(

a c b

a c b







 + _{2 2}

2

) ( 2

) 2

(

b a c

b a c







  8

Giải: (3- _{2 2}

2

) ( 2

) 2

(

c b a

c b a







 ) + (3- _{2 2}

2

) ( 2

) 2

(

c b a

c b a







 ) + (3- _{2 2}

2

) ( 2

) 2

(

c b a

c b a







 )  1

2 2

2 2 2

) ( 2

) (

4 ) (

2

c b a

ac ab bc c

b a













 + _{2 2}

2 2 2

) ( 2

) (

4 ) (

2

c a b

bc ba ac c

b a













 + _{2 2}

2 2 2

) ( 2

) (

4 ) (

2

b a c

ac cb ab c

b a













 

1 Sử dụng (x+y)²  2(x²+y²) VT 

) (

2 2

) (

4 ) (

6

2 2 2

2 2 2

c b a

ac bc ab bc ab ac ac ab bc c

b a

























  1

Bài 32(đề thi ts Nguyễn Trãi)

Cho a, b, c > 0 , a < bc và 1+a³ = b³ + c³. Chứng minh 1 + a < b + c Giải: (1+a)(1-a+a²) = (b+c)(b²-bc+c²)

1 + a < b + c  1-a+a² > b²- bc+c²

Giả sử 1+a  b+c  b²- bc+c²  1-a+a²  (b+c)² - 3bc (1+a)² - 3a > (1+a)² - 3bc  (b+c)² > (1+a)²  b +c >1 + a

Bài 33

a, b, c là các số thực d-ơng và ab + bc + ca = 1. Chứng minh:

c b a

1 1

1   3(a+b+c)