LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số

TOANMATH.com Trang 1 BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay.

+ Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip.

+ Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích của các vật thể, cũng như vật thể tròn xoay.

+ Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lí các bài toán liên quan.

+ Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp cụ thể.

TOANMATH.com Trang 2 A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng

 

^H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x liên tục trên đoạn

 

^{a b;} , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo công thức:

b

 

a

S 



f x dx Chú ý

Nếu ^{f x}

 

không đổi dấu trên đoạn

 

^{a b; thì}

   

b b

a a

S



f x dx



f x dx

• Nếu phương trình ^{f x}

 

^0 có nghiệm duy nhất x c thuộc khoảng

 

^{a b; thì}

     

b c b

a a c

S 



f x dx



f x dx



f x dx

   

c b

a c

f x dx f x dx









• Nếu phương trình ^{f x}

 

^0 có hai nghiệm c₁c₂ thuộc khoảng

 

^{a b; thì}

 

¹

 

²

   

1 2

c c

b b

a c c c

S 



f x dx



f x dx



f x dx



f x dx Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng

 

^H giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

 

C1 : ^{y f x}

 

^,

 

C2 : ^{y g x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b; và}

hai đường thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo công thức:

   

b

a

S 



f x g x dx

Phần tô màu đen chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x liên tục trên đoạn

 

^{a b; , trục}

hoành và hai đường thẳng x a , x b (với a b ).

Đặc biệt:

• Nếu ^{f x}

 

^{0, x}

 

^{a b; thì}

   

b b

a a

S



f x dx



f x dx

• Nếu ^{f x}

 

^{0,  x}

 

^{a b; thì}

   

b b

a a

S



f x dx 



f x dx

Phần gạch chéo trong hình là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

 

C1 : ^{y f x}

 

^;

 

C2 : ^{y g x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} và hai đường

TOANMATH.com Trang 3 Chú ý

• Nếu phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

vô nghiệm trên khoảng

 

^{a b; thì b}

   

^b

   

a a

S 



f x g x dx



f x g x dx ^.

• Nếu phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

có nghiệm duy nhất x c thuộc

 

^{a b; thì c}

   

^b

   

a c

S 



f x g x dx



f x g x dx

       

c b

a c

f x g x dx f x g x dx





   



  

• Nếu phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

có hai nghiệm c₁c₂ thuộc khoảng

 

^{a b; thì}

 

^c1

   

b

a c

S 



f x dx



f x g x dx

       

2

1 2

c b

c c

f x g x dx f x g x dx





   



  

thẳng x a , x b (với a b ).

Đặc biệt:

° Nếu ^{f x}

 

^{g x}

 

^{,  x}

 

^{a b;} (đồ thị

 

C1 nằm phía trên đồ thị

 

C2 ) thì ta

có: ^b

   

a

S



f x g x dx

   

b

a

f x g x dx





  

• Nếu ^{f x}

 

^{g x}

 

^{,  x}

 

^{a b;} (đồ thị

 

C1 nằm phía dưới đồ thị

 

C2 ) thì ta

có: ^b

   

a

S



f x g x dx

   

b

a

f x g x dx

 



  

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com Trang 4 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị bởi một đường cong Phương pháp giải

Xét hình phẳng

 

^{H :}

   

 

:

: 0

C y f x Ox y

x a x b a b



 

 

  



Khi đó diện tích hình phẳng

 

^{H là:}

b

 

a

S 



f x dx

Trong loại 1 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi tìm bằng cách giải phương trình ^{f x}

 

^0.

Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

^{C : 3 1}

1 y x

x

  

 và hai trục tọa độ là S.

Tính S.

Hướng dẫn giải

Hoành độ giao điểm của

 

^C và trục hoành là nghiệm của phương trình:

3 1 1

1 0 3

x x

x

     



Do đó diện tích hình phẳng là

0 0

1 1

3 3

3 1 4

1 3 1

S x dx dx

x x

 

   





 



   

 

0

1 3

3 4ln 1 4ln4 1

x x 3



    

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng

 

^H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x liên tục trên đoạn

 

^{a b;} , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo công thức:

b

 

a

S 



f x dx

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng

 

^H giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

 

C1 : ^{y f x}

 

^,

 

C2 : ^{y g x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b; và}

hai đường thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo công thức: ^b

   

a

S



f x g x dx

TOANMATH.com Trang 5 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^y



^x2



^21, trục hoành và hai đường thẳng 1

x , x2 bằng A. 2

3 B. 3

2 C. 1

3 D. 7

3 Hướng dẫn giải

Ta có ²

 

^{2 2 2}

1 1

2 1 4 3

S 



x  dx



x  x dx

Vì phương trình x²4x3 không có nghiệm trên

 

^{1;2 nên 2}



²



1

4 3 2 S 



x  x dx 3 Chọn A.

Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả.

Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 3, x2 (như hình vẽ bên). Đặt ¹

 

3

a f x dx







^{, 2}

 

1

b



f x dx^. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. S a b  . B. S a b  . C. S  a b. D. S b a  . Hướng dẫn giải

Ta có ¹

 

²

 

¹

 

²

 

3 1 3 1

S f x dx f x dx f x dx f x dx a b

 









 







  

Chọn D.

Ví dụ 3: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới han bởi các đường ln₂x

y x , y0, x1, x e . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ₂

1 e lnx

S dx

 x





^{. B. 2}

1 e lnx

S dx





x ^{. C. 2 2}

1 e lnx

S dx

x

 

 



  ^{. D. 2 2}

1 e lnx

S dx

 ^ x ^





  ^. Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới han bởi các đường ln₂x

y x , y0, x1, x e là:

2 2

1 1

ln ln

e x e x

S dx dx

x x









^{vì ln}_x^{2x 0,  x}

 

^1;e

Chọn B.

TOANMATH.com Trang 6 Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ylnx, y1 và đường thẳng x1 bằng

A. e². B. e2. C. 2e. D. e2.

Hướng dẫn giải Ta có lnx  1 x e.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ylnx, y1 và đường thẳng x1 là:

   

1 1

1 1 1

ln 1 ln 1 ln 1 1 2

e e e e e

S



x dx



x dx  x x 



dx  x  e Chọn D.

Ví dụ 5*: Gọi

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e ^x, trục hoành và các đường thẳng x 1, x1. Với ^{k }



^1;1



^{, đường}

thẳng x k chia hình phẳng

 

^H thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (như hình vẽ bên). Giá trị k để S₁S₂ là

A. 2ln 2 1 . B. 1

2 ln e 1

e

  

 

  .

C. 1

ln e ln 2

e

  

 

  . D. ln 2 . Hướng dẫn giải

Vì e^x 0 với mọi x nên ta có

1 1

1 1

k k

x x k

S e dx e e e^









   ^{và 2 1 x x 1 k}

k k

S 



e dx e  e e

1

1 2

1 1 1

2 2

k k k k

S S e e e e e e e e

e e

  

            

1 1 1

ln ln ln 2

k 2 e e

e e

   

        Chọn C.

Chú ý: a^x   b x log_ab

Ví dụ 6*: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị trên



^2;6



^như

hình vẽ bên. Biết các miền A, B, x2 có diện tích lần lượt là 32; 2; 3.

Tích phân ²

 

2

2 2 1

f x dx



 

 

 



^bằng

A. 45

2 . B. 41. C. 37. D. 41

2 . Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 7

Ta có ²

 

²

 

2 2

2 2 1 2 2 4

f x dx f x dx

 

    

 

 

 

Xét 1 ²

 

2

2 2

I f x dx







 ^.

Đặt 2 2 2

2 t x dt dxdxdt Đổi cận: x    2 t 2; x  2 t 6. Suy ra 1 ⁶

 

2

1

I 2 f t dt







^.

Gọi x₁; x₂ là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

với trực hoành



  2 x1 x26



. Ta có

       

 

1 2

1 2

6 1

2

1 1

2 2

1 33

32 2 3

2 2

x x

A B C

x x

I f t df f t df f t df S S S



 

      

   

  

Vậy ²

 

1

2

33 41

2 2 1 4 4

2 2

f x dx I



      

 

 



Chọn D.

Ví dụ 7*: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

^như

hình bên.

Đặt ^{g x}

 

^{2f x}

  

^{ x1}



². Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^g

 

^{3 g}

 

^{ 3 g}

 

^{1 .}

B. ^g

 

^{ 3 g}

 

^{3  g}

 

^{1 .}

C. ^g

 

^{1 g}

 

^{ 3 g}

 

^{3 .}

D. ^g

 

^{1 g}

 

^{3  g}

 

^{3 .}

Hướng dẫn giải

Ta có ^{g x}

 

^{2f x}

  

^{2 x1}



 

⁰

 

¹

g x   f x  x . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ^{f x}

 

^và

đường thẳng d: y x 1.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

 

⁰

 

^{1 1}

3

g x f x x x

x

 

          Bảng biến thiên:

TOANMATH.com Trang 8

x ^ –3 1 3 

 

g x

– 0 + 0 – 0 +

 

g x



 

³

g 

 

¹

g

^g

 

³



Suy ra ^g

 

^{ 3 g}

 

^{1 và g}

 

^{3 g}

 

¹

Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^{f x}

 

, đường thẳng d:

1

y x trên các đoạn



^3;1



^và

 

^{1;3 ta có:}

+) Trên đoạn



^3;1



^{ta có f x}

 

^{ x 1 nên} 1 ¹

 

¹

   

3 3

1 1

S g x dx 2 f x x dx

 

 









    ^. +) Trên đoạn

 

^{1;3 ta có f x}

 

^{ x 1 nên} 2 ³

 

³

   

1 1

1 1

S 



g x dx  2



 x f x dx  ^. Dựa vào đồ thị ta thấy S₁S₂ nên ta có:

 

¹

 

³

           

3 1

1 3 3 1 3 3

g x g x g g g g g g



           .

Vậy ^g

 

^{1  g}

 

^{3 g}

 

^{3 .}

Chọn D.

Lưu ý:

- Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ^{f x}

 

và đường thẳng d: y x 1 chính là nghiệm của phương trình ^{g x}

 

^0.

- Lập bảng biến thịên ta thấy ^g

 

^{1 lớn hơn g}

 

^3 . Ta chỉ cần so sánh ^g

 

^{3 và g}

 

^{3 .}

- So sánh diện tích dựa vào đồ thị.

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Phương pháp giải

Xét hình phẳng

 

^{H :}

   

   

 

1 2

: :

C y f x C y g x x a

x b a b





 

 

  



Khi đó diện tích hình phẳng

 

^{H là:}

   

b

a

S 



f x g x dx

Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ sau.

TOANMATH.com Trang 9 Trong loại 2 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi

tìm bằng cách giải phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

^.

Lưu ý: Kĩ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, quan sát hình vẽ để xác định diện tích.

Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy

2 3 2 2 1

x x x

     ^{  x}



^1;2



Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong

hình vẽ là ²



²

 

²



1

3 2 1

S x x x dx



 





      

 

2 2 1

2x 2x 4 dx







  

2

3 2

1

2 4

3 x x x



 

    3

2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y x ³3x, y x. Tính S.

A. S4. B. S8. C. S2. D. S0. Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

3 3 2

3 4 0

0

x x x x x x

x

  

       

Vậy ⁰



³



²



³



2 0

4 4 4 4 8

S x x dx x x dx







 



    ^.

Chọn B.

Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my x ², mx y ² (với m0). Tìm giá trị của m để S3.

A. m1. B. m2. C. m3. D. m4.

TOANMATH.com Trang 10 Hướng dẫn giải

Vì m0 nên từ my x ² ta suy x² 0 y m  ; Từ mx y ² nên x0 và y mx.

Xét phương trình

2

4 3 x 0

x mx x m x

m x m

 

      Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

2 2

0 0

m m

x x

S mx dx mx dx

m m

 

     

 

 

3

2 2

0

2 1 1

3 . 3 3 3

m x m

x x m m

m

 

     

Yêu cầu bài toán 1 ^{2 2}

3 3 9 3

S   3m  m  m (vì m0).

Chọn C.

Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm y x ² và 2 1 y x

 x

 là S a b  ln 2 với a, b là những số hữu tỷ. Giá trị của a b là

A. 1

3. B. 2. C. 2

3. D. 1.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của

 

C1 : y x ² và

 

C2 : 2 1 y x

 x

 là

 

2 3 2

2 0

1 2 0 1

1 2

x x

x x x x x x

x x

 

         

 

TOANMATH.com Trang 11 Diện tích hình phẳng cần tìm là:

0 0 3 0

2 2

1

1 1

2 2 2 2 2ln 1 5 2ln 2

1 1 3 3

x x

S x dx x dx x x

x x _

 

 

   





    



            Suy ra 5

a3 và b 2

Vậy 1

a b  3 Chọn A.

Ví dụ 4*: Cho

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x², cung tròn có phương trình y 4x² (với 0 x 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của

 

^{H là}

A. 4 3 12

 

. B. 4 3

6

  . C. 4 2 3 3

6

  

. D. 5 3 2 3



 . Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y 3x² và cung tròn y 4x² (với 0 x 2) lả

2 2 2 4

4x  3x  4 x 3x  x 1.

TOANMATH.com Trang 12 Diện tích của

 

^{H là}

1 2 1

2 2 3

0

0 1

3 3

3 4

3 3

S



x dx



x dx x  I I ^{với 2 2}

1

4

I



x dx^.

Đặt x2sint, ; 2cos .

t   2 2dx t dt Đổi cận 1

x_{  }t 6 _,

2 2

x_{  }t  _.

   

²

2 2 2

2 2

6

6 6 6

4 4sin .2cos . 4cos . 2 1 cos 2 . 2 sin 2

I t t dt t dt t dt x t



  

   





 







  

2 3

3 2

  

Vậy 3 3 2 3 4 3

3 3 3 2 6

S   I       Chọn B.

Ví dụ 5*: Hình phẳng

 

^H được giới hạn bởi đồ thị

 

^C của hàm đa thức bậc ba và parabol

 

^P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

A. 37

12. B. 7

12. C. 11

12. D. 5

12. Hướng dẫn giải

Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là y2 và 0

y nên ta xét hai hàm số là y ax ³bx² cx 2, y mx ²nx (với a, m0).

Suy ra

 

^{C : y f x}

 

^{ax3bx2 cx 2 và}

 

^{P : y g x}

 

^mx2nx.

Phương trình hoành độ giao điểm của

 

^{C và}

 

^{P là:}

   

3 2 2 2 3 2 2 2 0

ax bx cx mx nx ax bx cx  mx nx  . Đặt ^{P x}

 

^



^{ax3bx2cx2}

 

^{ mx2nx}



^.

Theo giả thiết,

 

^{C và}

 

^P cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x 1, x1, x2 nên

  

¹



¹



²



P x a x x x . Ta có ^P

 

^{0 2a.}

Mặt khác, ta có ^P

 

^{0  f}

   

^{0 g 0   2 a 1.}

TOANMATH.com Trang 13 Vậy diện tích phần tô đậm là ²

   

1

1 1 2 37

S x x x dx 12







   

Chọn A.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e ^x, y0, x0, x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

2 2 0

S 



e dxx ^{. B. 2} 0

S



e dxx ^{. C. 2} 0

S



e dxx ^{. D. 2 2} 0

S 



e dxx ^.

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x ³x và đồ thị hàm số y x x  ² là A. 37

12. B. 9

I 4. C. 81

12. D. 13.

Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng

 

^H giới hạn bởi các đường

 

y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x2 (như hình vẽ bên).

Đặt ⁰

 

1

a f x dx







^{, 2}

 

0

b



f x dx, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. S b a  . B. S b a  . C. S  b a. D. S  b a.

Câu 4: Cho hình thang cong

 

^H giới hạn bởi các đường y e ^x, y0, x0, xln 4. Đường thẳng x k



^{0 k ln 4}



^chia

 

^H thành hai phần có diện tích là S₁ và S₂ như hình vẽ bên dưới. Tìm k để

1 2 2

S  S .

TOANMATH.com Trang 14 A. 2

3ln 4

k  . B. kln 2. C. 8

ln3

k  . D. kln 3. Câu 5: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị trên đoạn



^1;4



^như

hình vẽ bên. Tính tích phân ⁴

 

1

I f x dx







^.

A. I3. B. 11 I 2 .

C. I5. D. 5

I 2.

Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số ylnx, y1, y 1 x.

A. 3

S  e 2. B. 1

S  e 2. C. 1

S  e 2. D. 3

S  e 2 Câu 7: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm

 

y f x như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án dưới đây là đúng?

A. ^f

 

^{2  f}

 

^{ 1 f}

 

^{0 .}

B. ^f

 

^{0  f}

 

^{ 1 f}

 

^{2 .}

C. ^f

 

^{0  f}

 

^{2  f}

 

^{1 .}

D. ^f

 

^{ 1 f}

 

^{0  f}

 

^{2 .}

Câu 8: Cho hàm ^{y F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{y f x}

 

^,

biết đồ thị hàm số ^{y f x}

 

trên đọan



^{2; 2}



như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích _{1 2} 22 S S 15,

3

76 S 15

TOANMATH.com Trang 15 Giá trị của biểu thức ^F

 

^{2 F}

 

^{1 F}

 

^{ 1 F}

 

^{2 bằng}

A. 36

I 5 . B. 32

I15. C. 18

I 5 D. 32

I  15. Câu 9: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

^như

hình vẽ. Đặt ^{g x}

 

^{2f x}

 

^x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^g

 

^{3 g}

 

^{ 3 g}

 

^{1 .}

B. ^g

 

^{1 g}

 

^{3 g}

 

^{3 .}

C. ^g

 

^{1 g}

 

^{ 3 g}

 

^{3 .}

D. ^g

 

^{ 3 g}

 

^{3 g}

 

^{1 .}

Câu 10: Cho hai hàm số

 

^{3 2 1}

f x ax bx cx2 và

 

^{2 1}

g x dx  ex (với a, b, c, d, e). Biết rằng đồ thị của hàm số

 

y f x và ^{y g x}

 

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –3;

–1; 1 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. 9

2 . B. 8.

C. 4. D. 5.

Câu 11: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

TOANMATH.com Trang 16 A. ²



²



1

2x 2x 4 dx



 



^.

B. ²

 

1

2x 2 dx





  ^.

C. ²

 

1

2x 2 dx





 ^.

D. ²



²



1

2x 2x 4 dx



  



^.

Câu 12: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2 cx 2 và g x}

 

^{dx2 ex 2,}

với a, b, c, d, e. Biết rằng đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

^{và y g x}

 

^cắt

nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; –1; 1 (tham khảo hình vẽ bên).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 37

6 . B. 13

2 .

C. 9

2 . D. 37

12.

Câu 13: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2 cx 1 và}

 

^{2 1}

g x dx ex2với a, b, c, d, e. Biết rằng đồ thị hàm số

 

y f x và ^{y g x}

 

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –3; –1; 2 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng

A. 125

12 . B. 253

12 . C. 253

48 . D. 125

48 .

Câu 14: Cho hai hàm số

 

^{3 2 3}

f x ax bx cx4 và

 

^{2 3}

g x dx ex4với a, b, c, d, e. Biết rằng đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

^{và y g x}

 

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. 125

48 . B. 253

24 .

TOANMATH.com Trang 17 C. 125

24 . D. 253

48 .

Câu 15: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường 4x2 , yx và y2 có diện tích là S a b  với a, b (phần bôi đen như hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a0 và b0. B. a1 và b1. C. a2b3. D. a²4b² 5.

Câu 16: Gọi

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

^{P :}

8 2

y x x và trục hoành. Các đường thẳng y a , y b , y c với 0   a b c 16 chia

 

^H thành bốn phần có diện tích bằng nhau.

Giá trị của biểu thức



^16a

 

^{3 16b}

 

^{3 16c}



^{3 bằng:}

A. 2048. B. 3584.

C. 2816. D. 3480.

Câu 17: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{mx4nx3 px2qx r trong đó}

m, n, p, q, r. Biết rằng hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^r có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 3. B. 4.

C. 5. D. 6.

Câu 18: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{mx4nx3px2qx r trong}

đó m, n, p, q, r. Biết rằng hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình

 

^{16 8 4 2}

f x  m n p q r có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 3. B. 4.

C. 5. D. 6.

Câu 19: Cho đồ thị hàm số y x ³ trên đoạn

 

^0;1 và một số

TOANMATH.com Trang 18 thực ^t

 

^{0;1 . Gọi} S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ³, y t ³, x0 và S₂ là diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ³, y t ³, x1 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của S₁S₂. Tính 2M16m.

A. 2M 16m3. B. 2M 16m5. C. 2M 16m7. D. 2M16m10. Câu 20: Cho Parabol

 

^{P : 1 2}

y 2x và đường tròn

 

^C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy nhất với

 

^P . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^{P ,}

 

^{C và trục}

hoành (phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng

A. 27 3 8 24



 . B. 9 3 9 4

12



  .

C. 29 3 9 24



 . D. 3 3 2

3



  .

Câu 21: Hình phẳng

 

^H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn ^{y f x}

 

^{và y g x}

 

. Biết rằng đồ thị của hai hàm số này tiếp xúc nhau tại x 3 và cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1; 2 như hình vẽ bên. Diện tích của hình phẳng

 

^H (phần gạch sọc trên hình vẽ) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 3,11. B. 2,45.

C. 3,21. D. 2,95.

TOANMATH.com Trang 19 Câu 22: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng

 

^{A ,}

 

^B lần lượt bằng 3 và 7.

Tích phân ²

 

0

cos .x f 5sinx 1 dx





 ^bằng

A. 4

5. B. 2. C. 4

5. D. –2.

Câu 23: Cho đường cong

 

^{C : y8x27x3} và đường thẳng y m cắt

 

^C tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1

0 m 2. B. 1

2 m 1.

C. 3

1 m 2. D. 3

2 m 2.

Câu 24: Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số log_a

y x; ylog_bx như hình vẽ bên. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x k



^k1



^{. Gọi} S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ylog_ax, đường thẳng d và trục hoành; S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

log_b

y x, đường thẳng d và trục hoành. Biết S₁4S₂. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. b a ⁴. B. a b ⁴. C. b a ⁴ln 2. D. a b ⁴ln 2.

Câu 25: Cho đồ thị

 

^C của hàm số y x ³3x²1. Gọi

 

^d là tiếp tuyến của

 

^C tại điểm A có hoành độ x_Aa. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^{d và}

 

^{C bằng 27}

4 , các giá trị của a thỏa mãn đẳng thức nào?

A. 2a²  a 1 0. B. a²2a0. C. a²  a 2 0. D. a²2a 3 0. Câu 26: Số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm

2 2

6

2 3

1

x ax a

y a

 

  ^và

2

1 6

a ax

y a

 

 ^{có diện} tích lớn nhất là

A. ₃1

2 B. 1. C. 2. D. ³3.

TOANMATH.com Trang 20 Câu 27: Cho hàm số y x ⁴6x²m có đồ thị

 

Cm . Giả sử

 

Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi

 

Cm và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó m a

 b (với a, b là các số nguyên, b0, a

b là phân số tối giản).

Giá trị của biểu thức S  a b là:

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.

Câu 28: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx3cx2dx e với}

0

a và ^{g x}

 

^{ px2qx3} có đồ thị lần lượt là

 

C1 và

 

C2 . Biết rằng

 

C1 đi qua gốc tọa độ và cắt

 

C2 tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; –1; 1 và m. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^{g x}

 

tại điểm có hoành độ x 2 có hệ số góc bằng 15

 2 . Gọi

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ^{y f x}

 

^{và y g x}

 

(phần được tô đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của hình

 

^{H bằng}

A. 1553

120 ^{. B.}

1553

240 ^{. C.}

1553

60 ^{. D.}

1553 30 ^. Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Phương pháp giải

Các kiến thức được sử dụng khi giải toán:

• Đường tròn

 

^{C tâm I a b}

 

^; và bán kính R có phương trình



^{x a}

 

^{2 y b}



^{2 R2 hay}

 

²

y b  R2 x a . Diện tích hình tròn là SR².

• Elip

 

^{E có tâm O}

 

^0;0 là gốc tọa độ, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b (với a b 0), có các tiêu cự F1



c;0



và F c2

 

; 0 , với c² a²b² có phương trình chính tắc là

2 2

2 2 1

x y

a b  hay

2 2

y b a x

 a  .

Diện tích của elip là S . .a b.

• Parabol

 

^{P : y ax 2bx c .}

• Khi đó đỉnh của

 

^{P là ;}

2 4

I b

a a

  

 

  với  b²4ac và điểm M x y



0; 0

  

 P  y0 ax0²bx0c. Ví dụ mẫu

TOANMATH.com Trang 21 Ví dụ 1: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ bên dưới).

Biết kinh phí để trồng hoa là 100000 đồng/1 m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 7862000 đồng. B. 7653000 đồng. C. 7128000 đồng. D. 7826000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên dưới

Từ giả thiết ta có: a8 và b5.

Vậy phương trình của elip là

 

^{E : 2 2 1}

64 25

x  y  hay 5 64 ²

y 8 x .

Khi đó, diện tích dải đất trồng hoa chính là diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi

 

^{E và các}

đường thẳng x 4 và x4. Ta có:

4 4

2 2

0 0

5 5 3

4 64 64 80

8 2 6 4

S _{ }x dx_{ }x dx_ ^ _ ^

 

 

 

 

Khi đó số tiền cần để trồng hoa trên dải đất là 100000. 7652891,82 7653000

T  S  (đồng).

Chọn B.

Chú ý: Việc tìm kết quả tích phân chúng ta nên sử dụng máy tính cho nhanh chóng.

Ví dụ 2: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIG ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC6m, chiều dài CD12m(hình vẽ bên dưới).

8m

8m A1

A2

B2

B1

O x

y

4

TOANMATH.com Trang 22 Cho biết MNEG là hình chữ nhật có MN4m; cung EIF có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m². Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20 400 000 đồng. B. 20 600 000 đồng. C. 20 800 000 đồng. D. 21 200 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN (hình vẽ bên dưới).

Khi đó parabol có phương trình là 1 ² 6 6

y  x  .

Diện tích của khung tranh là ^{2 2}

 

²

2

1 6 208

6 9

S x dx m



 





    ^. Suy ra số tiền cần để làm bức tranh là 208

900.000 20800000

9   (đồng).

Chọn C.

Lưu ý: Parabol có dạng y ax ²bx c . Giải hệ phương trình

   

   

0;6 2 0

6;0

I P

b a

C P

 

 



 



Ví dụ 3: Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu (phần được gạch chéo trên hình vẽ bên). Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol y2x²1 và nửa trên của đường tròn có tâm là

TOANMATH.com Trang 23 gốc tọa độ và bán kính bằng 2 m. Số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là bao nhiêu biết rằng để trồng mỗi m² hoa cần ít nhất là 250000 đồng?

A. 3 2

250000 6

   (đồng).

B. 3 10

250000 6

   (đồng).

C. 3 10

250000 3

   (đồng).

D. 3 2

250000 3

   (đồng).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính R 2 là x²y²2 hay y  2x² Tọa độ giao điểm của parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình

2 2

1; 1

2 1; 1

2 1

x y

y x

x y

y x

      

     



Diện tích vườn hoa là ¹



^{2 2}



1

3 10

2 2 1

S x x dx 6







     ^.

Số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là 3 10

250000 6

   (đồng).

Chọn B.

Lưu ý: Nửa đường tròn phía trên trục hoành có phương trình là y 2x²

Ví dụ 4: Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10m, chiều dài trục nhỏ là 4 m. Ban tổ chức chia mảnh vườn elip thành hai phần bởi đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ.

Trên hình tròn, người ta trồng hoa với giá 100000 đồng/m², phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 60000 đồng/m² (biết tiền trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả tiền công và tiền mua cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 2387000 đồng. B. 2638000 đồng. C. 2639000 đồng. D. 2388000 đồng.

Hướng dẫn giải

10 m

4 m

TOANMATH.com Trang 24 Elip

 

^E có độ dài trục lớn bằng 10 m và độ dài trục nhỏ là 4m nên ta có a5, b2. Diện tích của

 

^{E là} S1ab10

 

m² .

Đường tròn

 

^C có đường kính bằng độ dài trục nhỏ của elip nên có bán kính là ^R2

 

^{m .}

Diện tích của hình tròn

 

^{C là} S2 R²4

 

m² .

Tổng số tiền T mà ban tổ chức cần để trồng hoa trên hình tròn và trồng cỏ trên phần còn lại của mảnh vườn là T 100.000S260.000



S1S2



2388000(đồng).

Chọn D.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 đồng mỗi m² trồng cây con và 4000 đồng mỗi m² trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 31904000 đồng. B. 23991000 đồng.

C. 10566000 đồng. D. 17635000 đồng.

Câu 2: Một cái cổng hình parabol như hình vẽ bên dưới.

Biết chiều cao GH4m, chiều rộng AB4m, 0,9

AC BD  m. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEG tô đậm giá là 1200 000 đồng/m², còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m². Tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 11445000 đồng. B. 7368000 đồng.

C. 4077000 đồng. D. 11370000 đồng.

Câu 3: Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường kính d20m như hình vẽ bên. Người ta muốn trồng rau trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm

B2

B1

A1 A₂

2 5

–5 –2 O

–2 2 y

x

B 40

O y

x A 50

Cây con

–10 10

–5 5

TOANMATH.com Trang 25 tâm đối xứng. Diện tích phần đất trống còn lại bao nhiêu m²?

A. 100 3 50 3

 _

. B. 100 3 10 3

 _ . C. 400

3 50 3

 _

. D. 200 3 50 3

 _

.

Câu 4: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh S như hình vẽ bên. Biết ^{OS AB4}

 

^m , với O là trung điểm của AB. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc giá 120 000 đồng/

m2; phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2 m được tô đậm giá 140000 đồng/m²; phần còn lại giá 160000 đồng/m². Tổng chi phí để sơn cả ba phần gần nhất với số nào sau đây?

A. 1444000 đồng. B. 1488000 đồng.

C. 1450000 đồng. D. 1493000 đồng.

Câu 5: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A₁, A₂, B₁, B₂ như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200 000 đồng/m² và phần còn lại 100 000 đồng/m². Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A A_{1 2} 8m,

1 2 6

B B  m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có 3

MQ m.

A. 7322000 đồng. B. 7213000 đồng.

C. 5526000 đồng. D. 5782000 đồng.

Câu 6: Trong công viên Toán học, có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong Toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là ^{16y2 x2}



^25x2



như hình vẽ bên dưới. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

A. 125 ²

S 6 m . B. 125 ² S 4 m . C. 250 ²

S 3 m . D. 125 ² S 3 m .

Câu 7: Cho hàm số ^{f x}

 

. Đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

trên



^{3; 2}



như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần

B2

A2

A1

B1

N

Q P M

TOANMATH.com Trang 26 của parabol y ax ²bx c . Biết ^f

 

^{ 3 0}, giá trị của ^f

 

^{ 1 f}

 

^{1 bằng}

A. 23

6 ^{. B.}

31 6 ^. C. 35

3 ^{. D.}

9 2^.

Câu 8: Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có phương trình x² y² 25. Các đường tròn nhỏ có tâm 7

2;0 I 

 

 , 7

0;2 J 

 

 , 7 2 ;0 K 

 

 , 0; 7

G 2 

 

 và đều có bán kính bằng 2. Biết chi phí sơn là 900 000 đồng/m², đơn vị trên hệ trục là dm. Chi phí phải trả để sơn hoàn thiện chi tiết máy gần nhất với số tiền nào sau đây?

A. 650000 (đồng). B. 688500 (đồng).

C. 785200 (đồng). D. 588700 (đồng).

Câu 9: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của parabol nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một đoạn 4 mét (phần tô màu). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dùng để trồng hoa cúc. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 200 000 đồng/m² và

150 000 đồng/m². Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào sau đây (làm tròn đến nghìn đồng)?

A. 2.132.000 đồng. B. 2.266.000 đồng. C. 2.257.000 đồng. D. 2.123.000 đồng.

Câu 10: Bác An có mảnh ruộng hình Elip độ dài trục lớn bằng 100m, độ dài trục bé bằng 80m. Với chủ trương xây dựng kinh tế nông thôn mới, bác định chuyển đổi canh tác bằng cách đào một cái ao hình elip ở chính giữa vườn có trục lớn bằng 90m, trục bé bằng 70m để nuôi tôm, cá. Phần đất còn lại bác làm bờ trồng cây xung quanh. Biết chi phí đào 1 m² ao hết 250000 đồng và chi phí làm bờ trồng cây là 100000 đồng/1m². Hỏi số tiền bác phải chi gần với số nào nhất sau đây?

A. 1370519000 đồng. B. 1400500000 đồng. C. 1500000000 đồng. D. 1398212000 đồng.

Câu 11: Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông (phần không kẻ) người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200 000 đồng /m², biết MN 4m, MQ6m. Hỏ