DẠNG 5: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG.
I. LÝ THUYẾT:
1. Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông:
- Hai cạnh góc vuông (hay là trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có AB = A’B’; AC = A’C’
Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’
- Cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh đó (hay là trường hợp góc - cạnh - góc).
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có AC = A’C’; C C'=
Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’
- Cạnh huyền và góc nhọn.
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (góc - cạnh - góc)
∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có BC = B’C’; C C'= Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’
2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông:
Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF (A= =D 90 )o có BC = EF, AC = DF thì ABC DEF
= .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 5.1: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.
1. Phương pháp giải:
- Xét hai tam giác vuông.
- Kiểm tra điều kiện bằng nhau của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc, cạnh huyền - góc nhọn hoặc cạnh huyền - cạnh góc vuông.
- Kết luận hai tam giác bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho ABC, BE và CD là đường cao của ABC. Chứng minh rằng:
BCD CBE
= , biết BD = EC.
Giải:
GT ABC,CD⊥AB, CE⊥AB (DAB, EAC)
BD = EC KL BCD= CBE
Xét BCDvuông tại Dvà CBE vuông tại Ecó:
BD = CE (gt) Cạnh BC chung.
Nên BCD= CBE (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (đpcm)
Dạng 5.2: Vận dụng hai tam giác bằng nhau để chứng minh đoạn thẳng, góc bằng nhau.
1. Phương pháp giải:
- Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) và hai đoạn (góc) cần chứng minh bằng nhau.
A
B C
D E
- Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh để kết luận hai tam giác bằng nhau.
- Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Các tam giác ABC cân tại A (A90o). Vẽ BH⊥AC (HAC ), CK⊥AB (KAB).
a) Chứng minh rằng AH = AK.
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tia AI là tia phân giác của BAC .
Giải:
GT ABC (A90 ), ABo =AC
BH⊥AC, CK⊥AB (HAC, KAB )
BH CK=I
KL a) Chứng minh rằng AH = AK.
b) Tia AI là tia phân giác của BAC .
a) Xét ABH vuông tại H và ACK vuông tại K có:
AB = AC (ABC cân tại A) A chung.
Nên ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền - góc nhọn)
AH = AK (hai cạnh tương ứng)
b) Xét AIH vuông tại Hvà AIK vuông tại Kcó:
AK = AH (cmt) AI cạnh chung
Nên ∆AIK = ∆AIH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) IAK IAH
= (hai góc tương ứng) Vậy AI là tia phân giác của BAC .
Dạng 5.3: Bổ sung thêm điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.
1. Phương pháp giải:
- Xét xem hai tam giác vuông đã có các yếu tố nào bằng nhau.
- Xét xem cần bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác bằng nhau (dựa vào các trường hợp bằng nhau của hai tam giác).
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: Các tam giác ABC và MNP có A=M=90 , Bo =N. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ∆ABC = ∆MNP.
Giải:
* Trường hợp 1: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề.
Xét hai tam giác vuông ABC và MNP có:
+) B=N (giả thiết)
Bổ sung AB = MN thì ΔABC = ΔMNP (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
* Trường hợp 2: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp hai cạnh huyền – góc nhọn.
Xét hai tam giác vuông ABC và MNP có:
+) B=N (giả thiết)
Bổ sung BC = NP thì ΔABC = ΔMNP (cạnh huyền - góc nhọn).
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng điền “Đ”, khẳng định nào là sai điền “S” vào ô trống dưới đây:
Các tam giác ABC và DEF có A= =D 90o.
a) Nếu BC = EF, AC = DE thì hai tam giác này bằng nhau.
b) Nếu BC = EF, B=F thì hai tam giác này bằng nhau.
c) Nếu AC = DE và B=E thì hai tam giác này bằng nhau.
Bài 2: Có mấy cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình vẽ sau đây:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Bài 3: Nêu tên cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn trong hình vẽ sau:
J F
G H I
L
Bài 4: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’, biết AB = A’B’. Để ABC= A'B'C'(cạnh góc vuông – góc nhọn kề) thì cần thêm điều kiện gì?
Bài 5: Cho hình vẽ:
Biết ABD= DCA. Chứng minh ABE= DCF.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Đường phân giác AD
(
DBC)
. Từ D kẻ DE⊥AB,DF⊥AC
(
EAB, FAC)
. Chứng minh rằng:a) ADE= ADF.
b) Để BE = CF thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì ?
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC). Chứng minh rằng:
a) HB = HC
b) AH là tia phân giác của góc BAC.
A B
C D
Bài 8: Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Kẻ đường vuông góc với Ox tại A, đường vuông góc với Oy tại B, chúng cắt nhau tại C.
a) Chứng minh: OC là tia phân giác của góc xOy.
b) Gọi I là điểm bất kì thuộc OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD CE BC
= 2 . Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với BC cắt AB tại M, đường thẳng kẻ từ E vuông góc với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN b) EM = DN
c) Tam giác ADE cân.
Bài 10: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (AOx), KB vuông góc với Oy ( B
Oy)a) Chứng minh: KA = KB.
b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
c) Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E.
Chứng minh: KD = KE.
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
a), b) Đúng c) Sai.
Bài 2: Đáp án C.
Bài 3: ACB= CAD, DBC = BDA Bài 4: B=B'.
Bài 5: ABE= DCF (cạnh huyền - góc nhọn).
Bài 6:
a) ADE= ADF (cạnh huyền – góc nhọn) b) Tam giác ABC cân tại A.
Bài 7:
a)
ABH ACH
= (cạnh huyền - góc nhọn) HB HC
=
b) Từ câu a ta có: BAH=CAH Từ đó suy ra đpcm.
Bài 8:
A
B H C
a) OAC= OBC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
AOC BOC
=
nên OC là tia phân giác góc xOy.
b) OMI = ONI (cạnh huyền - góc nhọn) IM IN
=
Bài 9:
a) MDB= NEC(cạnh góc vuông - góc nhọn) suy ra MD = NE b) MDE= NED(hai cạnh góc vuông) suy ra ME = ND
c) ABD= ACE (c.g.c) suy ra AD = AE. Vậy ADE cân tại A.
Bài 10:
A
B D E C
M N
a) OKA= OKB (cạnh huyền – góc nhọn) nên KA = KB.
b) Từ câu a suy ra OA = OB nên OAB cân tại O.
c) KAD= KBE(cạnh góc vuông - góc nhọn kề) vì AKD=BKE và KA = KB.
Suy ra KD = KE.