Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
A. Lý thuyết
1. Căn bậc hai của một tích
Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có a.b = a . b. Ví dụ 1. Tính:
a) 9.36; b) 64 . 121. Lời giải:
a) 9.36 = 9 . 36 =3.6 18= .
b) 64 . 121= 64 . 121=8 . 11 88= .
Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
Ví dụ 2. Ta có thể mở rộng đối với nhiều số không âm, chẳng hạn:
81 . 100. 144 = 81. 100 . 144. 2. Quy tắc khai phương một tích
Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.
a.b = a . b (với a, b ≥ 0).
Ví dụ 3. Áp dụng khai phương một tích, hãy tính:
a) 169 . 225;
b) 0, 25. 1, 44 . 3, 24. Lời giải:
a) 169 . 225= 169 . 225=13.15 195= ; b) 0, 25. 1, 44 . 3, 24 = 0, 25. 1, 44 . 3, 24
= 0,5 . 1,2 . 1,8 = 1,08.
3. Quy tắc nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
a . b = a.b (với a, b ≥ 0).
Ví dụ 4. Tính:
a) 3 . 27 ; b) 2 . 5. 40 . Lời giải:
a) 3 . 27 = 3.27 = 81=9.
b) 2 . 5 . 40 = 2 . 5 . 40 = 400=20.
Chú ý. Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có:
A . B = A . B.
Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có:
2 2
( A ) = A =A.
Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5a . 45a với a < 0;
b) 25a b . 4 2 Lời giải:
a) 5a . 45a = 5a.45a = 225a2 (15a)2 15a 15a
= = = − (vì a < 0).
b) 25a b4 2 = 25 . a . b4 2
2 2 2
5 (a ) .| b | 5a .| b |
= = .
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a) 0, 49 . 36; b) 14, 4 . 640; c) 3 . 54 2 . Lời giải:
a) 0, 49 . 36= 0, 49 . 36 =0,7.6=4, 2.
b) 14, 4 . 640= 144 . 64 = 144 . 64 = 12 . 8 = 96.
c) 3 . 54 2 = 3 . 54 2 =3 . 52 =45.
Bài 2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a) 8 . 32 ; b) 0,4 . 8,1 ; c) 0,03 . 5 . 15 . Lời giải:
a) 8 . 32 = 8 . 32= 8 . 2 . 16 16 . 16 (16)2 16
= = = .
b) 0, 4 . 8,1= 0, 4 . 8,1= 4 . 81 (2 . 9)2 2 . 9 18
= = = .
c) 0,03 . 5 . 15= 0,03 . 5 . 15
(0,3 . 5) . (0,1. 15) 1,5 . 1,5 (1,5)2 1,5
= = = = .
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 0,64a2 với a < 0;
b) a (a4 −5)2 với a ≥ 5;
c) a . 5a
5 9 với a ≥ 0.
Lời giải:
a) Vì a < 0 nên |a| = − a.
Ta có: 0,64a2 = 0,64 . a2 = 0,8 |a|
= 0,8. (− a) = − 0,8a.
b) Vì a2 ≥ 0 nên | a2 | = a2. Vì a ≥ 5 nên a – 5 ≥ 0.
Suy ra |a – 5| = a – 5.
Ta có: a (a4 −5)2 = a . (a4 −5)2
= a2 . |a – 5| = a2 . (a – 5) = a3 – 5a2. c) Ta có: a . 5a a 5a. a.5a
5 9 = 5 9 = 5.9
2 2 2
2
a a a a a
9 3 3 3 3
= = = = =
.
(Vì a ≥ 0 nên a
30, do đó a a 3 = 3).