Hướng dẫn giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHƯƠNG 7 ^{ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG}

TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Mở đầu về hình học không gian.

Đối tượng cơ bản:

. Điểm: kí hiệuA,B,C, ...

. Đường thẳng: kí hiệua,b,c,d, ...

. Mặt phẳng: kí hiệu(P),(Q),(α),(β), ... ^A B

d

P

Quan hệ cơ bản:

. Thuộc: kí hiệu_∈. Ví dụA∈d,M∈(P)...

. Chứa, nằm trong: kí hiệu_⊂. Ví dụ:d⊂(P),b⊂(α). Hình biểu diễn của một hình trong không gian:

. Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng.

. Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).

. Hai đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau.

. Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểu diễn cho những đường bị che khuất.

2 Các tính chất thừa nhận trong hình học không gian.

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước.

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

A

B C

E G

d

α

A B

d α

A

B C

D

α 3 Điều kiện xác định mặt phẳng.

. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Mặt phẳng hoàn toàn có thể mở rộng ra đến vô cực.

311

4 Hình chóp và hình tứ diện.

Cho đa giác A₁A₂A₃...A_n nằm trong mặt phẳng (α)và điểm S∉(α). Lần lượt nối điểm S với các đỉnh A₁A₂A₃...A_n ta đượcntam giácS A₁A₂,S A₂A₃2, ...S A_nA₁. Hình gồm đa giácA₁A₂A₃...A_nvàntam giác S A₁A₂,S A₂A₃, ...S A_nA₁được gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này làS.A₁A₂A₃...A_n. Khi đó ta gọi:

. Slà đỉnh của hình chóp.

. A₁A₂A₃...A_n là mặt đáy của hình chóp.

. Các tam giácS A₁A₂,S A₂A₃, ...S A_nA₁được gọi là các mặt bên.

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,..., lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ....

Cho bốn điểmA,B,C,Dkhông đồng phẳng. Hình gồm4tam giác ABC,ACD,BCD, ABDgọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và được kí hiệu làABCD.

. Các điểmA,B,C,Dlà bốn đỉnh của tứ diện.

. Các đoạn thẳngAB,BC,CD,D A,C A,BDgọi là các cạnh của tứ diện.

. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện.

. Các tam giácABC,ACD,ABD,BCDgọi là các mặt của tứ diện.

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

A

D

B C

S

D

A B

C

Hình chóp tam giác (Tứ diện) Hình chóp tứ giác

S

D

A B

C

S

A

D

B

C

Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.

Đường thẳng nối hai điểm đó là giao tuyến của chúng.

1

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnS ABC. GọiM,N lần lượt là hai điểm trên cạnhABvàBCsao choM Nkhông song song vớiAC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(SM N)và(S AC);

1 2 (S AN)và(SCM).

Lời giải.

1 Trong(ABC), gọiK=M N∩AC, ta có

(S∈(SM N)∩(S AC)S K∈(SM N)∩(S AC).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳngSK. 2 Trong(ABC), gọiH=AN∩CM, ta có

(S∈(S AN)∩(SCM) H∈(S AN)∩(SCM).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳngSH.

B M S

A

H

C

N

K

ä VÍ DỤ 2. Cho hình chópS.ABCD, trong đó mặt đáyABCDcó các cặp cạnh đối không song song. Gọi điểm M thuộc cạnhS A. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(S AC)và(SBD);

1 2 (S AB)và(SCD); 3 (MBC)và(S AD).

Lời giải.

1 Trong(ABCD), gọiE=AC∩BD, ta có (S∈(S AC)∩(SBD)

E∈(S AC)∩(SBD).

Vậy đường thẳng giao tuyến làSE. 2 Trong(ABCD), gọiF=AB∩CD, ta có

(S∈(S AB)∩(SCD) F∈(S AB)∩(SCD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSF. 3 Trong(ABCD), gọiK=AD∩CB, ta có

(M∈(MBC)∩(S AD) K∈(MBC)∩(S AD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làMK.

M S

A D K

C B

F E

ä

2

BÀI 1. Cho tứ diệnS ABC. GọiK,Mlần lượt là hai điểm trên cạnh S AvàSC. GọiN là trung điểm của cạnhBC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(S AN)và(ABM);

1 2 (S AN)và(BCK).

Lời giải.

1 Trong(SBC), gọiE=SN∩BM, ta có

(A∈(S AN)∩(ABM) E∈(S AN)∩(ABM).

Vậy đường thẳng giao tuyến là AE. 2 Ta có

(N∈(S AN)∩(BCK) K∈(S AN)∩(BCK).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng làK N.

M S

A

E K

C

N

B

ä BÀI 2. Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAB∥CDvàAB>CD. Lấy điểmMtrên đoạnBC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD);

1 2 (S AD)và(SBC);

(S AM)và(SBD);

3 4 (SD M)và(S AB).

Lời giải.

Trong(ABCD), gọiE=AC∩BD, ta có (S∈(S AC)∩(SBD)

E∈(S AC)∩(SBD).

Vậy đường thẳng giao tuyến làSE. 1

Trong(ABCD), gọiK=AD∩CB, ta có (S∈(SBC)∩(S AD)

K∈(S AD)∩(SBC).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSK. 2

Trong(ABCD), gọiF=AM∩DB, ta có (S∈(S AM)∩(SBD)

F∈(S AM)∩(SBD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSF. 3

Trong(ABCD), gọi₌D M∩AB, ta có (S∈(SD M)∩(S AB)

H∈(SD M)∩(S AB).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSH. 4

M S

A B

C D

E

K F

H

ä BÀI 3. Cho tứ diệnS ABC. GọiD,E,Flần lượt là trung điểm củaAB,BC,S A.

Tìm giao tuyếnSHcủa hai mặt phẳng(SCD)và(S AE); 1

Tìm giao tuyếnC I của hai mặt phẳng(SCD)và(BFC); 2

SHvàC I có cắt nhau không? Giải thích? Nếu có, gọi giao điểm đó làO, chứng minhI H∥SC. Tính tỉ số ^OH OS. 3

Lời giải.

Trong(ABC), gọiH=AE∩CD≡H.

Ta có giao tuyến của(SCD)và(S AE)làSH. 1

Trong(S AB), gọiI=SD∩BF.

Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng(SCD)và(BFC)làC I. 2

Ta cóC IvàSHcùng nằm trong mặt phẳng(SCD).

Xét tam giácSCDcóI∈SD;H∈CDnênC I vàSHcắt nhau tạiO. Ta cóIlà trọng tâm tam giácS ABsuy ra ^{I D}

SD=1 3. Hlà trọng tâm tam giácABCsuy ra ^DH

CD=1 3. Suy ra ^{I D}

SD=DH

CD⇔I H∥SC. Vậy ^OH

OS =I H SC= I D

SD=1 3. 3

S

A

O

C

B

E F

D

H I

ä

3

BÀI 4. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. Trên cạnhS Alấy điểm M. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD).

1 2 (BCM)và(S AD).

(CD M)và(S AB).

3 4 (BD M)và(S AC).

BÀI 5. Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Trung điểm củaCDlàM. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD).

1 2 (SBM)và(S AC).

(SBM)và(S AD).

3 4 (S AM)và(SBC).

BÀI 6. Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với AB∥CD và AB>CD. Lấy điểmM nằm trên đoạn S A. Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(BD M)và(S AC).

1 2 (BCM)và(S AD).

(BCM)và(SCD). 3

BÀI 7. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Lấy điểmMtrên cạnhS A, trung điểmCD làN. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(BM N)và(S AC).

1 2 (BM N)và(S AD).

(MCD)và(SBD).

3 4 (MCD)và(S AB).

BÀI 8. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểmM thuộc miền trong tam giácSCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(SBM)và(SCD).

1 2 (ABM)và(SCD).

(ABM)và(S AC). 3

BÀI 9. Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. LấyIthuộc cạnhS A,Jthuộc cạnhSBsao choI Jkhông song song với AB. Lấy K là một điểm thuộc miền trong tứ giácABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(I JK)và(ABCD).

1 2 (I JK)và(S AB).

(I JK)và(S AD).

3 4 (I JK)và(S AC).

(I JK)và(SBD). 5

BÀI 10. Cho hình chópS ABC. Trên cạnhS A,SClấy điểmM,Nsao choM Nkhông song song vớiAC. GọiKlà trung điểm củaBC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(M N K)và(ABC).

1 2 (M N K)và(S AB).

BÀI 11. Cho hình chópS ABC. Trên cạnhS A,SClấy điểmM,Nsao choM Nkhông song song vớiAC. GọiOlà điểm thuộc miền trong của tam giácABC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(M NO)và(ABC).

1 2 (M NO)và(S AB).

(SMO)và(SBC).

3 4 (ONC)và(S AB).

BÀI 12. Cho tứ diệnABCDcóMlà điểm trên cạnhAB,Nlà điểm trên cạnhADsao choMB=2M A,AN=2N D. Gọi Plà điểm nằm trong tam giácBCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(CM N)và(BCD).

1 2 (M N P)và(S AD).

(M N P)và(ABC). 3

BÀI 13. Cho tứ diệnABCD. GọiMlà điểm nằm trong tam giácABC,Nlà điểm nằm trong tam giácACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(CD M)và(ABD).

1 2 (BCN)và(ABD).

(CM N)và(BCD). 3

BÀI 14. Cho tứ diệnS AC. Lấy điểmE,F lần lượt trên đoạnS A,SBvà điểmGlà trọng tâm tam giácABC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(EFG)và(ABC).

1 2 (EFG)và(SBC).

(EFG)và(SGC). 3

BÀI 15. Cho hình chópS.ABCD. Hai điểmG,Hlần lượt là trọng tâm₄S AB,4SCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(SGH)và(ABCD).

1 2 (S AC)và(SGH).

(S AC)và(BGH).

3 4 (SCD)và(BGH).

BÀI 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang có AB∥CD. GọiI là giao điểm củaADvàBC. LấyM thuộc cạnhSC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD).

1 2 (S AD)và(SBC).

(AD M)và(SBC). 3

BÀI 17. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N,Qlần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CD,S A. Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(M N P)và(S AB).

1 2 (M N P)và(S AD).

(M N P)và(SBC).

3 4 (M N P)và(SCD).

BÀI 18. Cho hình chópS.ABC. Gọi H,K lần lượt là trọng tâm tam giácS AB,SBCvà M là trung điểm cạnh AC, I∈SMsao choS I>SM. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(I HK)và(ABC).

1 2 (I HK)và(SBC).

{DẠNG 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng^d và mặt phẳng(α)

d

u I

α β

Tìm một mặt phẳng phụ(β)chứa d sao cho dễ tạo giao tuyến với(α). Mặt phẳng này thường xác định bởidvà một điểm của(α).

Tìm giao tuyếnucủa(α)và(β).

Trong(β),d cắtutạiI, màu⊂(α). Vậydcắt(α)tạiI.

1

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnS ABCcóMlà điểm nằm trên tia đối của tiaS A,Olà điểm nằm trong tam giác ABC. Tìm các giao điểm của

1 Đường thẳngBCvà mặt phẳng(SO A); 2 Đường thẳngMOvà mặt phẳng(SBC); 3 Đường thẳngABvà mặt phẳng(MOC); 4 Đường thẳngSBvà mặt phẳng(MOC). Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiAOcắtBCtạiI. Ta có

(I∈BC

I∈AO⊂(SO A)⇒Ilà giao điểm củaBCvà(SO A).

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaMOlà(SO A), ta có(SO A)∩(SBC)=S I. Trong(SO A)≡(SM I), gọiJlà giao điểm củaS IvàMO.

Ta có

(J∈MO

J∈S I⊂(SBC)⇒Jlà giao điểm củaMOvà(SBC). 3 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCO cắtABtạiK.

Ta có

(K∈AB

K∈CO⊂(MOC)⇒K là giao điểm của ABvà(MOC).

4 Chọn mặt phẳng phụ chứaSBlà(S AB), ta có(S AB)∩(MOC)=MK. Trong(S AB)≡(M AB), gọiHlà giao điểm củaSBvàMK.

Ta có

(H∈SB

H∈MK⊂(MOC)⇒Hlà giao điểm củaSBvà(MOC).

A

B

C

K O I

M

H J S

ä VÍ DỤ 2. Cho tứ diệnS ABCcó hai điểmM, N lần lượt thuộc hai cạnhS A,SBvàOlà điểm nằm trong tam giácABC. Xác định giao điểm của

1 Đường thẳngABvà mặt phẳng(SOC); 2 Đường thẳngM Nvà mặt phẳng(SOC);

3 Đường thẳngSOvà mặt phẳng(CM N). Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCOcắtABtạiI. Ta có

(I∈AB

I∈CO⊂(SOC)⇒Ilà giao điểm củaABvà(SOC).

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaM Nlà(S AB), ta có(S AB)∩(SOC)=S I. Trong(S AB), gọiK là giao điểm củaS I vàM N.

Ta có

(K∈M N

K∈S I⊂(SOC)⇒K là giao điểm củaM Nvà(SOC).

3 Chọn mặt phẳng phụ chứaSOlà(S IC), ta có(S IC)∩(CM N)=K C. Trong(S IC), gọiHlà giao điểm củaK CvàSO.

Ta có

(H∈SO

H∈K C⊂(CM N)⇒Hlà giao điểm củaSOvà(CM N).

A

B

C

I O

S

M K

H N

ä

2

BÀI 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho PB>P D. Tìm giao điểm của

CDvà(M N P).

1 2 ADvà(M N P).

Lời giải.

A

E D Q P C

B N

M

1 Trong mặt phẳng(BCD), xét tam giácBCD có ^NB

NC=16=PB

PC nênN P vàDC cắt nhau giả sử tạiQ. Rõ ràng Q∈CDtheo cách dựng. Lại cóQ∈N P⊂(M N P)nênQ∈(M N P). VậyQ=CD∩(M N P).

2 Trong mặt phẳng(ACD)nốiQ vớiM cắt ADtạiE. Dễ thấyE∈ADtheo cách dựng. Lại có E∈MQ⊂(M N P) nênE∈(M N P). VậyE=AD∩(M N P).

ä BÀI 2. Cho tứ diệnABCD. TrênACvà ADlần lượt lấy các điểm M,N sao choM Nkhông song song vớiCD. GọiO là điểm thuộc miền trong₄BCD. Tìm giao điểm của

BDvà(OM N).

1 2 BCvà(OM N). 3 M Nvà(ABO). 4 AOvà(BM N).

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ACD), vìM Nkhông song song vớiCDnên ta giả sửM N cắtCDtạiE. Trong mặt phẳng(BCD), nốiE vớiOkéo dài cắtBDvàBClần lượt tạiF vàG.

1 Ta cóF∈OE⊂(OM N)vàF∈BD. Suy raF=BD∩(OM N). 2 Theo cách dựng thìG∈BCvàG∈OE⊂(OM N). VậyG=BC∩

(OM N).

3 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiBOcắtDCtạiH. Trong mặt phẳng(ADC)nốiHvớiAcắtM NtạiI. VìH∈BO⊂(ABO)nên AH⊂(ABO). Suy raI∈(ABO). VậyI=M N∩(ABO).

F N

A

M I

G O

H D

B J

E

C

4 Trong mặt phẳng (ABH)nối B với I cắt AO tại J. Rõ ràng J∈AO theo cách dựng và J∈BI⊂(BM N). Vậy J=AO∩(BM N).

ä BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểm SB, N là trọng tâm₄SCD. Xác định giao điểm của

M Nvà(ABCD).

1 2 M Nvà(S AC). 3 SCvà(AM N). 4 S Avà(CM N).

Lời giải.

Gọi Ivà J lần lượt là trung điểm của các cạnhSD và DC. Trọng tâm của tam giácSCDlàN=S J∩C I.

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nốiBvới J cắtACvàADlần lượt tạiEvàK. VìDK∥BCnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta

có JB

JK = JC

JD =1⇒JC=JD.

Vậy ₄SCD và₄SBK có chung đường trung tuyến làS J. Vì thế trọng tâm N của ₄SCD cũng là trọng tâm của ₄SBK. Suy raK∈M N. Lúc đóK=M N∩(ABCD).

2 Trong mặt phẳng(SBJ)nốiS vớiEcắtM N tạiF. Ta cóF= M N∩(S AC).

H G

S

K I

A

M N

F

E J C

D

B

3 Trong mặt phẳng (SCD) nối N với D kéo dài cắtSC tại H. VìD∈AK⊂(AM N) nên N D⊂(AM N). Suy ra H∈(AM N). VậyH=SC∩(AM N).

4 Theo cách dựng ta thấy I K=(CM N)∩(S AD). Trong mặt phẳng(S AD)kéo dài I K cắtS A tạiG. Lúc đó G= S A∩(CM N).

ä BÀI 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO. TrênS A,SBlần lượt lấy hai điểmMvàN.

Tìm giao điểm củaSOvà(CM N).

1 2 Tìm giao tuyến của(S AD)và(CM N).

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC)nốiSvớiOcắtMCtạiI. Trong mặt phẳng(SBD)kéo dài I NcắtSDtạiJ. Lúc đó

1 I=SO∩(CM N).

2 J∈(S AD)∩(CM N). Lại cóM∈(S AD)∩(CM N). VậyJ M=(S AD)∩(CM N).

S

A

D J

B

C N

O M

I

ä BÀI 5. Cho hình chópS.ABCD. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của cạnhS A,SDvàPlà điểm thuộc cạnhSBsao choSP=3PB.

Tìm giao điểmQcủaSCvà(M N P).

1 2 Tìm giao tuyến của(M N P)và(ABCD).

Lời giải.

GọiOlà giao điểm của ACvàBD. Trong mặt phẳng(SBD)gọiIlà giao điểm của N PvớiSO. Lúc đóI∈(M N P)vàM I⊂(S AC).

1 Trong mặt phẳng(S AC)gọi Q là giao điểm của M I và SC. VìQ∈M I nên Q=SC∩(M N P).

2 Trong mặt phẳng (S AC) gọi G là giao điểm của M I và AC. Lúc đó G∈ (M N P)∩(ABCD). Trong mặt phẳng(S AB), vì

1= MS M A6=P S

PB =3

nên MP và AB cắt nhau. Gọi H là giao điểm của MP và AB. Ta có H∈ (M N P)∩(ABCD). VậyGH=(M N P)∩(ABCD). .

S

P

H M

I

O A

D N

G B

Q C

ä BÀI 6. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành,Mlà trung điểm củaSC,N là trung điểm củaOB vớiOlà giao điểm của ACvàBD.

Tìm giao điểmIcủaSDvới(AM N).

1 Tính tỉ số ^{S I}

I D. 2

Lời giải.

S

O M

A I

P N L

D C J

B

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nối AvớiN kéo dài cắtDCtạiJ và cắtBCtạiL. Trong mặt phẳng(SDC)nối Jvới M kéo dài cắtSDtạiI. VìJ∈AN⊂(AM N)nênM J⊂(AM N). Suy raI∈(AM N). VậyI=SD∩(AM N).

2 Trong mặt phẳng(ABCD), vìAB∥D Jnên₄N ABđồng dạng với₄N JD. Suy ra D J

AB=D N

NB=3⇒D J=3AB=3DC.

Trên cạnh SD lấy điểm P sao cho I là trung điểm của SP. Ta có I M là đường trung bình của ₄SPC nên I M∥PC⇒I M∥I J. Áp dụng Định lý Talet trong₄D I J ta có

D I DP=D J

DC=3⇒D I=3DPvàS I=P I=2DP.

Vậy ^{S I} I D=2

3.

ä BÀI 7. Cho hình chópS.ABCcóGlà trọng tâm tam giácABC. GọiM là điểm trên cạnhS Asao choM A=2MS,K là trung điểmBCvàDlà điểm đối xứng củaGquaA.

Tìm giao điểmHcủaSK với(MCD).

1 Tính tỉ số ^HK

SK. 2

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(SDK)kéo dàiD M cắtSK tạiH. Lúc đóH=SK∩(MCD). 2 Trong mặt phẳng(SDK)vẽ đường thẳng quaAvà song song với

SK cắtDHtạiE. Vì AE∥SHnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta

có AE

SH=M A

MS =2⇒SH=1 2AE.

Trong₄DHK ta cóAE∥HKnên theo Định lý Talet thì AE

HK =D A DK =2

5⇒HK=5 2AE.

Ta cóSK=SH+HK=1 2AE+5

2AE=3AE.Vậy ^HK SK =5

6.

G D

S

E M

B

K H

A C

ä BÀI 8. Cho tứ diện ABCD. GọiI và J lần lượt là trung điểm của ACvà BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK=2K D.

Tìm giao điểmEcủaCDvới(I JK). Chứng minh:DE=DC. 1

Tìm giao điểmF củaADvới(I JK). Chứng minh:F A=2F DvàF K∥I J. 2

GọiMvàN là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnhABvàCD. Tìm giao điểm củaM Nvới(I JK). 3

Lời giải.

A

I

E

F

N P M

B

J H

K Q

D C

1 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiJKcắtCDtạiE. Lúc đó, dễ thấyE∈CDtheo cách dựng. Lại cóE∈K J⊂(I JK). Suy raE=CD∩(I JK).

Trong mặt phẳng(BCD)lấy điểm E⁰ thuộc đường thẳngDCsao choD là trung điểm củaE⁰C. Xét₄E⁰BCcó BDvàE⁰Jlà các đường trung tuyến. VìBK=2K DnênKlà trọng tâm₄E⁰BC. Suy raE⁰,K,Jthẳng hàng. Từ đây cóE⁰=DC∩K J. VậyE⁰≡E. Suy raDE=DC.

2 Trong mặt phẳng(ACD), nối IvớiEcắt ADtạiF. Lúc đó rõ ràngF∈ADvà vì F∈E I⊂(I JK)nênF∈(I JK). VậyF=AD∩(I JK).

Trong₄AEC, vì các điểmD, Ilần lượt là trung điểm củaECvàACnênF=AD∩E Ichính là trọng tâm của 4AEC. Theo tính chất trọng tâm tam giác ta cóF A=2F D.

Vì I Jlà đường trung bình của tam giácABCnênI J∥AB. Mặt khác, vì ^DK DB=DF

D A=1

3 nên theo Định lý Talet ta cóF K∥AB. Từ đó suy raF K∥I J.

3 Trong mặt phẳng(BCD)nốiBvớiNcắtK JtạiQ. Ta cóQ∈(I JK). Trong mặt phẳng(ADC)nối AvớiNcắtE I tạiP. Vì(I JK)≡(I E J)nênP∈E I⊂(I E J)⇒P∈(I JK). Trong mặt phẳng(ABN)nốiPvớiQcắtM NtạiH. Lúc đó, vìH∈PQ⊂(I JK)nênH∈(I JK). VậyH=M N∩(I JK).

ä BÀI 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAD∥BCvàAD=2BC,Elà trung điểm củaS A. Gọi N là điểm thuộc đoạnABsao choNB=2N AvàMlà điểm thuộc đoạnCDsao choMD=2MC.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(EM N)và(S AD). 1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(EM N)và(SCD). 2

Tìm giao điểmLcủa đường thẳngEMvà mặt phẳng(SBC). 3

Tìm giao tuyến của(CDE)và(S AB). Giao tuyến này cắtSBtạiP và cắtABtạiI. Chứng minh:2SB=3SP và S_{4I DE}=3S_4ICP.

4

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiM Nvà ADcắt nhau tạiJ. Lúc đó J∈AD⊂(S AD)và J∈M N⊂(EM N). Vì thế J∈(S AD)∩(EM N). Dễ thấyE∈(S AD)∩(EM N). VậyE J=(EM N)∩(S AD).

2 Trong mặt phẳng (S AD) kéo dài JE cắt SD tại Q. Vì JE⊂(E J M)≡(EM N) nênQ∈(EM N). Lúc đó Q M= (EM N)∩(SCD).

3 Trong mặt phẳng (S AB) kéo dài N E và SB cắt nhau tại K. Lúc đó K ∈(EM N)∩(SBC). Trong mặt phẳng (ABCD)kéo dài M NvàBCcắt nhau tạiH. Ta cóH∈(EM N)∩(SBC). Suy raGH=(EM N)∩(SBC). Trong mặt phẳng(EM N)kéo dàiK HvàEMcắt nhau tạiL. VìK H⊂(SBC)nênL∈(SBC). VậyL=EM∩(SBC).

4 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiCDvàABcắt nhau tại

I. Lúc đóI E=(CDE)∩(S AB).

Trong mặt phẳng(ABCD)vìBC∥ADnên áp dụng Định lý Talet với₄I ADta có

IB I A =IC

I D= BC AD=1

2⇒IB=ABvàI D=2IC.

Trong mặt phẳng(S AB)xét₄S I A cóB vàE lần lượt là trung điểm các cạnhI AvàS A. Lúc đóP=I E∩SBlà trọng tâm₄S I A. Theo tính chất trọng tâm thì

I E=3

2I Pvà2SB=3SP.

Ta có

S₄I DE=1

2I E·I D·sinE I D=1 2·3

2I P·2IC·sinE I D

=3·1

2·I P·IC·sinP IC=3S_4ICP. VậyS_{4I DE}=3S_4ICP.

J

Q K

I

S

A N

H D

C

L B

P E

M

ä BÀI 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thang, ABđáy lớn và AB=3CD. Gọi N là trung điểm của CD,Mlà điểm trên cạnhSBthỏaSM=3MB, điểmItrên cạnhS Avà thỏa A I=3I S.

Tìm giao điểm của đường thẳngM Nvới(S AD). 1

GọiHlà giao điểm củaCBvới(I M N). Tính tỉ số ^HB HC. 2

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB)vì¹ 3=I S

A I6=MS

MB=3nênI MvàABcắt nhau. GọiJ là giao điểm củaI Mvà AB. Trong mặt phẳng(ABCD)nốiJ,N cắtADtạiP. Trong mặt phẳng(I M N)nốiM,NcắtI PtạiK.

1 Theo cách dựng, dễ thấyK∈M N. VìK∈I P⊂(S AD)nênK∈(S AD). VậyK=M N∩(S AD).

2 VìHlà giao điểm củaCBvới(I M N)nênH=CB∩N J.

Ta cóNC=1 2DC=1

6AB.

VìNC∥BJnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta có:

HB HC= BJ

NC⇒HB

HC=6·BJ

AB=6· BJ

J A−BJ=6· 1 J A BJ−1

.

Trong mặt phẳng(S AB)vẽ đường thẳng quaB và song song vớiS AcắtI JtạiO.

Vì BO∥S I nên áp dụng Hệ quả Định lý Talet ta có

BO S I =BM

MS =1 3.

Vì BO∥ A I nên áp dụng Định lý Talet trong 4J A I ta có

JB J A=BO

I A =1 3·BO

S I =1 9⇒J A

BJ=9.

Từ đó có ^HB

HC=6· 1 J A BJ−1

=6· 1 9−1=3

4.

O S

A J

P

M I

B

D

K

N

H C

ä

3

BÀI 11. Cho hình chópS.ABC. Trên cạnhS AlấyMsao choS A=3SM, trên cạnhSClấy điểmNsao choSC=2SN. ĐiểmP thuộc cạnhAB. Tìm giao điểm của:

M Nvà(ABC).

1 2 BCvà(M N P).

ĐS:

M N∩(ABC)=I. 1

BC∩(M N P)=J. 2

P S

I J M

C A

N

BÀI 12. Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO. GọiGlà trọng tâm tam giácS AB. Hãy tìm:

(SGC)∩(ABCD)=?.

1 2 AD∩(SGC)=?. 3 SO∩(SGB)=?. 4 SD∩(BCG)=?.

ĐS:

(SGC)∩(ABCD)=MC. 1

AD∩(SGC)=N. 2

SO∩(SGB)=S. 3

SD∩(BCG)=J. 4

S

G A

J I

M N

O

B C

D

BÀI 13. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang, đáy lớn AB. GọiI,Jlần lượt là trung điểmS AvàSB. Lấy điểmMtùy ý trênSD. Tìm giao điểm của

I Mvới(SBC).

1 2 J Mvới(S AC). 3 SCvới(I J M).

ĐS:

I M∩(SBC)=H. 1

J M∩(S AC)=K. 2

SC∩(I J M)=P. 3

S

J

P M

C K

I

G H

D O

A B

BÀI 14. Cho tứ diệnO ABC. GọiM, N,P lần lượt là trung điểm củaO A,OBvà AB. Trên cạnhOC lấy điểmQsao choOQ>QC. GọiGlà trọng tâm tam giác ABC. Tìm giao điểm

E=BC∩(M NQ).

1 2 F=CP∩(M NQ). 3 K=BG∩(M NQ).

ĐS:

O

Q H

G C

A M

E N

B P

F

K

BÀI 15. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiMlà trung điểm củaSBvàGlà trọng tâm của tam giácS AD. Tìm giao điểm:

K=G M∩(ABCD).

1 2 F=AD∩(OMG). 3 E=S A∩(OMG).

ĐS:

S

K

J

O N

G E

F

B M

A

D C

BÀI 16. Cho tứ diệnS.ABC, lấy điểmMlà trung điểmS A, lấy điểmNlà trọng tâm4SBCvàPnằm trong4ABC. Tìm giao điểm củaM Nvà(ABC).

1 2 SB∩(M N P)=?.

SC∩(M N P)=?.

3 4 N P∩(S AB)=?.

Tứ giácABIClà hình gì ? 5

ĐS:

M N∩(ABC)=I. 1

SB∩(M N P)=J. 2

SC∩(M N P)=K. 3

N P∩(S AB)=O. 4

Tứ giác ABIClà hình bình hành.

5

Q K

O

C P H

M

A S

B J

N

I

BÀI 17. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành,Mlà trung điểm củaSD. TìmI=BM∩(S AC). Chứng minh:BI=2I M.

1

TìmE=S A∩(BCM). Chứng minh:Elà trung điểm củaS A. 2

ĐS:

S

O E

I A

D M

B

C

BÀI 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâmO. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc đoạnSDsao choSN=2N D.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD)và(S AC). 1

Tìm giao điểmEcủa đường thẳngM Nvà mặt phẳng(ABCD). Tính ^EN EM. 2

Tìm giao điểmK của đường thẳngSCvà mặt phẳng(AM N). GọiJ giao điểm củaAKvàSO. Tính tỉ số: ^JK J A. 3

ĐS:

(SBD)∩(S AC)=SO. 1

EN EM =2

3. 2

JK J A=2

5. 3

S

E

D C

A O J N

K M

B

BÀI 19. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM,N, lần lượt là trung điểm củaS AvàCD. Tìm giao điểmEcủaADvới(BM N).

1

Tìm giao điểmFcủaSDvà(BM N). Chứng minh rằng:F S=2F D. 2

ĐS:

S

E

A F

N D

B

C M

BÀI 20. Cho tứ diệnABCD. GọiI,Mlần lượt là trung điểm củaABvàBC,Glà trọng tâm tam giác ACD. Tìm giao điểmP củaCDvà(I MG).

1 Tính tỉ số: ^PC

P D. 2

ĐS:

PC P D=1

2.

•

A

I

G

P C B

M J

D

BÀI 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của ACvà BC. Trên cạnh BD lấy điểmK sao cho BK=2K D.

Tìm giao điểmEcủa đường thẳngCDvà(I JK). Chứng minh:DE=DC. 1

Tìm giao điểmF của đường thẳngADvà(I JK). Tính tỉ số ^{F A} F D. 2

ĐS:

F A F D =2.

•

A

I

J

E

D K

B C

F

{DẠNG 1.3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(α).

Phương pháp giải: Ta tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng(α)với các mặt của hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của thiết diện.

1

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD, trên các đoạnC A, CB,BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho M N không song song vớiAB. Gọi(α)là mặt phẳng xác định bởi ba điểmM, N,P. Xác định thiết diện tạo bởi(α)và tứ diệnABCD?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ABC), doM N và ABkhông song song nên chúng cắt nhau giả sử tạiE. Khi đó điểmE nằm ngoài đoạnAB.

Trong mặt phẳng(ABD), gọiQlà giao điểm củaEP vàAD. Ta có

• (M N P)∩(ABC)=M N.

• (M N P)∩(BCD)=MP.

• (M N P)∩(ABD)=PQ.

• (M N P)∩(ACD)=Q N.

Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (M N P)là tứ giác M NQP. Hay hiết diện cắt tứ diện ABCDbởi mặt phẳng(α)là tứ giácM NQP.

E

C M

P A

B N

D Q

M

E C

P A

B N

D Q

ä VÍ DỤ 2. Cho tứ diệnS ABCvàOlà một điểm thuộc miền trong tam giácABC. GọiM,N lần lượt là hai điểm nằm trên cạnhS AvàSCsao choM Nkhông song song vớiAC. Xác định thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(M NO)?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC), doM N vàACkhông song song nên chúng cắt nhau giả sử tạiE. Khi đó điểmEnằm ngoài đoạn AC.

Trong mặt phẳng(ABC), gọiP,Qlần lượt là giao điểm củaEOvớiBCvàAB. Ta có

• (M NO)∩(S AC)=M N.

• (M NO)∩(SBC)=N P.

• (M NO)∩(ABC)=PQ.

• (M NO)∩(S AB)=Q M.

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(M NO)là tứ giácM N PQ.

S

B

P

Q O

A M

N

C E

ä

2

BÀI 1. Cho hình chópS.ABC. Trên các cạnhS A,SBlần lượt lấy các điểm M,N sao cho M N không song song với AB. GọiP là điểm thuộc miền trong tam giácABC. Xác định giao tuyến của(M N P)và(ABC)từ đó suy ra thiết diện khi cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P).

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB), doM Nkhông song song với ABnên chúng cắt nhau giả sử tạiE. Khi đóEnằm ngoài đoạnAB.

Trong mặt phẳng(ABC), gọiK,Hlần lượt là giao điểm củaEPvới các đoạnBC, AC (VìPthuộc miền trong tam giác(ABC)). Khi đó ta có

• (M N P)∩(S AB)=M N.

• (M N P)∩(SBC)=N K.

• (M N P)∩(ABC)=K H.

• (M N P)∩(S AC)=H M.

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P)là tứ giácM N K H.

S

B A

M

N C

P

E K H

ä

BÀI 2. Cho tứ diện S ABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của S A, BC và M là điểm thuộc đoạn SC sao cho 3SM=2MC.

1 Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng(K M N). 2 Mặt phẳng(K M N)cắtABtạiI. Tính tỉ số ^{I A}

IB. ĐS: ^{I A}

IB=2 3 Lời giải.

S

B

E A

I N

C H

K

M

P

1 Trong mặt phẳng(S AC), vì ^SM MC=2

3⇒SM

SC =2 56=1

2=SK

S A nênK Mkhông song song với AC. GọiElà giao điểm củaK M vàAC.

Trong mặt phẳng(ABC), gọiIlà giao điểm củaENvàAB, khi đóIlà giao điểm củaABvới(K M N). Ta có

• (K M N)∩(S AC)=MK.

• (K M N)∩(S AB)=K I.

• (K M N)∩(ABC)=I N.

• (K M N)∩(SBC)=N M.

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(K M N)là tứ giácM N I K. 2 TrênSClấy điểmPsao choMlà trung điểm củaSP. Khi đó ta có

• AP∥K Mtheo tính chất đường trung bình của tam giácS APnênAP∥EM⇒AC AE= PC

P M =1 2.

• GọiHlà trung điểm củaAB, khi đóN H∥AC(Tính chất đường trung bình).

Do đó ^{I H} I A =N H

AE =1

4⇒A I=4

5AH=2

5AB⇒A I BI =2

3.

ä BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang thỏa mãn AB∥CD, AB>CD. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnhSB,SC.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC). 2 Tìm giao điểm của đường thẳngSDvới(A I J).

3 Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(A I J). Lời giải.

d S

B C

I J

A D

1 Hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)cóSlà một điểm chung.

Lại có AD∥BCtheo giả thiết vàS∉(ABCD)nên giao tuyến của(S AD)và(SBC)là đường thẳngdđi quaSvà song song với AD,BC.

2 DoI Jlà đường trung bình của tam giácSBCnênI J∥BCmàI∉(ABCD)⇒I J∥AD. Vì vậyA,D,I,Jxác định mặt phẳng(AD J I)hayD∈(A I J).

Mặt khácD∈SDnênDlà giao điểm củaSDvới(A I J). 3 Từ kết quả trên ta có

• (A I J)∩(ABCD)=AD.

• (A I J)∩(SCD)=D J.

• (A I J)∩(SBC)=J I.

• (A I J)∩(S AB)=I A.

Vậy thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(A I J)là hình thangAD J I.

ä BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểmM thuộc miền trong tam giácSBC. Lấy điểm N thuộc miền trong tam giácSCD.

1 Tìm giao điểm củaM Nvà mặt phẳng(S AC). 2 Tìm giao điểm củaSCvà mặt phẳng(AM N).

3 Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(AM N). Lời giải.

S

B

C E

O R M

Q

A

I P

D F N

1 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiOlà giao điểm củaACvàEF. Khi đóSO=(S AC)∩(SEF).

Trong mặt phẳng(SEF), gọi{I}=M N∩SO. Ta cóI∈SO⇒I∈(S AC). MàI∈M Nnên{I}=M N∩(S AC). 2 Theo chứng minh trên ta suy ra A I=(AM N)∩(S AC).

Trong mặt phẳng (S AC) gọi P là giao điểm của A I và SC. Khi đó do P∈A I⇒P∈(AM N). Mà P∈SC nên {P}=SC∩(AM N).

3 Do M,P ∈(SBC)nên trong mặt phẳng (SBC), gọi R là giao điểm của P M với SB. Ta có P M⊂(AM N) nên R∈(AM N).

Tương tự, trong mặt phẳng(SCD), gọiQlà giao điểm củaP N vớiSDta cóQ∈(AM N). Vì vậy

• (AM N)∩(S AB)=AR.

• (AM N)∩(SBC)=RP.

• (AM N)∩(SCD)=PQ.

• (AM N)∩(S AD)=Q A.

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(AM N)là tứ giácARPQ.

ä BÀI 5. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM là trung điểm củaSBvàGlà trọng tâm tam giácS AD.

1 Tìm giao điểmIcủaG Mvới(ABCD). Chứng minhIthuộc đường thẳngCDvàIC=2I D. 2 Tìm giao điểmJ củaADvà(OMG). Tính tỉ số ^{J A}

JD. ĐS: ^{J A}

JD =2 3 Tìm giao điểmK củaS Avà(OMG). Tính tỉ số ^{K A}

K S. ĐS: ^{K A}

K S =2 4 Tìm thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(OMG).

Lời giải.

S

B C

E O

J

P F

I H G

A M

D N

K

1 GọiE,Nlần lượt là trung điểm củaAD,S A. Ta cóMlà trung điểm củaSB,Glà trọng tâm của tam giácS AD. Trong mặt phẳng(SBE)có ^SM

SB =1 26=2

3=SG

SE suy raMGvàBEkhông song song. Do đóMGvàBEcắt nhau.

Lại doBE⊂(ABCD),{I}=MG∩(ABCD)nênI∈BE.

Vậy giao điểmIcủaMGvà(ABCD)là giao điểmIcủaMGvàBE.

DoM Nlà đường trung bình của tam giácS ABnênM N∥AB⇒M N∥CD. Suy raM N,CDxác định mặt phẳng (M N DC).

Lại doGlà trọng tâm tam giácS AD nênG∈N D⇒G∈(M N DC),I∈MG⇒I∈(M N DC). Mặt khác(M N DC)∩(ABCD)=CD,I∈(M N DC),I∈(ABCD)nênI∈CD.

MàAD∥BCnênED∥BC⇒I D IC=ED

BC =1

2⇒IC=2I D.

2 Dễ thấyI∈(OMG). Trong mặt phẳng(ABCD), gọiJ⁰là giao điểm củaADvàOI. VìOI⊂(OMG)⇒J⁰∈(OMG) nênAD∩(OMG)={J⁰}.

MàJ là giao điểm củaADvà(OMG)(gt) nênJ⁰≡J. VậyJ là giao điểm củaIOvàAD. Dễ thấyJlà trọng tâm₄I ACnên ^{J A}

JD =2.

3 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiF là giao điểm củaBIvàACsuy ra(SBI)∩(S AC)=SF. Trong mặt phẳng(SBI), gọiHlà giao điểm củaM IvàSF. Ta cóH∈MG⇒

OH⊂(OMG)vàHthuộc(S AC).

Trong mặt phẳng(S AC), gọi K⁰ là giao điểm củaOH và S A. Khi đó do K⁰∈OH⇒K⁰∈(OMG)⇒S A∩(OMG)={K⁰}hayK⁰≡K. VậyK là giao điểm củaOHvớiS A.

Lại cóK,G,Jlà các điểm chung của hai mặt phẳng(OMG)và(S AD)nên K,G,Jthẳng hàng.

GọiQlà trung điểm củaSD, vìJ là trọng tâm₄I AC. Xét₄S AD có AG

AQ=2 3= A J

AD⇒G J∥SD⇒K J∥SD⇒K A K S =J A

JD=2.

S

A E J D

Q K

G

4 Từ chứng minh trên ta suy ra

• (OMG)∩(S AB)=K M.

• (OMG)∩(SBC)=MP.

• (OMG)∩(ABCD)=P J.

• (OMG)∩(S AD)=JK.

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(OMG)là tứ giácK MP J.

ä BÀI 6. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm củaSB, SDvàOC.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(M N P)với các mặt phẳng(S AC)và(ABCD). 2 Tìm giao điểm củaS Avới mặt phẳng(M N P).

3 Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(M N P). Tính tỉ số mà mặt phẳng(M N P)chia các

cạnhS A,BCvàCD. ĐS: ^ES

E A=1 3, ^HB

HC=K D K C=1 Lời giải.

S

B C

O H

K P

G

F

N I

D E

A M

1 DoM,Nlần lượt là trung điểm củaSB,SDnênM Nlà đường trung bình của tam giácSBD, suy raM N∥BD. Ta có(P M N)∩(SBD)=M N.

Trong mặt phẳng(SBD), gọiI là giao điểm củaM N vàSO. Khi đó vìI∈SO⇒I∈(S AC),P∈AC⇒P∈(S AC) suy ra(P M N)∩(S AC)=P I.

Hai mặt phẳng(P M N)và(ABCD)cóP là một điểm chung. MàM N∥BD,P∉M N,P∉BD nên giao tuyến của (P M N)và(ABCD)là đường thẳng quaP, song song vớiM Nvà song song vớiBD, cắt các cạnhBC,CDlần lượt tạiHvàK.

2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiElà giao điểm củaP IvàS A. Ta có

• E∈P I,P I⊂(P M N)⇒E∈(P M N).

• MàE∈S AnênElà giao điểm củaS Avới(P M N).

3 Ta có(P M N)lần lượt giao với các cạnhS A,SB,BC,CD,SDtại các điểmE,M,H,K,Nnên

• (P M N)∩(S AB)=EM.

• (P M N)∩(SBC)=MH.

• (P M N)∩(ABCD)=HK.

• (P M N)∩(SCD)=K N.

• (P M N)∩(S AD)=N E.

Vậy thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(P M N)là ngũ giácEMHK N. VìM Nlà đường trung bình trong tam giác ABDnênIlà trung điểm củaSO.

Trong tam giácSOC cóI Plà đường trung bình nênI P∥SC. Do đó trong tam giácS ACcóP E∥SCsuy ra ^ES

E A=PC P A=1

3.

Lại cóPlà trung điểm củaOC,HKquaP vàHK∥BDnênHKlà đường trung bình của tam giácBCD. Do đó ^HB

HC=K D K C =1.

ä BÀI 7. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Trên các cạnhSB, SDta lần lượt lấy các điểmM,N sao cho ^SM

SB =1 3, ^SN

SD =2 3.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(AM N)và(SCD).

2 Tìm giao điểmIcủaSCvà mặt phẳng(AM N). Suy ra thiết diện của mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCD. 3 GọiK là giao điểm củaI NvàCD. Tính tỉ số ^{K C}

K D. ĐS: ^{K C}

K D=5 Lời giải.

S

K

B C

O

E N

I

A M

D

1 Trong mặt phẳng(SBD). Theo bài ra ta có ^SM SB =1

3, ^SN SD =2

3⇒SM

SB 6=SN

SD. Do đóM NcắtBDgiả sử tạiE. Hai mặt phẳng(AM N)và(ABCD)có hai điểm chungAvàEnên(AM N)∩(ABCD)=AE.

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiK là giao điểm củaAEvàCD. Khi đó

• K∈AE⇒K∈(AM N).

• K∈CD⇒K∈(SCD). Suy raK là một điểm chung của(AM N)và(SCD).

• Mặt khác(AM N)và(SCD)có điểmNchung (vìN∈SD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng(AM N)và(SCD)là đường thẳngK N.

2 Trong mặt phẳng(SCD), gọi Ilà giao điểm củaK NvàSC. Khi đóI∈K N⇒I∈(AM N). VậyIlà giao điểm của SCvà(AM N).

Do(AM N)cắt các cạnhS A,SB,SC,SDlần lượt tại các điểmA,M,I,Nnên

• (AM N)∩(S AB)=AM.

• (AM N)∩(SBC)=M I.

• (AM N)∩(SCD)=I N.

• (AM N)∩(S AD)=N A.

Suy ra thiết diện của mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCDlà tứ giácAM I N. 3 Ta cóK∈CDvàK,I,N thẳng hàng.

Lấy điểmP trên cạnhSBsao choP D∥M N. Khi đó ta có ^SM

SP =SN SD =2

3⇒ MP

M M=1

2⇒MP

MB=1

4vìBM=2SM. Xét tam giácBME, ta cũng cóP D∥MEnên ^ED

EB =MP MB=1

4. Xét tam giácABE, cóK D∥ABnên ^{K D}

AB=ED EB=1

4. Suy ra ^{K D}

DC =K D AB=1

4⇒K D

K C = K D

K D+DC= 1 1+4=1

5⇒K C K D=5.

S

B D E

N M

P

ä

3

BÀI 8. Cho tứ diện ABCD. Trên ABlấy điểm M. Trên cạnh BClấy điểm N thỏa mãnBN=2NC. Gọi P là trung điểm củaCD. Xác định thiết diện của tứ diệnABCDkhi cắt bởi mặt phẳng(M N P). ĐS:

Thiết diện là tứ giácM N PQ. ^A

P C

E D

M

B

Q

N

BÀI 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAD. Lấy điểmMtrên cạnhSB. Tìm thiết diện

của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(AMD). ĐS:

Thiết diện là hình thangAM N D. ^S

B C

M N

A D

BÀI 10. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. GọiM, N, P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnhBC,CD,S A. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(M N P). ĐS:

Thiết diện là ngũ giácM N HPG. ^S

D N C M

B E

G

A F

H P

BÀI 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang đáy lớnAD. GọiH,K lần lượt là trung điểm của các cạnhSBvàABvàM là một điểm nằm trong hình thang ABCDsao cho đường thẳngK M cắt hai đường thẳngAD vàCD. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDkhi cắt bởi mặt phẳng(HK M). ĐS:

Thiết diện là ngũ giácHK PQ J. ^S

B C

K I

P M

H

J

Q

A D

N

BÀI 12. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAB. Lấy các điểmM,Nlần lượt trên các cạnh SCvàSD. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDvới các mặt phẳng(ABM)và(AM N). ĐS:

S

C D

O A

N

B M

Q I

J P

Hình1

S

C D

O

A B

Q

N M I

Hình2

Thiết diện cắt bởi(ABM)là hình thangABMP. Nếu ^SM

SC >SN

SD thì thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình1).

Nếu ^SM SC <SN

SD thì thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình2).

BÀI 13. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiH,K lần lượt là trung điểm củaBCvàCD. Lấy điểmMbất kỳ trên cạnhS A. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(MHK). ĐS:

Thiết diện là ngũ giácP MQK H. ^S

D K H C

B E

P A M

F Q

BÀI 14. Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằnga. Gọi Ilà trung điểm của AD,J là điểm đối xứng vớiDquaC,K là điểm đối xứng vớiD quaB. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng(I JK)và tính diện tích

của thiết diện này. ĐS:

Thiết diện là tam giácI EF cân tạiI. S_{4I EF}=a²

6.

A

J

B I

D F

K

C

E

BÀI 15. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. GọiK là trọng tâm của tam giác S AC. GọiI, J lần lượt là trung điểm củaCDvàSD.

1 Tìm giao điểmHcủa đường thẳngI K với mặt phẳng(S AB).

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(I JK).

ĐS:

1 {H}=SP∩I K.

2 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (I JK) là ngũ giác I JG MF.

S

D

O

I C

F P

E

B K

H

A J

M G

BÀI 16. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDkhông là hình thang, điểm P nằm trong tam giácS AB và điểm M thuộc cạnhSDsao choMD=2MS.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(PCD). 2 Tìm giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM).

3 GọiNlà trung điểm củaAD. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCD.

ĐS:

S

E C A D

B P

Hình1.

S

B

C O

I

D M

F A

Hình2.

S

B

C I⁰

J⁰ L

G H

P R

N Q

D M

E⁰ F⁰ A

Hình3.

1 Giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(PCD)là đường thẳngP E. 2 Giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM)là điểmF.

3 Thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCDlà ngũ giácM N HQR. {DẠNG 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

Giả sử chứng minh ba điểmI,J,K thẳng hàng.

Xét hai mặt phẳng(P)và(Q). Chứng minh ba điểmI,J,K là ba điểm chung của(P)và(Q). Khi đóI,J,K thuộc giao tuyến của(P)và(Q)hayI,J,K thẳng hàng.

1

VÍ DỤ 1. Cho tứ diệnS ABC. Trên các cạnhS A,SB,SC lần lượt lấy M,N, P sao choM N cắtABtạiI,N P cắtBCtạiJvàMP cắtACtạiK. Chứng minh rằng ba điểmI,J,K thẳng hàng.

Lời giải.

Xét hai mặt phẳng(ABC)và(M N P). Ta có (I∈AB⊂(ABC)

I∈M N⊂(M N P)⇒I∈(ABC)∩(M N P). (1)

(J∈BC⊂(ABC)

J∈N P⊂(M N P)⇒J∈(ABC)∩(M N P). (2)

(K∈AC⊂(ABC)

K∈MP⊂(M N P)⇒K∈(ABC)∩(M N P). (3)

Từ(1), (2), (3)suy ra I, J,K cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của (ABC)và(M N P).

Vậy ba điểmI,J,K thẳng hàng.

S

P N

A M

B

I

C K

J

ä VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâmOhai điểm, M, N lần lượt là trung điểm củaSB,SD, điểmPthuộcSCvà không là trung điểm củaSC.

1 Tìm giao điểmIcủaSOvới mặt phẳng(M N P). 2 Tìm giao điểmQcủaS Avới mặt phẳng(M N P).

3 GọiF,G,Hlần lượt là giao điểm củaQ Mvà AB,QP và AC,Q N và AD. Chứng minh ba điểmF,G,H thẳng hàng.

1 Trong mặt phẳng(SBD), gọiI=SO∩M N. Ta có

(I∈SO

I∈M N⊂(M N P)⇒I=SO∩(M N P). 2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiQ=S A∩I P.

Ta có

(Q∈S A

Q∈I P⊂(M N P)⇒Q=S A∩(M N P). 3 Xét hai mặt phẳng(ABCD)và(M N PQ). Ta có

(F∈AB⊂(ABCD) F∈Q M⊂(M N PQ)

⇒F∈(ABCD)∩(M N PQ). (1)

(G∈AC⊂(ABCD) G∈QP⊂(M N PQ)

⇒G∈(ABCD)∩(M N PQ). (2)

(H∈AD⊂(ABCD) H∈Q N⊂(M N PQ)

⇒H∈(ABCD)∩(M N PQ). (3)

Từ(1),(2),(3)suy raF,G,Hcùng thuộc đường thẳng giao tuyến của(ABCD)và(M N PQ).

Vậy ba điểmF,G,Hthẳng hàng.

S

A M

Q F

C B

O G

D N

I

H P

2

BÀI 1. Cho tứ diệnABCDcóGlà trọng tâm tam giácBCD. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm củaAB,BC,CD. Tìm giao tuyến của(AD N)và(ABP).

1

GọiI=AG∩MP vàJ=CM∩AN. Chứng minhD,I,J thẳng hàng.

2

Lời giải.

Ta có A∈(AD N)∩(ABP). (1)

Mặt khác

(G∈D N∈(AD N) G∈BP∈(ABP)

⇒G∈(AD N)∩(ABP). (2)

Từ(1)và(2)suy ra(AD N)∩(ABP)=AG. 1

Xét hai mặt phẳng(CD M)và(AD N). Ta có

+D∈(CD M)∩(AD N). (3)

+

(I∈JD⊂(CD M) I∈AG⊂(AN D)

⇒I∈(CD M)∩(AD N). (4)

+

(J∈CM⊂(CD M) J∈AN⊂(AN D)

⇒J∈(CD M)∩(AD N). (5)

Từ(3),(4),(5)suy raD,I, Jthẳng hàng.

2

A

N M

B J

C G

P

D I

ä

BÀI 2. Cho tứ diệnABCDcóK là trung điểm củaAB. LấyI,Jlần lượt thuộcAC,BDsao choI A=2ICvàJB=3JD.

Tìm giao điểmEcủaADvà(I JK). 1

Tìm giao tuyếndcủa(I JK)và(BCD). 2

GọiOlà giao điểm củadvớiCD. Chứng minhI,O,Ethẳng hàng.

3

Tính các tỉ số ^OI

OE và ^OC

OD. ĐS: ^OI

OE=2 3 và ^OC

OD=3 2. 4

Lời giải.

Trong(ABD), gọiAD∩K J=E. Ta có

(E∈AD

E∈K J⊂(I JK)

⇒E=AD∩(I JK). 1

Trong(ABC), gọiK I∩BC=F. Ta có +

(J∈(I JK)

J∈BD⊂(BCD)⇒J∈(I JK)∩(BCD). (1)

+

(F∈K I⊂(I JK)

F∈BC⊂(BCD)⇒F∈(I JK)∩(BCD). (2)

Từ(1)và(2)suy ra(I JK)∩(BCD)=F Jhayd≡F J. 2

Trong(BCD),O=F J∩CD.

Xét hai mặt phẳng(I JK)và(ACD). Ta có +

(I∈(I JK)

I∈AC⊂(ACD)⇒I∈(I JK)∩(ACD). (3)

+

(O∈F J⊂(I JK)

O∈CD⊂(ACD)⇒O∈(I JK)∩(ACD). (4)

+

(E∈K J⊂(I JK)

E∈AD⊂(ACD)⇒E∈(I JK)∩(ACD). (5)

Từ(3),(4),(5)suy raI,O,Ethẳng hàng.

3

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác sau.

Tam giácABCcóK,I,F thẳng hàng

⇒FC FB·K B

K A·I A

IC=1⇔FC

FB·1·2=1⇒FC FB=1

2

⇒Clà trung điểm củaBF.

Tam giácBCDcóF,O,J thẳng hàng

⇒OC OD·JD

JB·FB

FC=1⇔OC OD·1

3·2=1⇔OC OD =3

2. Tam giácABDcóK,J,Ethẳng hàng

⇒ED E A·K A

K B·JB

JD =1⇔ED

E A·1·3=1⇔ED E A =1

3. Tam giácA I EcóC,O,Dthẳng hàng

⇒ OI OE·DE

D A·C A

C I =1⇔ OI OE·1

2·3=1⇔ OI OE=2

3. Vậy ^OI

OE=2 3 và ^OC

OD=3 2. 4

A

J K

B

I

O

C

F

E D

ä BÀI 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang,ADlà đáy lớn vàAD=2BC. GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaSB,SCvàO=AC∩BD.

Tìm giao tuyến của(ABN)và(SCD). ĐS:(ABN)∩(SCD)=ENvớiE=AB∩CD 1

Tìm giao điểmP củaD N và(S AB). ĐS:P=D N∩SE

2

GọiK=AN∩D M. Chứng minhS,K,Othẳng hàng. Tính tỉ số ^{K S}

K O. ĐS: ^{K S}

K O=3 3 2

Lời giải.

Ta cóN∈(ABN)∩(SCD).

Trong(ABCD), gọiAB∩CD=E⇒E∈(ABN)∩(SCD). Suy ra(ABN)∩(SCD)=EN.

1

Trong(SCD), gọiD N∩SE=P

⇒P=D N∩(S AB). 2

Xét hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)có

+S∈(S AC)∩(SBD). (1)

+

(K∈AN⊂(S AC) K∈MD⊂(SBD)

⇒K∈(S AC)∩(SBD). (2)

+

(O∈AC⊂(S AC) O∈BD⊂(SBD)

⇒O∈(S AC)∩(SBD). (3)

Từ(1),(2),(3)suy raS,K,Othẳng hàng.

Vì AD∥BCnên₄O AD∼ 4OCB

⇒OC O A= BC

AD=1 2.

Áp dụng định lí Menenalus vào₄SOCcóA,K,Nthẳng hàng

⇒K S K O·AO

AC·NC

N S=1⇔K S K O·2

3·1=1⇔K S K O=3

2. 3

S

A M

B

C O

E

D

K N

P

ä BÀI 4. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaS A, SC.

Tìm giao tuyến của(BM N)với các mặt phẳng(S AB)và(SBC). ĐS:(BM N)∩(S AB)=BMvà (BM N)∩(SBC)=BN

1

TìmI=SO∩(BM N)vàK=SD∩(BM N). ĐS:SO∩M N=IvàSD∩BI=K

2

TìmE=AD∩(BM N)vàF=CD∩(BM N). ĐS:MK∩AD=EvàN K∩CD=F

3

Chứng minh rằng ba điểmB,E,F thẳng hàng. ĐS:B,E,F là điểm chung của(ABCD)và(M N P) 4

Lời giải.

Ta có(BM N)∩(S AB)=BMvà (BM N)∩(SBC)=BN.

1

Trong(S AC), gọiSO∩M N=I

⇒I=SO∩(BM N).

Trong(SBD), gọiSD∩BI=K

⇒K=SD∩(BM N).

2

Trong(S AD), gọiMK∩AD=E

⇒E=AD∩(BM N).

Trong(SCD), gọiN K∩CD=F

⇒F=CD∩(BM N). 3

Xét hai mặt phẳng(ABCD)và(BM N)có +

(B∈(ABCD)

B∈(BM N) ⇒B∈(ABCD)∩(BM N). (1)

+

(E∈AD⊂(ABCD) E∈(BM N)

⇒E∈(ABCD)∩(BM N). (2)

+

(F∈CD⊂(ABCD) F∈(BM N)

⇒F∈(ABCD)∩(BM N). (3)

Từ(1),(2),(3)suy raB,E,F thẳng hàng.

4

S

A M

I

E

C B

O

F

D N

K

ä