UBND HUYỆN HÀ TRUNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023
Môn:
TOÁN 7
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang
Câu I:(4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 7
3 15 20 34 19 21
7 34
15+ + − +
= A
b) 2 .3 6 .20
6 . 2 9 . 4
8 8 10
9 4
5
+
= − B
c)
8 5 6 5 4 5
4 1 3 1 2 1
13 5 11
5 4 5
13 3 11
3 4 3
+
− +
− + +
− +
−
= C
d) 1147
1 775
1 475
1 247
1 91
1 −
− +
− +
− +
− +
= D
Câu II:(4,0 điểm) 1. Tìm x biết:
a,
22 1 21 2 2:
31 x− =
b,
2022 1 2021
2 2020
3 2019
4 + − = − + −
− x x x
x
2. Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:
b b a c a
a c b c
c b
a+ − = + − = + −
.
Hãy tính giá trị của biểu thức
+
+
+
= b
c c
a a
B 1 b 1 1
Câu III:(4,0 điểm)
1) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: . 2) Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
3) Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng: n2 +2022 không phải là số chính phương Câu IV:(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N.
a. Chứng minh rằng: DM = EN.
b. MN cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN.
c. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Câu V:(1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x−2021+ x−2022 + x−2023
---- HẾT ----
1 1 1
x
+ =y 5 Số báo danh
……….
1
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ
THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023MÔN: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm này có 05 trang
Câu Nội dung Điểm
Câu I (4điểm) a)
7 3 15 20 34 19 21
7 34
15 + + − +
= A
7
3 15 20 21
7 34 19 34
15 +
−
+
+
=
7
3 3 4 3
1 1 +
− +
=
7 3 7 0 3
7 ) 3 1 ( 1
= +
=
+
− +
=
0,25 0,25 0,25 0,25
b) 2 .3 6 .20
6 . 2 9 . 4
8 8 10
9 4 5
+
= − B
2 . 3 2 . 3 . 2 . 5 3 . 2 . 2 3 . 2
2 8 8 8 10
9 9 8 10
+
= −
5 . 2 . 3 3 . 2
3 . 2 3 . 2
10 8 8 10
9 10 8 10
+
= −
3
1 6
2 ) 5 1 ( 3 . 2
) 3 1 ( 3 . 2
8 10
8
10 = − = −
+
= −
0,5
0,5
c)
8 5 6 5 4 5
4 1 3 1 2 1
13 5 11
5 4 5
13 3 11
3 4 3
+
− +
− + +
− +
−
= C
− + + + −
− +
− +
=
4 1 3 1 2 . 1 2 5
4 1 3 1 2 1
13 1 11
1 4 . 1 5
13 1 11
1 4 . 1 3
1
5 2 5 3+ =
=
0,5
0,5
d) 1147
1 775
1 475
1 247
1 91
1+ − + − + − + −
= − D
37 . 31
1 31 . 25
1 25 . 19
1 19 . 13
1 13 . 7
1 + − + − + − + −
= −
+ + + +
−
= 31.37
6 31 . 25
6 25 . 19
6 19 . 13
6 13 . 7 . 6 6 1
− + − + − + − + −
−
= 37
1 31
1 31
1 25
1 25
1 19
1 19
1 13
1 13
1 7 . 1 6
1
259 5 37
1 7 . 1 6
1 =−
−
−
=
0,25 0,25 0,25 0,25
2
Câu II (4điểm) a)
22 1 21 2 2:
31 x− =
22 1 21 2 2:
7 x− =
3 11 22 : 21 2 1 7
2x− = =
−
=
=
−
=
−
=
−
3 4 3 7
3 1 11 2
3 1 11 2
x x x
x
Vậy 3
= 7
x hoặc
3
−4 x=
0,5
0,5 b)
2022 1 2021
2 2020
3 2019
4+ − = − + −
− x x x
x
+ −
− −
=
− −
+
− −
2022 1 1
2021 1 2
2020 1 3
2019
4 x x x
x
2022 23 2021
23 2020
23 2019
23+ − = − + −
− x x x
x
( )
02022 1 2021
1 2020
1 2019 . 1
2023 =
+ − −
− x
+ − −
=
−
0
2022 1 2021
1 2020
1 2019 0 1
2023 Vì
x
x=2023. Vậy: x=2023
0,25
0,25 0,25 0,25 a)
+Nếu a+b+c 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
b b a c a
a c b c
c b
a+ − = + − = + − = a b c b c a c a b a b c
+ − + + − + + −
+ + = 1
mà a b c 1 b c a 1 c a b 1
c a b
+ − + = + − + = + − + = 2
=> a b b c c a
c a b
+ = + = + =2 Vậy a+b+c 0
Thì B = 1 b 1 a 1 c (b a c)( a b c)( )
a c b a c b
+ + +
+ + + =
=8
0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ
+Nếu a+b+c = 0 Thì: a + b = -c, b + c = -a, a + c = -b Hay: B = 1 b 1 a 1 c (b a c)( a b c)( )
a c b a c b
+ + +
+ + + =
= c. b. a
a c b
− − −
= -1 Vậy: a+b+c = 0
Thì B = - 1
0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ 1. (1.5 điểm)
3
Câu III (4.0
điểm) 5
1 1
1 + =
y
x
) 0 y
; 0 x Vì ( 5
5 + =
x y xy
0 5 5 − =
−
xy x y
25 ) 5 ( 5 ) 5
( − − − =
x y y
25 ) 5 )(
5
( − − =
x y x - 5;y -5 Ư(25)=
1; 5; 25
Ta có bảng sau:
x - 5 1 -1 5 -5 25 -25
y - 5 25 -25 5 -5 1 -1
x 6 4 10 0 30 -20
y 30 -20 10 0 6 4
Vì x, y là các số nguyên dương nên ta có
( ) (
x y;
6;30 ; 10;10 ; 30;6) ( ) ( )
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 2. (1,5 điểm) Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z
4 3 5
1 1 1 1 1 1
8 12 15 2 4 3
x y z x y z
= = = = = = 4 3 5 7 12
1 1 1 7
2 4 3 12 x− y+ z = =
− +
x = 12.1 8= 3
2 ; y = 12. 1
12 = 1; z = 12. 1 4 15= 5
0.5 0.5 0. 5 3. (1,0 điểm) Vì n là số tự nhiên nên
n
2 là số chính phương do đón
2 có dạng4 k
hoặc4 k + 1
(k N
)Nếu n2 = 4k thì
n
2+ 2022 4 = k + 2022 4. = ( k + 505 ) + 2
n2+
2022
không phải là số chính phương Nếu n2 =4k+1 thì( )
2
2022 4 1 2022 4 2023 4. 505 2
n + = k + + = k + = k+ +
n
2+ 2022
không phải là số chính phương KL: Vậy với mọi số tự nhiên n thì n2 +2022
không phải là số chính phương0,25 0,25 0,25 0,25
Câu IV (6.0 điểm)
O
I
N M
B H
C A
D
E
4
a) (2 điểm) Xét BDM và CENcó:
)
; (
900 do MD BC NE BC NEC
MDB= = ⊥ ⊥
BD=CE(gt)
MBD=NCE (=ACB) BDM =CEN (g.c.g)
DM =EN ( hai cạnh tương ứng) b) (2.0 điểm) Xét MDIvà NEI có:
MDI =NEI =900 (do MD⊥BC; NE ⊥BC) DM =EN (ý a)
DMI =ENI ( So le trong và MD // NE) MDI=NEI (g.c.g)
IM =IN ( hai cạnh tương ứng) Vậy I là trung điểm của MN.
c) (2,0 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I
Cần chứng minh O là điểm cố định.
Nối O với B, C. Vì đường thẳng OA cố định nên cần chứng minh OC cố định hay OC ⊥ AC.
Chứng minh: AHB=AHC( ch – gn) CAH
BAH=
( hai góc tương ứng)
Chứng minh OAB=OAC (c.g.c) OBA=OCA (1) Chứng minh OBM =OCN ( c.c.c) OBA=OCN (2) Từ (1) và (2) OCA=OCN mà OCA+OCN =1800
900
=
=
OCA OCN OC ⊥ AC.
Vì AC cố định mà OC⊥AC O là điểm cố định.
Vậy khi D di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định.
0,5 0,25 0,75 0,25 0.25 0,25 0,5 0,25
0,5 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu V
(1.0 điểm)
Ta có: A= x−2021+ x−2022 + x−2023 =
(
x−2021+2023−x)
+ x−2022Do x−2021+2023−x x−2021+2023−x = 2 =2 với mọi x (1) và x−2022 0 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A=
(
x−2021+2023−x)
+ x−20222 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:( )( )
2022 2022 2023 2021
0 2022
0 2023
2021 =
=
=
−
−
− x
x x x
x x
Vậy Min A = 2 x=2022
0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: -Học sinh nếu làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Trong bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không được chấm điểm.
--- HẾT ---
