PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. Phương trình - bất phương trình chứa căn thức I. Phương pháp biến đổi tương đương
1. Kiến thức cần nhớ:
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
1.
2. 0
3. ,
4. 0
5. ,
n n
n n
n n
n n
n n
a a
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
2. Các dạng cơ bản:
* Dạng 1:
2
0 f x g x g x
f x g x
(Không cần đặt điều kiện f x
0)* Dạng 2: f x
g x
xét 2 trường hợp:TH1:
0 0 g x
f x
TH2:
2
( ) 0 g x
f x g x
* Dạng 3:
2
( ) 0 0 f x
f x g x g x
f x g x
Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g x
0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trìnhbất phương trình về dạng quen thuộc.+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a x0 n a x1 n1a x2 n2 an1xan 0 có nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được
x
b x0 n1b x1 n2 bn2xbn1
0, tương tự cho bất phương trình.* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x1x23x10(ĐH Khối D – 2006)
Biến đổi phương trình thành: 2x 1 x2 3x1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:
0 2 8 11
6 3 2
4 x x x
x ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:
(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4
x1
2 2x10 1
32x
2, ĐK: x23
2 2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5
ptx x x x x x x x (1), Với 3
x 2 hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 0
x3
x1
20b) Tương tự với 2 dạng: * f x
g x
* f x
g x
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x2 6x 1 x 2 0 1
Giải
1 2x2 6x 1 x 2 bất phương trình tương đương với hệ:2 2
2 0 2
3 7 3 7 3 7
2 6 1 0 3
2 2 2
2 6 1 2 1 3
x x
x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx 1 m 2có nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm.
* Nếu m 2 phương trình x22mxm2+4m3=0. Phương trình này có =2m24m+3>0 với mọi m.
Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Cách 1:
2
1
2 4 0, (*) PT x
x m x
, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:
2 2
1 2
2 4 20 2 4 20
0, 0
2 2
m m m m m m
x x
. Phương trình đã cho có 2 nghiệm (*) có
2 nghiệm x 1
2
2
2 2
4
1 4 4 20 1
4 4 20
m
x m m m m
m m m
Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0.
(*) trở thành:
t1
2 m2
t 1
4 0 (**). Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 nghiệm t 0. Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2mx 2 2x1, (1) Giải:
2
2 1 0
3 4 1 0, 2
pt x
x m x
để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc
bằng 1
2hay
4
2 12 01 9
2 0 2
1
2 2
m
f m
S
.
Chú ý : Cách 2: đặt 1
t x 2, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1
2 thì
1 2 1
3 4 1 0
2 2
t m t
có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.
3. Các kỹ năng:
a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x4 (ĐH Khối A – 2005)
Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5x 1 x 1 2x4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x
1
x x
2
2 x2
1 .Giải
Điều kiện:
1 2 * 0 x x x
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1
4 2 2 1
8 9 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9 x8. (Hãy tìm thêm cách giải khác)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx x2 4 0 có nghiệm.
HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được
2 1,2
16 2
m m
x . Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m| 4.
b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...
Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 x 7 7. HD: Bình phương hai vế.
Dùng hằng đẳng thức a2 b2=0.
Nghiệm 1 29
2, 2
x x
.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.
2
2 4
1 1
x x
x
b.
x2 3x
2x2 3x 2 0ĐS: a. 1x<8, b. ; 1
2
3;
2
.
Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x 8 m x
2
.(1)Giải: ĐK: x2, do m > 0.
6 32 ,(2)
2 2 4
2 3 2
m x
x x x
m x
x
pt . Để chứng minh m0, phương trình (1) có
2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2.
Thật vậy: đặt f x
x36x232,x2, ta có f(2) = 0, lim
, '
3 2 12 0, 2x f x f x x x x
nên f(x) là hàm liên tục trên
2;
và đồng biến trên khoảng đó suy ra m 0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 < .Một số dạng chuyển thành tích:
- Dạng:
a c x-
b d-
ax b cx d
m
Ta biến đổi thành: m( ax b cxd)
axb
cxd
Ví dụ: Giải phương trình: 3
4 1 3 2
5
x x x . ĐS: x=2.
- Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình: 3x 1 3 x 2 1 3x2 3x2. ĐS: x=0, x=1.
Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 x 1 4x3 x2 . ĐS: x=0, x=1.
- Dạng: au+bv=ab+uv (ub)(va)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x2 4x3. ĐS: x=0, x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3x2 3x 3 2x x2 3 2x2 2x. ĐS: x=0.
- Dạng: a3b3 (ab)(a2+ab+b2)=0 a=b
Ví dụ: Giải phương trình: 23 93 x2
x2
2x3 33 x x
2
2 . ĐS: x=1.c. Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với Ai 0 1, i n khi đó pt tương đương với:
, ,
1 0 2 0 n 0
A A A .
Ví dụ 1: Giải phương trình:4x2 3x 3 4x x 3 2 2x1.
HD: Phương trình tương đương
4x2 4x x 3 x 3 1 2 2
x 1 2x 1
0. ĐS: x=1.Ví dụ 2: Giải phương trình: 4xy2 y 2 4x2 y. Giải
Bình phương hai vế ta được
2 1
2 2
2 2
2 4
2
0 1, 2.x y y x y x 2 y d. Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát 3a 3b 3c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức
ab
3 a3b3 3ab a
b
khi đó phương trình tương đương với hệ3 3 3
33
a b c
a b abc c
. Giải hệ này ta có
nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình 3x 1 3x 2 32x3. ĐS: 3 1; 2;
x x x2. e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:
- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2 2 16 7
3 1
3 3
x x
x
x x
(ĐH Khối A2004)
Giải
ĐK: x4.
1 2
x216
x 3 7 x 2
x216
102x
2
24 5
10 2 0
10 2 0
10 34 5
2 16 10 2
x x
x x
x x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x10 34.
- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.
x3
x2 4 x2 9 b. 51 2 2 11 x x
x
.
HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS: 5
6 3
x x .
b. Xét hai trừng hợp của x1. ĐS: 1 52 x 5 x 1.
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. x2 x 1 x x
1
x2 x 0.HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2x x2 x 4 x2 x x34x26x 4 0.
2 2
(x 2)(2 x x x 2x 2) 0
b. 4x25x 1 2 x2 x 1 9x3. HD: Nhân lượng liên hợp.
Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2 x 12x 2 x2. HD: Cách 1: Đặt
4 2
2 4
1 2 1 2
16
t t
t x xx . Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0.
Bài 3: Giải phương trình 43 103x x 2. (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).
Bài 4: Giải phương trình 2 2
1 1
3 x x x x
. Bài 5: Giải phương trình 2x 6x2 1 x 1. Bài 6: Giải các phương trình sau:
1. x2 1 x1 2. 3 x 2 32x 3 1
3. 32x 2 3x 2 39x 4. 3 x 1 3x 1 x32 5.
2
1 1 2
4
x x x
6. 2
2 3 3 1
4 x x x
7. 5x 3 3x 1 x 1. (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0).
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m. Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 4xx2 x m.
a. Có nghiệm.
b. Có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
a.
1 1 4 2
x 3 x
.
b. x23x 2 x26x 5 2x29x7. c. x2 x 2 x2 2x 3 x24x5. Bài 10: Giải các phương trình:
a. 3x 1 3x2 3x3 x2 x. b. 4
3 4
3
x x x
x
.
c. 3
4 x 3 1 4x
x. d. 2 x 3 9x2 x 4. e. 2x x2 x 1 4 3x 1 2x22x6.
II. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1: F
n f x
0, đặt tn f x
(lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0).Ví dụ 1: Giải các phương trình: a. x2 x21131. b.
x5 2
x
3 x2 3x.HD: a. Đặt t x211,t0. ĐS: x=5.
b. Đặt t x2 3 ,x t0. ĐS: 3 109
x 2 . Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x2m 52xx2 m2.
Giải
Đặt: t 52xx2 6
x1
2 t 0; 6.Khi đó phương trình trở thành t2 2mtm2 5 0 *
t m 5. Phương trình đã cho có nghiệm khi (*)có nghiệm t0; 6 hay 0 5 6 5 6 5
0 5 6 5 6 5
m m
m m
.
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: m( x22x 2 1) x
2x
0, (1) có nghiệmx0;1 3. Giải: Đặt t x2 2x 2 x22x t2 2. Nếu x
0;1 3
thì t
x1
2 1
1;2BPT trở thành: m t
1
2 t2 0, 2
Khi đó ta có 2 2 1
t m
t
, với 1 t 2. Đặt
2 21 f t t
t
, dùng đồ thị ta tìm được 2 m 3. Dạng 2:
2
0m f x g x n f x g x n f x g x p , đặt t f x
g x
, bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x 6 x m
3x
6x
.a. Giải phương trình khi m=3.
b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Giải
Đặt: t 3 x 6 x t2 9 2
3x
6x
* . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2 3x 6x 9 nên từ (*) ta có 3 t 3 2. Phương trình đã cho trở thành t22t9=2m (1).
a. Với m=3 (1) t22t3 t =3. Thay vào (*) ta được x=3, x=6.
b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t3; 3 2. Xét hàm số f t
t2 2t 9 với3; 3 2
t , ta thấy f(t) là một hàm đb nên: 6 f(3) f t
f
3 2 9 6 2 với t3; 3 2. Do vậy (1) có nghiệm t3; 3 2 khi và chỉ khi 6 2 96 2 9 6 2 3
m 2 m
Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:
Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).
Ví dụ 2: Giải phương trình x335x3
x335x3
30.HD: đặt: 3 3 3 3 3 35
35 35
3
t x x x t
t
. ĐS: x=2, x=3.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 7x 7 7x 6 2 49x2 7x42181 14 x. HD: Đặt t 7x 7 7x 6 0 … 6
7 x 6. Dạng 3:
n ,n
0F f x g x , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.
TH1: Kiểm tra nghiệm với g x
0.TH2: Giả sử g x
0 chia hai vế phương trình cho gk
x và đặt t n f x
g x . Ví dụ 1: Giải phương trình 5 x3 1 2
x2 2
.ĐK: x 1. 5 x3 1 2
x2 2
5
x1
x2 x 1
2 x2 x 1
2
x1
2 1 2 1
2 5 2 0
1 1
x x
x x x x
Đặt 2
1 , 0
1
t x t
x x
. Phương trình trở thành 2
2
2 5 2 0 1
2 t
t t
t
.
Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.
Với 1
t2: Phương trình đã cho có nghiệm 5 37 x 2 . Ví dụ 2: Giải phương trình 5x2 14x 9 x2 x 205 x1. Giải
ĐK: x5. 5x214x 9 x2 x 205 x 1 5x2 14x 9 5 x 1 x2 x 20 Bình phương hai vế: 2
x2 4x5
3
x4
5
x2 4x5
x4
Đặt 2 4 5
, 0.
4
x x
t t
x
phương trình trở thành 2 3
2 5 3 0 1,
t t t t2.
Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5 61
5, 5
2 2
x x
.
Với 3
t2: Phương trình đã cho có nghiệm 7
8 5, 5
x x 5 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61
, 8
x 2 x
.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 24 x2 1.
HD: ĐK x1. Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4x2 1 đặt
4 1 4 2
1 1 1
t x
x x
0 t 1
. ĐS 1 1m 3
. Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để).
0af x g x f x h x . Đặt t f x
, khi đó phương trình trở thành at2 g x t
h x
0.Ví dụ: Giải phương trình 2 1
x
x22x 1 x2 2x1.HD
Đặt t x2 2x 1 x 1 6.
(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!) Bài tập
Giải các phương trình sau:
1. 2x2 5x 2 4 2
x3 21x20
ĐS: 9 193, 17 3 734 4
x x .
2. x33x2 2
x2
3 6x0 Đặt y x2, ĐS: x2, x 2 2 3.3. 2
x2 3x2
3 x38 ĐS: x 3 13.4. 1 1 1
2 x 1 3
x x
x x x
Đặt 1
1
t x, ĐS: 1 5 x 2 . Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác).
Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này.
Lưu ý vài tính chất cơ bản:
* sina1, cosa 1. * sin2acos2a1.
* 2 12
1 tan a cos
a * 2 12
1 cot a sin
a. Ví dụ 1: Giải phương trình 1 1x2 2x2.
Giải
ĐK x1. Đặt xcos ,t t
0; . Khi đó phương trình trở thành2 2 2
1 1 cos t 2 cos t2 sin tsint 1 0. Ta tìm được: 1
sint 2. Khi đó
2 3
cos 1 sin
x t t 2 .
Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x
a. Ta có thể nghĩ đến cách đặt
sin , ;u x a t t 2 2 hoặc đặt u x
acos ,t t
0; .* Nếu u x
0;a ta có thể đặt
sin2 , 0;u x a t t 2. Ví dụ 2: Giải phương trình x3
1x2
3 x 2 1
x2
.HD: Đặt xcos ,t t
0; dưa về phương trình lượng giác
sintcost
1 sin cos t t
2 sin cost t. Để gảiphương trình này ta lại đặt usintcos ,t u 2.
ĐS: 2 1 2 2 2
2 , 2
x x .
Ví dụ 3: Giải phương trình 1x2 4x33x. ĐS: 1 2 2
, 4
2
x x
.
Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình).
* Khi gặp phương trình có dạng F f x
,na f x
,mb f x
0.Đặt una f x
,vmb f x
. Khi đó ta được hệ phương trình sau:
, 0n m
F u v
u v a b
. Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình una f x
hoặc vmb f x
.Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 6 x 3
3x
6x
. ĐS: x0, x 3.Ví dụ 2: Giải phương trình: 324 x 12 x 6. ĐS: x 24, x 88, x3. Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 x 417 x 3. ĐS: x1, x16.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3
2x
2 3
7x
2 3
2x
7x
3. ĐS: x1, x 6.Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x 1 3x 3 32 , đặt u 3x1,v 3x3, pt trở thành:
3
3 3
2 2 u v u v
Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 1
2 x 2 x 1, đặt 31 1
2 , 2
u x v x Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: 31x31x acó nghiệm.
Đặt u 3 1x,v3 1x. Phương trình trở thành: a u
2 v2 uv
2u v a
TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.
TH2: a0, hệ phương trình trở thành 1 2 2 3
u v a
uv a
a
. Hệ có nghiệm khi S24P 0 0 a 2. Vậy phương trình có nghiệm khi 0 a 2.
* Khi gặp phương trình có dạng fn
x b a af xn
b.Đặt t f x
, yn af x
b ta có hệ tnn b ayy b at
. Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3 1 2 23 x1. ĐS: 1 5
1, 2
x x .
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 3
2 4
2
x x x
. Giải
ĐK x 3. 2 2 4 3 2
1
2 2
1
2
1
2 1 1 1 12 2 2 2
x x x
x x x x
.
Đặt 1 2
1, 1 1 1
2 2 2
x t t
t x y y . Ta được hệ phương trình
2
2
1 1 2 1 1
2
t y
y t
. Giải thêm chút nữa
ta được kết quả! ĐS: 3 17 5 13
4 , 4
x x
.
Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ.
Ví dụ 3: Giải phương trình 4x27x 1 2 x2. ĐS: 7 1
1, ,
4 4
x x x . Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 3x 2 x 1 4x 9 2 3x2 5x2 2. x2 x 2 x2 x 3. x2 x 4 x2 x 1 2x2 2x9 4. 4 1 5
2
x x x
x x x. Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:
1. 5x2 10x 1 7 2xx2 2. 324 x 12 x 6
3. 2x2 x2 5x 6 10x15 4.
2
1 1 2
4
x x x
. Bài 3: Giải các phương trình sau:
1. 312 x 314 x 2 2. 3 x 1 3 x 3 32
3. 1x2 2 13 x2 3 4. x2 2 2x 5.
2
1 1 2
4
x x x
(đặt t 1 x 1x ).
III. Phương pháp hàm số Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f u( ) f v
u v.Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
a b c ; :
' F b F a
F c b a
. Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
; : '
0 '
0c a b F c F x
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D.
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.
Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 4x2 1 1
ĐK: 1
x2. Đặt f x
4x 1 4x2 1. Miền xác định: 1x 2, '
2
2 4
4 1 4 1 0
f x x
x x
.
Do đó hàm số đồng biến với 1
x 2, nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Thấy 1 x2 là nghiệm của phương trình.
Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:
Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng d: y = g(m).
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)
B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min
,
max
,
x D f x m g m x D f x m
.
* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.
* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x2 x 1 x2 x 1 mcó nghiệm.
TXĐ: R
Xét hs: y f x
x2 x 1 x2 x 1, Df = R,2 2
2 1 2 1
'
1 1
x x
y
x x x x
' 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 0
0 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1
x x
y x x x x x x
x x x x x x (v.nghiệm)
Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Giới hạn: 2 2
2 2
lim lim 2 1
1 1
lim lim 2 1
1 1
x x
x x
x
x x x x
x
x x x x
BBT: x
y’ +
y 1
1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.
Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3 m 1, ĐK: x3
1 3
1
bpt x m
x
, xét hs
21 3 5
1 ' 2 3 1
x x
y y
x x x
. y' 0 x 5. lim 0
x y
và f(3) = 1 2. BBT:
x 3 5
y’ + 0
y y(5)
1 2
0
Vậy bất phương trình có nghiệm
5 3 1y m m 4
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x x12m
5 x 4x
có nghiệm.Giải: ĐK: 0 x 4
( 12) 5 4
pt x x x x x m xét hs y f x
(x x x12)
5 x 4x
. Miền xác định: D
0; 4Nhận xét: Hàm số h x
x x x12 đồng biến trên D.Hàm số g x
5 x 4x đồng biến trên D.Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
0
4f m f
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 m x21 Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:
2
3 1
x m
x
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C):
2
3 1 y x
x
và đường thẳng: y = m.
Lập BBT :
x 1/3
y’ + 0
y 10
1
1
KL: m 1 m 10: phương trình vô nghiệm.
1 m 1
hoặc m 10: phương trình có nghiệm duy nhất.
1 m 10: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1 3 x
x1 3
x
m, (1)Giải: ĐK: 1 x 3. Đặt t x 1 3x, lập BBT của t(x) với 1 x 3 ta có 2 t 2 Khi đó phương trình (1) trở thành: 1
2t2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 2 t 2 từ đó kết luận: 1 m 2.
Bài tập:
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 9 x x2 9xm. Bài 2. Giải các phương trình sau:
1. x2 x 1 x2 x 1 3 1 2. x 1 3 x
x1 3
x
13. x x x1212
5 x 4x
Hết