Phân Dạng Các Bài Toán Bất đẳng Thức Và Min – Max – Mẫn Ngọc Quang

BẤT ĐẲNG THỨC 2 BIẾN

TUYỂN CHỌN BẤT ĐẲNG THỨC NĂM 2016

Giáo viên: Mẫn Ngọc Quang

A. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG

Bài 1: Cho 2 số thực ,x y thay đổi thỏa x² y² 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^P2



^x3y3



^3xy

Bài giải



^{3 3}

   

^{2 2}

   

2 3 2 3 2 2 3

P x y  xy xy x xyy  xy xy xy  xy Đặt t = x + y. ĐK : t 2

,

2 2

2 xyt 

3 3 2

6 3

P  t 2t  t , với t 2 Xét ( ) ^{3 3 2} 6 3

f t   t 2t  t trên [-2,2] ^'

 

^{3 2 3 6; '}

 

^{0 1}

2 f t t t f t t

t

 

          Ta có

 

^{1 13;}

 

^{2 1;}

   

^{2 7}

f  2 f  f   

 

 

2,2

max 13 f t 2

  khi t = 1 nên max ¹³

P 2 _{2 2}1

2 x y x y

  

   

1 3 1 3

2 2

1 3 1 3

2 2

x x

y y

     

 

 

 

 

   

 

 

 

 

2,2

min f t 7

   khi t = -2 nên minP = - 7 _{2 2} ² 2 x y x y

  



 

 ^{   x y 1}

Bài 2: Cho x0 và y0 thỏa điều kiện x y2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1

 

 xy xy

P .

Bài giải

Ta có 1

0 2

2

 



 



 

 x y

xy . Đặt t xy, điều kiện 0 t 1 khi đó

   

 

 

 

2 2

1 1 2

' 1

1 1 1

P f t t f t t t

t t t

       

  

Bảng biến thiên

§1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

+

3 1 2

0 0 1 P^/

P x

Vậy GTLN 2

 3

P Khi x1; y1

Bài 3: Cho a b, 0 thỏa mãn ²



^a2b2



^{a b2 2}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1

1 1 1

a b

P b a a b

  

   

Bài giải Ta có ^{a b2 2 2}



^a2b2



^



^{a b}



^{2 ab a b}

 

²

 

²

   

²

2 2

2 2

1 2 1 2 1 1

1 1

a b a b ab a b a b a b

a b a b

             

     

 

 

2 2

2 2

1 1 2 1

1 1 1

1 1 1

1 2

1 1 1

4 1

1 2

2 1

a b

P b a a b

a b a b a b

a b a b a b

   

           

 

          

    

    Đặt t a b, ta có

 

^{2 2}



^{2 2}

   

²



^{4 4}

16

a b a b ab a b a b

       

Xét

 

⁴



¹



1

2; 4

2 1

f t t t

t t

    

  ta được

 

⁵

inf 2

MinPM x 3khi x y

Bài 4: Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn xy  x y 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



^{2 2}



3 3

1 1

x y xy

P x y

y x x y

    

  

Bài giải

Đặt ^{t  x y xy 3 t x; 2y2 }



^xy



^{22xy t2 2 3}



^{   t}



^{t2 2t 6}

Ta có

2

1 2

3 2

2 4

x y

xy     t t  t

Suy ra ³



^{2 2}



³

  

^{2 2}



^{2 12 5}

1 2

x y x y xy

P x y t t

xy x y x y t

  

        

   

Xét hàm số

 

^{2 12 5}

f t t t 2

    t  với t2 Ta có ^{f '}

 

^{t 2t 1 2}₂ ^{0, t 2}

   t    . Suy ra hàm số ^{f t}

 

nghịch biến với t2

   

^{2 3}

P f t f 2

   

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ³

2 khi x y 1.

Bài 5: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x y)³ 4xy2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

2 2 2 2

3( ) 2( ) (3 4) 2015

P x y  x y xy xy  .

Bài giải

Với mọi số thực ,x y ta luôn có (x y)² 4xy, nên từ điều kiện suy ra

3 2 3 3 2

(x y)  (x y)  (x y) 4xy  2 (x y)  (x y)     2 0 x y 1Ta biến đổi P như sau 2015

) 4 3 ( ) 2 (

2 ) 2(

) 3 2(

3 2  2 2  2  2 2  2  2    

 x y x y x y xy xy xy

P

2015 )

( 2 ) 2(

) 3 2(

3 2  2 2  4  4  2  2 

 x y x y x y (3)

Do 2

) ( ^{2 2 2}

4

4 x y

y

x    nên từ (3) suy ra ( ) 2( ) 2015

4

9 2  2 2  2  2 

 x y x y

P .

Đặt x²  y² t thì 2

1

t (do xy1).

Xét hàm số 2 2015

4 ) 9

(t  t²  t

f với

2

1

t , có 2 0

2 ) 9 (

' t  t 

f , với

2

 1

t nên hàm số f(t) đồng biến

trên _



 

 ; 2

1 . Suy ra

16 32233 2

) 1 ( min

2;

1 



 



 



 

 

f t f

t

. Do đó GTNN của P bằng

16 32233

, đạt được khi và chỉ khi

2

 1

 y x Bài 6: Cho các số dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

³

2 2 2 2

1 1 2

3 3 3

P

x y

x y x y

  

   .

Bài giải Xét biểu thức

 

³

2 2 2 2

1 1 2

3 3 3

P

x y

x y x y

  

  

Trước hết ta chứng minh

2 2 2 2

1 1 2

3 3 x y

x y x y

 

  

Thật vậy,

 

  

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 8

2 3 3 3 3

3 3

x y

x y x y x y x y

x y x y

    

      

         

 

Xét

 

    

      

    

 

    

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 3 3

8 4

3 3 3 3

4 1 1 2

3 3 0 3 3

x y x y x y x y

x y

x y x y x y x y x y x y

x y

x y

x y x y x y x y x y

      

    

     

 

    

     

Dấu “=” xảy ra khi x = y Như vậy,

 

³

2 2

3 P x y x y

 

Đặt, 1

, 0

t t

x y

 

 . Xét hàm số

3

2 2

( ) 2 '( ) 2 2 ; '( ) 0 1

3

f t  t t  f t   t f t    t

Bảng biến thiên

t – –

1 1 +

f’(t) – 0 + 0 –

f(t)

4/3

Từ BBT ta thấy GTLN của f(t) là 4

3 khi t = 1.

Vậy, GTLN của P là 4

3 khi 1

x y 2

Bài 7: Với mo ̣i số thực x,y thỏa mãn điều kiê ̣n ²



^{x2 y2}



^xy1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

4 4

2 1

x y

P xy

 

 Bài giải

Đă ̣t t xy. Ta có: ^{1 2}

 

^{2 2 4 1}

xy   x y  xy  xyxy 5

Và ^{1 2}

 

^{2 2 4 1}

xy   xy  xy xyxy 3 nên 1 1

5 t 3

  

Suy ra:

 

 

2 2 2 2 2 2 7 2 2 1

2 1 4 2 1

x y x y t t

P xy t

    

 

 

Xét hàm số

   

7 2 2 1

4 2 1

t t

f t t

  

  có

   

     

2 2

7 0

' ; ' 0

2 2 1 1

t t t

f t f t

t l

t

   

      

1 1 2

 

1

; 0

5 3 15 4

f  f    f 

Vậy giá trị lớn nhất bằng 1

4 , giá trị nhỏ nhất bằng 2 15

Bài 8: Giả sử ,x y là các số thực dương thỏa mãn ³



^xy



^{2 4}



^{x2 y21}



. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức ₂ 2 ₂ 2_{2 2}

2 2

x y x y

P x y x y

 

 

 

Bài giải

Ta có ^{xx222yy2 x1y }



^x2xyy2



^{y2.x3y 2xyxyy2.x3y 2xxy x. 3y}

Tương tự, ta cũng có 2 2

2 1 3

2 2 .

x y y

x y x y x y x y

  

   

Mă ̣t khác, ta cũng có ²

2 2 3

x y

x yx y 

  , vì bất đẳng thức này tương đương với

2 2

2 2

4 2

2 2 5 3

x y xy

x y xy

 

   , hay



^xy



^{2 0}

Từ đó ta có ^{2 . 3 2. 3 2}

2 2 3

x y

P x y x y x y x y x y x y

 

            . Suy ra P ⁴ x y

  (1) Từ giả thiết ta lại có ³



^xy



^{2 4}



^x2y2



^{ 4 2}



^xy



^24

Suy ra



^xy



^{2 4, hay x y 2} (2)

Từ (1) và (2) ta có P2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1 Vâ ̣y giá tri ̣ lớn nhất của P bằng 2, đa ̣t được khi ^{x y 1}

Bài 9: Cho hai số dương x y, thoả mãn ^{x2y2 1} .Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức



^{1 1}



¹



^{1 1}



^{1 .}

P x y

y x

   

        

Bài giải

Đă ̣t ^{2 1}

2

x  y t xyt  Biến đổi ^{2 2}

 

2

2 1 2

2 2 2

1 1 x y x y t

P x y t t

xy t t

   

         





Có

 

^{2 4 2 4 2 1 2 2}

2

x y xy t t  t

     

La ̣i có ^{0x y,   1 x x2,y y2  x y 1.} vâ ̣y 1 t 2 Xét hàm số

 

^{2 2}

f t t 1

 t 

 trên nửa khoảng



^{1; 2}_

Có ^f

 

^{2  4 3 2}

Kết luâ ̣n:



 

1 2

4 3 2

;

min P min f t

   

Bài 10: Cho x và y là hai số thực dương thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y=4xy. Tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P= ^{2 2 1 1}₂ ¹₂

x y xy 6

x y

 

    

 . Bài giải

Ta có: 4 2 ¹.

xy  x y xyxy 4

; y (0;1] (1 )(1 ) 0 1 ( ) 0 1 4 0 1

x   x y    x y xy   xyxy xy3. P =

2

2 2

2 2 2

1 1 1 1 ( ) 2

( )

6 6 ( )

x y xy

x y xy xy x y

x y xy

 

   

        

   

2 1 8

4( )

3 3

xy xy

   .

Đặt t = xy thì P = ^{2 1 8} ( )

3 3

t f t

 t  với ^{1 1}; t 4 3

  .

3

2 2

1 24 1 1 1

'( ) 8 0, ;

3 3 4 3

f t t t t

t t

  

       suy ra f t( )nghịch biến trên đoạn ^{1 1}; 4 3

 

 

 .

Do đó ¹ (t) ¹ , ^{1 1};

3 4 4 3

f     f  f      t  . maxP = ¹³

12 đạt được khi và chỉ khi ¹ x y 2. minP = ¹¹

 9 đạt được khi và chỉ khi 1; ¹

x y3hoặc ¹; 1.

x3 y Bài 11: Cho hai số thực thỏa mãn x1;y1 và 3 (x + y) = 4xy Tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x³ y³ 3 ¹₃ ¹₃

x y

 

    

 

Bài giải Đặt t xy vì x1 nên

2

2 2 3

3( ) 4 . 3 3 4

4 3

x y x y x xy x y xy x

       x

 Có 3(xy)4 .x y 3

4 3

x y

 y

 (vì y1). Xét hàm số ( ) ³

4 3

f y y

 y

 trên [1;) có

2

'( ) 9 0, [1; ) ( ) (1) 3 1 3

(4 3)

f y y f y f x

y

           



Xét hàm số g(x) ^{3 2}

4 3

x

 x

 trên [1;3] ⁹ ( ) 3 4 g x

   . Vậy [ ;3]⁹ t 4

Khi đó ^{( 3 3) 1} ₃³₃

 

^{3 3 ( ) 3} ₃

( )

P x y x y xy x y

x y xy

    

         

3 3

2

3 3

4 4 3 64 3

3 . 1 4 1

3 3 ( ) 27

xy xy t

xy t

xy t

      

         

3

64 2 12 64

27 4 9

t t

   t  Xét hàm số ( ) ^{64 3} 4 ^{2 12 64}

27 9

P t t t

   t  với [ ;3]⁹ t 4 Ta có

2 2

2

64 12

'( ) 8

9

P t t t

  t 8 12₂

8 1 0,

t 9t

t

 

     

[ ;3]9 t 4

Vậy (3) ²⁸⁰

MaxPP  9 tại 3 ^{3 3}; ¹

4 1 3

xy x x

t x y y y

     

       

9 304

4 36

MinPP        tại ⁹ t 4

9 3

4 2

3

xy x y

x y

 

   

  



Bài 12: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn ^{x y 1}. Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 1

A xy

x y

  

Bài giải

Ta có 2 2

1 1 2

P xy xy

x y xy

     Đă ̣t txy ta có

2 1

0 2 4

x y t xy   

    

 

Khi đó: ^{2 32 2 31 2 32.2 31 16 31 33}

4 4 4

P t t t

t t

         

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¹ x  y z 2 Vâ ̣y min ³³

A 4

Bài 13: Cho các số thực x y, thỏa mãn



^x4

 

^{2 y4}



^22xy32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  

3 3

3 1 2

Ax y  xy x y .

Bài giải

Ta có



^x4

 

^{2 y4}



^{22xy32}



^xy



^28



^xy



^{    0 0 x y 8}

 

^{3 3}

 

^{6 6}

 

^{3 3}

 

^{2 3}

 

^6.

A xy  xy  xy  xy 2 xy  xy  Xét hàm số:

 

^{3 3 2 3 6}

f t  t 2t  t trên đoạn

 

^{0;8 .}

Ta có ^'

 

^{3 2 3 3, '}

 

^{0 1 5}

f t t t f t t 2

      hoặc ^{1 5}

t 2

 (loại)

Ta có

 

^{0 6, 1 5 17 5 5,}

 

^{8 398}

2 4

f f     f

    . Suy ra ^{17 5 5}

A 4



Khi ^{1 5}

x y 4

  thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của Alà ^{17 5 5} 4



Bài 14: Cho các số thực dương a b, thỏa mãn ^{a b5 ab5  2}



^ab1



² . Tìm giá trị lớn nhất của

2 2

1 1 8 1

2 4

1 1

P ab

ab

a b

   



 

Bài giải

Ta có ( 1)^{2 5 5} 2 2 ( ^{4 4}) 2 2 ^{3 3} 1 ¹

ab a bb a  ab a b   a b  ab 2 Khi đó ta có BĐT quen thuộc : ¹ ₂ ¹ ₂ ²

1 1 a 1 b  ab



 

2 8 1

1 2 4

P ab

ab ab

   

  . Xét hàm số ( ) ^{2 8 1}

1 4 2

f t t

t t

  

  với ; ¹;1

t ab t  2 

1 31 1

( ) ( )

2 12 2

max max

f t f P a b

      

Bài 15: Cho x, y là các số thực thuộc (0;1) thỏa mãn

3 3

( )( )

(1 )(1 )

x y x y

x y

xy

 

   . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức ^{2 2}

2 2

1 1

4

1 1

P xy x y

x y

    

 

Bài giải Ta có:

3 3

( )( )

(1 )(1 ) x y x y 1 4 1 3 3 2

x y xy x y xy xy x y xy xy

xy

 

             

Xét ^{2 2}

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

4 2 2. 2

1 1 1 1 1 1

P xy x y xy xy

x y x y x y

          

      vì

2 2

1 1 2

, (0;1)

1

1 1

x y  x  y  xy

   (*)

Thật vậy (*)(2x² y²)(1xy)2(1x²)(1y²)(xy) (1² xy)0. Luôn đúng vì x y, (0;1)

Suy ra ² 2 , 0;¹

1 9

P xy xy

xy

 

    

Xét hàm số ( ) ² 2 , 0;¹ 1 9

f t t t

t

 

    . Có ¹ 2 0, 0;¹

(1 ) 1 9

f t

t t

  

       

Vậy ^{1 56}

9 9 10 P f   

  nên maxP = ^{56 1}

9 10   x y 3

Bài 15b: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện ^{a b ab5  5 2}



^ab1



². Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ¹ ₂ ¹ ₂ ^{8 1}

1 1 2 4

P ab

a b ab

   

  

Bài giải

Ta có ( 1)^{2 5 5} 2 2 ( ^{4 4}) 2 2 ^{3 3} 1 ¹

ab a bb a  ab a b   a b  ab 2 Khi đó ta có BĐT quen thuộc : ¹ ₂ ¹ ₂ ²

1 1 a 1 b  ab



 

2 8 1

1 2 4

P ab

ab ab

   

  . Xét hàm số ( ) ^{2 8 1}

1 4 2

f t t

t t

  

  với ; ¹;1

t ab t  2 

1 31 1

( ) ( )

2 12 2

max max

f t f P a b

      

B. BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG

Bài 16: cho x, y là số không âm thỏa mãn x²  y² 2. Tìm GTLN và nhỏ nhất của:

5 5 2 2

5( ) (5 2 2 4 12)

P x  y x y xy  xy

Bài giải Ta có

2

3 3 2 2

2

( 2) 0

0 , 2 2( ) 2 2

( 2) 0

x y x x x y x y

y y

  

       

 



2 2 2 2 2

4(1 1 )(x y )(x y)   2 x y

3 3 3 3 3 3 2 3 3

2(x y ) (x y x)( y ) ( x. x y. y ) 4 x y 2

          

Đặt t x³ y³. Ta có :t 2; 2 2

Ta có 2(x²  y^{2 3}) x⁶  y⁶ 3x y^{2 2}(x² y²) x⁶  y⁶ 6x y^{2 2} (x³ y^{3 2}) 2x y^{2 3} 6x y^{2 2}

3 3 2 2 2

2x y 6x y t 8

   

3 3 3 3 2 2 5 5 2 3 3 2 5 5 2 2

2(x y )(x  y )(x  y )x y x y x y x y x y (x y)

5 5 2 2

( ) 2

x y x y x y t

    

5 5 2 2

5( ) (5 2 2 4 12)

P x  y x y xy  xy

3 3 2 2 5 5 2 2

4x y 12x y 5(x y ) 5x y 2 2xy

      

3 3 2 2 5 5 2 2 2 2

2(2x y 6x y ) 5(x y ) 5x y x y 2xy

       

2 2 2 2 2 2

2(t 8) 5 x y 2xy x y (x y) 2t 10t 16 f t( )

             

/ / 5

( ) 4 10; ( ) 0 2; 2 2

f t   t f t     t 2   Ta có: (2) 28, ( )^{5 57}

2 2

f  f  và f(2 2)20 2 Vậy MinP min_{2;2 2} f t( ) f(2) 28

 

   và ax ( )^{5 57}

2 2

M P f 

Bài 17: Cho 2  x 3 y. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2x y 2x y

B xy

  

 Bài giải Xét hàm số g(y):

2 2

2x y 2x y 2(x 1) y 1

xy y x

       với 2  x 3 y (0.25đ)

/ /

2

2( 1)

( ) x , ( ) 0 2 ( 1)

g y g y y x x

y

 

     (0.25đ)

Thấy min^{g y( ) g}



^{2 (x x1)}



^{2 2 1}_x^{ 1 1}_x

Xét hàm số f x( ) 2 2 ¹ 1 ¹, 2 x 3

x x

     có ^/ ₂

2

2 1

( ) 0

1 1 f x

x x x

   



nên f(x) nghịch biến trên [2;3]

do đó min f(x) = f(3) ^{4 6 1} 3

  (0.25đ)

Do đó ^{4 6 1}

B 3 , dấu “=” xảy ra khi x = 3 và y2 6 Vậy min ^{4 6 1}

B 3



Bài 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x3y7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 3 2 2

2 5( ) 24 8( ) ( 3)

P xy y x  y  xy  x y 

Bài giải Ta có:

2 2 3 3 2

6( 1)( 1) (2 2)(3 3) 36 5

2

x y

x y  x y         x y xy Ta có 5(x² y²)(2x y)²  5(x² y²) 2xy và’

2 2 2

(x y 3) x  y  9 2xy6x6y0

2 2

2(x y xy 3) 8(x y) (x y 3)

        

Suy ra P2(xy x y)24 2(³ x y xy3) Đặt ^{t   x y xy t, }



^{0;5 ,}



^{P f t( )2t24 23 t6}

Ta có ^/ ₂ ^{3 2} ₂

 

3 3

(2 6) 8

( ) 2 24.2 2 0, 0;5

3 (2 6) (2 6)

f t t t

t t

 

     

 

Vậy hàm số f(t) nghich biến trên nửa khoảng (0;5]

Suy ra min f t( ) f(5)1048 2³ Vậy min P1048 2³ , khi ²

1 x y

 

 

Bài 19:Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 4x²  y² 8. Tìm GTLN, GTNN của :

2 2

(2 6) ( 6) 4 32

2 6

x y xy

P x y

    

  

Bài giải Ta có

2

2 2 (2 ) 2

8 4 (2 ) 16 4 2 4 2 2 6 10

2 x y

x