Chuyên đề tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

(1)

1.

TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Một số tính chất của các tỉ số lượng giác

 Cho hai góc  , phụ nhau. Khi đó:

sin cos ; cos  sin ; tan cot ; cot  tan .

 Cho góc nhọn . Ta có:

0sin 1; 0cos 1;

sin²cos²1; tan . cot 1;

sin cos

tan ; cot .

cos sin

 

 

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Dạng 1: Các bài toán tính toán

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.

Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.

Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.

Bài tập minh họa

Câu 1: Tam giác ABC có A 60 ;AB28 ;cm AC35cm. Tính độ dài BC.

Lời giải

(2)

2.

Kẻ BH AC (HAC)

Xét tam giác vuông AHB vuông tại H có:

 ¹

 

. 28. 60 28. 14

AH  AB cos A cos   2  cm

 ³

 

.sin 28.sin 60 28. 14 3 BH AB A   2  cm

 

35 14 21

HC AC AH cm

     

2 2 2 588 441 1029

BC BH HC

     

7 21

BC Vậy ^BC^^{7 21}

 

^cm

Chú ý

Bằng cách tính tương tự như trên có: tam giác ABC có A 60 ;AB a AC b ;  thì BC²a²b²ab; 3

ABC 4

S  ab.

Câu 2: Cho hình vẽ sau biết QPT 45 ;PTQ120 ; QT8 ;cm TR5cm. a) Tính PT.

b) Tính diện tích tam giác PQR.

Lời giải

Kẻ QM PR (M thuộc tia đối tia TP).

(3)

3.

Có PTQ QTM  180 QTM180 PTQ180 120  60

Xét tam giác vuông QTM có: ^.sin ^{8.sin 60} ^8. ³ ^{4 3}

 

QM QT QTM    2  cm

 ¹

 

.cos 8.cos 60 8. 4

TM QT QTM    2  cm TM TR

   M nằm giữa T và R.

Xét tam giác vuông QPM có:  ^{4 3} ^{4 3} ^{4 3}

 

tan 45 1 tan

PM QM cm

 QPM   



   

4 3 4 4 3 1

PT PM TM cm

      

   

4 3 1 5 4 3 1

PR PT TR cm

       

   

²

1 . 14 3. 4 3 1 6 2 3

2 2

SPQR QM PR cm

     

Vậy ^PR^^{4 3 1}^

 

^cm ^;SPQR ^{6 2 3}

 

cm² .

Câu 3: Cho ABC có B 60 ;C  80 . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM.

Lời giải

Gọi góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM là . Xét tam giác AMH vuông tại H có tan MH tan .

MH AH

 AH   

Lại có:

   

²

2 BH HC BH HC  BM MH  MC MH  MH MH  

Mà tan

BH AH

 B (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB) tan

CH AH

 C (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC).

(4)

4.

   

 

1 1 1 1

. .

1 1 1

tan tan

tan tan tan 11 20

2 2 2 tan tan

AH AH

C C

B B

MH  AH B C 

     

     

    

         

Vậy số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM xấp xỉ bằng 11 20 . Câu 4: Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy

12 , 18 , 75

AB cm CD cm ADC . Lời giải

Diện tích hình thang được tính bởi công thức ¹

 

S  2h AB CD (Trong đó h là chiều cao của hình thang).

Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.

Kẻ AH CD BK, CD.

Do ABCD là hình thang cân nên 12 , 3

2 CD AB

HK  AB cm DH KC   cm. Trong tam giác AHD vuông tại H ta có: tan tan 75 11,196

3

AH AH

D AH cm

 DH     

Từ đó, ¹ ^.

 

¹.11,196. 12 18

 

167,94 ²

2 2

SABCD  AH AB CD    cm . Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ADH ta có: AD² AH²HD²134,35cm. Suy ra 11,59

AD cm.

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính AD.

Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là

12 11,59 18 11,59 53,18 AB BC CD DA        cm. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, mệnh đề

Phương pháp giải

Đưa mệnh đề về dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng và một số kiến thức đã học biến đổi các vế trong biểu thức, từ đó chứng minh các vế bằng nhau.

(5)

5.

Bài tập minh họa

Câu 1: Cho ABC có A 60 . Kẻ BH AC; CK AB. a) Chứng minh KHBC cos A.  .

b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.

Lời giải

a) Xét AHB và AKC vuông tại H, K có: chung góc BAC Suy ra ^AHB ^{AKC g g}

 

^. ^AB ^AH

AC AK

 ∼  

Xét AHK và ABC chung góc BAC và AB AH

AC  AK

Suy ra AHK ABC AH KH

AB BC

 ∼  

.AH .  HK BC BC cos A

  AB  .

b) Theo câu a) có .  .1 1

2 2

HK BC cosBACBC  BC (1).

Mặt khác xét tam giác HBC vuông tại H có: HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 1

HM 2BC

  (2).

Tương tự có 1

KM  2BC (3).

Từ (1), (2) và (3) có HM HK KM suy ra HKM là tam giác đều.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH BM CK, BM a) Chứng minh: CK BH.tanBAC

b) Chứng minh: MC BH.tan²BAC MA  BK Lời giải

(6)

6.

a) Xét AHB và BKC vuông tại H và K có: HBA BCK (cùng phụ với CBH).

 

^. ^CK ^BC ^.^BC ^.tan^

AHB BKC g g CK BH BH BAC

BH AB AB

  ∼     

b) Theo câu a) ta có: CKBH.tanBAC

Mà MC CK

MA  AH (vì CK/ /AH ) MC BH.tanBAC

MA AH

  (1)

Mặt khác 1 tan

.

BK BC BC BAC

AHB BKC

AH AB AH AB BK BK

 ∼      (2)

Từ (1) và (2) suy ra MC BH.tan²BAC MA  BK

Câu 3: Cho hình thoi ABCD có BAD120, tia Ax tạo với tia AB góc BAx 15 , cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh: 1 ₂ 1 ₂ 4 ₂

3 AM  AN  AB Lời giải

Từ A dựng đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại P, hạ AHCD



^{H CD}^



^.

Có BAD BAM MAP PAD    120     15 90 PADPAD120      15 90 15 Xét ABM và ADP có: MAB PAD (theo trên)

BA AD (tính chất hình thoi)

 

MBA PDA (tính chất hình thoi)



^{. .}



ABM ADP g c g AM AP

     

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NAP vuông tại A đường cao AH, ta có:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

AP  AN  AH  AM  AN  AH

Mà sin. sin 60 . 3. 3

2 2

AH  ADH AD AD AD AB

(7)

7.

Từ (1) và (2) ta có: 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 4 ₂

3 3 2

AM AN AM AN AB

AB

    

 

 

 

Vậy 1 ₂ 1 ₂ 4 ₂

3 AM  AN  AB .

(8)

8.

C.TRẮC NGHỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

Câu 1: Cho tam giác MNP vuông tại M . Khi đó cosMNP^ bằng

A. ^MN

NP . B. ^MP

NP . C. ^MN

MP . D. ^MP MN . Câu 2:

Cho tam giác MNP vuông tại M . Khi đó tanMNP^ bằng:

A. ^MN

NP . B. ^MP

NP . C. ^MN

MP . D. ^MP MN . Câu 3: Cho a là góc ngọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A. sina+cosa=1. B. sin²a+cos²a=1.C. sin³a+cos³a=1.D. sina-cosa =1. Câu 4: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A. tan ^sin cos a a

= a. B. cot ^cos sin a a

= a. C. tan . cota a =1. D. tan²a- =1 cos²a.

Câu 5: Cho ^a và b là hai góc nhọn bất kỳ thoả mãn a+ =b 90. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. tana=sinb. B. tana=cotb. C. tana=cosb. D. tana=tanb. Câu 6: Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì

A. sin góc nọ bằng cosin góc kia. B. sin hai góc bằng nhau.

C. tan góc nọ bằng cotan góc kia. D. Cả A, C đều đúng.

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại C có AC =1cm BC, =2cm. Tính các tỉ số lượng giác sin ; cosB B. A. sin ¹ ; cos ^{2 3}

3 3

B = B= . B. sin ⁵; cos ^{2 5}

5 5

B= B = .

C. sin ¹; cos ²

2 5

B= B = . D. sin ^{2 5}; cos ⁵

5 5

B= B= .

P M

N

P M

N

(9)

9.

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC =1, 2cm AC, =0, 9cm. Tính các tỉ số lượng giác sin ; cosB B.

A. sinB=0, 6; cosB=0, 8. B. sinB=0, 8; cosB=0, 6. C. sinB=0, 4; cosB=0, 8. D. sinB=0, 6; cosB=0, 4.

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=8cm AC, =6cm. Tính tỉ số lượng giác tanC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. tanC »0, 87. B. tanC »0, 86. C. tanC »0, 88. D. tanC »0, 89.

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC =9cm AC, =5cm. Tính tỉ số lượng giác tanC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1)

A. tanC »0, 67. B. tanC »0, 5. C. tanC »1, 4. D. tanC »1, 5.

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB=13cm BH, =0, 5dm. Tính tỉ số lượng giác sinC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

A. sinC »0, 35. B. sinC »0, 37. C. sinC »0, 39. D. sinC »0, 38.

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AC =15cm CH, =6cm. Tính tỉ số lượng giác cosB.

A. sin ⁵

C = 21. B. sin ²¹

C = 5 . C. sin ²

C = 5. D. sin ³ C =5.

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có CH =4cm BH, =3cm. Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. cosC »0, 76. B. cosC »0, 77. C. cosC »0, 75. D. cosC »0, 78.

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có CH =11cm BH, =12cm. Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. cosC »0, 79. B. cosC »0, 69. C. cosC »0, 96 . D. cosC »0, 66. Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính tanC biết rằng tanB =4. A. tan ¹

C = 4. B. tanC = 4. C. tanC =2. D. tan ¹ C = 2. Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính tanC biết rằng cotB =2. A. tan ¹

C = 4. B. tanC = 4. C. tanC =2. D. tan ¹ C = 2. Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có 5 , cot ⁷

AB= cm C = 8. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

A. AC »4, 39(cm BC); »6, 66(cm). B. AC »4, 38(cm BC); »6, 65(cm).

(10)

10.

C. AC »4, 38 (cm BC); »6, 64 (cm). D. AC »4, 37 (cm BC); »6, 67 (cm). Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có 9 , tan ⁵

AB = cm C = 4. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. AC =11, 53;BC =7, 2. B. AC =7;BC »11, 53. C. AC =5, 2;BC »11. D. AC =7, 2;BC »11, 53. Câu 19: Cho a là góc nhọn. Tính sin , cota a biết cos ²

a= 5. A. sin ²¹; cot ^{3 21}

25 21

a= a= . B. sin ²¹; cot ⁵

5 21

a= a= .

C. sin ²¹; cot ³

3 21

a= a= . D. sin ²¹; cot ²

5 21

a= a= .

Câu 20: Tính sin , tana a biết cos ³ a= 4. A. sin ⁴ ; tan ³

7 4

a= a= . B. ^sin ⁷^{; tan} ³

4 7

a= a= .

C. sin ⁷; tan ⁷

4 3

a= a= . D. sin ⁷; tan ⁷

3 4

a= a= . Câu 21: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh ^{cot 50} và ^{cot 46}.

A. cot 46 =cot 50. B. cot 46 >cot 50. C. cot 46 <cot 50. D. cot 46 ³cot 50. Câu 22: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin 20 và sin 70.

A. sin 20 <sin 70. B. sin 20 >sin 70. C. sin 20 =sin 70. D. sin 20 ³sin 70.

Câu 23: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sin 40 , cos 67 , sin 35 , cos 44 35 , sin 28 10    ¢  ¢ theo thứ tự tăng dần.

A. cos 67 <sin 35 <sin 28 10 ¢<sin 40 <cos 45 25 ¢. B. cos 67 <cos 45 25 ¢<sin 40 <sin 28 10 ¢<sin 35. C. cos 67 >sin 28 10 ¢>sin 35 >sin 40 >cos 45 25 ¢. D. cos 67 <sin 28 10 ¢<sin 35 <sin 40 <cos 45 25 ¢.

Câu 24: Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan 43 , cot 71 , tan 38 , cot 69 15 , tan 28    ¢  theo thứ tự tăng dần.

A. cot 71 <cot 60 15 ¢<tan 28 <tan 38 <tan 43. B. cot 60 15 ¢<cot 71 <tan 28 <tan 38 <tan 43. C. tan 28 <tan 38 <tan 43 <cot 60 15 ¢<cot 71. D. cot 60 15 ¢<tan 28 <tan 38 <tan 43 <cot 71.

Câu 25: Tính giá trị biểu thức A=sin 1²  +sin 2²  +...+sin 88²  +sin 89²  +sin 90² 

(11)

11.

A. A= 46. B. ⁹³

A= 2 . C. ⁹¹

A= 2 . D. A= 45. Câu 26: Tính giá trị biểu thức sin 10²  +sin 20²  +...+sin 70²  +sin 80² 

A. 0. B. 8. C. 5. D. 4.

Câu 27: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó sin⁶a+cos⁶a+3 sin²acos²a bằng A. C = -1 3 sin²a. cos²a. B. 1. C. C =sin²a. cos²a. D. C =3 sin²a. cos²a-1. Câu 28: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó C =sin⁴a+cos⁴a bằng:

A. C = -1 2 sin²a. cos²a. B. C =1.

C. C =sin²a. cos²a. D. C = +1 2 sin²a. cos²a.

Câu 29: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn P= -(1 sin²a).cot²a+ -1 cot²a ta được:

A. P=sin²a . B. P=cos²a. C. P =tan²a. D. P=2 sin²a.

Câu 30: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Cho P= -(1 sin²a). tan²a+ -(1 cos²a).cot²a, chọn kết luận đúng.

A. P >1. B. P <1. C. P =1. D. P=2 sin²a. Câu 31: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức ^cos² ^sin²

cos . sin

Q a a

a a

= - bằng:

A. Q=cota-tana. B. Q=cota+tana. C. Q=tana-cota. D. Q =2 tana. Câu 32: Chọn a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức

2 2

1 sin 1 sin

Q a

a

= +

- .

A. Q= +1 tan²a. B. Q= +1 2 tan²a. C. Q= -1 2 tan²a. D. Q =2 tan²a. Câu 33: Cho tana =2. Tính giá trị của biểu thức ^{2 sin} ^cos

cos 3 sin

G a a

a a

= +

- .

A. G =1. B. ⁴

G= -5. C. ⁶

G= -5. D. G = -1.

Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD HA: =3 : 2. Khi đó tanABC^. tanACB^ bằng:

A. 3. B. 5. C. ³

5. D. ⁵

3.

Câu 35: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD HA: =1 : 2. Khi đó tanABC^. tanACB^ bằng:

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Câu 36: Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc ^a, biết sin ³ a=5. A. cos ³, tan ³, cot ⁴

4 4 5

a= a= a= . B. cos ⁴, tan ³, cot ⁴

5 4 3

a= a= a= .

(12)

12.

C. cos ⁴, tan ³, cot ⁴

5 4 5

a= a= a= . D. cos ³, tan ⁴, cot ⁴

4 5 3

a= a= a= . Câu 37: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Tính cota biết sin ⁵

a=13. A. cot ¹²

a= 5 . B. cot ¹¹

a= 5 . C. cot ⁵

a=12. D. cot ¹³ a= 5 . Câu 38: Tính giá trị biểu thức B=tan 10 . tan 20 . tan 30 ... tan 80   .

A. B =44. B. B =1. C. B =45. D. B =2. Câu 39: Tính giá trị biểu thức B=tan 1 . tan 2 . tan 3 ... tan 88 . tan 89     A. B =44. B. B =1. C. B =45. D. B =2. Câu 40: Cho kết luận đúng về giá trị biểu thức

2 2

2

cos 3 sin 3 sin

B a a

a

= -

- biết tana=3. A. B>0. B. B<0. C. 0<B<1. D. B =1.

HƯỚNG DẪN 1. Lời giải:

Ta có cos^ MN MNP = NP Đáp án cần chọn là A.

2. Lời giải:

Ta có tan^ MP MNP =MN . Đáp án cần chọn là D.

Chọn ^a là góc bất kỳ, khi đó sin²a+cos²a=1 Đáp án cần chọn là B.

Chọn a là góc nhọn bất kỳ, khi đó:

2 2

sin a+cos a=1; tan . cota a=1

sin cos

tan ; cot

cos sin

a a

= = ;

2

1 tan 1 a cos

+ = a;

2

1 cot 1 a sin

+ = a. Đáp án cần chọn là D.

(13)

13.

Với hai góc a b, mà a+ =b 90

Ta có: sina=cos ; cosb a=sin ; tanb a=cot ; cotb a=tanb. Đáp án cần chọn là B.

Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia.

Đáp án cần chọn là D.

Theo định lý Pytago ta có: AB² =AC²+BC²AB= 1²+2² = 5. Xét tam giác ABC vuông tại C có sin ¹ ⁵

5 5 B AC

= AB = = ; cos ² ^{2 5}

5 5 B BC

=AB = = . Đáp án cần chọn là B.

Theo định lý Pytago ta có: AB² =AC²+BC² AB= 0, 9² +1, 2² =1, 5 Xét tam giác ABC vuông tại C có sin ^{0, 9} ³ 0, 6

1, 5 5 B AC

= AB = = = và cos ^{1, 2} ⁴ 0, 8 1, 5 5 B BC

= AB = = = . Đáp án cần chọn là A.

1 2

B C

A

0,9 1,2

A B

C

6

8 B

C

A

(14)

14.

Theo định lý Pytago ta có: BC² =AC² +AB² AB= 8² -6² »5, 29. Xét tam giác ABC vuông tại C có tan ^{5, 29} 0, 88

6 C AB

=AC » » .

Đáp án cần chọn là C.

Theo định lý Pytago ta có: BC² =AC² +AB² AB = 9²-5² =2 14. Xét tam giác ABC vuông tại C có tan ^{2 14} 1, 5

5 C AB

= AC = » .

Đổi 0, 5dm=5cm

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng

trong tam giác vuông ta có: ² . ² ¹³² 33, 8

5

AB BH BC BC AB cm

=  = BH = =

sin 13 0, 38

33, 8 C AB

 =BC = »

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:

2 2 2 2 2

15 6 189 3 21

AH =AC -CH = - = AH= sin ^{3 21} ²¹

15 5

C AH

 =AC = =

Mà tam giác ABC vuông tại A nên ^{B C}^{ }^, là hai góc phụ nhau. Do đó cos sin ²¹ B= C = 5 . Đáp án cần chọn là B.

H B

A

C

(15)

15.

Xét tam giác ABC vuông tại A có BC =BH +CH =7cm Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2 . 2 4.7 5,29

AC =CH BC AC = AC » cm cos ^{5, 29} 0, 76 7

C AC

 = BC = » .

Đáp án cần chọn là A.

Xét tam giác ABC vuông tại A có BC =BH +CH =11+12=23cm . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2

. 11.23 253 253

AC =CH BC AC = = AC = cm cos ²⁵³ 0, 69 23

C AC

 = BC = » .

Đáp án cần chọn là B.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên B C+ = 90 cotC=tanB=4

Mà cot . tan 1 tan ¹

C C =  C =4. Đáp án cần chọn là A.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên B C+ =90 tanC =cotB=2. Đáp án cần chọn là C.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên cot . cot 5.⁷ ³⁵ 4, 38

8 8

C AC AC AB C cm

= AB  = = = » .

Theo định lý Pytago ta có BC²=AB²+AC² =5²+4, 38² BC »6, 65.

H B

A

C

C B

A

(16)

16.

Vậy AC »4, 38(cm BC); »6, 65(cm). Đáp án cần chọn là B.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tan : tan 9 :⁵ 7, 2 4

C AB AC AB C cm

=AC  = = =

Theo định lý Pytago ta có ² ² ² 9² 7, 2² 132, 84 ^{9 41} 11, 53 BC =AB +AC = + = BC = 5 » . Vậy AC =7, 2;BC »11, 53.

Ta có sin² cos² 1 sin² 1 cos² 1 ⁴ ²¹

25 25

a+ a=  a= - a= - = 21

sina 5

 = .

Lại có

2

cos 5 2

cot sin 21 21

5 a a

= a = = .

Vậy sin ²¹; cot ²

5 21

a= a= .

Ta có sin² cos² 1 sin² 1 cos² 1 ⁹ ⁷

16 16

a+ a=  a= - a= - = 7

sina 4

 = .

Lại có

7

sin 4 7

tan cos 3 3

4 a a

= a= = .

Vậy sin ⁷; tan ⁷

4 3

a= a= . Đáp án cần chọn là C.

Vì 46 <50 cot 46 >cot 50. Đáp án cần chọn là B.

Vì 20 <70 sin 20 <sin 70. Đáp án cần chọn là A.

(17)

17.

Ta có cos 67 =sin 23 vì 67 +23 =90; cos 44 35 ¢=sin 45 25 ¢ vì 44 35 ¢+45 25 ¢=90 Mà 23 <28 10 ¢<35 <40 <45 25 ¢ nên sin 23 <sin 28 10 ¢<sin 35 <sin 40 <sin 45 25 ¢

cos 67 sin 28 10¢ sin 35 sin 40 cos 45 25¢

  <  <  <  <  . Đáp án cần chọn là D.

Ta có cot 71 =tan 19 vì 71 +  =19 90 ;cot69 15  ¢=tan 20 45 ¢ vì 69 15 ¢+20 45 ¢=90 Mà 19 <20 45 ¢<28 <38 <43 nên tan 19 <tan 20 45 ¢<tan 28 <tan 38 <tan 43

cot 71 cot 60 15¢ tan 28 tan 38 tan 43

  <  <  <  < . Đáp án cần chọn là A.

Ta có sin 89²  =cos 1 ; sin 88²  ²  =cos 2 ;...; sin 46²  ²  =cos 44²  và sin²a+cos²a=1

Nên A=(sin 1²  +sin 89 ) (sin 2²  + ²  +sin 88 ) ... (sin 44²  + + ²  +sin 46 )²  +sin 45²  +sin 90²  =(sin 1²  +cos 1 ) (sin 2²  + ²  +cos 2 ) ... (sin 44²  + + ²  +cos 44 )²  +sin 45²  +sin 90² 

44 1

1 3 91

1 1 ... 1 1 44.1

2 2 2

so

= + ++ + + = + = .

Vậy ⁹¹

A= 2 .

Ta có sin 80²  =cos 10 ; sin 70²  ²  =cos 20 ; sin 60²  ²  =cos 30 ; sin 50²  ²  =cos 40²  và sin²a+cos²a=1 Nên sin 10²  +sin 20²  +sin 30²  +sin 40²  +sin 50²  +sin 60²  +sin 70²  +sin 80² 

2 2 2 2 2 2 2 2

sin 10 sin 20 sin 30 sin 40 cos 40 cos 30 cos 20 cos 10

=  +  +  +  +  +  +  + 

2 2 2 2 2 2 2 2

(sin 10 cos 10 ) (sin 20 cos 20 ) (sin 30 cos 30 ) (sin 40 cos 40 )

=  +  +  +  +  +  +  + 

1 1 1 1 4

= + + + = . Vậy giá trị cần tìm là 4. Đáp án cần chọn là D.

Ta có sin⁶a+cos⁶a+3 sin²a.cos²a=sin⁶a+cos⁶a+3 sin²a.cos²a.1

6 6 2 2 2 2

sin a cos a 3 sin a.cos a.(sin a cos a)

= + + + (vì sin²a+cos²a=1)

2 3 2 2 2 2 2 2 2 3

(sin a) 3(sin a) .cos a 3 sin a.(cos a) (cos a)

= + + +

2 2 3

(sin a cos a) 1

= + = (vì sin²a+cos²a=1) Đáp án cần chọn là B.

(18)

18.

Ta có C =sin⁴a+cos⁴a=sin⁴a+cos⁴a+2 sin²a.cos²a-2 sin²a.cos²a

=(sin²a+cos²a)²-2 sin²a.cos²a= -1 sin²a.cos²a (vì sin²a+cos²a=1) Vậy C = -1 2 sin²a. cos²a.

Với cot ^cos ; sin² cos² 1 sin

a a a a

= a + =

2 2 2 2 2 2 2

(1 sin ).cot 1 cot cot sin .cot 1 cot

A= - a a+ - a= a- a a+ - a

2

2 2 2

2

1 sin .cos 1 cos sin

sin

a a a a

= - a = - = .

Vậy P=sin²a . Đáp án cần chọn là A.

Với tan ^sin ; cot ^cos ; sin² cos² 1

cos sin

a a

a a a a

a a

= = + = sin²a= -1 cos²a, cos²a= -1 sin²a.

2 2 2 2

(1 sin ). tan (1 cos ).cot

P= - a a+ - a a ² sin²₂ ² cos²₂ ² ²

cos . sin . sin cos 1

cos sin

a a

a a a a

a a

= + = + = .

Với tan ^sin ; cot ^cos

cos sin

a a

= = ta có:

2 2 2 2

cos sin cos sin cos sin

cot tan

cos . sin sin . cos sin . cos sin cos

Q a a a a a a

a a

a a a a a a a a

= - = - = - = - .

Vậy Q=cota-tana. Đáp án cần chọn là A.

Với tan ^sin ; cos² 1 sin² cos

a a a a

= a = -

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

1 sin 1 sin 2 sin 1 sin 2 sin sin

1 2. 1 2 tan

1 sin 1 sin 1 sin cos cos

Q a a a a a a

a a

a a a a

æ ö

+ - + - ç ÷÷

= - = - = - + = + çççè ÷÷ø = + .

Vậy Q= +1 2 tan²a. Đáp án cần chọn là B.

Vì tana=2 nên cosa¹ 0

(19)

19.

Ta có

sin cos

2 sin cos 2cos cos 2. tan 1

cos 3 sin cos 3.sin 1 3 tan

cos cos

G

a a

a a a a a

a a

+ + +

= = =

- -

-

Thay tana=2 ta được ^2.2 ¹ ⁵ 1

1 3.2 5

G +

= = - = -

- .

Vậy G = -1.

Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tanB AD; tanC AD

BD CD

= = .

Suy ra tan . tan ² . B C AD

BD CD

= (1)

Lại có HBD=CAD (cùng phụ với ACB) và HDB =ADC=90.

Do đó DBDH  DADC (g.g) suy ra ^DH ^BD

DC =AD , do đó BD DC. =DH AD. (2).

Từ (1) và (2) suy ra tan . tan ² .

AD AD

B C

DH AD DH

= = (3).

Theo giả thiết ³ 2 HD

AH = suy ra 3

2 3 HD

AH HD=

+ + hay ³

5 HD

AD = , suy ra ⁵

AD= 3HD.

Thay vào (3) ta được:

5 3 5 tan . tan

3 HD B C

= DH = . Đáp án cần chọn là D.

Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tan AD; tan AD

B C

BD CD

= = .

Suy ra tan . tan ² . B C AD

BD CD

= (1)

Lại có HBD=CAD (cùng phụ với ACB) và HDB =ADC=90.

Do đó DBDH  DADC (g.g) suy ra ^DH ^BD

DC =AD , do đó BD DC. =DH AD. (2).

H E

D

B C

A

(20)

20.

Từ (1) và (2) suy ra tan . tan ² .

AD AD

B C

DH AD DH

= = (3).

Theo giả thiết ¹ 2 HD

AH = suy ra 1

2 1 HD

AH HD =

+ + hay ¹

3 HD

AD = , suy ra AD = 3HD. Thay vào (3) ta được: tan . tan ³HD 3

B C

= DH = . Đáp án cần chọn là B.

Ta có sin ³

a=5, suy ra sin² ⁹

a=25, mà sin²a+cos²a=1, do đó:

2 2 9 16

cos 1 sin 1

25 25

a= - a= - = suy ra cos ⁴

a= 5. Do đó tan ^sin ^{3 4}: ^{3 5}. ³

cos 5 5 5 4 4

a a

= a = = = .

cos 4 3 4 5 4

cot : .

sin 5 5 5 3 3

a a

= a = = = .

Vậy cos ⁴, tan ³, cot ⁴

5 4 3

a= a= a= . Đáp án cần chọn là B.

Ta có sin ⁵

a=13 suy ra sin² ²⁵

a=169 mà sin²a+cos²a=1 do đócos² 1 sin² 1 ²⁵ ¹⁴⁴ 169 169 a= - a= - = Suy ra cos ¹²

a=13.

Do đó cot ^cos ¹²: ⁵ ^{12 13}. ¹²

sin 13 13 13 5 5

a a

= a = = = .

Ta có tan 80 =cot10 ; tan 70  =cot20 ; tan 50  =cot 40 ; cot 60  =cot 30 và tan . cota a =1 Nên B=tan 10 . tan 20 . tan 30 . tan 40 . tan 50 . tan 60 . tan 70 . tan 80       

tan 10 . tan 20 . tan 30 . tan 40 . cot 40 . cot 30 . cot 20 . cot10

=        

(tan10 .cot10 ).(tan 20 .cot20 ).(tan 30 .cot 30 ).(tan 40 .cot 40 )

=         =1.1.1.1=1.

Vậy B =1.

Ta có tan 89 =cot1 ; tan 88  =cot2 ;...; tan 46  =cot 44 và tan . cota a=1

(21)

21.

Nên B=(tan1 . tan 89 ).(tan 2 . tan 88 )...(tan 46 . tan 44 ). tan 45      

(tan1 .cot1 ).(tan 2 .cot2 ).(tan 3 .cot 3 )....(tan 44 .cot 44 ). tan 45

=         =1.1.1...1.1=1

Vậy B =1.

Vì tana= ¹ 3 0 cosa¹0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos²a ta được:

2 2

2 2 2

2 2

cos 3sin 1 3 tan 1 3 tan

cos cos

3 sin 3. 1 tan 3(1 tan ) tan

cos cos cos B

a a

a a a a

a a a

- - -

= = =

+ -

- -

2 2

1 3 tan 1 3.9 26

3 2.9 21

3 2 tan a a

- -

= = = -

+ + .

Hay ²⁶ 0

B = -21< . Đáp án cần chọn là B.

(22)

22.

C B

A

α C

B A D.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

I.PHIẾU LUYỆN CƠ BẢN

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: ^Sin Sin

AB C

AC = B Bài 2: Với góc nhọn a tùy ý. Chứng minh rằng:

a) sina<1, cos <1a b) tg ^sin cos a a

= a

a) tg .cotga a=1 d) sin²a+cos²a=1 Bài 3: Cho biết sin ⁴

a=5. Tìm ^{cos , tg}^a ^a. Bài 4: Tính:

a) ^{sin 46}⁰₀

cos 44 b) cotg28⁰-tg62⁰

Bài 5: Tính sin 10² ⁰+sin 20² ⁰ +...+sin 70² ⁰ +sin 80² ⁰

Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC =a AC, =b AB, =c. Chứng minh rằng:

sin sin sin

a b c

A = B = C

Bài 7: Chứng minh rằng diện tích của tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, có BC =a AC, =b AB, =c. Chứng minh rằng: a² =b² +c²-2 cosbc A.

Bài 9: Cho hai góc a b, sao cho a+ <b 90⁰

Chứng minh rằng (a+b)=sin cosa b+sin cosb a.

Bài 10: Cho góc nhon xAy. Các điểm B C, lần lượt di động trên các tia AB AC, sao cho:

AB+AC =6cm. Xác định vị trí B C, để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Hướng dẫn giải Bài 1:

sinC AB, sinB AC

BC BC

= =

Do đó: ^Sin :

Sin

C AB AC AB B =BC BC =AC Bài 2:

Xét DABC vuông tại A C, =a a) Ta có AB<BC AC, <BC

(23)

23.

Do đó: sin sinC AB 1 a= =BC < ; cos = cosc AC 1

a = BC <

b) tg =tgC=AB; cotg cotg AC

AC C AB

a a= =

Do đó: tg .cotg =AB AC. 1 AC AB

a a =

c) sin AB, cos AC

BC BC

a= a=

Do đó: ^sin : tg

cos

AB AC AB BC BC AC

a a

a = = =

d) DABC vuông tại A theo định lí Py-ta-go có: AB² +AC² =BC² Do đó:

2 2

sin cos AB AC

BC BC a+ a=æççççè ö÷÷÷÷ø +æççççè ö÷÷÷÷ø

2 2 2 2

2 2 2 1

AB AC AB AC

BC BC BC

= + = + =

Bài 3:

Ta có: sin²a+cos²a=1 và sin ⁴ a=5 (gt)

2 16 9

cos 1

25 25

a= - =

cos 3 a=5

4

sin 5 4

tg cos 3 3

5 a a

= a = =

Bài 4:

a) 46⁰ +44⁰ =90⁰ nên sin46 =cos44⁰ ⁰ Do đó: ^{sin 46}⁰₀ 1

cos44 =

b) 28⁰+62⁰ =90⁰ nên cotg28⁰ =tg62⁰ Do đó: cotg28⁰ -tg62⁰ =0

Bài 5:

Ta có sin 10^ =cos 80^ (hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia)

2 2

sin 10 cos 80

 ^ = ^.

(24)

24.

α

c b

H a A

B C

A

H

α c

b

H a A

B C

Do đó:

2 2 2 2

sin 10^+sin 20^+sin 30^ +sin 40^

2 2 2 2

sin 50 sin 60 sin 70 sin 80

+ ^+ ^+ ^ + ^=sin 10² ^ +sin 20² ^ +sin 30² ^ +sin 40² ^

2 2 2 2

cos 40 cos 30 cos 20 cos 10

+ ^ + ^+ ^ + ^ =(sin 10² ^ +cos 10 )² ^ +(sin 20² ^ +cos 20 )² ^

2 2 2 2

(sin 30 cos 30 ) (sin 40 cos 40 )

+ ^+ ^ + ^ + ^

1 1 1 1 4

= + + + = . Bài 6:

Vẽ AH ^BC H, ÎBC

Xét DHAB có H^=90⁰, nên sinB AH

= AB Xét DHAC có H^=90⁰, nên sin AH

C =AC Do đó: ^sin

sin sin sin

B AC b b c

C = AB =c  B = C Chứng minh tương tự, ta có:

sin sin

a b

A= B Vậy sin sin sin

a b c

A = B = C . Bài 7:

Giả sử có tam giác ABC cos AB=c BC, =a Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB BC, là a. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC

DHAB có H^ =90⁰ nên sin AH sin

B AH AB B

= AB  =

Do đó: ¹ . ¹ . sin . ¹ . . sin

2 2 2

SABC = AH BC = AB B BC = c a a Bài 8:

Vẽ đường cao CH của tam giác ABC.

DHAC vuông tại H, nên cosA AH AH ACcosA

=AC  =

(25)

25.

H

B C

A

K

H C

B

A

y

x

A B

C

H DHAC vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có: AH² +HC² =AC² DHBC vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có:

2 2 2

BC =HB +HC

2 2

(AB AH) HC

= - +

2 2 . 2 2

AB AB AH AH HC

= - + +

2 2 . cos 2

AB AB AC A AC

= - +

2 2 2 . cos

AC AB AC AB A

= + -

Vậy a² =b² +c² -2 cosbc A. Bài 9:

Xét DABC có B=a,C =b, vì a+ <b 90⁰ nên BAC^ là góc tù.

Vẽ các đường cao AH BK, của DABC

Ta có: BAK^ =B₁+C BAK(^ là góc ngoài của DABC) DABK có K^ =90⁰ nên BK =ABsinBAK^

Do đó: ¹ . ¹ . sin( )

2 2

SABC = BK AC = AB AC a+b

Mặt khác: DHAB có H^=90⁰

Nên sin sin^ AH, cos cos^ BH

ABH ABH

AB AB

a= = a= =

Và DHAC có H^ =90⁰

Nên sin sin^ AH, cos cos^ HC

ACH ACH

AC AC

b= = b= =

Do đó: sin cos sin cos AH HC. AH BH. AB AC AC AB

a b+ b a= +

( )

.

AH HC BH AB AC

= +

. 2

. .

SABC

AH BC

AB AC AB AC

= =

. . sin( )

sin( )

. AB AC

AB AC a b

a b

= + = +

Vậy sin(a+b)=sin cosa b+sin cosb a. Bài 10:

Vẽ CH là đường cao của tam giác ABC.

Xét DAHC vuông tại H, theo tỉ lệ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

(26)

26.

sinHAC CH

=AC . sin CH AC BAC

 =

Mặt khác, ta có: . ¹( )² ¹( )² 9( ²)

4 4

AB AC = AB+AC - AB-AC = cm

Do đó: ¹ . ¹ . . sin ⁹sin

2 2 2

SABC = CH AB= AB AC BAC £ BAC 9 

2sinBAC không đổi.

Dấu “=” xảy ra AB =AC =3cm

Vậy khi B C, lần lượt trên các tia AB AC, sao cho AB=AC =3cm thì diện tích DABC lớn nhất.

II.PHIẾU LUYỆN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY

Câu 1: Cho ABC có độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c.Chứng minh rằng: sin 2 A a

b c

 Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EFBC. Nối AF và BE.

a) Chứng minh rằng AFBE cosC.  .

b) Biết BC10cm, sinACB0,6. Tính diện tích tứ giácABFE.

c) AFvà BE cắt nhau tại O. Tính sinAOB.

Câu 3: Cho tam giác ABC có A 20 , B 30 , AB60cm. Đường cao hạ từ C đến AB cắt BA tại P.

Hãy tính AP, BP, CP.

Câu 4: Tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.

Câu 5: Cho hai hình chữ nhật có hai kích cỡ 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình chữ nhật song song với nhau (như hình vẽ). Tính diện tích tứ giác ANCQ.

Câu 6: Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O và không vuông góc với nhau. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC và AOD.

a) Gọi E là trọng tâ