2+3. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT – DIỆN TÍCH TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.
Ta có:S a b . với a b, là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.
Diện tích hình vuông bằng bình phưong cạnh của nó.
Ta có: S a 2 với a là độ dài hai cạnh hình vuông.
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
Ta có:
1 . S 2a b
với a b, là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Diện tích tam giác thường bằng nửa diện tích một cạnh và chiều cao hạ xuống cạnh đó:Ta có:
1 1 1
. . .
2 a 2 b 2 c
S a h b h c h
với a b c, , là độ dài các cạnh tam giác và h h ha, , b c là độ dài đường cao tương ứng hạ xuống cạnh đó.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Một hình chữ nhật có các kích thước 6m và 2m. Một hình tam giác có các cạnh bằng 5m, 5m, 6m. Chứng minh rằng hai hình đó có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau.
Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AC =16 ,cm BD =10 .cm
Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính diện tích tứ giác EFGH.
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =12 cm, AD =6,8 cm . Gọi H, I, E, K là các trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC.
a) Tính diện tích tam giác DBE. b) Tính diện tích tứ giác EHIK.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có CD = 4cm, BC = 3cm. Gọi H là hình chiếu của C trên BD. Tính diện tích tam giác ADH.
Bài 5: Hai hình vuông có hiệu hai cạnh bằng 3m và hiệu diện tích bằng 69m2. Tính cạnh của mỗi hình vuông.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường phân giác BD. Biết AD 3cm, DC 5cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 7: Trong hình chữ nhật có chu vi 100m, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích đó.
Bài 8: Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26m, hiệu hai cạnh góc vuông bằng 14m.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, BC15cm, đường cao AH 10cm. Tính đường cao ứng với cạnh bên.
Bài 10: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, AB10cm, AC15cm. Tính diện tích hình vuông có đường chéo là AD.
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB a , AC b , đường cao AH. Ở phía ngoài tam giác vẽ các hình vuông ABDE, ACFG, BCIK.
a) Tính diện tích tam giác DBC.
b) Chứng minh rằng AK DC.
c) Đường thẳng AH cắt KI ở M. Tính diện tích các tứ giác BHMK CHMI BCIK, , . Bài 12: Tam giác ABC có AB10cm, AC 17 cm, BC 21cm.
a) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến DC. Tính HC2HB2 và HC HB . b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 13: Cho điểm M nằm trong ABC. Các tia AM BM CM, , lần lượt cắt cạnh đối diện tại , , .
D E F Chứng minh 1
MD ME MF AD +BE +CF = Tự luyện:
Bài 14: Một hình chữ nhật có diện tích 350 cm2 và hai cạnh tỉ lệ với các số 2 và 7. Tính diện tích hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật.
Bài 15: Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17 cm.
Bài 16: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H. Chứng minh HD HE HF 1.
AD +BE +CF =
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
thuvienhoclieu.com Trang 2
Bài 1: Chu vi hình chữ nhật và chu vi hình tam giác cùng bằng 16m. Diện tích hình chữ nhật và diện tích hình tam giác cùng bằng 12m2
Bài 2: EFGH là hình chữ nhật, có EF 8cm, EH 5cm.
Diện tích hình chữ nhật EFGH bằng 40cm .2
Bài 3: a) ABCD là hình chữ nhật nên
2
BCD D
1 1 1
S . = . . D= .12.6,8 40,8 .
2SABC 2AB A 2 cm
= =
E là trung điểm của CD, suy ra:
2
DE D
1. 20,4 .
B BCE 2 BC
S =S = S = cm
b) H là trung điểm BC
2 CHE
1 1
S . .20,4 10,2 .
2SBCE 2 cm
Þ = = =
K là trung điểm CE
2 HKC
S 1. 5,1 . 2SCHE cm
Þ = =
I là trung điểm CH
2 CKI
S 1. 2,55 . 2SHKC cm
Þ = =
Vậy SEHIK =SCHE - SCIK =10,2 2,55- =7,65cm2.
Bài 4: Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông BCD , ta có BD2=BC2+CD2=32+42=25=52 nên BC = 5cm
2 3.4 2,4
5 SBCD BC CD
CH cm
BD BD
= = × = =
Xét tam giác vuông CDH, ta có
2 D2 2 42 2,42 10,24 3.22
DH =C - CH = - = =
nên DH =3,2 .cm
Kẻ AK ^BD . Ta có S ABD =SCBD
nên AK =CH =2,4 .cm Vậy 1 1 3,2.2,4 3,86
2 2
SADH = DH AK× = × =
(cm2).
Bài 5: Gọi a và b là cạnh của hình vuông. Ta có a b- =3
và a2- b2=69, do đó
2 2 6
9 23 a b
a b a b
+ = - = =
-
Biết tổng a b+ =23
,a b- =3
ta tính được a=13;b=10.
Bài 6: Kẻ DH ^BC.Ta có DHBD = DABD(cạnh huyền BD chung, góc nhọn B1B 2)nên 3
DH =AD = cm
và BH =AB.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào DHCvuông, ta có
2 2 2 52 32 4 ,2
HC =DC - DH = - = nên HC =4 .cmĐặt .
AB =BH =x
Áp dụng định lý Py –ta-go vào ABCvuông, ta có BC2=AB2+AC2nên
2 2 2
(x+4) =x +8 Þ x=6.
Diện tích ABC bằng
1 1 2
. 6.8 24 . 2AB AC =2 = cm
Bài 7: Gọi một kích thước của hình chữ nhật là x(m), kích thước kia là 50 x(m) Diện tích hình chữ nhật bằng:
2 2
(50 ) 50 ( 25) 625 625.
S =x - x = - x + x= - x- + £
Giá trị lớn nhất của S bằng 625 tại x=25.Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 625
m ,2 khi đó hình chữ nhật là hình vuông có cạnh 25m.
Bài 8: Gọi a, b là cách cạnh góc vuông. Ta có a b- =14
và a2+b2=262=676
( )
1Từ a b 14
suy ra
2 2
(a b- ) =14 ,
tức là a2+b2- 2ab=196
( )
2Từ
( )
1và
( )
2suy ra 2ab=676 196- =480.
Diện tích tam giác vuông bằng
480 120 .2
2 4
ab= = m
Bài 9: Tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH nên
: 2 15 : 2 7,5
BH HC BC cm
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có
thuvienhoclieu.com Trang 4 K
B H C
A
2 2 2 1027,52
AC AH HC
156.25 12,5 2; suy ra AC12,5cm.
21 1
. .15.10 75
2 2
SABC BC AH cm
.
Kẻ BK AC, ta có BK 2SABC:AC2.75 :12,5 12
cm .Bài 10: Kẻ DH AB DK, AC. Điểm D thuộc tia phân giác của góc A nên DH DK. Đặt DH DK x, ta có
ABC ADB ADC
S S S
1 1 1 1
. .x .10. .15. 12,5 . 1
2 2 2 2
AB x AC x x x
Mặt khác 1 . 1.10.15 75. 2
2 2
SABC AB AC
Từ
1 và
2 suy ra 12,5x75. Do đó x75 :12,5 6.
2 2
6 36
SAHDK cm . Bài 11:
a)
1 2
2 2
DBC ADBE
S S a
b) ABK DBC c g c
. .
AK DC.C)
2 2 2
BHMK ABK DBC
S S S a
Chứng minh tương tự,
2.
CHMI ACFG
S S b
Vậy
2 2
SBICK a b
Lưu ý. Bài toán trên cho ta một cách chứng minh định lý Py-ta-go: Nếu ABC vuông tại A thì BC2 AB2AC2
Bài 12:
a) Đặt HC x HB, y. Ta có:
1 2 K
H
D C
B
A
H b a
M G
F D
E
K I B
A
C
10 17
A
2 2 2 2 2 2
x y AC AH AB AH AC2AB2 172102 189
Do đó:
2 2 189
21 9
x y
x y x y .
b) Biết tổng
x y
và hiệu
x y
ta tính được y6cm, từ đó AH 8cm. Đáp số:
84 2 ABC
S cm .
Bài 13: Ta có:
BMD BAD
S MD
S AD
(BMD và BAD có chung đường cao kẻ từ B)
Và
CMD CAD
S MD
S AD
(CMDvà CAD có chung đường cao kẻ từ C)
Suy ra:
CMD BMD CMD MBC
BMD
BAD CAD BAD CAD ABC
S S S S
S MD
AD S S S S S
Chứng minh tương tự:
;
MAC MAB
BAC CAB
S ME S MF
S BE S CF
Suy ra:
1
MBC MAC MAB ABC
ABC ABC
S S S S
MD ME MF
AD BE CF S S
+ +
+ + = = =
(đpcm)
thuvienhoclieu.com Trang 6