Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1) Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v

lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức

 

^.

cos cos , .

. u v u v

u v

 

   

 

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Muốn xác định góc của đường thẳnga và

 

^P ta tìm hình chiếu vuông góc a của a trên

 

^P ^.

Khi đó,



^^{a P}^,

  

^



^^{a a}^{, '}



3) Góc giữa hai mặt phẳng:

Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng

 

^ ^và

 

^ ^.

Khi đó, góc giữa

 

^ ^và

 

^ ^là

    

^^ ^, ^



^

 

^{a b}^^, . Tính góc

 

^{a b}^, ^. Phương pháp 2:

Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng

 

^ ^và

 

^ ^.

Dựng hai đường thẳng a, blần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó:

    

^^ ^, ^



^

 

^{a b}^^, ^.

a

a' P

c b

a

β

φ α

XÁC ĐỊNH GÓC

GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG

(2)

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ

 

^ vuông góc với giao tuyến c mà

   

^ ^ ^ ^^a^,

   

^ ^ ^ ^^b^{. Suy ra}

    

^^ ^, ^



^

 

^{a b}^^, ^.

4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian:

Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.

a) Giả sử đường thẳng a và blần lượt có vectơ chỉ phương là ,a b  . Khi đó: ^cos



^^,



^.



^^,



. a b

a b a b

a b

 

 

b) Giả sử đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a

và

 

^P có vectơ pháp tuyến là n .

Khi đó: ^sin



^^,

  

^.



^^,

  

. a n

a P a P

a n

 

 

c) Giả sử mặt phẳng

 

^ ^và

 

^ lần lượt có vectơ pháp tuyến là ,a b  .

Khi đó: ^cos



^

   

^,



^.



^

   

^,



. a b a b

     

 

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, SAa 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng



^ABCD



^bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định hình chiếu của SCtrên mặt phẳng



^ABCD



B2: Tính góc giữa SCvà hình chiếu của nó.

(3)

Lời giải Chọn A

Ta có: ^SA^



^ABCD



^nên^AClà hình chiếu của SCtrên mặt phẳng



^ABC



^.

Do đó:



^^{SC ABCD}^,

  

^



^^{SC AC}^,



^^^SCA^.

Xét hình vuông ABCD ta có: ACa 6.

Xét SAC vuông tại A, ta có:  2 1  ^o

tan 30 .

6 3

SA a

SCA SCA

AC a

    

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 17.1: Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SAa và vuông góc với



^ABC



. Tính góc giữa SD và BC

A. 60^. B. 90^. C. 45^. D. 30^.

Lời giải Chọn C

Ta có: ^AD^{/ /}^BC^



^^{SD BC}^,



^



^^{SD AD}^,



^^ADS^^⁴⁵⁰^.

Câu 17.2: Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình bình hành với BC2 ,a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA3a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào?

C

A D

B

S

C

A D

B

S

(4)

A.



^{20 ;30}^ ^



^. ^B.



^{30 ; 40}^ ^



^. ^C.



^{40 ;50}^ ^



^. ^D.



^{50 ;60}^ ^



^.

Lời giải Chọn D

Ta có: ^BC^{/ /}^AD^



^^{SD BC}^,



^



^^{SD AD}^,



^^SDA^^{( Do}^^SAD vuông tại Anên SDA90^o)

Xét SAD vuông tại A, ta có:  3 3  3

tan arctan 56 .

2 2 2

SA a o

SDA SDA

AD a

     

Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có ACBD2 .a Gọi M N, lần lượt là trung điểm BC AD, . Biết rằng 3.

MN a Tính góc của AC và BD.

A.45 .⁰ B. 30⁰. C. 60⁰. D. 90⁰.

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có IM INa. Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:

 ² ² ² ² ² 3 ² 1  ⁰

cos 120

2. . 2. . 2

IM IN MN a a a

MIN MIN

IM IN a a

   

      .

a

a 3

2a 2a

N

M I

B D

C A

(5)

Vì ^IM ^{/ /}^{AC IN}^, ^{/ /}^BD^



^^{AC BD}^,



^



^^{IM IN}^,



^¹⁸⁰⁰^¹²⁰⁰ ^⁶⁰⁰^.

Câu 17.4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc của AC và BM .

A. 3

4 . B. 3

6 . C. 3

2 . D. 2

2 . Lời giải

Chọn B



^

  

^. ^.

 

cos , cos ,

. 3

. 2 AC CM CB AC BM

AC BM AC BM

AC BM a

a



  

  

 

2 2 2

0 0

2 2 2 2

. cos120 . .cos120

. . 2 4 2 4 3

3 3 3 3 6

2 2 2 2

a a

a a a

AC CM AC CB

a a a a

 

 

    

   

.

Câu 17.5: Cho hình chóp .S ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2a, BCa. Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

A. 45. B. 30. C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn A

Ta có: AB CD// nên



^{AB SC}^,



^



^{CD SC}^^,



^^SCD^^.

Gọi M là trung điểm của CD. Tam giác SCM vuông tại M và có SCa 2, CM a nên là tam giác vuông cân tại M nên SCD45. Vậy



^{AB SC}^,



^⁴⁵^^.

Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Cho AB2 ,a

2 2

CD a và MNa 5. Tính góc ^ ^



^{AB CD}^,



A.135^. B. 60^. C. 90^. D. 45^.

Lời giải

M C

A D

B

S

(6)

Chọn D

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác:

/ / ; 1 2

2 / / ; 1

2 IN CD IN CD a IM AB IM AB a

  





  





^^{AB CD}^,

 

^^{IM IN}^,





   . Áp dụng định lý cosin ta có:

2 2 2

2 2 0

cos 45

2. . 2 2

IM IN MN IM IN

 ^ ^     .

Câu 17.7: Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật với ABa AD, a 3,SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào?

A.



^{30 ; 40}^ ^



^. ^B.



^{40 ;50}^ ^



^. ^C.



^{50 ; 60}^ ^



^. ^D.



^{60 ;70}^ ^



^.

Lời giải Chọn D

a 2a

2a 2 a 5

M I

N

B D

C A

(7)

Gọi OACBD và M là trung điểm SA. Xét hình chữ nhật ABCD, ta có:

2 2 2 3 2 2

2 2 2 2 .

BD AB AD a a a

OB OA   a

     

Xét MAB vuông tại A, ta có: MB AB²MA²  a²a² a 2.

Xét MAO vuông tại A, ta có: MO AO²MA²  a²a² a 2.

Xét MBO, ta có:  ² ² ² ² 2 ² 2 ² 1 

cos 69 .

2. . 2. . 2 2 2

OB OM BM a a a o

MOB MOB

OB OM a a

   

    

Ta có: ^SC^{/ /}^MO^



^^{SC BD}^,



^



^^{MO BD}^,



^^MOB^^⁶⁹^o^{( Do}^MOB^^⁹⁰^o^).

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với ^A



^{0; 0;0 ,}



^{B a}



^{; 0;0 ,}



^{C a a}



^; ^{3;0 ,}

 

^D ^0;^a ^{3; 0}



^và



^{0;0; 2}



S a .

Ta có: ^SC^^



^{a a}^; ^{3; 2}^ ^a



^^SCcó một vectơ chỉ phương là ^u^^



^{1; 3; 2 .}^





^; ^{3; 0}



BD a a BD

 có một vectơ chỉ phương là ^v^^{ }



^{1; 3; 0 .}



Suy ra: ^cos



^^,



^. ² ¹



^^,



^{69 .}

2 2.2 2 2 .

u v o

SC BD SC BD

u v

    

 

Câu 17.8: Cho hình chóp .S ABC có các ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SA và



^ABC



^bằng

A. 45. B. 75. C. 60. D. 30.

(8)

Theo giả thiết ta có



^ABC

 

^ ^SBC



^.

Trong mặt phẳng



^SBC



^kẻ^SH ^^BC ^^SH ^



^ABC



^nên^AHlà hình chiếu của SA trên



^ABC



^{. Do đó,}



^^{SA ABC}^,

  

^



^^{SA AH}^,



^^SAH^^.

Giả sử ABa.

Ta có: SBC và ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của BC và 3 2 AH SH a .

Xét tam giác vuông SHA ta có tan SH 1

SAH  AH  SAH 45.

Vậy



^^{SA ABC}^,

  

^⁴⁵^^.

Câu 17.9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 2

SAa (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng



^SAB



^bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

H S

C A

B

(9)

Ta có: ^BC ^SA ^BC



^SAB



BC AB

 

 

 



nên SBlà hình chiếu của SCtrên mặt phẳng



^SAB



^.

Do đó:



^^{SC SAB}^,

  

^



^^{SC SB}^,



^^BSC^^.

Xét SAB vuông tại A, ta có: ^SB^ ^SA²^^AB² ^



^a ²



²^^a² ^^a ^3.

Xét SBC vuông tại B, ta có:  1 

tan 30 .

3 3

BC a o

BSC BSC

SB a

    



^{0; 0;0 ,}



^{B a}



^{;0; 0 ,}



^{C a a}



^{; ;0}



^và^S



^{0; 0;}^a ²



^.

Ta có:



^SAB



^:^y^{ }⁰ vectơ pháp tuyến của



^SAB



^là^^j^



^{0;1;0 .}





^{; ;} ²



SC a a a SC

 có một vectơ chỉ phương là ^u^^



^1;1;^ ^{2 .}



Suy ra: ^sin



^^,

  

^. ¹



^^,

  

^{30 .}

. 2 j u o

SC SAB SC SAB

j u

   

 

Câu 17.10:Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 3

SAa (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SDvà mặt phẳng



^SAB



^bằng:

(10)

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90. Lời giải

Chọn A

Ta có: ^AD^



^SAB



^nên^SAlà hình chiếu của SDtrên mặt phẳng



^SAB



^.

Do đó:



^^{SD SAB}^,

  

^



^^{SD SA}^,



^ ^^ASD^.

Xét SAD vuông tại A, ta có:  1 

tan 30 .

3 3

AD a o

ASD ASD

SA a

    



^{0; 0;0 ,}



^{B a}



^{;0; 0 ,}



^D



^{0; ; 0}^a



^và^S



^{0; 0;}^a ³



^.

Ta có:



^SAB



^:^y^{ }⁰ vectơ pháp tuyến của



^SAB



^là^^j^



^{0;1;0 .}





^{0; ;} ³



SD a a SD



^0;1;^ ^{3 .}



Suy ra: ^sin



^^,

  

^. ¹



^^,

  

^{30 .}

. 2 j u o

SD SAB SD SAB

j u

   

 

(11)

Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC. có ^SA^



^ABC



^,^SA^^a^,^^ABC đều cạnh a. Tính góc giữa SB và



^ABC



A. 30 .^o B. 60^. C. 45^. D. 90^.

Ta có ^SA^



^ABC



^^AB là hình chiếu của SBtrên mặt phẳng



^ABC



^^ ^^^ASB^



^^{SD AD}^,



^⁴⁵⁰^.

Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC. có ^SA^



^ABC



^,^SA^â^,^ÂBC^{đều cạnh}â^{. Gọi}^ là góc giữa SC và mặt phẳng



^SAB



. Khi đó, tan bằng

A. 3

5 . B. 5

3. C. 1

2 . D. 2 .

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: ^CI ^AB ^CI



^SAB



CI SA

 

 

 



A C

B S

a

a a

I

A C

B S

(12)

SI

 là hình chiếu của SC trên mặt phẳng



^SAB



^



^^{SC SAB}^,

  

^



^^{SC SI}^,



^^CSI^^^



2 2 2

2

3 2 3 tan tan

5 2

a

CI CI

CSI SI SA AI a

a



     

  

  

 

.

Câu 17.13:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với



^ABCD



^cà

6

SAa . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng



^SBC



^.

A. 1

3. B. 1

6. C. 1

7 . D. 3

7^. Lời giải

Chọn D

Kẻ ÂH ^^SB^^BC ^ÂH ^ÂH ^



^SBC



AH

 là hình chiếu của AClên mặt phẳng



^SBC



^



^^{AC SBC}^,

  

^



^^{AC HC}^,



^^ACH^^.

Tam giác SABvuông . 6. 6

7 7

SA AB a a a

AH SB a

   

Vì AHCvuông tại  3

sin

7 H ACH AH

  AC  .

Câu 17.14:Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đá a 2, cạnh bên 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

(13)

Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa SD và



^ABCD



^.

Gọi OACBD. Vì .S ABCD là hình chóp đều nên ^SO^



^ABCD



^.

OD

 là hình chiếu của SDtrên



^ABCD



^.

Do đó:



^^{SD ABCD}^,

  

^



^^{SD OD}^,



^^SDO^^.

Xét hình vuông ABCD ta có: 2 2 2

2 2 2 .

BD AB a

OD   a

Xét SOD vuông tại O, ta có:  1 

cos 60 .

2 2

OD a o

SDO SDO

SD a

    

Gọi OACBD. Vì .S ABCD là hình chóp đều nên ^SO^



^ABCD



^.

Ta có: ACBDAB 2 2a và SO SD²OD²  4a²a² a 3.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với ^O



^{0; 0; 0 ,}



^{C a}



^{;0; 0 ,}



^D



^{0; ; 0}^a



^và^S



^0;0;^a ³



^.

Ta có:



^ABCD



^:^z^{ }⁰



^ABCD



có một vectơ pháp tuyến là ^k^^



^{0; 0;1 .}





^{0; ;} ³



SD a a SD



^0;1;^ ^{3 .}



Suy ra: ^sin



^^,

  

^. ³



^^,

  

^{60 .}

. 2 k u o

SD ABCD SD ABCD

k u

   

 

(14)

Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD. có đáyABCD là hình thang vuông tại Avà B với

2 2 2 ;

AD AB BC a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa như hình vẽ).

Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng



^SAC



^bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Gọi M là trung điểm AD. Ta có: ACM và DCM vuông cân tại M.

   45ô 45ô 90ô

ACD ACM DCM CD AC

        mà CDSAnên ^CD^



^SAC



^.

SC

 là hình chiếu của SDtrên mặt phẳng



^SAC



^.

Do đó:



^^{SD SAC}^,

  

^



^^{SD SC}^,



^^CSD^^.

Xét ACD vuông cân tại C, ta có: ACCDa 2.

Xét SAC vuông tại A, ta có: SC SA²AC²  4a²2a² a 6.

Xét SCD vuông tại C, ta có:  2 1 

tan 30

6 3

CD a o

CSD CSD

SC a

    



^{0; 0;0 ,}



^{B a}



^{;0;0 ,}



^{C a a}



^{; ; 0 ,}



^D



^{0; 2 ; 0}^a



^và^S



^{0; 0; 2}^a



^.

(15)

Ta có: ^SD^^



^{0; 2 ; 2}^a ^ ^a



^^SDcó một vectơ chỉ phương là ^u^^



^{0;1; 1 .}^



 



^{0;0; 2}



^,



² ²^{; 2} ²^{; 0}



; ; 0

AS a

AS AC a a AC a a

   

  





^SAC



 có một vectơ pháp tuyến là ⁿ^^{ }



^{1;1;0 .}



Suy ra: ^sin



^^,

  

^. ¹



^^,

  

^{30 .}

. 2 u n o

SD SAC SD SAC

u n

   

 

Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD cạnh đáy bằng a và SASBSC SDa. Khi đó, cosin góc giữa hai mặt phẳng



^SAB



^và



^SAD



^bằng

A. 1

4. B. 1

3. C. 3

2 . D. 1

3. Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm SA.

Do tam giác SAD và SAB đều nên ^^_^BI_DI^_^SA_SA^

 

^^SAB

 

^, ^SAD

 

^



^^{BI DI}^,



^.

Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:



 

2 2

2

2 2 2

3 3

2 2 2 1

cos 2 . 3 3 3

2. .

2 2

a a a

IB ID BD BID IB ID

a a

   

 

   

     

    .

Vậy ^cos

 

^^SAB

 

^, ^SAD

 

^¹₃^.

Câu 17.17:Cho tam giácABC vuông cân tại A có ABa, trên đường thẳng d vuông góc với



^ABC



tại điểm A ta lấy một điểm Dsao cho DBCđều. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng



^ABC



^và



^DBC



nằm trong khoảng nào?

I

C

A D

B

S

(16)

A.



^{40 ;50 .}^o ^o



^B.



^{50 ; 60 .}^o ^o



^C.



^{60 ;70 .}^o ^o



^D.



^{70 ;80 .}^o ^o



Lời giải Chọn B

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có: ^BC ^DM ^BC



^DMA



BC DA

 

 

 



Mặt khác:

   

 

   



^^,

 

^^,



^

ABD DBC BC DMA BC

ABC DBC AM DM DMA DMA ABC AM

DMA DBC DM

 



 

   

  



  



Ta có: 2 2

2 2 2

BC AB a

AM    , 3 6

2 2

BC a

DM  

Xét ADM vuông tại A, ta có:  3  3

cos arccos 54

3 3

o.

AMD AM AMD

 DM    

Cách khác:

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng



^ABC



^và



^DBC



^.

Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác.

Ta có:S__ABC S__DBC.cos Mà:

2

1 0 1 3 3

. .sin 60 2. 2.

2 2 2 2

DBC

S_  DB DC  a a a

Mặt khác: 1 1 ²

2 . 2

S_ABC  AB AC a

3 3 o

cos arccos 54 .

3 3

ABC DBC

S

 S^ 



     

a

a 2 M

A C

B D

(17)

Câu 17.18:Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh 2a, cạnh bên a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn B

Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa



^SCD



^và



^ABCD



^.

Gọi OACBD. Vì S ABCD. là hình chóp đều nên ^SO^



^ABCD



^.

Gọi M là trung điểm CD. Ta có:



^CD^CD^^^OM^SM ^^CD^



^SOM



^.

Do đó:

 

   

 

^,



^^,



^^.

CD SOM

SCD ABCD CD

SCD ABCD SM OM SMO SOM SCD SM

SOM ABCD OM





  

   

  

  



Xét hình vuông ABCD ta có: OM a và 2 2 2

2 2 2 2.

BD AB a

OD   a

Xét SOD vuông tại O, ta có: ^SO^ ^SD²^^OD² ^



^a ³

 

²^ ^a ²



² ^^a^.

Xét SOM vuông tại O, ta có: tan SO a 1  45 .^o

SMO SMO

OM a

    

Gọi OACBD. Vì S ABCD. là hình chóp đều nên ^SO^



^ABCD



^.

Ta có: ACBDAB 22a 2 và SO SD²OD²  3a²2a² a.

(18)

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với ^O



^{0; 0; 0 ,}



^{C a}



^{2; 0; 0 ,}

 

^D ^0;^a ^2;0



^và^S



^{0; 0;}^a



^.

Ta có:



^ABCD



^:^z^{ }⁰



^ABCD





^{0; 0;1 .}



 

^: ¹ ² ² ⁰

2 2

x y z

SCD x y z a

a a a      



^SCD



 có một vectơ pháp tuyến là ⁿ^^



^{1;1; 2 .}



Suy ra: ^cos



^

  

^,

 

^. ²



^

  

^,

 

^{45 .}

. 2 k n o

SCD ABCD SCD ABCD

k n

   

 

Câu 17.19:Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 3

SAa (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng



^SBD



^và



^ABCD



^bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Gọi OACBD. Ta có:



^BD^BD^^^SA^AC^^BD^



^SAC



^.

(19)

Do đó:

 

   



^^,

 

^^,



^^.

BD SAC

SBD ABCD BD

SBD ABCD SO AC SOA SAC SBD SO

SAC ABCD AC





  

   

  

  



Xét hình vuông ABCD ta có: 2 2 2

2 2 2 .

AC AB a

OA   a

Xét SAO vuông tại A, ta có:  3 

tan SA a 3 60 .^o

SOA SOA

OA a

    



^{0; 0;0 ,}



^{B a}



^{2; 0; 0 ,}

 

^D ^0;^a ^{2; 0}



^và^S



^{0; 0;}^a ³



^.

Ta có:



^ABCD



^:^z^{ }⁰



^ABCD





^{0; 0;1 .}



 

^: ¹ ³ ³ ² ⁶ ⁰

2 2 3

x y z

SBD x y z a

a a a      



^SBD





^{3; 3; 2 .}



Suy ra: ^cos



^

  

^,

 

^. ¹



^

  

^,

 

^{60 .}

. 2 k n o

SBD ABCD SBD ABCD

k n

   

 

Câu 17.20:Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật với 2 3

2 , 3

AB a AD a ,SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SAa (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng



^SBD



^và



^ABCD



bằng:

(20)

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90. Lời giải

Chọn B

Vẽ AM BD tại M. Ta có:



^BD^BD^^^SA^AM ^^BD^



^SAM



^.

Do đó:

 

   

 

^,



^^,



^^.

BD SAM

SBD ABCD BD

SBD ABCD SM AM SMA SAM SBD SM

SAM ABCD AM





  

   

  

  



Xét ABD vuông tại A, ta có: 1 ₂ 1₂ 1 ₂ 1₂ 3₂ 1₂

4 4 AM a.

AM  AB  AD  a  a a   Xét SAM vuông tại A, ta có: tan SA a 1  45 .^o

SMA SMA

AM a

    

Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với



^{0; 0;0 ,}

 

^{2 ; 0; 0 ,}



^0;² ³^{; 0}

3

A B a D a 

 

 

và ^S



^0;0;^a



^.

Ta có:



^ABCD



^:^z^{ }⁰



^ABCD





^{0; 0;1 .}



 

^: ¹ ³ ² ² ⁰

2 2 3

3

x y z

SBD x y z a

a a a      



^SBD





^{1; 3; 2 .}



(21)

Trang 182 Suy ra: ^cos



^

  

^,

 

^. ¹



^

  

^,

 

^{45 .}

. 2 k n o

SBD ABCD SBD ABCD

k n

   

 