Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Bùi Đình Thông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

b 

a

NGUYÊN HÀM

& ỨNG DỤNG

BÙI ĐÌNH THÔNG

BẢN DÀNH CHO HỌC SINH

Là tất cả nhừng gì bạn cần biết về tích phân .

Sách này của: ………

(2)

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: --- DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬT--- PHẦN MỤC LỤC

BÀI 1: NGUYÊN HÀM 01

Chuyên đề 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG – VI PHÂN 1

➢ Bài tập Rèn luyện:

---

13

Chuyên đề 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

---

23

➢ Phương pháp: Đổi biến số

➢ Phương pháp: Nguyên hàm từng phần

---

30

BÀI 2: TÍCH PHÂN 40

Chuyên đề 1: Tích phân cơ bản

---

40

➢ Bài tập Rèn luyện:

---

47 Chuyên đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp Đổi biến số 57

---

65 Chuyên đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần 70

---

72

Chuyên đề 3: Tính tích phân Hàm ẩn 77

---

82

BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 96

Chuyên đề 1: Diện tích hình phẳng

---

96 Chuyên đề 2: Thể tích vật thể tròn xoay

---

100

---

104 Chuyên đề 3: Bài toán thực tế - Đồ thị đặc biệt 122

---

129

ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020-2021

(3)

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: --- DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬT---

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM

Chuyên Đề 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN- NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

( )

f x

K

^{F x}

( )

^{f x}

( ) K

( ) ( )

^,

F x =f x  x K

•

^{F x}

( )

⁺^C ^{f x}

( )

• 

^{f x dx F x}

( )

⁼

( )

^{+ }^C ^{F x}^

( ) ( )

⁼^{f x}

• 

^{f x dx}

( )

^{f x}

( ) x

• d u x   ( )   = u x dx  ( )

• (  f x dx ( ) )  = f x ( ) 

^{f x dx f x}^

( )

⁼

( )

⁺^C

• 

kf x dx k f x dx

( )

=

 ( ) k 0

•    f x ( ) ( )  g x dx   =  f x dx ( )   g x dx ( )

dx x C = +

 

^{adx ax C a}⁼ ⁺

(

^⁰

)  du u C = +

( )

1 1

1

x dx = x ⁺ +C  −



+

( ) 1 ( )

¹

1 ax b dx ax b C

a +

+

+ = +

 + (

^{ −}¹

) 

^{u dx} ⁼ ^u₊⁺¹₁⁺^C

(

^{ −}¹

)

1 dx ln x C

x = +

  ax b 1 + dx = 1 a ln ax b C + +  u 1 du = ln u C +

x x

e dx e = + C

  e

^{ax b}⁺

dx = 1 a e

^{ax b}⁺

+ C  e du e

^u

=

^u

+ C (

⁰ ¹

)

ln

x ax

a dx C a

= a+  

 

^a ^x⁺ ^dx⁼ ¹^a_ln^x_a⁺ ⁺^C

(

⁰^{ }^a ¹

) 

^{a du}û ⁼ _lnâû_a⁺^C

(

⁰^{ }^a ¹

)

cos xdx = sin x C +

  ( ax b dx + ) = 1 a sin ( ax b + ) + C  cos udu = sin u C +

sin xdx = − cos x C +

  sin ( ax b dx + ) = − 1 a ( ax b + ) + C  sin udu = − cos u C +

2

1 dx tanx C

x = +



2

( ) ( )

1 dx 1 tan ax b C

ax b = a + +

 + 

¹²^u^du⁼^tan^{u C}⁺

2

1 cot

sin dx x C

x = − +



2

( ) ( )

1 1 cot

sin dx ax b C

ax b = − a + +

 +

2

1 cot

sin du u C

u = − +



(4)

B: MỘT SỐ DẠNG TOÁN

✓

➢

dx x C = +

 

^{x dx}⁼ ^x₊⁺¹₁⁺^C

(

^{ −}¹

)  x 1 dx = ln x C +

❖

n

x x =

1n

❖

n

x

m

= x

mn

❖ 1

_n

x

ⁿ

x

=

−

❖ 1

¹ⁿ

n

x

=

−

❖ 1

^mⁿ

n m

x

=

−

Lời giải:

………

………..

Đáp số:

( )

⁶ ³ ⁴ ^x₃³ ⁸

F x =x − x + − x C+ ^{F x}

( )

⁼^x₄⁴ ⁻²₃^x³ ⁻³₂^x² ⁺^C

( ) 4 3

³

1 3ln 3

³

F x x x x C

= + + x + + F x ( ) = ln x + + 1 x C

( )

⁶ ⁵ ¹² ³ ² ⁸

f x = x − x +x −

( )

2 3 2

1 3 1

2 f x x

x x x

= − + +

( ) (

² ³

) (

¹

)

f x = x − x x+

( )

2

1 f x x

x

= −

(5)

➢

x x

e dx e = + C

 

^{a dx}^x ⁼ _ln^a^x_a⁺^C

(

⁰^{ }^a ¹

)

( )

⁷^x

f x = ^{f x}

( )

⁼^e^x

(

²⁻^e⁻^x

)

Lời giải:

………

………..

Đáp số: F x ( ) = ln7 7

^x

+ C

^{F x}

( )

⁼²^e^x ^{− +}^{x C}

➢

• 

cosxdx =sinx C+

• 

^sin^xdx ^{= −}^cos^{x C}⁺

• 1

₂

dx tan x C

x = +

 •  sin 1

²

x dx = − cot x C +

❖ sin

²

1 2 2 c x

x = − ❖

tan²x ¹₂ 1

= x −

❖

sin²x+ ²x=1

❖

²

1 2 2 x + x

= ❖

cot² ¹₂ 1

x sin

= x −

❖

2x= ²x−sin²x

( )

^sin ^2cos

f x = x− x ^{f x}

( )

⁼^tan²^x

( )

2 2

1 sin .

f x = x x

( )

2 2

2 sin . f x x

x x

=

Lời giải:

………

………..

(6)

………..

Đáp số:

^{F x}

( )

^{= −}^cos^x⁻^2sin^{x C}⁺ ^{F x}

( )

⁼^tan^{x x C}^{− +}

( )

^tan ^cot

F x = x− x C+ ^{F x}

( )

^{= −}^cot^x⁻^tan^{x C}⁺

( )

F x ^{f x}

( )

F x ^{f x}

( ) K

^{F x}^

( ) ( )

⁼^{f x}

  x K

( )

F x ^{f x}

( )

⁵ ³ ⁴ ² ⁷ ¹²⁰

F x = x + x − x+ ^{f x}

( )

⁼¹⁵^x²⁺⁸^x⁻⁷

( )

^ln

(

² ³

)

F x = x+ x +

( )

₂¹

f x 3

= x +

Lời giải:

………

………..

( )

F x ^{f x}

( )

^{F x}

( ) (

⁼ ⁴^x⁻⁵

)

^e^x ^{f x}

( ) (

⁼ ⁴^x⁻¹

)

^e^x

Lời giải:

………

………..

( )

F x ^{f x}

( )

^tan⁴ ³ ⁵

F x = x+ x− ^{f x}

( )

⁼^4tan⁵^x⁺^4tan³^x⁺³

Lời giải:

………

………..

(7)

………..

( )

F x ^{f x}

( )

2

0

1 0

e

x

khi x F x

x x khi x

 

=  

 + + 



( ) 0

2 1 0

e

x

khi x f x

x khi x

 

=  

 + 



Lời giải:

………

………..

( ),

f x  f x dx F x C ( ) = ( ) + . ( )

_o

F x + C =   

C.

( ) 1

f x x x

= + x

^F

( )

¹ ^{= −}² ^{f x}

( )

⁼ ^x²_x⁺¹

F ( ) 1 = 3 2

Lời giải:

………

………..

(8)

………..

Đáp số: F x ( ) = 2 5 x

⁵

+ 2 x − 22 5 F x ( ) = x 2

²

+ ln x + 1 ( )

^x

1 e

2^x

f x e x



−



=    −   

^F

( )

¹ ⁼^e

Lời giải:

………

………..

Đáp số: F x ( ) = e

^x

+ − 1 x 1 ( )

f x ^{f x}^

( )

^{= −}³ ^x ^f

( )

⁰ ⁼⁵

Lời giải:

………

………..

Đáp số:

^{f x}

( )

⁼³^x⁻^5sin^x⁺⁵

( )

F x ^{f x}

( )

F x ^{f x}

( ) K

^^{F x}^

( ) ( )

⁼^{f x}

,   x K .

m

^{F x}

( )

^{f x}

( ) ( ) ( )

( )

3 2

2

3 2 4 3

3 10 4

F x mx m x x

f x x x

 = + + − +

 

= + −



Lời giải:

………

………..

Đáp số: m = 1

(9)

, ,

a b c

^{F x}

( )

^{f x}

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 1 sin 3 2 sin2 5 7 sin3

F x a x b x c x

f x x

 = + + − + −

 

 =

Lời giải:

………

………..

Đáp số:

^{F x}^

( )

⁼^{cos 2}^x

,

a b

^{F x}

( )

^{f x}

( )

2

1

1 x khi x F x

ax b khi x

 

=  

 + 



( ) 2 1

2 1

x khi x f x

khi x

 

=  

 



Lời giải:

………

………..

(10)

………..

Đáp số:

²

1 a b

 =

 = −

 ^{F x}

( )

^{f x}

( )

( ) ( )

d f x     = f x dx   dx x C = +

( ) ( )

d f x    =  f x + C



(

^cos^{x x}

)

⁼

(

^sin^x

) (

^sin^{x x}

)

⁼

(

⁻^cos^x

)

2

( )

1 x tanx x =

( )

2

1 cot

sin x x

x = − ^x ^x ⁼

( )

^e^x

ln

x

x a

x

a

 

=       1 x ( ) ln x

x = 1 x x = ( ) 2 x x 1 + 1 x =   ln ( x + 1 )  

(

²

)

2

( )

1 tan x x 1 x tanx

+ = x =

(

²

)

2

( )

1 cot 1 cot

x x sin x x

+ = x = −

( ) . 1 . ( )

d ax b a dx dx d ax b

+ =  = a +

( ax b dx ) 1 ( ax b d ax b ) ( ) ( 1 ax b ) C

a a

+ = + + = + +

 

( ) 1 ( ) ( ) ( 1 )

¹

1 ax b dx ax b d ax b ax b C

a a

+

+ = + + = +

  +

(

^{ax b}

)

^b

x a

+ −

=

(

^x⁻⁹

)

⁴^dx

  (

^x⁺¹

)

⁶^xdx



^{x x}

(

² ⁻¹

)

³^dx

Lời giải:

………

………..

(11)

………..

Đáp số: (

⁹

)

⁵

5 x− C

+

(

¹

) (

⁸ ¹

)

⁷

8 7

x x

+ + C

− +

1 ( 2 1 ) (

⁵

2 1 )

⁴

4 5 4

x x

C

 − − 

 

=  + + 

 

 

( ) 5 1 4

f x = x

+

^{f x}

( ) (

⁼ ²^x⁺¹

)

²⁰¹⁹

( ) 1

3 2

f x = x

− ( )

4 ³1

f x x

=x +

Lời giải:

………

………..

Đáp số: F x ( ) = 1 5 ln 5 x + + 4 C . ( ) (

² ¹

)

²⁰²⁰

4040

F x x+ C

= +

.

( ) 2 3 3 2

F x = x − + C F x ( ) = 1 4 ln ( x

⁴

+ + 1 ) C ( ) ( )

I P x dx

=  Q x

-

^deg^{P x}

( )

^^deg^{Q x}

( )

^⎯⎯⎯^PP^→

-

^deg^{P x}

( )

^^deg^{Q x}

( )

^⎯⎯⎯^PP^→

( )

P x ^{Q x}

( )

✓

• ( ax m bx n ) ( 1 . ) an bm ax m bx n 1 a b .

 

=  − 

− + +

+ +  

• ( )( ) ( ) ( )

( )( )

A B x Ab Ba

mx n A B

x a x b

x a x b x a x b

+ − +

+ = + =

− −

− − − −

A B m Ab Ba n

 + =

 

+ = −



(12)

• ( ) (

²

) (

²

) ( ) (

²

) ( )

²

1 A B C D .

x a x b = x a + x a + x b + x b

− − − − − −

✓

( )

^ln

1 d ax b ax b

dx C

ax b a ax b a

+ +

= = +

+ +

 

➢ (

1

)(

2

) (

1

) (

2

)

ax b A B

x x x x x x x x

+ = +

− − − −

1

2 1

2 1 2

2

1 2 1

x x

ax b A ax b

x x x x

ax b B ax b

x x x x

=

  +  +

 = −  = −

  

 

 +  +

 =  =

  −  −



➢ ln A + ln B = ln ( ) AB ;ln A − ln B = ln B A

5 1 x dx x

+

 +  2 x x + − 5 1 dx 

³^x²₃_x⁻²₋^x₂⁺¹^dx

Lời giải:

………

………..

Đáp số:

^{F x}

( )

^{= +}^x ^{4 ln}^x^{+ +}¹ ^C ^{F x}

( )

⁼¹₂^^^x⁺¹¹₂^{ln 2}^x^{− +}¹ ^C^^

 

F x ( ) = x 2

²

+ 1 3 ln 3 x − + 2 C

2 2 3

dx x − x−



2

1

x dx x −



2 ²4 4

x x dx

x x

+ + +



Lời giải:

………

………..

(13)

………..

Đáp số:

^{F x}

( )

⁼¹₄^ln ^x_x⁻₊³₁ ⁺^C

F x ( ) = 1 2 ln x

²

− + 1 C F x ( ) = − x 3ln x + − 2 x 2 + 2 + C

( )

1 1

ax b ax b ax b

e dx e d ax b e C

a a

+

=

+

+ =

+

 

( )

1 1

ln

x x a x

a dx a d x C

a

+ = + + = + +

  (

⁰^{ }^a ¹

)

3x 2018

e

⁻

dx

  (

⁵²^x⁻²⁰⁰⁰⁺^e²^x

)

^dx



^lnx_x ^dx

(

¹

)

²

x x

dx



+

Lời giải:

………

………..

Đáp số: F x ( ) = e

³^x

3

⁻²⁰¹⁸

+ C F x ( ) = 5 2.ln5

²^x⁻²⁰⁰⁰

+ e 2

²^x

+ C F x ( ) = 1 2 ln

²

x C + F x ( )

x

1 1 C e

= − +

+ .

( )

1

( ) ( )

^cos

( )

sin sin ax b

ax b ax b ax b C

a a

+ = + + = − + +

 

( )

1

( ) ( )

^sin

( )

cos cos ax b .

ax b x ax b ax b C

a ax b

+ = + + = + +

 

+

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1 tan

cos cos

dx d ax b ax b C

a a

ax b ax b

= + = + +

+ +

 

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1 cot

sin sin

dx d ax b ax b C

a a

ax b ax b

= + = − + +

+ +

 

✓

⎯⎯⎯^PP→

• ax . bx = 1 2   ( a b x − ) + ( a b x + )  

(14)

• ax .sin bx = 1 2   ( a b x − ) − ( a b x + )  

• ax . bx = 1 2   ( a b x − ) + sin ( a b x + )  

✓

⎯⎯⎯^PP→

sin

²

1 cos2 ; cos

²

1 cos2

2 2

a a

a − a +

= =

sin3x dx

  1 cos4 + 2 x dx  cos

²

xdx  2sin3 cos2 x xdx

Lời giải:

………

………..

Đáp số: F x ( ) = − 1 3 cos3 x C + F x ( ) = 1 2 x + 1 8 sin4 x C + ( ) 1 2 1 4 sin4

F x = x + x C + F x ( ) = − cos x − 1 5 cos5 x C +

3

s xdx



x

 (

^2cos^x⁻^{1 .sin}

)

³ ^xdx

 3cos sin xdx x + 1 sin

1 2cos xdx x

 +

Lời giải:

………

………..

Đáp số: F x ( ) = ln s x + 1 4 2 x C + F x ( ) = − 1 8 ( 2cos x − 1 )

⁴

+ C ( )

^{ln 3cos} ¹

F x = x+ +C ^{F x}

( )

^{= −} ^{1 2cos}⁺ ^{x C}⁺

(15)

C: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: --- DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬT--- BÀI TẬP RL NGUYÊN HÀM CB – TM1

( )

f x g x

( )

Ⓐ. 

^_^{f x}

( )

⁺^{g x}

( )

^_^d^x⁼



^{f x x}

( )

^d ⁺



^{g x x}

( )

^d

Ⓑ. 

f x g x

( ) ( )

. dx =



f x x g x x

( )

d .

 ( )

d

Ⓒ. 

^_^{f x}

( )

⁻^{g x}

( )

^_^d^x⁼



^{f x x}

( )

^d ⁻



^{g x x}

( )

^d

Ⓓ. 

kf x x k f x x

( )

d =

 ( )

d

(

^k^^0;^k^

)

✎Lời giải:

………

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

 

^{a b}^;

Ⓐ.

2

Ⓑ.

3

Ⓒ.

1

Ⓓ.

4

✎Lời giải:

………

( )

F x y=x² ^F^

( )

⁴

Ⓐ.

2

Ⓑ.

4

Ⓒ.

8

Ⓓ.

16

✎Lời giải:

………

( )

³ ¹

f x =x + +x

Ⓐ.

⁴ ²

4 2

x +x +C

Ⓑ.

⁴ ²

4 2

x +x + +x C

Ⓒ.

⁴ ² 2

x +x + +x C

Ⓓ.

3x²+C

✎Lời giải:

………

( )

4 ³ 2 ¹

f x x x 2

= + + x

Ⓐ. 

^{f x}

( )

^d^x ⁼^x₄⁴⁺^x²⁺ ^{x C}⁺

Ⓑ. ( )

d ⁴ 2 4

f x x =x + x+ x C+



Ⓒ. 

^{f x}

( )

^d^x⁼^x⁴⁺^x²⁺ ^{x C}⁺

Ⓓ. ( )

d 12 ² 2 ¹

f x x x 4 C

= + − x x +



✎Lời giải:

………

(16)

( )

F x ^{f x}

( )

⁼^x²⁻²^x⁺³ ^F

( )

⁰ ⁼²

( )

¹

F

Ⓐ.

4

Ⓑ.

¹³ 3

Ⓒ.

2

Ⓓ.

¹¹ 3

✎Lời giải:

………

(

^{1 2}

)(

^{3 d}

)

I =



x+ x− x

Ⓐ.

² ³ ¹ ² 3 ,

3 2

I = x + x + x C C+ 

Ⓑ.

^I ⁼^^x₂²⁺^{x x}^

(

²⁻³^x

)

⁺^{C C}^,

  

Ⓒ.

² ³ ¹ ² ,

3 2

I = x − x +C C

Ⓓ.

² ³ ¹ ² 3 ,

3 2

I = x − x − x C C+ 

✎Lời giải:

………

( )

f x ^{f x}^

( )

⁼¹²^x²⁺⁶^x⁻⁴ ^f

( )

⁰ ⁼^{1, 1}^f

( )

⁼³ ^f

( )

⁻^{1 .}

Ⓐ.

^f

( )

^{− = −}¹ ⁵

Ⓑ.

^f

( )

^{− =}¹ ³

Ⓒ.

f

( )

− = −¹ ³

Ⓓ.

^f

( )

^{− = −}¹ ¹

✎Lời giải:

………

( )

f x f x

( )

=4 x−x ^f

( )

⁴ ⁼⁰

Ⓐ. ( )

⁸ ² ⁴⁰

3 2 3

x x x

f x = − −

Ⓑ.

f x

( )

² 1

= x −

Ⓒ.

^{f x}

( )

⁼⁸^{x x}₃ ⁺^x₂²⁻⁸⁸₃

Ⓓ.

^{f x}

( )

² ^x₂² ¹

= x − +

✎Lời giải:

………

( ) (

²

)

² ³

F x = ax +bx c+ x−

(

a b c, , 

) ( )

²⁰ ² ³⁰ ¹¹

2 3

x x

f x x

− +

= −

3; 2

 +

 

  T a b c= + +

Ⓐ.

T =8

Ⓑ.

T =5

Ⓒ.

T =6

Ⓓ.

T =7

✎Lời giải:

………

2

1dx



x

Ⓐ.

¹₂dx ¹ C x =x +



Ⓑ.

¹₂dx ¹ C x = − +x



Ⓒ.

¹₂d ¹ x 2 C x = x+



Ⓓ.

¹₂dx lnx² C

x = +



✎Lời giải:

………

(17)

( )

^{1 2} ²

f x = +xx

Ⓐ.

lnx +2x²+C

Ⓑ.

2lnx +x²+C

Ⓒ.

lnx +x²+C

Ⓓ.

lnx² +2x C+

✎Lời giải:

………

( )

⁴ ⁵ ¹ ²⁰¹⁸

f x x

= −x+

Ⓐ.

⁴ ⁶ ln 2018 6x + x + x C+

Ⓑ.

² ⁶ ln 2018 3x − x+ x C+

Ⓒ.

20x⁴ ¹₂ C +x +

Ⓓ.

² ⁶ ln 2018 3x − x + x C+

✎Lời giải:

………

( )

² ²₂

f x x

= +x

Ⓐ. ( )

^d ³ ²

3

f x x x C

= − +x



Ⓑ. 

^{f x x}

( )

^d ⁼^x₃³ ^{− +}¹_x ^C

Ⓒ. 

^{f x x}

( )

^d ⁼ ^x₃³^{+ +}²_x ^C

Ⓓ. 

^{f x x}

( )

^d ⁼ ^x₃³ ^{+ +}¹_x ^C

✎Lời giải:

………

( )

⁶ 2

1 1

7 2

f x x

x x

= + + −

Ⓐ.

x⁷ lnx ¹ 2x + −x−

Ⓑ.

x⁷ lnx ¹ 2x C + +x − +

Ⓒ.

x⁷ lnx ¹ 2x C + +x− +

Ⓓ.

x⁷ lnx ¹ 2x C + −x− +

✎Lời giải:

………

( )

^cos

f x = x

Ⓐ.

−sinx C+

Ⓑ.

sinx C+

Ⓒ.

cosx C+

Ⓓ.

−cosx C+

✎Lời giải:

………

( )

² ^cos

f x = x+ x

Ⓐ. 

^{f x dx}

( )

⁼^x²⁺^sin^{x C}⁺

Ⓑ. 

f x dx

( )

=x²−sinx C+

Ⓒ. 

^{f x dx}

( )

⁼²^x²⁺^sin^{x C}⁺

Ⓓ. 

^{f x dx}

( )

^{= −}^{1 sin}^{x C}⁺

✎Lời giải:

………

(18)

( )

sin cos f x = x− x

Ⓐ. 

^{f x x}

( )

^d ^{= −}^sin^x⁺^cos^{x C}⁺

Ⓑ. 

f x x

( )

d =sinx+cosx C+

Ⓒ. 

^{f x x}

( )

^d ^{= −}^sin^x⁻^cos^{x C}⁺

Ⓓ. 

f x x

( )

d =sinx−cosx C+

✎Lời giải:

………

( )

F x ^{f x}

( )

⁼^sin^x⁺^cos^x 2 2 F  =  π

Ⓐ.

^{F x}

( )

⁼^cos^x⁻^sin^x⁺³

Ⓑ.

^{F x}

( )

^{= −}^cos^x⁺^sin^x⁺³

Ⓒ.

F x

( )

= −cosx+sinx−1

Ⓓ.

^{F x}

( )

^{= −}^cos^x⁺^sin^x⁺¹

✎Lời giải:

………

( )

^{2 7sin}

f x = − x ^f

( )

⁰ ⁼¹⁴

Ⓐ.

³

2 2

π π

f  =  

Ⓑ.

f

( )

π =2π

Ⓒ.

^{f x}

( )

⁼²^x⁺^7cos^x⁺¹⁴

Ⓓ.

^{f x}

( )

⁼²^x⁻^7cos^x⁺¹⁴

✎Lời giải:

………

( )

5^x f x =

Ⓐ. 

f x x

( )

d =5^x+C

Ⓑ. 

^{f x x}

( )

^d ⁼^{5 ln5}^x ⁺^C

Ⓒ. ( )

^d ⁵

ln5

x

f x x = +C



Ⓓ. ( )

d ⁵ ¹ 1

x

f x x C

x

+

= +



+

✎Lời giải:

………

x cos y e= + x

Ⓐ.

e^x−sinx C+

Ⓑ.

¹ sin 1

ex x C

x

+ − +

+

Ⓒ.

e^x+sinx C+

Ⓓ.

¹ _sin 1 ex

x x C

+

+ +

+

✎Lời giải:

………

( )

^{e 1 e}^x

(

^x

)

f x = + ⁻

Ⓐ. 

^{f x x}

( )

^d ⁼^e⁻^x⁺^C

Ⓑ. 

^{f x x}

( )

^d =^e^x+ +^{x C}

Ⓒ. 

^{f x x}

( )

^d ⁼^e^x⁺^e⁻^x⁺^C

Ⓓ. 

f x x

( )

d =e^x+C

✎Lời giải:

………

( )

^x³

F x =e

Ⓐ.

^{f x}

( )

⁼^e^x³

Ⓑ.

^{f x}

( )

⁼^{3 .}^{x e}² ^x³

✎Lời giải:

………

(19)

Ⓒ. ( )

3

3 2

ex

f x = x

Ⓓ.

^{f x}

( )

⁼^{x e}³^. ^x³⁻¹

………

( )

^d ¹ ^{ln 2}

f x x x C

=x + +



^x^

(

^0;^+

)

^{f x}

( )

Ⓐ. ( )

2

1 1. f x = −x +x

Ⓑ.

^{f x}

( )

⁼ ^x ⁺₂¹_x^.

Ⓒ.

^{f x}

( )

⁼_x¹₂ ⁺^{ln 2 .}

( )

^x

Ⓓ.

^{f x}

( )

^{= −}_x¹₂ ⁺₂¹_x^.

✎Lời giải:

………

---HẾT---

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: ---DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬT--- BÀI TẬP RL NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG – VI PHÂN – TM2

Câu 1: (THONGMATHS) Cho hàm số ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

. Mệnh đều nào sau đây đúng?

Ⓐ.



^f

( )

²^{x dx}⁼^{2 2}^F

( )

^x ⁺^C^.

Ⓑ.



^f

( )

²^{x dx} ⁼¹₂^F

( )

²^x ⁺^C^.

Ⓒ.



^f

( )

²^{x dx} ⁼¹₂^{F x}

( )

⁺^C^.

Ⓓ.



f

( )

2x dx F x=

( )

+C^.

✎ Lời giải:

………

Câu 2: (THONGMATHS) Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số

( )

⁵

( ) 3 1 f x = x+ ?

Ⓐ.

( ) (

3 1

)

⁶

18 8 F x x+

= + .

Ⓑ.

( ) (

³ ¹

)

⁶ ₂

18 F x x+

= − .

Ⓒ.

( ) (

³ ¹

)

⁶

18 F x x+

= .

Ⓓ.

( ) (

3 1

)

⁶

6 F x x+

= .

✎ Lời giải:

………

ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020-2021

(20)

Câu 3: (THONGMATHS) Cho hàm số ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số f x

( )

=x³−x²−5x thỏa

( )

0

F =m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể hàm số ^y⁼ ^{F x}

( )

có 7 điểm cực trị.

Ⓐ. 4 .

Ⓑ. 5 .

Ⓒ. 6 .

Ⓓ. 7.

✎ Lời giải:

………

Câu 4: (THONGMATHS) Tìm một nguyên hàm của hàm số

( )

²

f x 1

= x

− .

Ⓐ.

( )

¹

F x 1

= x

− .

Ⓑ. ^{F x}

( )

⁼ ^x⁻¹^.

Ⓒ. ^{F x}

( )

⁼⁴ ^x⁻¹^.

Ⓓ. ^{F x}

( )

⁼² ^x⁻¹^.

✎ Lời giải:

………

Câu 5: (THONGMATHS) Tìm hàm số ( )F x thỏa mãn các điều kiện: ³

4 2

( ) 2

1 x x F x x x

 = −

− + và (0) 1F =

Ⓐ. F x( )= x⁴−x²+ +1 x.

Ⓑ. F x( )= x⁴−x²+ −1 x.

Ⓓ. 4 2

( ) 1 F x 1

x x

= − + .

✎ Lời giải:

………

Câu 6: (THONGMATHS) Tất cả nguyên hàm của hàm số

( )

¹

2 3

f x = x

+ là

Ⓐ.¹^{ln 2}

(

³

)

2 x+ +C. Ⓑ. 1

ln 2 3 2 x+ +C.

✎ Lời giải:

………

Câu 7: (THONGMATHS) Nguyên hàm

( )

10 12

2 .

1

x dx

x

−



+

Ⓐ.

1 2 11 .

3 1

x C

x

 −  +

 + 

 

Ⓑ.

1 2 11 .

11 1

x C

x

 − 

−  +  +

Ⓒ.

1 2 11 .

33 1

x C

x

 −  +

 + 

 

Ⓓ.

1 2 11

11 1 .

x C

x

 −  +

 + 

  .

✎ Lời giải:

………

Câu 8: (THONGMATHS) Biết rằng F x

( )

là một nguyên hàm trên của hàm số

( )

(

²⁰¹⁷² ¹

)

²⁰¹⁸^x

f x = x

+ thỏa mãn F

( )

1 =0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x

( )

.

Ⓐ. 1 m= −2.

Ⓑ. 1 2₂₀₁₈²⁰¹⁷ m= 2− .

Ⓓ. 1 m =2.

✎ Lời giải:

………

(21)

Câu 9: (THONGMATHS) Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼₂_x¹₊₁^?

Ⓐ. ^{F x}

( )

⁼^{ln 2}^x^{+ +}^{1 1}^.

Ⓑ. ^{F x}

( )

⁼¹₂^{ln 2}^x^{+ +}^{1 2}^.

Ⓒ.

( )

¹^{ln 4} ^{2 3}

F x =2 x+ + .

Ⓓ. ^{F x}

( )

⁼¹₄^{ln 4}

(

^x²⁺⁴^x⁺¹

)

⁺³^.

✎ Lời giải:

………

Câu 10: (THONGMATHS) Biết ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của

( )

¹

f x 1

= x

− và ^F

( )

² ⁼¹^{. Tính}^F

( )

³ ^.

Ⓐ. ^F

( )

³ ⁼^{ln2 1}⁻ ^{. Ⓑ.}^F

( )

³ ⁼^{ln2 1}⁺ ^.

Ⓒ.

( )

3 ¹

F =2. Ⓓ.

( )

3 ⁷ F =4.

✎ Lời giải:

………

Câu 11: (THONGMATHS) Cho ^{F x}

( )

là nguyên hàm của hàm số

( )

² ¹

1 x x f x x

= + +

+ và

( )

³ ⁴⁰⁴⁵ ^ln2

F − = 2 + . Tính ^F

( )

⁻² ^.

Ⓐ. F

( )

−² không xác định.

Ⓑ. F

( )

−² =².

Ⓒ. ^F

( )

⁻² ⁼²⁰¹⁸^.

Ⓓ. ^F

( )

⁻² ⁼²⁰²⁰^.

✎ Lời giải:

………

Câu 12: (THONGMATHS) Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên ^{\ 2}

 

⁻ ^{thỏa mãn}

( )

³ ¹

2 f x x

x

 = −

+ , ^f

( )

⁰ ⁼¹^và

( )

⁴ ²

f − = . Giá trị của biểu thức ^f

( )

² ⁺^f

( )

⁻⁶ ^bằng

Ⓐ. 10 ln2− .

Ⓑ. 3 14ln2− .

Ⓒ. 3 14ln2+ .

Ⓓ. 10 ln2+ .

✎ Lời giải:

………

Câu 13: (THONGMATHS) Cho hàm số ( )f x xác định trên \ 1 2

  

  thỏa mãn

( )

₂ ² ₁^,

( )

⁰ ^1,

( )

¹ ²

f x f f

 = x = =

− . Giá trị của biểu thức ^f

( )

^{− +}¹ ^f

( )

³ bằng

Ⓐ. 4 ln15+ .

Ⓑ. 2 ln15+ .

Ⓒ. 3 ln15+ .

Ⓓ. ln15 .

✎ Lời giải:

………

Câu 14: (THONGMATHS) Biết ₃ ₂² ¹ d ln

(

1

) (

2

) (

3

)

6 11 6

m n p

x x x x x C

x x x

+ = − − − +

− + −



^{. Tính}⁴

(

^{m n}^{+ +}^p

)

^.

Ⓐ. 5 .

Ⓑ. 0 .

Ⓒ. 2 .

Ⓓ. 4.

✎ Lời giải:

………

(22)

Câu 15: (THONGMATHS) Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên ^{\ 1;1}



⁻



thỏa mãn

( )

2

' 1 f x 1

= x

− ,

( )

⁵

( )

⁵ ⁰

f − +f = , 1 1 4

4 4

f− +f   = . Tính ^f

( )

− +² ^f

( )

⁰ +^f

( )

⁴ , kết quả bằng

Ⓐ. 3 ln 3 5 5

 

−  .

Ⓑ. 2 ln 3 5 5

 

+  .

Ⓓ. 5 ln3− .

✎ Lời giải:

………

Câu 16: (THONGMATHS) Tìm nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

⁼^sin2^x, biết 0 6 F  =  π .

Ⓐ. ^F

( )

^x ⁼⁻₂¹^{cos 2}^x⁺^π₆^.

Ⓑ. ^F

( )

^x ⁼^cos²^x⁻¹₄^.

Ⓒ. ^F

( )

^x ⁼^sin²^x⁻¹₄^.

Ⓓ. ^{F x}

( )

⁼⁻₂¹^{cos 2}^x ^.

✎ Lời giải:

………

Câu 17: (THONGMATHS) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼₂_x¹₊₁⁺^cos^x^là

Ⓐ. 1ln 2 1 sin 2 x+ + x C+ .

Ⓑ. 1ln 2 1 sin 2 x+ − x C+ .

Ⓒ. 2 2

(

¹ 1

)

² ^sinx C

x + +

+ .

Ⓓ. ln 2x+ +1 sinx C+ .

✎ Lời giải:

………

Câu 18: (THONGMATHS) Cho ^{F x}

( )

⁼^{cos 2}^x⁻^sin^{x C}⁺ là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{. Tính}^f

( )

^π ^.

Ⓐ. ^f

( )

^π ^{= −}³^.

Ⓑ. ^f

( )

^π =¹.

Ⓒ. f

( )

π = −1.

Ⓓ. ^f

( )

^π ⁼⁰^.

✎ Lời giải:

………

( )

⁼^sin2^x⁺^cos^x^là

Ⓐ. cos2− x+sinx C+ .

Ⓑ. cos²x−sinx C+ .

Ⓓ. cos2x−sinx C+ .

✎ Lời giải:

………

( )

⁼²^x⁺^sin2^x^là

Ⓐ. ² 1 cos 2 x −2 x C+ .

Ⓑ. ² 1 cos 2 x +2 x C+ .

Ⓓ. x²+2cos2x C+ .

✎ Lời giải:

………

Câu 21: (THONGMATHS) Tìm nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

⁼⁴^x⁺^sin3^x, biết ^F

( )

⁰ ⁼²₃^.

(23)

Ⓐ. ^{F x}

( )

⁼²^x³⁺^{cos 3}^x⁻¹₃^.

Ⓑ. ^{F x}

( )

⁼²^x³⁻^{cos 3}^x⁺⁵₃^.

Ⓒ. ^{F x}

( )

⁼²^x³⁺¹₃^{cos 3}^x⁺¹₃

Ⓓ.

( )

² ³ ¹^{cos 3} ¹

F x = x −3 x+ .

✎ Lời giải:

………

Câu 22: (THONGMATHS) Cho biết ^{F x}

( )

⁼¹₃^x³⁺²^x⁻¹_x là một nguyên hàm của

( ) (

²

)

²

2

x a

f x x

= + . Tìm nguyên hàm của ^{g x}

( )

⁼^x^cos^ax^.

Ⓐ. sinx x−cosx C+ .

Ⓑ. 1 1 sin2 cos 2 2x x−4 x C+ .

Ⓓ. 1 1 sin2 cos 2 2x x+4 x C+ .

✎ Lời giải:

………

Câu 23: (THONGMATHS) Biết ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số f x

( )

=sin .cos³x x và ^F

( )

⁰ ⁼^π^.

Tìm 2 F π

  .

Ⓐ. 2

F  = −  π π. Ⓑ. 1

2 4

F  = − +  π π .

Ⓒ. 1

2 4

F  = +  π π. Ⓓ.

2 F  =  π π.

✎ Lời giải:

………

Câu 24: (THONGMATHS) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

( )

=cos²x là

Ⓐ. sin2

2 4

x− x+C. Ⓑ. cos 2

2 4

x− x+C.

Ⓒ. cos 2

2 4

x+ x+C. Ⓓ. sin2

2 4

x+ x +C.

✎ Lời giải:

………

Câu 25: (THONGMATHS) Biết



xcos2xdx ax= sin2x b+ cos2x C+ ^{với ,}^{a b} là các số hữu tỉ. Tính tích .a b

Ⓐ. 1 ab=8.

Ⓑ. 1 ab=4.

Ⓒ. 1 ab= −8.

Ⓓ. 1 ab= −4.

✎ Lời giải:

………

Câu 26: (THONGMATHS) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

( )

=e²⁰¹⁸^x.

Ⓐ.



^{f x}

( )

^d^x⁼₂₀₁₈¹ ^.e²⁰¹⁸^x⁺^C^.

Ⓑ.



f x x

( )

d =e