Bài 11. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố Bài 99 (Trang 31 SBT Toán 6 tập 1):
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 16; 23; 120; 625.
Lời giải +) Ta có:
16 8 4 2 1
2 2 2 2 Vậy 16 = 24. +) Ta có:
23 1
23 Vậy 23 = 23.
+) Ta có:
120 60 30 15 5 1
2 2 2 3 5
Vậy 120 = 23.3.5.
+) Ta có:
625 125 25 5 1
5 5 5 5 Vậy 625 = 54.
Bài 100 (Trang 31 SBT Toán 6 tập 1):
Thực hiện mỗi phép tính sau, rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:
a) 777:7 + 361:192;
a) 777:7 + 361:192
= 777:7 + 361:361
= 111 + 1
= 112.
Ta có:
112 56 28 14 7 1
2 2 2 2 7
Vậy 112 = 24.7.
b) 3.52 – 3.17 + 43.7
= 3.25 – 3.17 + 64.7
= 75 – 51 + 448
= 472 Ta có:
472 236 118 59 1
2 2 2 59 Vậy 472 = 23.59.
Bài 101 (Trang 31 SBT Toán 6 tập 1):
Phân tích 225 và 1 200 ra thừa số nguyên tố rồi cho biết mỗi số đó chia hết cho những số nguyên tố nào.
Lời giải Ta có:
225 45 9 3 1
5 5 3 3
Vậy 225 = 32.52.
Suy ra 225 chia hết cho các số nguyên tố là 3 và 5.
Ta có:
1 200 600 300 150 75 25 5 1
2 2 2 2 3 5 5
Vậy 1 200 = 24.3.52.
Suy ra 1 200 chia hết cho các số nguyên tố là 2, 3 và 5.
Bài 102 (Trang 31 SBT Toán 6 tập 1):
Bạn Lan khẳng định: “ Khi phân tích số tự nhiên a ra thừa số nguyên tố, nếu a = p.q2 thì a có tất cả 6 ước”. Theo em, bạn Lan khẳng định đúng hay sai? Vì sao?
Lời giải
Cách 1. Ta có a = p.q2 nên tập các Ư(a) = {1; p; q; q2; pq; pq2}. Do đó a có 6 ước là đúng.
Cách 2. Nếu a = pm.qn thì số ước của a là: (m + 1).(n + 1).
Áp dụng vào bài toán, ta có a = p.q2 khi đó a có (1 + 1)(2 + 1) = 2.3 = 6. Vậy a có tất cả 6 ước là đúng.
Bài 103 (Trang 31 SBT Toán 6 tập 1):
Cho a = 72.113. Trong các số 7a, 11a, 13a, số nào có nhiều ước nhất?
Lời giải
Ta có: 7a = 7. 72.113 = 73.113.
Suy ra 7a có tất cả (3 + 1).(3 + 1) = 4.4 = 16 ước.
Ta có: 11a = 11.72.113 = 72.114.
Suy ra 11a có tất cả (2 + 1).(4 + 1) = 3.5 = 15 ước.
Ta có: 13a = 13.72.113.
Suy ra 13a có tất cả (2 + 1).(3 + 1).(1 + 1) = 3.4.2 = 24 ước.
Tìm số tự nhiên n, biết:
a) 2 + 4 + 6 + … + 2.(n – 1) + 2n = 210.
b) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = 225.
Lời giải
a) Số số hạng của VT là: (2n – 2):2 + 1 = n – 1 + 1 = n số.
Khi đó: 2 + 4 + 6 + … + 2.(n – 1) + 2n = (2n + 2).n:2 = n.(n+1).
Theo đầu bài, ta có: n(n + 1) = 210 Ta có:
210 105 35 7 1
2 3 5 7
Suy ra 210 = 2.3.4.5= 14.15.
Vậy n = 14.
b) Số số hạng của VT là: (2n – 1 – 1):2 + 1 = (2n – 2):2 + 1 = n – 1 + 1 = n.
Khi đó 1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = (2n – 1 + 1).n:2 = 2n.n:2 = n2. Ta có 223 = 32.52 = 152.
Vậy n = 15.
Bài 105 (Trang 32 SBT Toán 6 tập 1):
Bạn Khanh có 16 cái bút. Bạn Khanh muốn chia số bút đó vào các hộp sao cho số bút của các hộp bằng nhau và mỗi hộp ít nhất hai cái. Bạn Khanh có thể xếp 16 cái bút đó vào mấy hộp? (Kể cả trường hợp xếp vào một hộp).
Lời giải
Vì để xếp 16 cái bút vào các hộp sao cho số bút của các hộp bằng nhau nên số hộp bút là ước của 16.
Ta có: 16 = 24 nên các ước của 16 là: 1; 2; 4; 8; 16.
Ta có bảng sau:
Số hộp bút Số bút trong mỗi hộp
1 16
2 8
4 4
8 2
16 1
Vì mỗi hộp có ít nhất hai cái bút nên ta loại trường hợp chia thành 16 hộp bút.
Vậy bạn Khanh có thể xếp số bút đó vào 1 hộp, 2 hộp, 4 hộp hoặc 8 hộp.
Bài 106 (Trang 32 SBT Toán 6 tập 1):
Một trường có 1 015 học sinh, cần phải xếp mỗi hàng bao nhiêu học sinh để số học sinh trong mỗi hàng là như nhau? Biết rằng số hàng không quá 40 hàng và không ít hơn 10 hàng.
Lời giải
Xếp 1 015 học sinh thành các hàng sao cho số học sinh mỗi hàng là như nhau nên số hàng là ước của 1 015.
Ta có: 1 015 = 5.7.29.
Ta có bảng sau:
Số hàng Số học sinh mỗi hàng
1 1 015
5 203
7 145
29 35
35 29
145 7
203 5
1 015 1
Vì số hàng không quá 40 hàng và không ít hơn 10 hàng nên ta có thể xếp 1 015 thành 29 hàng hoặc 35 hàng.
Bài 107 (Trang 32 SBT Toán 6 tập 1):
Học sinh lớp 6A nhận được phần thưởng từ Liên đội nhà trường, mỗi học sinh đều được nhận số phần thưởng như nhau. Cô tổng phụ trách đã phát hết 215 quyển vở và 129 quyển truyện cho học sinh lớp 6A. Số học sinh của lớp 6A là bao nhiêu, biết rằng số học sinh của lớp nhiều hơn 10 học sinh?
Lời giải
Vì mỗi học sinh đều nhận được phần thưởng là như nhau nên số học sinh vừa là ước của 215 vừa là ước của 129.
Ta có: 215 = 5.43; 129 = 3.43.
Bài 108 (Trang 32 SBT Toán 6 tập 1):
Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 3n + 13 chia hết cho n + 1;
b) 5n + 19 chia hết cho 2n + 1.
Lời giải
a) Ta có: 3n + 13 = 3n + 3 + 10 = 3.(n + 1) + 10.
Vì 3.(n + 1) chia hết cho n + 1 nên để 3n + 13 chia hết cho n + 1 thì 10 phải chia hết cho n + 1 hay n + 1 là ước của 10.
Ta có: 10 = 2.5 nên các ước của 10 là: Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.
Ta có bảng sau:
n + 1 1 2 5 10
n 0 1 4 9
Vậy n ∈ {0; 1; 4; 9}.
b) 5n + 19 chia hết cho 2n + 1.
Vì 5n + 19 chia hết cho 2n + 1 nên 2(5n + 19) chia hết cho 2n + 1 Xét 2(5n + 19) = 10n + 38 = 10n + 5 + 33 = 5(2n + 1) + 33.
Vì 5.(2n + 1) chia hết cho 2n + 1 nên để 2(5n + 19) chia hết cho 2n + 1 thì 33 phải chia hết cho 2n + 1 hay 2n + 1 thuộc ước của 33.
Ta có bảng sau:
2n + 1 1 3 11 33
n 0 1 5 16
Vậy n ∈ {0; 1; 5; 16}.
