Toàn bộ công thức Toán 12 thi THPT Quốc gia năm 2022

Văn bản

(1)

CÔNG THỨC LŨY THỪA

Cho các số dương a b, và m n,  . Ta có:

a0 1 n . ...

n thừa số

a a a a với

n

* n 1

a n

a

( a

m n

)  a

mn

 ( a

n m

)

a am. nam n

m

m n n

a a

a

a b

n n

 ( ab )

n

n n n

a a

b b

      

1 2 1

3 3

n

m n m

a a

a a

a a

 

  CÔNG THỨC LOGARIT

Cho các số a b, 0, a1. Ta có:

log

a

b    a

b

lg b  log b  log

10

b

ln b  log

e

b

log 1 0

a

log

a

a  1

log

a

a

b

b

 1

logamb logab

m

log

a

b

n

n log

a

b

 log m log

n a a

b n b

m

log (

a

bc )  log

a

b  log

a

c

log

a

b log

a

log

a

b c

   c

   

log

log log

a

b b

b

c a

a b

a c

 

 

 

log

a

b .log

b

c  log

a

c

log log log

a

b a

c c

b

1

log

a

b log

b

a HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT

HÀM LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Dạng:

y x y u

với

u

là đa thức đại số.

Tập xác định:

Nếu ĐK u .

Nếu ĐK u 0.

Nếu ĐK u 0.

Đạo hàm:

1 1

.

y x y x

y u y u u

    

 

   

Dạng: y axu

y a với 0. 1 a a

Tập xác định: D .

Đạo hàm:

ln ln .

x x

u x

y a y a a

y a y a a u . Đặc biệt: ( )

( ) .

x x

u u

e e

e e u .

Sự biến thiên: y ax

Nếu a 1 thì hàm đồng biến trên . Nếu 0 a 1 thì hàm nghịch biến trên .

Dạng: log log

a a

y x

y u với 0.

1 a a

Đặc biệt: a e y ln ;x

10 log lg

a y x x.

Điều kiện xác định: u 0.

Đạo hàm:

log 1

ln

log ln

a

a

y x y

x a

y u y u

u a .

Đặc biệt:

(ln ) 1

(ln )

x x

u u u

.

Sự biến thiên: y logax Nếu a 1 : hàm đồng biến trên (0; ) . Nếu 0 a 1: hàm nghịch biến trên (0; )

(2)

ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT

ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

 Ta thấy: ax 0 a 1;bx 0 b 1.

 Ta thấy: cx c 1;dx d 1.

So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng ax trước nên a b.

So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng cx trước nên c d.

 Vậy 0 b a 1 d c.

 Ta thấy: logax 0 a 1; logbx 0 b 1.

 Ta thấy: logcx c 1; logdx d 1.

So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logbx trước: b a.

So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logdx trước: d c.

 Vậy 0 a b 1 c d.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Phương trình mũ Phương trình Logarit

 Dạng cơ bản:

a

f x( )

a

g x( )

f x ( )  g x ( )

Dạng cơ bản:

log

a

f x ( )  log g( )

a

xf x ( )  g x ( )  0

 Dạng logarit hóa:

( )

( ) ( )

( ) log

( ) ( ).log

f x

a

f x g x

a

a b f x b

a b f x g x b

  

  

 Dạng mũ hóa:

log

a

f x ( )   b f x ( )  a

b (không cần điều kiện)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit

 Dạng cơ bản:

1

( ) ( )

0 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a

f x g x

f x g x a

a a f x g x

a a f x g x

 

   

   

 Dạng cơ bản:

1

0 1

log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0

log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )

a

a a

a

a a

f x g x f x g x

f x g x f x g x

 

    

    

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

k  0

Với

k

là hằng số

( x

)    x

1

( u

)   u

1

. u

  

 

1

x 2

  x

  2 u u

u

 

  

 1 12

x x

   

  

2

1 u

u u

 

     

  e

x

  e

x

  e

u

e u

u

.

  

  a

x

  a

x

ln a

  a

u

a

u

.ln . a u

  

sinx

 cosx

sinu

ucosu

 

cosx

  sinx

cosu

usinu

  

(3)

 

2 2

tan 1 1 tan

x cos x

  x  

 tan 

2

 1 tan

2

cos

u u u u

u

  

    

 

2

2

cot 1 1 cot

x sin x

   x   

 cot 

2

 1 cot

2

sin

u u u u

u

  

      

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

( ) ( ) ( ) ( )

f x dxF x   C F x   f x

k f x dx . ( )  kf x dx ( )

f x ( ) g x dx ( ) f x dx ( ) g x dx ( )

kdx kx C

1)

kdxkx C

2 dx 2 x C

( 3) dx    3 x C

2)

1

1 x dx x C

 

1 ( )

1

( ) .

1

MR

ax b

ax b dx C

a

   

 

4 3

4 x dxxC

3

1 2

2

2

3

3 / 2 3

xdxx dxx   C xC

 

11 11

10

1 (1 ) (1 )

(1 2 ) .

2 11 22

x x

x dxCC

    

 

3) 1 1 1

ln MR ln

dx x C dx ax b C

x    ax ba  

 

1 31 xdx13ln 1 3 x C

4)

1

2

1 1

2

1 1

( ) .

dx C

MR

dx C

x x ax b a ax b

      

 

 

(2 x 1 3)

2

dx 1 2 2 . x 1 3    C 4 x 1 6 C

3 2

2

1 1 1

10 ln 10

3

x dx x x x C

x x x

         

 

 

x

5

x 1 dx x

4

1 x dx x 5

5

ln x C

5) x x MR ax b 1 ax b

e dx e C e dx e C

a

    

 

e dxx 11ex   C ex C

6)

ln

x

x

a

a dx C

a

1 . ln

bx c

MR bx c

a

a dx C

b a

   

5

5 ln 5

x

x

dx   C

3

2x

dx 9

x

dx ln 9 9

x

C

2 5 2 5

2 5

1 3 3

3 .

2 ln 3 2 ln 3

x x

x

dx C C

   

1 2

 

2 1 2

1 2 1 2

2

x x x x x x

e e dxe e dxe eC

 

2 .3

x x1

dx 2 .3 .

x x

1 3 dx 1 36

x

dx 3ln 6 6

x

C

7)

 sin xdx   cos x C

sin( ) 1cos( )

MR ax b dx ax b C



  a  

4;

2

sin 4 1 cos 4

2 4 2

a b

x dx x C

 



        

   

   

8)

 cos xdx  sin x C

cos( ) 1sin( )

MR ax b dx ax b C



 a  

1; 3

cos 1 sin sin

3 1 3 3

a b

x dx x C x C

  



             

      

     

  3sin x 2 cos x dx  3cos x 2sin x C

sin

2

xdx 1 2 1 cos 2 x dx 1 2 x 1 2 sin 2 x C

(hạ bậc)

9) 2

2

1 1 tan tan

cos dx x dx x C

x    

 

   

2

1 1

cos tan

MR dx ax b C

ax b a

   

2

2 2

1 2 cos 1

2 tan 2

cos cos

x dx dx x x C

x x

         

 

 

 12 1

tan 3

cos 3 dx 3 x C

x  

(4)

   

2 1

1 tan tan

MR ax b dx ax b C

  a



       2

2;

1 tan 2 1 tan 2

2

a b

x dx x C

 



 

      

  

 

10) 2

2

1 1 cot cot

sin dx x dx x C

x     

 

   

2

1 1

sin cot

MR

dx ax b C

ax b a

    

 

   

2 1

1 cot cot

MR ax b dx ax b C

  a



       

2 2

2 2

sin 1 1

sin sin 2 cot

x x x

dx x dx x C

x x

           

 

 12 1

cot 8

sin 8 dx 8 x C

x   

2 1

1 cot 3 cot 3

x dx 3 x C

     

 

2 2

2 2 2 2 2 2

1 sin cos 1 1

tan cot

sin cos sin cos cos sin

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

  

       

 

  

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường

yf x ( )

, trục

Ox

,

xa x ,  b

thì có diện tích:

( )

b

S

a f x dx

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường

yf x ( )

,

( )

yg x

,

xa x ,  b

thì có diện tích:

( ) ( )

b

S

a f xg x dx

 Khi xoay hình phẳng

( ) , y f x x a x b

 

  

quanh

Ox

,

ta được khối trụ tròn có thể tích

2( )

b

V

 

a f x dx

 Khi xoay hình phẳng

( ) ( ) , y f x y g x x a x b

 

  

  

quanh

Ox

, ta được khối trụ tròn có thể tích

2 2

( ) ( )

b

V

 

a f xg x dx

 Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng xa x, b. Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích

S x ( )

(là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên

  a b ;

là: V

abS x dx( ) .

CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG

Xét hàm quảng đường S t( ), hàm vận tốc v t( ) và hàm gia tốc a t( ). Ba hàm này sẽ biến thiên theo

t

.

S t ( )   v t dt ( )  v t ( )  S t  ( )

v t ( ) a t dt ( ) a t ( ) v t ( )

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Hệ thức cơ bản:

 sin2

 cos2

1 sin tan cos

 

 cos

cot sin

 

tan .cot    1

2 2

1 tan 1

cos

 

2 12

1 cot

sin

 

sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos

k k

  

  

 

   

tan( ) tan

cot( ) cot

k k

  

  

 

   

2. Cung liên kết:

Đối:

 

Bù:

  

Phụ:

 

2 Khác pi:

   ; 

Khác : ;

2 2

Pi

 

(5)

sin(

)  sin

sin(

 

 )  sin

 sin cos

  2 

   

 

  sin(    )   sin  sin cos

  2 

   

 

 

cos(   )  cos  cos(    )   cos  cos sin

  2 

   

 

  cos(    )   cos  cos sin

  2 

    

 

 

tan(

)  tan

tan(

 

 ) tan

 tan cot

  2 

   

 

 

tan(

 

)tan

 tan cot

  2 

    

 

 

cot(

)  cot

cot(

 

 ) cot

 cot tan

  2 

   

 

 

cot(

 

)cot

 cot tan

  2 

    

 

 

Cos Đối Sin Bù Phụ Chéo Khác pi

Tang, Cotang

Khác pi chia 2 Sin bạn cos 3. Công thức cộng:

sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos

a b a b b a

a b a b b a

   

   

cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin

a b a b a b

a b a b a b

   

   

tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

  

tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

  

4. Công thức nhân đôi, nhân ba:

sin 2   2sin .cos  

2 2

2 2

cos 2 cos sin

2 cos 1 1 2sin

  

 

 

    2

2 tan tan 2

1 tan

 

sin 3   3sin   4sin

3

 cos3   4cos

3

  3cos  3 tan tan

2 3

tan 3

1 3 tan

 

 

 

5. Công thức hạ bậc

2 1 cos 2

sin 2

2 1 cos 2

cos 2

2 1 cos 2

tan 1 cos 2

 

 

6. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a b  

  cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a b  

  

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

ab    sin sin 2 cos .sin

2 2

a b a b

ab  

sin( ) tan tan

cos .cos a b a b

a b

   sin( )

tan tan

cos .cos a b a b

a b

  

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

 

                 sin cos 2 sin 2 cos

4 4

 

                 

7. Công thức biến đổi tích thành tổng:

 

cos .cos 1 cos( ) cos( )

a b2 a b  a bsin .sin 1

cos( ) cos( )

a b2 a b  a bsin .cos 1

sin( ) sin( )

a b 2 a b  a b

Cos.Cos thì Cos cộng cộng Cos trừ Sin.Sin thì Cos trừ trừ Cos cộng Sin.Cos thì Sin cộng cộng Sin trừ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

sin sin ( )

2 u v k

u v k

u v k

 

  

       

cos cos 2  

2 u v k

u v k

u v k

  

       

(6)

Đặc biệt:

sin 1 2

2

sin 1 2

2

sin 0

u u k

u u k

u u k

 

 

   

     

  

k

Đặc biệt:

cos 1 2

cos 1 2

cos 0

2

u u k

u u k

u u k

 

 

  

    

   

k

tan u  tan v    u v k

k

cot u cot v    u v k

k

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN

Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp, ta sẽ cộng các kết quả lại.

Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy.

HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP

 Sắp xếp (đổi chỗ) của

n

phần tử khác nhau, ta có số cách xếp là

P

n

n !

với

n

.

 Cách tính:

 

! 1.2... 1 nnn

.

 Quy ước sốc:

0! 1. 

 Chọn

k

phần tử từ

n

phần tử (không sắp xếp thứ tự), ta có số cách chọn là Cnk .

 Cách tính:

!! !

k n

C n

n k k

 

với , 0 . n k

k n

 Chọn

k

phần tử từ

n

phần tử (có sắp xếp thứ tự), ta được số cách chọn là Ank .

 Cách tính:

!!

k n

A n

n k

với ,

0 . n k

k n

XÁC SUẤT

Công thức: ( )

( ) ( )

P X n X

n

Trong đó: n X( ) : số phần tử của tập biến cố X; n( ) : số phần tử không gian mẫu . P X( ) là xác suất để biến cố X xảy ra với X .

Tính chất:

0P X( ) 1 .

( ) 0; ( ) 1 P   P  

.

( ) 1 ( )

P X  P X với X là biến cố đối của X .

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN

Khai triển dạng liệt kê:

Trong các công thức bên, ta luôn có n , n2.

a b

nC an0 nC an1 n1b C an2 n2b2...Cnn1abn1C bnn n.

Đặc biệt:

1x

nCn0C x C x1nn2 2...Cnn1xn1C xnn n (*).

Hệ quả 1: Cn0C1nCn2...Cnn1Cnn 2n (tức là thay

x  1

vào (*)).

Hệ quả 2: Với

n

chẵn, chỉ cần thay

x   1

vào (*), ta có:

0 1 2 1 0 2 4 1 3 1

...

n n

0 ...

n

...

n

n n n n n n n n n n n n

CCC   C

C   CCCCCCC

Khai triển tổng quát:

Trong các công thức bên, ta luôn có n , n2.

 Khai triển:

 

0

n n k n k k

n k

a b C a

b

  

. Số hạng tổng quát: Tk1C ank n k bk

 Phân biệt hệ số và số hạng: nk( 1)k n k k .

HỆ SỐ SỐ HẠNG

C a b x .

Nhớ rằng số hạng không chứa x ứng với 0.

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN

(7)

1. Định nghĩa:

 Dãy số

  u

n được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi un1und với n*.

Cấp số cộng như trên có số hạng đầu

u

1

,

công sai

d .

2. Số hạng tổng quát:

un   u1 (n 1)d với n*. 3. Tính chất các số hạng:

uk1uk1 2uk với

k

và k 2.

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

1 2

(

1

)

... .

2

n

n n

u u n S     u u u  

1. Định nghĩa:

 Dãy số

  u

n được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi un1u qn. với n*.

Cấp số nhân như trên có số hạng đầu

u

1

,

công bội q.

2. Số hạng tổng quát:

unu q1. n1 với n*. 3. Tính chất các số hạng:

uk1.uk1uk2 với

k

và k 2.

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

1 2 1

(1 )

... 1

n

n n

u q

S u u u

q

     

với

q  1.

KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM BẬC BA

3 2

yaxbx   cx d

(a0)

HÀM NHẤT BIẾN

( 0)

y ax b ad bc cx d

   

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính y f x( ) ; cho y 0 Tìm nghiệm x x1, 2...

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

(Nên chọn giá trị x đại diện cho từng khoảng thay vào y để tìm dấu của y trên khoảng đó).

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 Đạo hàm

y   3 ax

2

 2 bx c

.

 Hàm số đồng biến trên tập xác định

    y  0, x

0 0 a

     

.

 Hàm số nghịch biến trên tập xác định

    y  0, x

0 0 a

     

.

 Đạo hàm 2

( )

ad bc y cx d

  

.

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

0.

ad bc

  

 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

adbc  0.

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA

3 2

yaxbx   cx d

(a0)

CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN

4 2

yaxbxc

(a0)

 Hàm số có điểm cực trị là

0 0

( ; x y )

0

0 0

( ) 0 ( ) y x y x y

 

    

. (giả thiết là hàm số liên tục tại

x

0).

 Đạo hàm

y   3 ax

2

 2 bx c

.

 Hàm số có hai cực trị

0 (*)

y

0 a

 

   

.

 Để tìm điều kiện cho hàm số không có cực trị: Bước 1:

làm theo công thức (*).

Bước 2: phủ định kết quả.

 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

( ). ( )

( ) 18

f x f x y f x

a

 Đạo hàm

y   4 ax

3

 2 bx

.

 Điều kiện cực trị Ba cực trị

ab  0

Một cực trị 2 2

0 0 ab

a b

 

  

Có cực trị a2b2 0

 ChoA B C, , là ba điểm cực trị, ta có: 33 8

cos 8

b a

BAC b a

 

5

32

3 ABC

S b

a

.

 Nếu 0

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x thì hàm số ( )

f x đạt cực đại tại x x0.

 Nếu 0

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x thì hàm số ( )

f x đạt cực tiểu tại x x0.

TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN

Tìm Max-Min của f x( ) trên đoạn

  a b ;

TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG Tìm Max-Min của f x( ) trên khoảng ( ; )a b

(8)

Bước 1: Tính y f x( ).

Tìm các nghiệm xi ( ; )a b khi cho f x( ) 0.

Bước 2: Tính các giá trị ( ), ( )f a f bf x( ),...i (nếu có).

Bước 3: So sanh tất cả giá trị trong bước 2 để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bước 1: Tính y f x( ).

Tìm các nghiệm xi ( ; )a b khi cho f x( ) 0.

Bước 2: Cần tính lim , lim

x a y x b y. (Nếu thay

( ; ) a b

bằng ( ; ) thì ta tính thêm lim

x y

 ).

Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng.

ĐẶC BIỆT

 Nếu hàm ( )f x đồng biến trên [ ; ]a b thì

[ ; ]

[ ; ]

max ( ) ( ) min ( ) ( )

x a b

x a b

f x f b f x f a

 Nếu hàm ( )f x nghịch biến trên [ ; ]a b thì

[ ; ]

[ ; ]

max ( ) ( ) min ( ) ( )

x a b

x a b

f x f a f x f b

TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG

Định nghĩa: x x0

y (x hữu hạn, y vô hạn), ta có tiệm cận đứng x x0. Lưu ý: điều kiện

x x0 có thể được thay bằng x x0 (giới hạn bên trái) hoặc x x0 (giới hạn bên phải).

Cách tìm TCĐ: Nếu x x0 là một nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số thì x x0 chính là một TCĐ của đồ thị.

Định nghĩa:

0

x

y y (x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm cận ngang y y0.

Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy.

Bước 2: CALC NEXT X 10 ^10 NEXT 10 ^10

NEXT NEXT

CALC X

Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức y0) thì ta kết luận TCN: y y0.

 Đồ thị hàm số y ax b

cx d với (c 0,ad bc 0) có một TCĐ: x d

c , một TCN: y a. c

Nên nhớ, đồ thị có thể có nhiều tiệm cận đứng, nhưng chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang.

TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị( ) :C1 y f x( ) và(C2) :y g x( ).

Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của

( C

1

) & ( C

2

)

: ( )f x g x( ) . (*)

Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm x x1, ,...2 (nếu có), suy ra y y1, ...2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

DẠNG 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C yf x( ) tại

điểm

M x y ( ;

0 0

) ( )  C

DẠNG 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C yf x( ) biết tiếp

tuyến có hệ số góc k.

DẠNG 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C yf x( ) biết tiếp

tuyến đi qua

A x y (

A

;

A

)

.

Bước 1: Tính đạo hàm y , từ đó có hệ số góc k y x( ).0

Bước 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị dạng

0 0

( )

y k x x y .

Bước 1: Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm và tính đạo hàm y .

Bước 2: Cho y x( )0 k, từ đó tìm được tiếp điểm ( ; ).x y0 0

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến :

Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :

0 0 0

( )( )

y y x x x y (*) với

0

( ).

0

yf x

Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm được x0.

Bước 3: Thay

x

0 tìm được vào

(9)

0 0

( )

y k x x y . (*) để viết phương trình tiếp tuyến.

SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN

Số phức có dạng: z a bi với 2, 1 a b

i (i: là đơn vị ảo). Ký hiệu tập số phức: .

Thành phần Hình học Minh họa

Phần thực: a.

Nếu a 0 thì z bi được gọi là số thuần ảo.

Phần ảo: b.

Nếu b 0 thì z a là số thực.

 Khi a b 0 thì z 0 vừa là số thuần ảo vừa là số thực.

 Điểm ( ; )M a b biểu diễn cho z trên hệ trục Oxy.

Mô-đun:

2 2

z OM a b .

Số phức liên hợp – Số phức

nghịch đảo Căn bậc hai Phương trình bậc hai

Cho z a bi. Khi đó:

Số phức liên hợp của nó z a bi.

Số phức nghịch đảo là

1 1 1

z z a bi

2 2 2 2

a b i

a b a b .

 Căn bậc hai của a 0 là a.

 Căn bậc hai của a 0 là i a.

 Căn bậc hai của số phức

z a bi là hai số phức dạng w x yi với 2 2

2

x y a

xy b .

 Phương trình z2 a 0 có hai nghiệm phức z a.

 Phương trình z2 a 0 có hai nghiệm phức z i a.

 Phương trình az2 bz c 0 với 0 sẽ có hai nghiệm phức là: 1,2

2 z b i

a .

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I. MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN:

1. Tam giác vuông:

2 2 2

Pitago

AB AC BCAB2 BH BC.

AC2 CH BC. ▪ AH2 BH CH.

▪ 12 12 12

AH AB AC 2 2

. AB AC

AH AB AC

▪ sinB AC

BC (đối/huyền) ▪ cosB AB

BC (kề/huyền) ▪ tanB AC

AB (đối/kề) ▪ cotB AB

AC (kề/đối) 2. Tam giác đều: Giả sử tam giác ABC đều có cạnh ;a trọng tâm ;G các đường

cao (trùng với trung tuyến) gồm AH, BK.

▪ Đường cao: ( ) 3 3.

2 2

cạnh a

AH BK

▪ 2 2. 3 3; 1 1. 3 3.

3 3 2 3 3 3 2 6

a a a a

AG AH GH AH

▪ Diện tích: ( )2 3 2 3.

4 4

ABC

cạnh a

S

3. Tam giác thường: Giả sử tam giác ABCa BC b, AC c, AB; các đường cao h h ha, ,b c lần lượt ứng với cạnh , , .a b c Ký hiệu ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆.

A

B H C

a a a

G K

B H C

A

(10)

▪ Định lí Sin: 2

sin sin sin

a b c R

A B C .

▪ Định lí Cô-sin: a2 b2 c2 2 .cosbc A;

2 2 2 2 .cos ; 2 2 2 2 .cos .

b a c ac B c a b ab C

▪ Diện tích: 1 . 1 . 1 . ;

2 2 2

ABC a b c

S h a h b h c 1 .sin 1 .sin 1 .sin

2 2 2

S ABC ab C ac B bc A; 4

ABC

S abc pr

R ; ( )( )( )

2

ABC

Công thức Hê Rông

a b c

S p p a p b p b với p (nửa chu vi).

4. Hình vuông: Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm ,M N lần lượt là trung điểm của CD AD, ; I là tâm hình vuông.

▪ Đường chéo:

( ) 2 2

AC BD

AC BD cạnh a . 2

2

IA IB IC ID a nên I là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh hình vuông.

▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2 a2; chu vi: p 4 .a

▪ Vì ABN ADM, ta chứng minh được: AM BN.

5. Hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD tâm IAB a AD, b.

▪ Đường chéo: AC BD a2 b2.

2 2

1

IA IB IC ID 2 a b nên I là tâm đường tròn đi qua bốn điểm , , , .A B C D

▪ Diện tích: SABCD a b. ; chu vi: p 2(a b).

6. Hình thoi: Cho hình thoi ABCD có tâm ,I cạnh bằng a.

▪ Đường chéo: AC BD; AC 2AI 2AB.sinABI 2 .sina ABI.

▪ Diện tích: 1 .

2

SABCD AC BD; SABCD 2S ABC 2S ACD 2S ABD. Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 (A C 1200) thì ta chia hình thoi ra làm hai tam giác đều: ABC ACD.

AC a2 3;

4

ABC ACD

S S a 2 2 3.

2

ABCD ABC

S S a

II. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

7. Hình chóp:

1 .

3 đ

V h S

7.1. Hình chóp tam giác đều ▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau.

▪ Đáy là tam giác đều cạnh .a

SH (ABC) với H là trọng tâm

ABC.

243 13 . 243

Thể tích đ

a a

S V h

SH h

Góc giữa cạnh bên và mặt Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

Sđ

h

A

B C

D S

H

(11)

7.2. Tứ diện đều:

▪ Đây cũng là hình chóp tam giác đều, đặc biệt là cạnh bên bằng cạnh đáy. Thể

tích: 3 2

12 V a .

đáy: SA ABC,( ) SAH

,( )

SC ABC SCH.

(SAB ABC),( ) SMH

(SBC ABC),( ) SNH. 7.3. Hình chóp tứ giác đều: ▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau.

▪ Đáy là hình vuông cạnh a.

SO (ABCD) với O là tâm hình vuông ABCD.

2 1 . 2

3

Thể tích

Sđ a V h a

SO h .

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SA ABCD,( ) SAO

,( )

SB ABCD SBO.

Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

(SAB ABCD),( ) SMO

(SBC ABCD),( ) SNO. 7.4. Hình chóp có cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

Đáy là tam giác Đáy là tứ giác đặc biệt

▪ 1 .

3

Thể tích

ABC

đ ABC

h SA V SA S

S S .

▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

,( )

,( )

SB ABC SBA SC ABC SCA.

▪ 1 .

3

Thể tích

ABCD

đ ABCD

h SA V SA S

S S .

▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

,( )

,( )

SB ABCD SBA SC ABCD SCA. 7.5. Hình chóp có mặt bên

(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.

Đáy là tam giác Đáy là tứ giác đặc biệt

▪ Đường cao h SH cũng là đường cao của ∆SAB.

▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

,( )

,( )

SA ABC SAH SC ABC SCH.

▪ Đường cao h SH cũng là đường cao của ∆SAB.

▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

,( )

,( )

SA ABCD SAH SC ABCD SCH.

Hình ảnh

Đang cập nhật...

Tài liệu tham khảo

Đang cập nhật...

Related subjects :

Scan QR code by 1PDF app
for download now