Các dạng toán về dây cung của đường tròn I. Lý thuyết
1. Khái niệm dây của đường tròn
- Dây của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn.
- Đường kính cũng là một dây của đường tròn.
Xét hình vẽ trên
Ta nói CD và AB là hai dây của đường tròn Đặc biệt dây AB còn là đường kính.
2. So sánh độ dài đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD không đi qua tâm Nếu AB đi qua trung điểm I của CD thì AB⊥CD
Nếu AB⊥CD thì AB đi qua trung điểm I của CD.
4. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong một đường tròn
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dây AB = CD khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD
Khoảng cách từ O đến AB và CD sẽ bằng nhau nếu dây AB = CD
- Trong hai dây của một đường tròn
+ Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó có độ dài lớn hơn.
Xét hình vẽ:
Dây AB gần tâm hơn dây CD nên AB > CD.
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, so sánh độ dài hai đoạn thẳng Phương pháp giải:
Vận dụng những kiến thức đã học:
+ Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
+ Dùng định lý Py – ta – go , hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) có dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I (I khác O). Cho IA = 2cm, IB = 4cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây và bán kính R.
Lời giải:
Ta có:
CD = AB = IA + IB = 2 + 4 = 6cm Vẽ OG⊥AB tại G; OF⊥CD tại F
Vì OG⊥AB nên G là trung điểm của AB Vì OF⊥CD nên F là trung điểm của CD
Vì G là trung điểm của AB nên AG = GB = 6 : 2 = 3cm
IG = AG – AI = 3 – 2 = 1cm Xét tứ giác OGIF có
FIG=IGO OFI 90= =
Tứ giác OGIF là hình chữ nhật (1)
Lại có AB = CD nên khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD
OG = OF (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) Tứ giác OGIF là hình vuông
OG = OF = 1cm
Xét tam giác OAG vuông tại G ta có:
2 2 2
AO = OG + AG
(Định lý Py – ta – go)2 2 2
AO 1 3
= +
AO
21 9
= +
AO
210
=
AO 10cm
=
Vậy bán kính đường tròn là R = 10cm.
Ví dụ 2: Cho AB và CD là hai dây khác đường kính của đường tròn (O; R). Gọi OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB; CD. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
OE + EB = OF + FD
.Lời giải:
Xét tam giác OEBvuông tại E ta có:
2 2 2 2
OE + EB = OB = R
(Định lý Py – ta – go) (1) Xét tam giác OFDvuông tại F ta có:2 2 2 2
OF + FD = OD = R
(Định lý Py – ta – go) (2) Từ (1) và (2)2 2 2 2 2
OE EB OF FD R
+ = + =
(điều phải chứng minh).Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O, các dây AB và CD bằng nhau, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: EH = EK.
Lời giải:
Xét trong đường tròn (O):
Vì K là trung điểm của CD nên OK⊥CD OKE 90= Vì H là trung điểm của AB nên OH⊥ABOHE 90= Vì AB = CD nên OK = OH (tính chất)
Xét OKEvà OHEcó:
OK = OH = (cmt) OKE OHE 90= = OE chung
Do đóOKE= OHE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
EH = EK.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB.
Kẻ AE và BG lần lượt vuông góc với CD tại E và G. Chứng minh CE = DG.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của CD
OH⊥CD OH⊥EG Vì BG EG
AE EG
⊥
⊥
AE // BG Xét tứ giác ABGE có:
AE // BG
Tứ giác ABGE là hình thang Lại có OH⊥EG nên OH // AE // BG
Mà OH đi qua trung điểm O của AB nên OH đi qua trung điểm của EG
H là trung điểm của EG
HE = HG Ta có:
HE EC CH HG DG HD
= +
= +
EC HE CH DG HG HD
= −
= −
Mà HE = HG (cmt) ; CH = HD (H là trung điểm của CD) Do vậy EC = DG.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ hai dây AC và BD sao cho AC //
BD. Chứng minh: AC = BD.
Lời giải:
Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD OF AC
OG BD
⊥
⊥
Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng Xét AOFvà BOG có
OA = OB (bán kính)
AOF=BOG(hai góc đối đỉnh)
OFA=OGB=90
Do đó
AOF
= BOG( cạnh huyền – góc nhọn) AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD
AC = BD.
Dạng 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức
Trong một đường tròn:
+ Đường kính là dây lớn nhất.
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
+ Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì có độ dài lớn hơn
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK.
a) Chứng minh bốn điểm B, H, C, K thuộc cùng một đường tròn.
b) BC > HK.
Lời giải:
a) Gọi O là trung điểm của BC
Xét tam giác BKC vuông tại K, trung tuyến KO ta có:
BO OC OK 1BC
= = = 2 (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Xét tam giác BHC vuông tại H, trung tuyến HO ta có:
BO OC OH 1BC
= = = 2 (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2)
Từ (1) và (2) 1
BO OC OH OK BC
= = = =2
B, H, K, C cùng cách đều O
B, H, C, K thuộc đường tròn tâm O đường kính BC
b) Vì tâm O nằm trên BC và B, C là hai điểm thuộc đường tròn (O) nên BC là đường kính
Lại có H, K thuộc đường tròn (O) nên HK là dây của đường tròn
Tuy vậy tâm O không thuộc HK nên HK < BC (trong các dây đường kính là dây dài nhất).
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) các dây cung AB; AC; AD (khác đường kính).
Gọi M, N là hình chiếu của B lên AC; AD. Chứng minh MN < 2R.
Lời giải:
Xét tam giác AMB vuông tại M
A, M, B thuộc một đường tròn đường kính AB (1) Xét tam giác ANB vuông tại N
A, N, B thuộc một đường tròn đường kính AB (2)
Từ (1) và (2) A, M, N, B cùng nằm trên một đường tròn với AB là đường kính.
Khi đó MN là dây
MNAB
Mà AB lại là dây của đường tròn (O)
AB < 2R
MN < 2R.
III. Bài tập vận dụng Phần 1: Trắc nghiệm
Câu 1: Cho (O; 15cm) có dây AB = 24cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB:
A. 12cm B. 9cm C. 8cm D. 6cm
Câu 2: Cho các khẳng định sau:
i) Đường kính là dây dài nhất của đường tròn
ii) Trong một đường tròn, dây nào xa tâm hơn thì lớn hơn iii) Đường tròn có vô số trục đối xứng
iv) Mỗi dây của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó.
v) (O; 2cm) có nghĩa là đường tròn tâm O có đường kính là 2cm Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 3: Cho đường tròn (O; 10cm). Khi đó dây lớn nhất của đường tròn có độ dài là:
A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm
Câu 4: Cho đường tròn có bán kính là 10cm. Một dây cung thuộc đường tròn. Số nào sau đây không thể là khoảng cách của đường tròn đến dây cung đó:
A. 5cm B. 11cm C. 7cm D. 1cm
Phần 2: Tự luận
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây CD. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại M cắt (O) tại H. Cho CD = 16cm và MH = 4cm. Tính bán kính đường tròn.
Bài 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB; dây CD cắt AB tại M, cho MC = 4cm, MD = 12cm và BMD 30= . Hãy tính:
a) Khoảng cách từ O đến CD.
b) Bán kính của O.
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), M là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác ABC. Lấy D đối xứng với H qua M.
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: 1
OM AH
= 2 .
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho AB = BC và CD = 6cm. Tính bán kính đường tròn.
Bài 5: Cho (O; R) đường kính AB và dây cung DE. Tia DE cắt AB tại C. Biết DOE 90= và OC = 3R. Tính
a) CD và CE theo R.
b) Chứng minh: CD.CE = CA.CB.
Bài 6: Cho tam giác ABC đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Lấy I là trung điểm của BC.
a) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Xác định O là tâm đường tròn qua các điểm A, B, K, C.
Bài 7: Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính và AB < AC. Vẽ dây AD vuông góc với BC tại H. Chứng minh:
a) Tam giác ABC vuông tại A.
b) H là trung điểm của AD, AC = CD và BC là tia phân giác góc ABD.
Đáp án trắc nghiệm Câu 1: B
Câu 2: A Câu 3: D Câu 4: B
