PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A. BÀI GIẢNG
1. NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Với số a, ta có:
nÕu 0 nÕu 0
a a
a a a
Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có:
( ) nÕu ( ) 0 ( ) ( ) nÕu ( ) 0
f x f x
f x f x f x
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức:
. 3 7 4 0
a C x x khi x
. 5 4 6 6
b D x x khi x
Giải a. Với x0 thì 3x 0 nên ta nhận được:
3 7 4 4 4
C x x x
b. Với x6 thì x 6 0 nên ta nhận được:
5 4 6 11 5
D x x x.
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Phương trình:
( )
f x k, với k là hằng số không âm.
Dạng 2: Phương trình:
( ) ( ) f x g x Dạng 3: Phương trình:
( ) ( ) f x g x Ví dụ 2. Giải các phương trình:
. 5 3 1
a x x b. 5 x 2x21
Giải a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
5 5
5 5 5
x khi x
x x khi x
.
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 5 phương trình có dạng:
5 3 1 3 5 1 2 4 2
x x x x x x , thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 5 phương trình có dạng:
5 3 1 3 5 1 4 6 3
x x x x x x 2
, không thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình có nghiệm x2. Cách 2: Với điều kiện:
3 1 0 1
x x 3
Khi đó, phương trình được biến đổi:
5 3 1 2 4 2
5 (3 1) 4 3 (lo¹ )
2 i
6
x x x x
x x x x
Vậy, phương trình có nghiệm x2. b. Viết lại phương trình dưới dạng:
5x 2x21
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
5x 0
5 5 0
khi x x x khi x
. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x0 phương trình có dạng:
5x2x213x21 x 7, thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x0 phương trình có dạng:
5x 2x 21 7x 21 x 3
, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình có nghiệm x7 và x 3. Cách 2: Với điều kiện:
2 21 0 21
x x 2 (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
5 2 21 3 21 7
5 (2 21) 7 21 3
x x x x
x x x x
, thỏa mãn (*)
Vậy, phương trình có nghiệm x7 và x 3. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng toán 1: PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:
. 3 2 5
a A x x trong hai trường hợpx0 và x0.
. 4 2 12
b B x x trong hai trường hợp x0 và x0.
. 4 2 12
c C x x khi x5.
. 3 2 5
d D x x
Giải a. Ta có:
5 0
5 5 0
x khi x x x khi x
Do đó:
3 2 5 0 8 2 0
3 2 5 0 2 2 0
x x khi x x khi x
A x x khi x x khi x
b. Ta có:
4 0
4 4 0
x khi x x x khi x
Do đó:
4 2 12 0 6 12 0
4 2 12 0 2 12 0
x x khi x x khi x
B x x khi x x khi x
c. Ta có:
4 4 5
x x khi x Do đó:
4 2 12 8
C x x x d. Ta có:
5 5
5 5 5
x khi x
x x khi x
Do đó:
3 2 5 5 4 7 5
3 2 5 5 2 3 5
x x khi x x khi x
D x x khi x x khi x
Ví dụ 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:
. 2 3 2 2
a A x x khi x
. 3 3 2 8 3
b B x x x khi x
Giải a. Với giả thiết x2, ta suy ra:
2 0 2 2
x x x Do đó, A được viết lại:
2 3 2 4 4 A x x x b. Với giả thiết x3, ta suy ra:
3 0 3 3
x x x
3 2 x 0 3 2x (3 2 )x Do đó, B được viết lại:
3 (3 2 ) 8 3 3 2 8 4 2
B x x x x x x x Ví dụ 3. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức:
1 2 2 3
C x x
Hướng dẫn: Tạo các khoảng chia tương ứng để xét dấu.
Giải Nhận xét rằng:
1 0 1
x x
2 0 2
x x
Do đó, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối của C ta cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 2, ta được:
( 1) 2( 2) 3 3 C x x x Trường hợp 2: Nếu 2 x 1, ta được:
( 1) 2( 2) 3 8
C x x x
Trường hợp 3: Nếu x1, ta được:
( 1) 2( 2) 3 3 6 C x x x Dạng toán 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( )
f x k, với k là hằng số không âm.
Phương pháp
Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó:
( ) ( )
( ) f x k f x k
f x k
=> nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình:
Chú ý: Hệ hoặc trong bước 2 có được là nhờ kiến thức giải phương trình tích (chương III), cụ thể:
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x k f x k f x k f x k Ví dụ 1. Giải phương trình 2x 3 1.
Giải Biến đổi tương đương phương trình:
2 3 1 2 1 3 2 2 3 1
2 3 1 2 1 3 1
x x x
x x x x
. Vậy, phương trình có hai nghiệm x2 và x1.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 1 2 x x
.
Giải Điều kiện xác định của phương trình là x2.
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Biến đổi tương đương phương trình:
2 1 2 2
2 1 2 0
2 2 ( 2)
2 1
2 x
x x
x x x
x x x
x
x
Vậy, phương trình có nghiệm x0.
Cách 2: Biến đổi tương đương phương trình:
2 2
2 1 2 2 0
2 ( 2) 2
x x
x x x x
x x
x
Vậy, phương trình có nghiệm x0.
Dạng toán 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ( ) ( )
f x g x Phương pháp
Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) f x g x f x g x
f x g x
=> nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
. 2 3 3
a x x 2 2
. 0
1 x x
b x
x
Giải
a. Biến đổi tương đương phương trình:
2 3 3 2 3 3 6
2 3 3
2 3 ( 3) 2 3 3 0
x x x x x
x x
x x x x x
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 6 và x0.
b. Điều kiện xác định của phương trình là x0. Biến đổi tương đương phương trình:
2 2 2
2 2
2
2 ( 1)
2 1
1 2 2 ( 1)
1
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x
2
2x 2 x 1
2x 2 v« nghiÖm
Vậy, phương trình có hai nghiệm x1. Ví dụ 2. Giải phương trình:
2x3m x 6 , với m là tham số.
Giải Biến đổi tương đương phương trình:
2 3 6
2 3 6
2 3 ( 6)
x m x
x m x
x m x
2 6 3 6 3
2 6 3 2
x x m x m
x x m x m
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 6 3m và x m 2. Dạng toán 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( ) ( ) f x g x Phương pháp
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu f x( ) 0 . (1) Phương trình có dạng:
( ) ( )
f x g x => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1).
Trường hợp 2: Nếu f x( ) 0 (2) Phương trình có dạng:
( ) ( ) f x g x
=> nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2).
Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g x( ) 0 . Bước 2: Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) f x g x f x g x
f x g x
=> nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình: x 4 3x5
Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 4 0 x 4. (1) Khi đó, phương trình có dạng:
4 3 5 4 1 1
x x x x 4, thỏa mãn điều kiện (1).
Trường hợp 2: Nếu x 4 0 x 4 (2) Khi đó, phương trình có dạng:
( 4) 3 5 2 9 9
x x x x 2
, không thỏa mãn (2) Vậy, phương trình có nghiệm 1
x 4. Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:
4 5 3 x x. Với điều kiện:
5 3 0 5
x x 3
.
Khi đó, phương trình được biến đổi:
1
4 5 3 4
4 5 3
4 (5 3 ) 9
lo¹i 2
x x x
x x
x x
x Vậy, phương trình có nghiệm 1
x 4.
Chú ý: Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng “Cả hai cách giải được trình bày đều có độ phức tạp như nhau”. Chính vì vậy, tại đây đặt ra một câu hỏi “Trong trường hợp nào cách 1 tỏ ra hiệu quả hơn cách 2 và ngược lại?” – Câu trả lời chúng ta sẽ nhận được trong ví dụ 3.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
. 2 6
a x x b. 4x 2x12
. 3 8
c x x d. 5 x 16 3 x
Giải
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
2 0
2 2 0
x khi x x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x0 phương trình có dạng:
2x x 6 x 6, không thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x0 phương trình có dạng:
2x x 6 3x 6 x 2
, không thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Với điều kiện:
6 0 6
x x (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
2 6 6 6
2 ( 6) 3 6 2
x x x x
x x x x
, không thỏa mãn (*).
Vậy, phương trình vô nghiệm.
b. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
4 0
4 4 0
x khi x x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x0 phương trình có dạng:
4x2x12 x 6, (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Nếu x0 phương trình có dạng:
4x 2x 12 x 2
, (thỏa mãn).
Vậy, phương trình có hai nghiệm x6 và x 2. Cách 2: Với điều kiện:
2x12 0 x 6 (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
4 2 12 2 12 6
4 (2 12) 6 12 2
x x x x
x x x x
, thỏa mãn (*).
Vậy, phương trình có hai nghiệm x6 và x 2. c. Viết lại phương trình dưới dạng:
3x x 8
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
3 0
3 3 0
x khi x x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x0 phương trình có dạng:
3x x 8 2x 8 x 4, không thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x0 phương trình có dạng:
3x x 8 4x 8 x 2
, không thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Với điều kiện:
8 0 8
x x (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
3 8 2 8 4
3 ( 8) 4 8 2
x x x x
x x x x
, không thỏa mãn (*).
Vậy, phương trình vô nghiệm.
d. Viết lại phương trình dưới dạng:
5x 3x16
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
5 0
5 5 0
x khi x x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x0 phương trình có dạng:
5x3x162x16 x 8, thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x0 phương trình có dạng:
5x 3x 16 8x 16 x 2
, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương có hai nghiệm x8 và x 2. Cách 2: Với điều kiện:
3 16 0 16
x x 3 (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
5 3 16 2 16 8
5 (3 16) 8 16 2
x x x x
x x x x
, thỏa mãn (*).
Vậy, phương có hai nghiệm x8 và x 2. Ví dụ 3. Giải các phươn g trình sau:
. 7 2 3
a x x b x. 4 2x5
. 3 3 1
c x x d x. 4 3x5
Giải a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
7 7
7 7 7
x khi x
x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x7 phương trình có dạng:
7 2 3 10
x x x , không thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x7 phương trình có dạng:
7 2 3 3 4 4
x x x x 3
, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương có nghiệm 4 x 3. Cách 2: Với điều kiện:
2 3 0 3
x x 2 (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
10 lo¹i
7 2 3 10
7 (2 3) 3 4 4
3
x x x x
x x x x
Vậy, phương có nghiệm 4 x 3. b. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
4 4
4 4 4
x khi x
x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 4 phương trình có dạng:
4 2 5 9
x x x , thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 4 phương trình có dạng:
4 2 5 3 1 1
x x x x 3
, không thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương có nghiệm x9. Cách 2: Với điều kiện:
2 5 0 5
x x 2 (*)
Khi đó, phương trình được biến đổi:
4 2 5 9 9
4 (2 5) 3 1 1 (lo¹i)
3
x x x x
x x x x
Vậy, phương có nghiệm x9. c. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
3 3
3 3 3
x khi x
x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 3 phương trình có dạng:
3 3 1 2 4 2
x x x x , thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 3 phương trình có dạng:
3 3 1 4 2 1
x x x x 2
, không thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương có nghiệm x2. Cách 2: Với điều kiện:
3 1 0 1
x x 3 (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
3 3 1 2 4 2
3 (3 1) 4 2 1(lo¹i)
2
x x x x
x x x x
Vậy, phương có nghiệm x2. d. Viết lại phương trình dưới dạng:
4 5 3 x x.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
4 4
4 4 4
x khi x
x x khi x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x4 phương trình có dạng:
4 5 3 4 9 9
x x x x 4, không thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x4 phương trình có dạng:
4 5 3 2 1 1
x x x x 2
, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương có nghiệm 1 x 2. Cách 2: Với điều kiện:
5 3 0 5
x x 3
(*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
x 9 (lo¹i)
x 4 5 3x 4x 9 4
x 4 (5 3x) 2x 1 1
x 2
Vậy, phương có nghiệm 1 x 2. Ví dụ 4. Giải các phương trình:
. 1 2
a x x x b x. 22x 4 2x
Giải a. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 1 0 x 1 (1) Khi đó, phương trình có dạng:
2 2
1 1
x x x x 1
x , thỏa mãn điều kiện (1).
Trường hợp 2: Nếu x 1 0 x 1 (2) Khi đó, phương trình có dạng:
2 2 2
(x 1) x x x 2x 1 0 (x 1) 0
1
x , không thỏa mãn điều kiện (2).
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1 b. Viết lại phương trình dưới dạng:
2 2 2 4
x x x . Với điều kiện:
2x 4 0 x 2 (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
2 2
2
2 2
2 2 4 4 4 0
2 2 4
2 (2 4) 4
x x x x x
x x x
x x x x
2 x 2
(x 2) 0
x 2 kh«ng tháa m·n(*)
x 2
Vậy, phương trình có nghiệm x2. Nhận xét:
1. Trong câu a), chúng ta đã lựa chọn cách 1 để thực hiện là bởi nếu sử dụng cách 2 chúng ta sẽ gặp một bất lợi khi phải giải bất phương trình x2 x 0. Tuy nhiên, cũng có thể khắc phục được vấn đề này bằng việc “Không đi giải điều kiện mà cứ tiếp tục thực hiện sau đó thử lại”, cụ thể:
Với điều kiện:
2 0
x x (*) Khi đó, phương trình được biến đổi:
1 2
x x x
2 2
2 2 2
1 1 1 1
1
1 2 1 0 ( 1) 0
x x x x x x
x
x x x x x x
Thử lại:
Với x1 ta được x2 x 12 1 2 0 luôn đúng.
Với x 1 ta được x2 x ( 1)2 1 0 0 luôn đúng.
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1.
2. Trong câu b), chúng ta đã lựa chọn cách 2 để thực hiện bởi nếu sử dụng cách 1 chúng ta sẽ gặp một bất lợi khi phải giải bất phương trình x22x0 và x22x0. Tuy nhiên, cũng có thể khắc phục được vấn đề này bằng việc “Không đi giải điều kiện mà cứ tiếp tục thực hiện sau đó thử lại” – Đề nghị bạn đọc tự làm.
3. Một câu hỏi sẽ được đặt ra tại đây là ‘Với một phương trình có dạng đặc biệt hơn một chút (thí dụ:
2 x 1 x22x2) thì ngoài việc lựa chọn một trong hai cách giải thì còn có một phương pháp giải khác không?” – Câu trả lời “Đương nhiên sẽ có”.
Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng một ví dụ để minh họa phương pháp giải phương trình chứa nhiều hơn 1 dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
1 3 2
x x
Giải Nhận xét rằng:
1 0 1
x x ,
3 0 3
x x ,
Do đó, để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình chúng ta cần phải xét ba trường hợp.
Trường hợp 1: Nếu x1 (1)
Khi đó, phương trình có dạng:
(x 1) (x 3) 2 2x 4 2
1
x , thỏa mãn điều kiện (1).
Trường hợp 2: Nếu 1 x 3 (2)
Khi đó, phương trình có dạng:
(x 1) (x 3) 2 2 2, luôn đúng.
Trường hợp 3: Nếu x3 (3)
Khi đó, phương trình có dạng:
(x 1) (x 3) 2 2x 4 2 3
x , thỏa mãn điều kiện (3).
Vậy, phương trình có nghiệm 1 x 3.
Chú ý: Qua kết quả của phương trình trên, chúng ta nhận thấy một điều rraats thú vị là nghiệm của phương trình có thể là một đoạn trên trục số.
Ví dụ 6. Giải phương trình: 3 1 1 3 2
x x
(1)
Giải Điều kiện xác định của phương trình là x 1. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt 1 3 t x
, điều kiện t0. Khi đó, (1) 1 t 2 t2 2t 1 0 t 1
t
1 3 2
1 1 1 3
1 3 4
3
x x
x x
x x
Vậy, phương trình có 2 nghiệm x2 và x 4. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:
1 1
3 3
2. . 2
1 3 1 3
x x
VT VP
x x
Vậy phương trình tương đương với:
2 1 3 2
3 1
9 ( 1)
1 3 4
1 3
x x
x x
x x
x
Vậy, phương trình có 2 nghiệm x2 và x 4. PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:Rút gọn các biểu thức sau:
a) A 3 2 5x khi x0; b) B 3x28x2 x 2 khi x2;
c) C x 7 2x3
Bài 2: Giải phương trình: Phương pháp: ( ) ( ) ( 0) ( )
f x a
f x a a f x a
a) x 5 2 b) 8x 5 2 c) x 2 3 d) 4x 3 0 Bài 3: Giải các phương trình sau: Phương pháp: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) f x g x
f x g x f x g x
a) 4 5 x 5 6 ;x b) 3x 2 7x 1 0;
c) x22x 3 x 1 0; d) 1
5 3 1
4 x x
Bài 4: Giải phương trình: Phương pháp:
( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) g x
f x g x f x g x
f x g x
a) 2x 3 x b)3x 2 1 x c) x 3 4 x d) x 7 3 x e) x23x 3 x2 3x 1 f) x2 9 x29 Bài 5: Giải phương trình: Dạng toán nâng cao a) x 3 1 2 b) x 1 1 5
c) x 1 2 x 3 d) x 3 x 5 3x 1
e) 1
1 x x 2 x 3
2 f) x 2x 1 3x 2 4 Tự luyện:
Bài 6: Giải phương trình:
a) x 6 4 b) 3x 2 1 c) 2 3x 1 d) 1 4x 0 Bài 7: Giải phương trình:
a) 2 3 x 3 2 ;x b) 3 5 x x 6 0;
c) x2 x 2 x 2 0; d) 1 3 2 5 2 x x Bài 8: Giải các phương trình sau:
a) x 6 5x 9; b) x 1 x2x; c) x22x 4 2 ;x d)
2 6
1 2.
x x
x x
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a) x 2 x 3 2x 8 9 b) x 5 x 3 3x
c) x2 1 x2 4 3 d) x22x 2 x22x 3 5 Bài 10: Giải các phương trình sau:
a) |x 1| 2 | |x 2 b) |x 2 | |x 1| x2 5 0
c) 7
| 2 |
| 1| 3
x
x a)S { 3;1}; b)S
2; 5 1
; c) S
7 2; 15 1
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1:
a) Vì x0 nên | 5 |x 5x. Từ đó tìm được A 5 5x .
b) Vì x2nên |x 2 | x 2. Mặt khác, ta luôn có | 3 | x 29x2 nên tìm được B x 2 x 2 c) Với x7, ta có C 3x10 .
Với x < 7, ta có C x 4 .
Bài 2: a) 5 2 7
5 2 5 2 3
x x
x x x
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
3;7b)
8 5 2 78
8 5 2 8 5 2 3
8 x x
x x x
. Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 7;
S 8 8 c) Vì giá
trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên suy ra phương trình vô nghiệm
d) 4 3 0 4 3 0 3
x x x 4 . Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 S 4 Bài 3: HD: a) Trường hợp 1. Xét 4 5 x 5 6x. Tìm được x 1 .
Trường hợp 2. Xét 4 5 x 6x5 . Tìm được x 9
11 . Vậy x 1;119 .
b) Đưa PT về dạng | 3x 2 | | 7x1|. Giải được 1 3 4; 10
x .
c) Nhận xét: Vì x22x 3 0 và |x 1| 0 nên PT tương đương với
2 2 3 0
| 1| 0
x x
x . Giải hai BPT
ta được x 1.
d) Tương tự ý a), tìm được 9 1 11 13;
x
Bài 4: a)
0 0
2 3 3 3
2 3 2 3 1 1
x x
x x x x
x x x x x x
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
1;3b)
1 3
13 2 10 3 4
3 2 1 3 2 1 14 12
2
x xx x
x x
x x
x x x x
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 3; S 2 4 c)
4 0 4
7 7 3 4
3 4
2 2
3 4 3 4
x x
x x
x x x x
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 7 2
d)
3 0 3
7 3 7 3
7 3 7 3 2
7 3 2
x x
x x
x x x x x
x x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
2e)
2
2 2
2 2
2 2
3 1 0
3 3 3 1
3 3 3 1
3 3 3 1
x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2
3 1 0 3 1 0(*)
3 1 0 1
2 6 4 0 2 1 0 21 2 ( . (*))
3 1
x x x x
x x x
x xL x x xx x t m
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
1; 2f) 2 2 2
3 0
3 0 3
9 9 9 0 3 3 0 3 0 3
3 0 x
x x
x x x x x x x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là x 3hoặc x 3
Bài 5: a)
x 3 1 2 x 3 1 x 3 1 x 4
x 3 1 2
x 3 1 x 2
x 3 1 2 x 3 3 L
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
2;4b) x 1 1 5 xx 1 1 51 1 5 xx 1 61 4
L xx 1 61 6 xx 57Vậy tập nghiệm của phương trình là S
7;5c) x 1 2 x 3 (1)
Giá trị của x để biểu thức trong dấu bằng 0 là 1;2 Ta có bảng sau:
x 1 2
x 1 x 1 0 x 1 x 1 2 x 2 x 2 x 0 2 x
Ta có: x 1
1 x 1 2 x 3 x 0 (thỏa mãn)
1 x 2 1 x 1 2 x 3 1 3 (vô lí) suy ra phương trình vô nghiệm
2 1 1 2 3 3
x x x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình là S
0;3d) x 3 x 5 3x1
Các giá trị của x để biểu thức trong dấu bằng 0 là 3;5 Ta có bảng sau:
x 3 5
x 3 x 3 0 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 0 x 5 Ta có:
33 1 3 5 3 1
x x x x x 5 ( không thỏa mãn)
3 x 5 1 x 3 x 5 3x 1 x 3
(thỏa mãn)
5 1 3 5 3 1 1
x x x x x ( không thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình là S
1e) 1 x x 2 x 3 1
2 (1)
Các giá trị của x để biểu thức trong dấu bằng 0 là 1;2;3
Ta có bảng sau:
x 1 2 3
1 x 1 x 0 1 x 1 x 1 x
x 2 x 2 x 2 0 x 2 x 2
x 3 x 3 x 3 x 3 0 x 3 Ta có: x 1 1 x
x 2
x 3
12 x 92 ( không thỏa mãn)
1 131 2 1 1 2 3
2 6
x x x x x
( không thỏa mãn)
1 52 3 1 1 2 3
2 2
x x x x x
( thỏa mãn)
1 73 1 1 2 3
2 2
x x x x x (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 7; S 2 2 f) x 2x 1 3x 2 4 (1)
Các giá trị của x để biểu thức trong dấu bằng 0 là: 0;1;2 Ta có bảng sau:
x 0 1 2
x x 0 x x x
x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1
x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 2 Với x 0