TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH
TỔ TOÁN
KHỐI
10
CHỦ ĐỀ:
BẤT ĐẲNG THỨC (tt)
( Tiết 1-2)
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1. Nhắc lại bất đẳng thức Cô-si
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
a b
ab + , a, b 0 2
Đẳng thức a b
ab +
= 2 xảy ra khi và chỉ khi a = b
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
Cho một số dương a và số nghịch đảo của nó là
a 1
Hãy áp dụng bất đẳng thức cô- si cho 2 số dương nàya a
a a
+ 1 1 =
2 2
Ta có Vậy
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
2. Các hệ quả a) Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2
a , a + a1
2 0
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
b) Hệ quả 2
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y
Chứng minh: Đặt S = x + y. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
x y S xy + =
2 2 Do đó
xy S2 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi S x = =y
Vậy tích xy đạt GTLN bằng S2 2
4 khi và chỉ khi S
x = =y 2
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
cm2
1
15 cm2 16 cm2
Chu vi =16cm
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
c) Hệ quả 3
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
cm2
1
16cm 20cm
Diện tích =16cm2
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau:
4 3 4
/ − 3 = c
=
− / d
a/ 0; b/ 1,25 c/ -3/4 d/
−
Trả lời:
= −
A
A A
Nếu Nếu A<0A 0
25 ,
1 25
, 1
/ =
b
0 0
/ =
a
III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Điều kiện Nội dung
a > 0 a > 0
x x
x x
x 0 , , −
b a
b a
b
a − + + a x
a a
x −
a x
a
x − hoặc
x a
III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Giải
− 2 ; 0 − 2 0
x
x
Ví dụ: Cho . CMR x
− 2;0
x +1 1IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
VÍ DỤ 1
Tìm GTNN của hàm số với x>0f x( ) x 3
= + x
Giải : ( Cách 1 giải theo BĐT Côsi)
* Vì x>0 nên > 0. Áp dụng côsi cho hai số x và :
* Dấu ‘‘ = ’’xảy ra
3 3
( ) 2 . 2 3
f x x x
x x
= + =
3 x
3 x
3 2
3 3
x x x
= x = =
3 (do x>0)
=x
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* VÍ DỤ 1
Tìm GTNN của hàm số với x>0f x( ) x 3
= + x Giải : ( Cách 2 giải theo hệ quả 3)
3 x
3 2
3 3
x x x
= x = =
3 (do x>0)
=x
* VÍ DỤ 2
Tìm GTNN của hàm số với x > -1( ) 4
f x x 1
= + x
+
Giải : ( Cách 1 giải theo BĐT Côsi)
* Áp dụng Côsi cho hai số (x+1) và :
f(x) = (x + 1) + -1 2. ( 1 .) 4 1
x 1
+ x −
+ = 3
(x + 1) = (x + 1)2 = 4
x =1 hoặc x=-3
1 4
+ x
x=1 (do x> -1)
4 1 x +
4 1 x +
1 4
+ x
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* Dấu ‘‘=’’ xảy ra
* VÍ DỤ 2
Tìm GTNN của hàm số với x > -1( ) 4
f x x 1
= + x
+
Giải : ( Cách 2 giải theo hệ quả 3)
* Hàm số đạt GTNN : (x + 1) = (x + 1)2 = 4
x =1 hoặc x=-3
1 4
+ x
x=1 (do x>-1)
4 1 x +
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* VÍ DỤ 3
Tìm GTLN của hàm số f(x)=(x+3)(5-x) với Giải : ( Cách 1 giải theo BĐT Côsi)
Vì nên
Áp dụng Côsi cho hai số (x+3) và (5-x) :
Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi x+3 = 5-x x =1
( 3)(5 ) 3 5 4
2
x x
x + − x + + − = (x +3)(5− x) 16
3 x 5
−
3− x 5 x + 3 0 , 5− x 0
( ) f x =
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* VÍ DỤ 3
Tìm GTLN của hàm số f(x)=(x+3)(5-x) với Giải : ( Cách 2 giải theo hệ quả 2 )
* Vì nên
x+3 = 5-x x = 1
3 x 5
−
3− x 5 x + 3 0 , 5− x 0
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* Ta có: (x+3)+(5-x)=8 ( hằng số)
* Hàm số đạt GTLN
* VÍ DỤ 4
Giải : ( Giải theo hệ quả 2 )
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
* VÍ DỤ 5
IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
