HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

(1)

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Nhắc lại tích vô hướng của hai vecto

Ví dụ : Cho hai vectơ ,a b 

thỏa mãn: a 4;b 3;a b  4

. Gọi  là góc giữa hai vectơ ,a b  . Tính cos

Hướng dẫn giải:

2 2

2 9

( ) 2 . . .

a b   a  b  a b a b  2

Do đó: . 3

cos 8

. a b

  a b 

 

  .

DẠNG 1: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng: a0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d.

2. Góc giữa hai đường thẳng:

 a a b b// , // 

 

a b, 



a b^', '



 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, ( , )u v  .

Khi đó:

 

, ₀ ⁰⁰₀ ¹⁸⁰⁰₀

180 90 180

a b khi

khi

 

  

 

  



 Nếu //a bhoặc a b thì

 

a b, 0⁰ Chú ý: 0⁰

 

a b, 90⁰

3. Hai đường thẳng vuông góc:

 ab 

 

a b, 90⁰

 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a b u v . 0.

 Lưu ý : Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương pháp:

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d d₁, ₂ bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳngd d₁ , ₂ lần lượt song song với d₁ và d₂(có thể trùng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng). Góc giữa hai đường thẳng d d₁ , ₂ chính là góc giữa hai đường thẳngd d₁, ₂.

Lưu ý : Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

2 2 2

cos 2

b c a

A bc

 

 .

d1

d2

d'2

d'1

O

(2)

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u u ₁, ₂

của hai đường thẳng d d₁, ₂

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d d₁, ₂ xác định bởi



1 2



¹ ²

1 2

cos , u u.

d d  u u

 

  ^.

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD A B C D.    . Giả sử tam giác AB C và A DC  đều có 3 góc nhọn. Tìm góc giữa hai đường thẳng AC và A D .

Ta có: AC // A C  (tính chất của hình hộp)



^{AC A D}^, ^

 

^{A C A D}^{  }^,



^^{DA C}^{ }

   (do giả thiết

cho DA C  nhọn).

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

Gọi E là trung điểm CD khi đó AECD  AE CD. 0;BE CD  BE CD. 0 Tính tích vô hướng

 

. .

= . . = 0 0 0 AB CD AE EB CD

AE CD EB CD

AB CD

 



 

 

    

   

  

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB CD a  , gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD_, 3

IJ a2 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là Hướng dẫn giải:

Sử dụng cách 1. Từ I dựng đường thẳng song song với AB , CD , cắt AC, BD lần lượt tạiM ,N . Do đó góc giữa hai đường thẳng AB , CD là góc giữa IM và IN Giải

M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Ta có :

1 1

2 2 2

// // //

MI NI AB CD a

MINJ MI AB CD NI

    

 

 là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Ta có : MIN2MIO.

O J M

I N

B D

C A

D'

B' C'

B

A D

C A'

E

B D

C A

(3)

Xét MIO vuông tại O, ta có :    3

4 3

cos 30 60

2 2 a

MIO IO MIO MIN

MI a

        .

Mà :



^{AB CD}^,

 

^ ^{IM IN}^,



^^MIN^^⁶⁰^.

Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó ^cos



^{AB DM}^,



^bằng

Giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi E là trung điểm AC ^^ME^//^AB^



^{AB DM}^,

 

^ ^{ME MD}^,



Ta có : ^cos



^{AB DM}^,



^^cos



^{ME MD}^,



^ ^cos



^{ME MD}^{ }^,



^ ^cos^^EMD^.

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều nên ME a , 3 2 ED MD a .

Xét MED, ta có : 

2 2

2

2 2 2

3 3

2 2 2 3

cos 2 . 2. . 3 6

2 2

a a a

ME MD ED

EMD ME MD a a

   

     

  

     

   .

Từ đó : ^cos



^,



³ ³

6 6

AB DM   .

Ví dụ 5. Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Tính số đo của góc



^{IJ CD}^,



Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của SAB). ^



^{IJ CD}^,

 

^ ^{SB AB}^,



^.

Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó ^SBA^⁶⁰^{ }



^{SB AB}^,



^⁶⁰^{ }



^{IJ CD}^,



^⁶⁰^^.

E

M

B D

C A

J I

D O

A B

C S

(4)

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có 3 , IJ=

2

AB CD a a ( ,I J lần lượt là trung điểm của BC và AD).

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

Gọi M là trung điểm của AC.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Tính được: ² ² IJ²

co 1

2 . 2

sIMJ IM MJ

MI MJ

 

  

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 60 . ⁰

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp:

Để chứng minh d₁ d₂ ta có thể thực hiện theo các cách sau:

 Chứng minh u u_{1 2}0

trong đó u u ₁, ₂

lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d₁ và d₂.

 Sử dụng tính chất b c//

a c a b

  

  .

 Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d d₁, ₂ và tính trực tiếp góc đó.

 Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác

Ví dụ 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Tính số đo của góc



^{MN SC}^,



Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của

SAD). ^



^{MN SC}^,

 

^ ^{SA SC}^,



^.

Xét SAC, ta có:

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

SA SC a a a

AC AD a SAC

    

  

  

 vuông tại S SA SC .



^{SA SC}^,

 

^{MN SC}^,



⁹⁰

   .

M J

I

B D

C A

N

M O

D

A B

C S

(5)

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng

 

^P song song với AB và CD lần lượt cắt BC DB AD AC, , , tại M N P Q, , , . Tứ giác MNPQ là hình gì?

Ta có:

 

   

// // .

MNPQ AB

MQ AB

MNPQ ABC MQ

 

  



Tương tự ta có: MN CD NP AB QP C// , // , // D. Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành lại có ^MNMQ do AB CD







. Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Ví dụ 9: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của các cạnh AC CB BC, , và

C A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

Vì M N P Q, , , nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC đều nên CH AB C H AB

 

  



Ta có: //

//

PQ AB PN CC

 

 .

Mà ABCC (theo ví dụ 2) PQ PN

 

Vậy tứ giác MNPQlà hình chữ nhật.