• Không có kết quả nào được tìm thấy

Đề tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT An Giang - THCS.TOANMATH.com

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Đề tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT An Giang - THCS.TOANMATH.com"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang)

Khóa ngày 07/6/2022 Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2,5 điểm)

Cho 𝐴 = 4 + 𝑥 + 2√3 + 𝑥 − 10 1 + √3 + 𝑥 a. Tính giá trị biểu thức 𝐴 khi 𝑥 = 2√2.

b. Tìm 𝑥 biết 𝐴 = −9.

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho Parabol (𝑃): 𝑦 = −2𝑥 và hai điểm 𝐴(−1; 0), 𝐵(1; −2).

a. Vẽ đồ thị (𝑃) và hai điểm 𝐴; 𝐵 trên cùng hệ trục tọa độ.

b. Viết phương trình đường thẳng (𝑑) song song với 𝐴𝐵 và tiếp xúc (𝑃).

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn 𝑥, 𝑛 là tham số: 𝑛𝑥 − 2(𝑛 + 1)𝑥 + 𝑛 = 0.

a. Tìm 𝑛 để phương trình có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ; 𝑥 .

b. Chứng minh rằng |𝑥 − 𝑥 | ≤ 2√3 với mọi số 𝑛 nguyên dương.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶(𝐴𝐶 > 𝐵𝐶), 𝐵𝐶 = 2. Biết rằng đường tròn (𝑂) qua ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝑀 (𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶) cắt 𝐴𝐶 tại 𝐿 với 𝐵𝐿 là tia phân giác của góc 𝐴𝐵𝐶.

a. Chứng minh 𝐶𝐴. 𝐶𝐿 = 2.

b. Chứng minh 𝐴𝐵. 𝐿𝐶 = 𝐵𝐶. 𝐿𝑀.

c. Tính độ dài cạnh 𝐴𝐵.

Câu 5. (1,0 điểm)

Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng

trung bình là 1,73 kg, các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,33 kg và các

trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg.

a. Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng.

b. Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg ?

---Hết---

Số báo danh: ... Phòng thi: ...

(2)

LƯỢC GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH 10 AN GIANG Môn: TOÁN CHUYÊN

Năm học: 2022 – 2023 Đặng Lê Gia Khánh

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho 𝐴 = 4 + 𝑥 + 2√3 + 𝑥 − 10 1 + √3 + 𝑥 . a. Tính giá trị biểu thức 𝐴 khi 𝑥 = 2√2.

b. Tìm 𝑥 biết 𝐴 = −9.

LỜI GIẢI

Với điều kiện 3 + 𝑥 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ −3

𝐴 = 1 + √3 + 𝑥 − 10 1 + √3 + 𝑥 = 1 + √3 + 𝑥 − 10 1 + √3 + 𝑥 . 1a. Với 𝑥 = 2√2 thì 3 + 𝑥 = 3 + 2√2 = 1 + √2 ⇒ √3 + 𝑥 = 1 + √2.

Suy ra 𝐴 = 2 + √2 − 10 2 + √2 = 2 + √2 2 + √2 − 10 . Do 2 + √2 = 6 + 4√2 ⇒ 𝐴 = 6 + 4√2 −4 + 4√2 = 8 + 8√2.

1b. Đặt 𝑡 = 1 + √3 + 𝑥 (𝑡 ≥ 1). Biểu thức 𝐴 trở thành 𝐴 = 𝑡 − 10𝑡 𝐴 = −9 ⇔ 𝑡 − 10𝑡 + 9 = 0 ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 9) = 0 ⇔ 𝑡 = ±1 𝑡 = ±3 Do 𝑡 ≥ 1 nên 𝑡 = 1 hoặc 𝑡 = 3.

Với 𝑡 = 1 ⇒ 1 + √3 + 𝑥 = 1 ⇔ √3 + 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −3 (nhận).

Với 𝑡 = 3 ⇒ 1 + √3 + 𝑥 = 3 ⇔ √3 + 𝑥 = 2 ⇔ 3 + 𝑥 = 4 ⇔ 𝑥 = 1 (nhận).

Vậy 𝐴 = −9 tìm được các giá trị 𝑥 là −3; 1.

Câu 2. (2,0 điểm)

LỜI GIẢI

2a. Bảng giá trị (𝑃):

𝑥 −2 −1 0 1 2 𝑦 = −2𝑥 −8 −2 0 −2 −8

Cho Parabol (𝑃): 𝑦 = −2𝑥 và hai điểm 𝐴(−1; 0), 𝐵(1; −2).

a. Vẽ đồ thị (𝑃) và hai điểm 𝐴; 𝐵 trên cùng hệ trục tọa độ.

b. Viết phương trình đường thẳng (𝑑) song song với 𝐴𝐵 và tiếp xúc (𝑃).

(3)

2b. Gọi (𝑑 ): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 là phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝐴(−1; 0), 𝐵(1; −2).

Khi đó 0 = −𝑎 + 𝑏

−2 = 𝑎 + 𝑏⇔ 𝑎 = −1

𝑏 = −1 ⇒ (𝑑 ): 𝑦 = −𝑥 − 1.

Phương trình đường thẳng (𝑑)//(𝑑 ) có dạng 𝑦 = −𝑥 + 𝑐 (𝑐 là hằng số) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑃), (𝑑) : − 2𝑥 = −𝑥 + 𝑐 (∗).

(𝑃), (𝑑) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình (∗) có nghiệm kép

⇔ ∆= 1 − 4(−2)(−𝑐) = 0 ⇔ 𝑐 = 1 8 . Vậy (𝑑): 𝑦 = −𝑥 +1

8 là phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn 𝑥, 𝑛 là tham số: 𝑛𝑥 − 2(𝑛 + 1)𝑥 + 𝑛 = 0.

a. Tìm 𝑛 để phương trình có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ; 𝑥 .

b. Chứng minh rằng |𝑥 − 𝑥 | ≤ 2√3 với mọi số 𝑛 nguyên dương.

LỜI GIẢI

Phương trình 𝑛𝑥 − 2(𝑛 + 1)𝑥 + 𝑛 = 0 (1) là phương trình bậc hai ẩn 𝑥 nên 𝑛 ≠ 0.

3a. Biệt thức Δ = (𝑛 + 1) − 𝑛 = 2𝑛 + 1.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ; 𝑥

⇔ Δ > 0 ⇔ 2𝑛 + 1 > 0 ⇔ 𝑛 > − .

Vậy với 𝑛 > − và 𝑛 ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ; 𝑥 . 3b. Do 𝑛 nguyên dương ⇒ 𝑛 ∈ ℕ, tức là 𝑛 ≥ 1.

Từ câu 3a thấy với 𝑛 ≥ 1, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ; 𝑥 . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 𝑥 + 𝑥 = 2 + và 𝑥 𝑥 = 1.

(𝑃): 𝑦 = −2𝑥

y

O x

(4)

⇒ |𝑥 − 𝑥 | = (𝑥 + 𝑥 ) − 4𝑥 𝑥 = 4 𝑛 +8

𝑛 ≤ √4 + 8 = 2√3.

Dấu “ = ” xảy ra khi 𝑛 = 1.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶(𝐴𝐶 > 𝐵𝐶), 𝐵𝐶 = 2. Biết rằng đường tròn (𝑂) qua ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝑀 (𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶) cắt 𝐴𝐶 tại 𝐿 với 𝐵𝐿 là tia phân giác của góc 𝐴𝐵𝐶.

a. Chứng minh 𝐶𝐴. 𝐶𝐿 = 2.

b. Chứng minh 𝐴𝐵. 𝐿𝐶 = 𝐵𝐶. 𝐿𝑀.

c. Tính độ dài cạnh 𝐴𝐵.

LỜI GIẢI

Xét ∆𝐶𝑀𝐿 và ∆𝐶𝐴𝐵 có

𝐶𝐿𝑀 = 𝐶𝐵𝐴 Tứ giác 𝐵𝑀𝐿𝐴 nội tiếp 𝑀𝐶𝐿 = 𝐴𝐶𝐵 (góc chung)

Nên hai tam giác 𝐶𝑀𝐿, 𝐶𝐴𝐵 đồng dạng.

⇒𝐶𝑀

𝐶𝐴 =𝑀𝐿 𝐴𝐵 = 𝐶𝐿

𝐶𝐵 (1).

4a. 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶 ⇒ 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶

⇒ 𝐶𝑀. 𝐶𝐵 = 𝐵𝐶 = 2.

Từ (1) ⇒ 𝐶𝐿. 𝐶𝐴 = 𝐶𝑀. 𝐶𝐵 = 2.

4b. Từ (1) ⇒ 𝐴𝐵. 𝐿𝐶 = 𝐵𝐶. 𝐿𝑀.

4c. 𝐵𝐿 là tia phân giác 𝐴𝐵𝐶 ⇒ 𝑀𝐵𝐿 = 𝐴𝐵𝐿

Mà 𝐵, 𝑀, 𝐿, 𝐴 cùng thuộc một đường tròn nên 𝐿𝑀 = 𝐿𝐴.

Từ câu 4a ⇒ 𝐿𝑀 = 𝐿𝐴 = 𝐴𝐶 − 𝐶𝐿 = 𝐴𝐶 − . Từ câu 4b⇒ 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. 𝐿𝑀

𝐿𝐶 = 2. 𝐴𝐶 − 2 𝐴𝐶 2 𝐴𝐶

= 2

𝐴𝐶(𝐴𝐶 − 2) 2 𝐴𝐶

= 𝐴𝐶 − 2.

∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 + 4 = (𝐴𝐶 − 2) + 6 = 𝐴𝐵 + 6 (2).

Từ (2) ⇔ (𝐴𝐵 − 3)(𝐴𝐵 + 2) = 0 ⇒ 𝐴𝐵 = 3 (vì 𝐴𝐵 > 0).

Câu 5. (1,0 điểm)

Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg.

Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg.

(5)

LỜI GIẢI

5a. Gọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5 𝑘𝑔; bằng 1,5 𝑘𝑔; nhẹ hơn 1,5 𝑘𝑔.

(trong đó 𝑥, 𝑦, 𝑧 là các số nguyên dương).

Khi đó ta có 1,73𝑥 + 1,5𝑦 + 1,33𝑧 = 1,5.100 = 150 (1).

5b. Theo cách gọi ở câu 5a ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100 ⇒ 1,5𝑥 + 1,5𝑦 + 1,5𝑧 = 150 (2).

Từ (1), (2) ⇒ 0,23𝑥 − 0,17𝑧 = 0 ⇔ 𝑥 =17 23𝑧.

Vì (17,23) = 1 nên đặt 𝑧 = 23𝑘 (𝑘 ∈ ℕ) ⇒ 𝑥 = 17𝑘. Từ đó suy ra 𝑦 = 100 − 𝑥 − 𝑧 = 100 − 40𝑘.

𝑦 ≥ 0 ⇒ 100 − 40𝑘 ≥ 0 ⇔ 𝑘 ≤ 2,5 ⇒ 𝑘 = 1; 2 ⇒ 𝑦 = 60 𝑦 = 20 Vậy có ít nhất 20 trái dưa lưới nặng đúng 1,5 𝑘𝑔.

--- HẾT ---

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Tìm nghiệm của hệ phương trình A. Tính diện tích S của hình thang đã cho.. c) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.. Tính diện tích S của tứ giác

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, người coi thi không giải thích gì thêm.. Gọi I

Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh bốn điểm P, H, M, K thẳng hàng. Chứng minh ba đường thẳng MN, EF, AH đồng quy.. a) Ta thấy các tứ giác

Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó.. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OD, OE và

K là trung điểm của NP. Chứng minh KF là phân giác trong của  AKB từ đó suy ra EA FB EB FA. c) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm tam

Trường hợp còn lại chứng minh

Do yêu cầu đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờ người đó đã làm tăng thêm 3 sản phẩm vì thế công việc hoàn thành sớm hơn so với dự định là 20 phút...

Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm giá trị lớn nhất của tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2..