Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 12. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

(1)

CHƯƠNG III: Góc và đường tròn

Chuyên đề 12. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A. Kiến thức cần nhớ

1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Ví dụ: AOB là góc ở tâm.

 Nếu 0 180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

 Nếu 180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

 Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn 2. Số đo cung

 Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

 Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

 Số đo của nửa đường tròn bằng 180.

Chú ý: “Cung không” có số đo bằng 0 và cung cả đường tròn có số đo bằng 360. 3. So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

 Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

 Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

4. Khi nào thì sđ AB= sđ AC+ sđ CB?

Nếu điểm C là một điểm nằm trên cung AB thì: sđAB= sđAC+ sđCB 5. Định lý 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Trong hình bên: ABCD ABCD. 6. Định lý 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

(2)

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Trong hình bên: ABCD ABCD. 7. Định lý bổ sung

 Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

 Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì qua trung điểm của dây căng ấy (đảo lại không đúng).

 Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết APB55. Tính số đo cung lớn AB.

Giải

 Tìm cách giải. Bạn nên tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số đo cung lớn.

 Trình bày lời giải Tứ giác APBO có:

OAP90 ;OBP90 (vì PA, PB là tiếp tuyến), APB55 nên: AOB360 90 90 55 125 Suy ra số đo cung nhỏ AB là 125

Vậy số đo cung lớn AB là: 360 125 235.

Ví dụ 2. Cho dâyAB2Rcủa đường tròn



^{O R}^;



. Trên AB lấy điểm M, N sao cho AM MN  NB. Tia OM, ON cắt cung nhỏ AB tại C, D.

a) Chứng minh cung AC bằng cung BD.

b) So sánh cung AC và cung CD.

Giải Tìm cách giải.

Câu a. Để chứng tỏ hai cung bằng nhau, ta chứng tỏ hai góc ở tâm bằng nhau. Do vậy cần chứng minh hai tam giác bằng nhau.

(3)

Câu b. Để so sánh hai cung AC và CD, ta so sánh hai góc AOM và MON. Với nhận xét ON OA và MN MA, ta có thể nghĩ tới:

Vì hai góc AOM và MON là hai góc kề mà OAON nên dựng thêm điểm phụ K để tạo ra một góc mới MKN  AOM ; MKN và MON là hai góc của ONKtừ đó sẽ so sánh được góc.

Trình bày lời giải

a) OAOB AM; BN DAM; OBN

nên AOM  BON suy ra AOM BON hay AC BD.

b) Trên tia đối của tia MO lấy điểm K sao cho: MK = MO Mà MAMN AMO;  NMK



^{. .}



AMO NMK c g c

   

;

AOM MKN OA KN

  

Xét ONK có KN ON (vì OAON) nên MKNMON MOAMON

AC CD

  .

Ví dụ 3. Trên đường tròn



^{O R}^;



lấy hai điểm A, B sao cho ABR 2. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Tính độ dài AM.

Giải

Tìm cách giải. Ta lưu ý rằng: bài toán có ABR 2 thì AOB90 và ngược lại. Hình vẽ có nhiều góc vuông, những bài tập tính toán độ dài nên vận dụng định lý Py – ta – go để tính các đoạn thẳng có thể. Từ đó ta có lời giải sau:

Trình bày lời giải

Xét OAB có OA² OB²  R²R² 2R²

2 2 2 2 2

2

AB  R OA OB  AB , vậy OAB vuông tại O.

Gọi giao điểm OM và AB là H, ta có:

OH  AB HA, HB

2 2 HA HB HO R

   

2 2 2

2 2 .

R R R

HM R 

   

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác AHM, ta có:

(4)

 

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 .

2 2

R R R

AM      R AM R

        

   

Ví dụ 4. Từ điểm A trên đường tròn



^O^;1



đặt liên tiếp các cung có dây là

1; 3; 2

AB BC CD . Chứng minh:

a) AC là đường kính của đường tròn (O).

b) DAC vuông cân.

Giải

Tìm cách giải. Để chứng tỏ AC là đường kính ta cần chứng tỏ:

sđAB+ sđBC = 180. Trình bày lời giải

a) AB1 nên OAOB ABnên OAB là tam giác đều 60

AOB  sđAB60

3 120

BC BOC   sđBC120

sđAB+ sđBC = 180

 AC là đường kính của đường tròn (O).

b) CD 2sđCD90 sđAD 90

sđCDsđAD CD AD

Mà AC là đường kính  ACDvuông cân tại D.

C. Bài tập vận dụng

12.1. Trên đường tròn (O) có cungABbằng 140. Gọi A B , lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O; lấy cung AD nhận Blàm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD.

12.2. Cho hai đường tròn bằng nhau

   

^O ^, ^O cắt nhau tại A, B. Kẻ các đường kính AOC và AO D . Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AC với

 

^O ^.

a) Sao sánh các cung nhỏ CB BD, .

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD.

12.3. Cho đường tròn



^{O R}^,



với hai điểm A, B. Chứng tỏ trung điểm của các dây trên đường tròn có độ dài bằng dây AB thuộc một đường tròn cố dịnh.

(5)

12.4. Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K. Hỏi KCDlà tam giác gì?

12.5. Gọi M, N, P, Q là bốn điểm nằm trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến ở bốn điểm trên cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng: AOBCOD180

12.6. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) có AC = 40cm. BC = 48cm. Tính khoảng cách từ O đến BC.

12.7. Cho hình bên, biết AB = CD.

Chứng minh rằng:

a) MH = MK.

b) MB = MD.

c) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân.

12.8. Cho đường tròn



^{O R}^;



và dây AB. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ AB, cung lớn AB và P là trung điểm của dây cung AB.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

b) Xác định số đo của cung nhỏ AB để tứ giác AMBO là hình thoi.

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 12.1.

     

® 140 ® 40

s AB s A B

s A C®  40 s CB® 80

    

® 140 ® 40

s AB s AB

s B D®  40

s CD® 180 s BC® s B D®  180 40 80 60 12.2.

a) AC, AD là đường kính nên

90 ; 90

ABC  ABD 

Mà AC = AD, AB chung nên:

ABC ABD BC BD BC BD

      

(6)

b) BCE vuông tại E có BC = BD nên BE là đường trung tuyến BE BDBEBD. 12.3.

Gọi CD là dây cung thuộc (O) sao cho CD = AB.

Kẻ OH  AB OI, CD thì OI = OH không đổi nên I thuộc đường tròn tâm (O) bán kính OH không đổi.

12.4.

MAMBOM  AB (định lí bổ sung) OM / /DK OMC KDC

  

Mặt khác OMC cân (OM = OC) nên:

OMCKDC

Suy ra KCDKDC KCD cân tại K.

12.5.

AM, AN là tiếp tuyến nên:

1  1

2 2 ®

BOM MON s MN

Tương tự, ta có:  1  1

2 2 ®

AOM MOQ s MQ

1 1

® ; ® .

2 2

COP s NP DOP s PQ

Ta có: AOBCOD AONNOBCOQDOQ

 

 1   

® ® ® ®

2 s MN s NP s PQ s MQ

1.360 180

 2   

12.6. Kẻ đường cao AH. Ta tính được AH = 32cm.

Đặt OH  x. Kẻ OM  AC Ta có: ^^AMO^∽^^{AHC g g}



^.



32 20

40 32.

AO AM x

AC AH

    

12.7.

a) ABCDOH OK

(7)

OMH và OMK có OHM OKM 90, OM chung, OH = OK Suy ra OMH  OMK MH MK.

b) AB = CD mà OH AB OK; CD Suy ra AH HBCK KD.

Mặt khác MB MHHB MD; MKKD Do đó MB = MD.

c) Ta có MAMHHA MC; MKKC suy ra MAMC.

MACcân tại 180

2 M MAC MCA  M

  

MBD cân tại 180

2 M MBD MDB  M

  

Từ đó suy ra MACMBD AC/ /BDmà MACMCA nên ABDC là hình thang cân.

12.8.

a) Ta có MAMBMAMB NA NBNA NB

Mặt khác PA = PB; OA = OB, nên bốn điểm N, M, O, P thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường trung trực của AB).

b) Tứ giác AMBO hình thoi OA AM MB BO AOM

     

60 120

AOM AOB

      sđAMB120.

Chuyên đề 13. GÓC NỘI TIẾP. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

 Góc nội tiếp là góc cố đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Trong hình bên thì:

(8)

BAC là góc nội tiếp BC là cung bị chắn

 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó.

Theo hình bên thì

BAx và BAy là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

2. Định lý

 Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

 Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của góc cung bị chắn.

3. Hệ quả 1.

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

4. Hệ quả 2.

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.