Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

BÀI 1&2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT

I. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 1. Số phức

Định nghĩa

Cho số phứczcó dạng: z a bi  với a b, , trong đó a gọi là phần thực củaz,b gọi là phần ảo của z, i gọi là đơn vị ảo thỏa mãn i²  1.

Đặc biệt:

Tập hợp các số phức, kí hiệu là . Số phức z là số thực nếu b0. Số phức z là số thuần ảo nếu a0.

Số phức z  0 0i 0 vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là số thuần ảo).

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu z, là z a bi  .

Môđun của số phức Môđun của số phức z, kí hiệu là z  a²b² .

2. Hai số phức bằng nhau

Định nghĩa

Hai số phức z₁ a₁ b i₁ và z₂a₂b i₂ được gọi là bằng

Bài tập:

+) 2

5 7

  

z i ;

+) z  2 i ;

+) 4

, cos ,

3 12

    

z i w i u i,… là

các số thuần ảo.

Bài tập

+) Số phức 2 5 7

 

z i có số phức liên hợp là 2

5 7

  z i ; +) Số phức 4

 3

z i có số phức liên hợp là 4

 3 z i.

Nhận xét: Mỗi số thực có số phức liên hợp là chính nó.

Bài tập:

Số phức 2 5 7

 

z i có môđun

2

2 2 1229

5 7 7

 

     z

Bài tập:

Số phức z a bi  bằng 0 khi và chỉ khi ⁰

0

 

  a b

nhau khi và chỉ khi ^{1 2}

1 2

 

  a a b b . 3. Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi số phức ; ,z a bi a b   được biểu diễn bởi điểm ( ; )M a b . Ngược lại, mỗi điểm

( ; )

M a b biểu diễn duy nhất một số phức là z a bi  .

hay z0. Nhận xét:

+) OM  z ;

+) Nếu z z₁, ₂ có các điểm biểu diễn lần lượt là M M thì ₁, ₂

1 2  1 2

M M z z .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA a là phần thực của số phức z b là phần ảo của số phức z

Số phức liên hợp của z z a bi 

2 2

 

z a b



M là điểm biểu diễn của số phức z

Độ dài đoạn OM là môđun số phức z

M là điểm biểu diễn của số phức z Đại số

( là tập hợp số phức)

Số phức liên hợp

Môđun số phức

Hình học

SỐ PHỨC

  z a bi



^{a b, ;i2  1}



II. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

1. Phép cộng số phức

Định nghĩa

Tổng của hai số phức ^{z a bi z}  ^,  ^a b i a b a b



^{, , ,} 



là số phức ^{z z     a a}



^{b b i}



^.

Tính chất Với mọi , ,z z z  ta có:

Tính chất kết hợp:



^{z z }



^{z z}



^{zz}



^;

Tính chất giao hoán: z z   z z; Cộng với 0: z   0 0 z z;

   

^0.

z     z z z 2. Phép trừ số phức

Hiệu của hai số phức ^{z a bi z}  ^,  ^a b i a b a b



^{, , ,} 



^:

     

^.

z z    z z  a a   b b i 3. Phép nhân số phức

Định nghĩa

Tích của hai số phức ^{z a bi z}  ^,  ^a b i a b a b



^{, , ,} 



là số phức ^{zzaa bb }



^{aba b i}



^.

Tính chất Với mọi , ,z z z  ta có:

• Tính chất giao hoán: zzz z ;

• Tính chất kết hợp:

 

^{zz z z z z}



^{ }



^;

• Nhân với 1: 1.z z .1z;

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

 

^.

z zz zzzz

4. Phép chia cho số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức z0 kí hiệu là z^1, là số phức thỏa mãn zz^11,, hay z ¹ 1₂z.

z

 

Thương của phép chia số phức z cho số phức z khác 0,

Bài tập:



^{5 4 i}

 

^{ 3 2i}



^{ 8 2 .i}

Bài tập:

5 2

z 7i có số đối là 2

5 .

z 7i

   

Bài tập:



^{5 4 i}

 

^{ 3 2i}



^{ 2 6 .i}

Bài tập:



^{5 4 i}



^{3 2 i}

 

^{ 15 8 }

 

^{12 10}



^{i23 2 . i}

Chú ý:

•Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán cộng và nhân các số thực.

° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng đúng đối với các số phức.

Bài tập: ^{z2 4 z2}

  

^{2i 2  z2i z}



^{2 .i}



Bài tập:

3 2

z  i có số phức nghịch đảo là

 

1 1 3 2

. 3 2 .

13 i 13 13i

z    

Bài tập:

kí hiêu là z ¹ z z₂. z z z z

    

  

  

5 4 3 2

5 4 7 22 7 22

3 2 3 2 3 2 13 13 13 .

i i

i i

i i i i

 

     

  

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Phép cộng số phức

Tổng của hai số phức z a bi  và^z ^a b i a b a b



^{, , ,} 



là số phức ^{z z     a a}



^{b b i}



^.

Phép trừ số phức Hiệu của hai số phức z a bi  và^z ^a b i a b a b



^{, , ,} 



là số phức ^{z z }



^{a a }

 

^{ b b i}



^.

Phép nhân số phức Tích của hai số phức z a bi  và^z ^a b i a b a b



^{, , ,} 



là số phức ^{zzaa bb }



^{aba b i}



^.

Phép chia số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức z0 kí hiệu là z^1 là số phức thỏa mãn zz^11 hay ¹ 1₂

.

z z

z

 

Thương của phép chia số phức z cho số phức z0, kí hiệu là z z z ¹ z z₂ .

z z

    

Tính chất phép cộng số phức Với mọi z z z, ,  ta có



^{z z }



^{z z}



^{zz}



^;

; z z   z z

0 0 ;

z   z z

   

^0.

z     z z z

Tính chất phép nhân số phức Với mọi z z z, ,  ta có

; zzz z

 

^{zz z z z z}



^{ }



^;

1.z z .1z;

 

^.

z zz zzzz

CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo 1. Phương pháp giải

Cho hai số phức z a bi  và z a b i , trong đó , , ,a b a b . Khi đó:

 ^{z z    ' a a'}



^{b b i}



^;

 ^{z z '}



^{a a '}

 

^{ b b i}



^;

 ^{zzaa bb }



^{aba b i}



^;

 z z z₂. z z

 



Bài tập:

Hai số phức z₁ 3 7 ,i z₂  4 3i có

   

1 2 3 4 7 3 7 4 ;

z z      i  i

   

1 2 3 4 7 3 1 10 ;

z z      i   i

       

1 2 3.4 7 .3 3.3 4. 7 33 19 ;

z z       i  i

  

   

1 2

3 7 4 3 9 37

4 3 . 4 3 25 25 .

i i

z i

z i i

 

   

 

2. Bài tập

Bài tập 1: Tất cả các số phức zthỏa mãn ^{2z3 1}



^{   i}



^{iz 7 3i là}

A. 8 4 .

z 5 5i B. z 4 2 .i C. 8 4 .

z 5 5i D. z 4 2 .i Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: ^{2 3 1}

 

^{7 3}



²



^{10 10 4 2 .}

z i iz i i z z 2 z i

          i  



Bài tập 2: Cho số phức ^{z a bi a b }



^{, }



^{thỏa mãn z  1 3i z i0}. Giá trị của S a 3b là

A. 7

3.

S   B. S 3. C. S  3. D. 7

3. S  Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có z  1 3i z i0



^{2 2}



^{1 0 2 2}

1 3 0

3

a b a b i a

b a b

  

        

  



 

^{2 2}

1 1

3 4 3.

3 1 3

a a

b S

b b b

     

   

        

Bài tập 3. Tính ^{C 1    }

     

^{1 i 1 i 2 1 i 3  ...}

 

^{1 i 20}

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức của cấp số nhân:

Ta có:

       

     

           



   

 



 

2 3 20 21

1

21 21

C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i u .1 q 1 q 1 1 i 1 1 i

1. .

1 1 i i Ta có:

 

           

 

            

2

21 20 10 10 10 10

1 i 2i

1 i 1 i . 1 i 2i . 1 i 2 1 i 2 i.2

Do đó:^{C1 2 10}_^_i ^{i.210  210 }



^{1 210}



^i.

Bài tập 4. Tính tổng S i 2i  ²3i³ ... 2012.i²⁰¹².

A. 1006 1006i B. 1006 1006i C. 1006 1006i D. 1006 1006i Hướng dẫn giải

Chọn D Cách 1.

Ta có iS i ² 2i³3i⁴ ... 2012i²⁰¹³

 S iS i i    ² i³ ... i²⁰¹²2012.i²⁰¹³

Dãy số i, i , i , ...,i^{2 3 2012} là một cấp số nhân có công bội q i và có 2012 số hạng, suy ra:

      



2 3 2012 1 i2012

i i i ... i i. 0

1 i

Do đó:       ^  



2013 2012i

S iS 2012.i 2012i S 1006 1006i 1 i

Cách 2. Dãy số 1,x,x ,...,x^{2 2012} là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x.

Xét x 1, x 0  ta có: ^{1 x x  2x3 ... x20121 x}_²⁰¹³

 

¹

1 x Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:



^



^

 

    



2013 2012

2 2011

2

2012.x 2013x 1

1 2x 3x ... 2012x 2

1 x Nhân hai vế của (2) cho x ta được:



^



^

 

    



2014 2013

2 3 2012

2

2012.x 2013x x

x 2x 3x ... 2012x 3

1 x

Thay x i vào (3) ta được:

 

 

     



2014 2013

2 2 2012

2

2012i 2013i i S i 2i 3i ... 2012i

1 i Với i²⁰¹⁴ 1, i²⁰¹³i

Vậy ^{ }  

 2012 2012i

S 1006 1006i.

2i

Bài tập 5. Cho  , hai số phức liên hiệp thỏa mãn ^

² R và    2 3. Tính .

A. 3 B. 3 C. 2 D. 5

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt   x iy   x iy với x, y R. Không giảm tính tổng quát, ta coi y 0. Vì    2 3 nên 2iy 2 3 y 3.

Do  , hai số phức liên hợp nên  . , mà

 

   

 ³ 

2 2 do đó  ³ . Nhưng ta có

 

 ³ x³3xy² 3x y y i²  ³ nên  ³ khi và chỉ khi ^{3x y y2  3 0 y 3x}



^2y2



^{ 0 x21.}

Vậy   x²y²  1 3 2.

Bài tập 6. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn: ^c



^{a bi}



^3107i.

A. 400 B. 312 C.198 D. 123

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ^c



^{a bi}



^{3107i a 33ab2i 3a b b}



^{2  3107 .}



Nên c là số nguyên dương thì

  

2 3

3a b b 107 0. Hay ^{b 3a}



^2b2



^107.

Vì a, b Z ^ và 107 là số nguyên tố nên xảy ra:

  ² ²  ²11450

b 107; 3a b 1 a Z

3 (loại).

 b 1; 3a ²b²107a²36 a 6 (thỏa mãn). Vậy nên c a ³3ab²6³3.6.1²198.

Bài tập 7. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn 

 z 4i.

z n Tìm

n.

A. n 14 B. n 149 C. 697 D. 789

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt z x 164i  ta có:

 

         

  

  

    

z x 164i

4i 4i x 164i 656 4 x n i

z n x 164i n x 656

n 697.

x n 41

Vậy giá trị cần tìm của n là 697.

Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn _



^



 1 3i

z 1 i .Tìm mô đun của số phức z iz

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

Hướng dẫn giải Chọn A

Từ z ta phải suy ra được z và thay vào biểu thức z iz rồi tìm môđun:



^

 

^

  

^  

   



1 3i 1 3i 1 i 1 3 1 3

z i

1 i 2 2 2

Suy ra: 1^ 31^ 3  1^ 31^ 3

z i i.z i

2 2 2 2

Do đó: z iz 1 i    z iz  2. Dùng MTCT:

Bước 1: Lưu



^{1 3i}



1 i A

 



Bước 2: Tính A iA

Lời bình: Nhận thấy rằng với số phức z a bi  bất kì ta đều có ^{z iz  }

 

^{1 i a b}



^hay

     

  

z iz a b , z

1 i . Về phương diện hình học thì ^

 z iz

1 i luôn nằm trên trục Ox khi biểu diễn trong mặt phẳng phức.

Bài tập 9. Tìm số thực m biết:

 

 

 

z i m

1 m m 2i và 2 m^

zz 2 ( trong đó i là đơn vị ảo)

A. ^{m 1} m 1

  

  B. ^{m 0}

m 1

   

 C. ^{m 0}

m 1

  

 D. ^{m 2}

m 1

  



Định hướng: Quan sát thấy z cho ở dạng thương hai số phức. Vì Vậy cần phải đơn giản z bằng cách nhân liên hiện ở mẫu. Từ zz . Thay z và z vào 2 m^

zz 2 ta tìm được m Hướng dẫn giải

Chọn C Ta có:

     

     

 

   

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

i m 1 m 2mi m 1 m 2m i 1 m 2m z i m

1 m m 2i 1 m 4m 1 m

m 1 m i 1 m m i m i

1 m 1 m z 1 m 1 m

1 m

        

   

    

  

     

   

 Như vậy:

     

2 3 2

2 2

2

2 m m 1 1 1 1 m 0

zz m 2 m 2 m 2m m 0

m 1

2 m 1 2 1 m 2

   

                 

Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức: ^{z }

 

^{1 i n,n} thỏa mãn phương trình:



^



^



^



^

4 4

log n 3 log n 9 3.

A. 6 B. 8 C. 8 D. 9

Hướng dẫn giải Chọn C

Điều kiện: n 3,n 

Phương trình log4



n 3^



^log4



n 9^



^{ }3 log4



n 3 n 9^



^



^3



^{n 3 n 9}



^



^{43n26n 9 0   n 7 do:n}



^3



     

^{ }

       

             

7 2 3 3

z 1 i 1 i . 1 i 1 i . 2i 1 i . 8i 8 8i Vậy phần thực của số phức z là 8.

Bài tập 11. Cho số phức^{zm 3i}_



^m



1 i . Tìm m, biết số phức wz² có môđun bằng 9.

A. ^{m 1} m 1

  

  B. ^{m 3}

m 1

   

 C. ^{m 3}

m 1

  

 D. ^{m 3}

m 3

   

 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

   

   

           

2 2 2 2

2 m 9 6mi m 9 2 m 9

w z 3m i w 9 9m 9

2i 2 2

1 ⁴ ²   ²   ²   

m 18m 81 9 m 9 18 m 9 m 3

2

Vậy giá trị cần tìm là m 3 Bài tập 12. Cho số phức

 

  

 i m 

z ,m

1 m m 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z 1 k

A. k ^{5 1} 2

  B. k ^{5 2}

2

  C.  5 1^

k 2 D. k ^{5 2}

2

 

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có  ^  ^    ^{ }

 

 ²  ²

i m 1 1 m i

z z 1

i m m i

i mi m

     

            





2

2 2

2

2

1 m i m 2m 2 k 0

z 1 z 1 k m 2m 2

m i m 1 k

m 1

Xét hàm số

 

^{  }



2 2

m 2m 2

f m m 1

Ta có:

   

   

  

    



2

ʹ ʹ

2 2

2 m m 1 1 5

f m f m 0 m .

m 1 2

Lập bảng biến thiên ta có min

 

^_ ^{ }_^{ }

 

1 5 3 5

f m 2 2

 Yêu cầu bài toán ²3^ 5   3^ 5  5 1^

k k

2 2 2

Vậy  5 1^

k 2 là giá trị phải tìm.

Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức 1. Phương pháp giải

 Số phức z a bi  có z a bi  và

2 2.

z  a b

Chú ý: Nếu z a bi  thì

Bài tập: Số phức liên hợp của số phức



^{2 3}



^{3 2}



z  i  i là

A. z12 5 . i B. z  12 5 .i

2 2

2a; . .

z z  z z a b C. z  12 5 .i D. z12 5 . i Hướng dẫn giải

Ta có ^z



^{2 3 i}



^{3 2 i}



^{  6 5i 6i2 12 5 i}

12 5 .

z i

   Chọn D.

2. Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức z a bi  , với a b, là các số thực thỏa mãn

 

2 4 ,

a bi  i a bi  i với i là đơn vị ảo. Môđun của   1 z z² là

A.   229. B.   13. C.  229. D.  13.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ²

 

^{4 2 4 2 .}

2 1 3

a b a

a bi i a bi i

b a b

   

 

           Suy ra z 2 3 .i

Do đó    1 z z²   2 15 .i Vậy ^{ }

  

^{2 2 15}



^{2  229}

Bài tập 2: Cho số phức zthỏa mãn 1 3 1 . z i

i

 

 Môđun của số phức w i z z .  là

A. w 4 2. B. w  2. C. w 3 2. D. w 2 2.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có: 1 3 1 2 . 1

z i i

i

    



   

1 2 . 1 2 1 2 3 3 .

z i w i i i i

             

   

^{3 2 3 2 18 3 2.}

 w      

Bài tập 3: Cho z z₁, ₂ là các số phức thỏa mãn z₁  z₂ 1 và z₁2z₂  6.

Giá trị của biểu thức P 2z₁z₂ là

A. P2. B. P 3. C. P3. D. P1.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Đặt z₁ a₁ b i a b₁; ,_{1 1}, z₂ a₂b i a b₂; ,_{2 2}.

Suy ra a₁²b₁² a₂²b₂²1và _{1 2 1 2 1 2} 1

2 6 . . .

z  z  a a b b 4

Ta có: 2z1z22a1a2



2b b i1 2



  

²



²



^{2 2}

 

^{2 2}

  

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1.

z z a a b b a b 4 a b a a b b

           

Suy ra P 2z₁z₂ 2.

Dạng

3

. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Bài tập 1: Cho , ,A B C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4 3 , 1 2 , i



 i i



1

i. Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là

A. z  6 4 .i B. z  6 3 .i C. z 6 5 .i D. z 4 2 .i Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

A là điểm biểu diễn của số phức 4 3i nên ^A



^{4; 3 .}



B là điểm biểu diễn của số phức



^{1 2 i i}



^{  2 i nên B}



^{2;1 .}



C là điểm biểu diễn của số phức 1

i i nên ^C



^{0; 1 .}



Điều kiện để ABCD là hình bình hành là  AD BC

 

6 6; 5 6 5 .

5

D A C B D C A B

D A C B D C A B

x x x x x x x x

D z i

y y y y y y y y

      

 

              

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh , ,A B C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z₁ 2 i z, ₂  1 6 ,i z₃ 8 .i Số phức z₄ có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giácABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. z₄ 3 2 .i B. z₄ 5.

C.

 

z4 ²13 12 . i D. z₄ 3 2 .i Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: ^A



^{2; 1 ,}

 

^{B 1;6 ,}

  

^{C 8;1 .}

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

 

3;2 4 3 2 4 3 2 .

G z i z i

      

Bài tập 3: Cho các số phức z z₁, ₂ thoả mãn z₁ 3, z₂ 4, z₁z₂ 5. Gọi ,A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z₁, ₂ trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của OAB (với O là gốc toạ độ) là

A. S 5 2. B. S 6. C. 25 2 .

S  D. S 12.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có: z₁ OA3, z₂ OB4, z₁z₂ AB5

 OAB vuông tại O (vì OA²OB² AB²)

1 1

. .3.4 6.

2 2

S_OAB OA OB

   

Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức zthỏa mãn 1 2 ? z i z

z i z

   



 



A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Đặt ^{z x yi x y  , ,}



^



^.

Ta có hệ phương trình:

   

 

2 2

2 2

2 2 2 2

1 1

2 1.

x y x y

x y

x y x y

     

   

    



Do đó z 1 i nên có một số phức thỏa mãn.

Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện .z z z 2 và z 2?

A. 2. B. 3. C.1. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có: z z z.   2 z²    z 2 z 4 2.

Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn

 

C1 :x²y²4 và

  

C2 : x4



²y²4.

Vì I I_{1 2}R₁R₂ (I I₁, ₂ là tâm của các đường tròn

   

C1 , C2 ) nên

 

C1 và

 

C2 tiếp xúc nhau).

Suy ra: Có một số phức zthỏa mãn yêu cầu.

Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ^{z z}



^{   6 i}



²ⁱ



^{7i z}



^?

A. 2. B. 3. C.1. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức .z

Đặt z  a 0,a, khi đó ta có



⁶



²



⁷



z z   i i i z



⁶



²



⁷



a z i i i z

     



^{a 7 i z}



^{6a ai 2i}

     



^{a 7 i z}



^6a



^{a 2}



ⁱ

     



^{a 7 i z}



^6a



^{a 2}



ⁱ

     



^{a 7}



^{2 1 a2 36a2}



^{a 2}



³

 

      

   

4 14a3 13a2 4a 4 0 1 3 13a2 4 0.

a a a

          

Hàm số ^{f a}

 

^a313a2



^a0



có bảng biến thiên:

Đường thẳng 4y  cắt đồ thị hàm số ^{f a}

 

tại hai điểm nên phương trình a³13a² 4 0 có hai nghiệm khác 1 (do ^f

 

^{1 0}). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn ^z



^{2m  1}



^{i 10 và z    1 i z 2 3 ?i}

A. 40. B. 41. C.165. D.164.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Giả sử ^{z x yi x y }



^{, }



^{và M x y}

 

^, là điểm biểu diễn số phức .z Ta có: ^z



^{2m  1}



^{i 10 z}



^{2m 1}



^{i2 100}



^{2 1}



²



¹



^{2 100.}

x m y

      

Khi đó điểm biểu diễn số phức znằm trên đường tròn

 

^{C có tâm I}



^{2m1;1 ,}



^{bán kính} R10.

Lại có ^{z    1 i z 2 3i }



^{x 1}

 

^y1



^i2



^{x  2}

 

^{3 y i}



²



^{x 1}

 

^{2 y 1}

 

^{2 x 2}

 

^{2 3 y}



^{2 2x 8y 11 0.}

           

Khi đó điểm biểu diễn số phức zcũng nằm trên đường thẳng : 2x8y 11 0

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng  cắt đường tròn

 

^C tại 2 điểm phân biệt.

Tức là

   

2 2

2 2 1 8 11 5 20 17 5 20 17

, 10 10 .

4 4

2 8

d I    m       m 



Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5: Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn z₁ 3,z₂ 4,z₁z₂  37. Hỏi có bao nhiêu số zmà ¹

2

z ?

z a bi

 z  

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Đặt z1 x yi z, 2 c di x y c d



, , , 



. Ta có:

2 2

1 3 9;

z  x y 

2 2

2 4 16;

z  c d 

2 2 2 2

1 2 37 2 2 37 6.

z z  x y  c d  xc yd  xc yd   Lại có:

1

2 2 2 2

2

3 .

8 z x yi xc yd yc xd

i bi

z c di c d c d

  

     

   Suy ra 3

8. a 

Mà ^{1 1 2 2 2 2 2 2}

2 2

3 9 9 27 3 3

4 16 16 64 8

z z a b a b b a b

z  z              Vậy có hai số phức zthỏa mãn.

Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn .z z1 và z- 3+ =i m. Số phần tử của S là

A. 2. B. 4. C.1. D. 3.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Dễ thấy m0.

Đặt z a bi a b  ; , ta có hệ phương trình.

   

2 2

2 2 2

1

3 1

a b

a b m

  



   



Phương trình a²b²1là đường tròn tâm ,O bán kính R1.

Phương trình



^{a 3}



^{2 }



^{b 1}



^2m2 là đường tròn tâm ^I



^{3; 1 ,}



^{bán kính R m .}

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

Hệ phương trình

   

2 2

2 2 2

1

3 1

a b

a b m

  



   

 có nghiệm duy nhất

Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

1 1 2 1

3

OI m m m

m

 

         (thỏa mãn m0).

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.

Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức zthỏa mãn z 1 và z z 1.

z z

A. 3. B. 4. C. 6. D. 8.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Đặt ^{z a bi a b  , ,}



^



^{. Ta có}

2 2 1 2 2 1.

z  a b  a b 

  

²



²

2 2

2 2

2 2 2 1.

.

a bi a bi

z z z z

a b

z z z z z

  

      

Ta có hệ:

2 2

2 2

2 2 2 2

1 1

2 2 1 1

2 a b a b

a b a b

  

  

 

     

 

 

hoặc

2 2

2 2

1 1 2 a b a b

  

   



2

2

3 4 1 4 a b

 

  



hoặc

2

2

1 34 . 4 a b

 

 



Suy ra

 

^{; 1; 3 ; 1; 3 ; 3; 1 ; 3; 1 .}

2 2 2 2 2 2 2 2

a b                      Vậy có 8 cặp số

 

^{a b;} do đó có 8 số phức thỏa mãn.

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức 1. Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết.

Cho trước các điểm cố định I F F F F, , ;1 2 1 2 2c c



0



Tập hợp các điểm M thoả mãn ^{MIR R}



^0



^là

đường tròn tâm I bán kính .R

Tập hợp các điểm M thoả mãn

 

1 2 2

MF MF  a a c là elip có hai tiêu điểm là F F₁, .₂

Tập hợp các điểm M thoả mãn MF₁MF₂ là đường

Bài tập:

Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn

2 5 4

z  i  là đường tròn tâm



^{2;5 ,}



I  bán kính R2.

trung trực của đoạn thẳng F F_{1 2}.

2. Bài tập

Bài tập 1: Xét các số phức z thỏa mãn



^{z6 8}

 

^{z i.}



là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của zlà một đường tròn, có tâm

 

^;

I a b và bán kính .R Giá trị a b R  bằng

A. 6. B. 4. C.12. D. 24.

Chú ý:

Trong mặt phẳng Oxy,



^{x a}

 

^{2 y b}



^{2 R2 là}

phương trình đường tròn có tâm ^{I a b}

 

^{; và bán}

kính R0. Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt ^{z x yi x y} 



^, 



^.

Vì



^{z6 8}

 

^{z i.}



^



^{x 6}



^{yi } 



^{y 8}



^xi là số thực nên



⁶

 

⁸



⁰



³

 

^{2 4}



^{2 25.}

x x y y   x  y 

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của zlà đường tròn có tâm ^I



^{3; 4 ,}



^{bán kính R5.}

Vậy a b R  4.

Bài tập 2: Cho số phức zthỏa mãn z   3 z 3 10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức zlà A.Một parabol.

B.Một đường tròn.

C.Một elip.

D.Một hypebol.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi ^{z x yi x y }



^{, }



^{thì z   3 z 3 10}



^{x 3}



^{yi }



^{x 3}



^{yi 10(*)}

Gọi M là điểm biểu diễn số phức zvà các điểm F1

  

3;0 ,F2 3;0 .



Dễ thấy F F_{1 2}  6 2c Khi đó: z   3 z 3 10MF₁MF₂ 10 2 . a

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức zlà elip có hai tiêu điểm F F₁, ₂, độ dài trục lớn là 2a10

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z 10 và ^w



^{6 8 i z}

 

^{ 1 2i}



^2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

A. ^I



^{ 3; 4 .}



^{B. I}

 

^{3; 4 . C. I}



^{1; 2 .}



^{D. I}

 

^{6;8 .}

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có



^{6 8}

 

^{1 2}



²

w  i z  i



^{3 4}

 

^{6 8}



w i i z

     



^{3 4}



^{62 82}

w i z

     



^{3 4}



^10.10



^{3 4}



¹⁰⁰

w i w i

         

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức wlà đường tròn

 

^{C có tâm I}



^{ 3; 4 .}



Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn z 1 2i   z 1 2i là đường thẳng có phương trình

A. x2y 1 0. B. x2y0.

C. x2y0. D. x2y 1 0.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Đặt ^{z x yi x y }



^{, }



^{  z x yi.}

Gọi ^{M x y}

 

^; là điểm biểu diễn của số phức .z Ta có: z 1 2i   z 1 2i

1 2 1 2

x yi i z yi i

       



^{x 1}

 

^{y 2}



ⁱ



^{x 1}

 

^{2 y i}



       



^{x 1}

 

^{2 y 2}



²



^{x 1}

 

^{2 2 y}



²

       

2 2 1 2 4 4 2 2 1 2 4 4

x x y y x x y y

            2 0.

x y

  

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức zthỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x2y0.

Bài tập 5. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những  điểm M(z) thỏa mãn điều 2 z  i z  là 

A.Đường thẳng 4x 2y 3 0   B.Đường thẳng 4x 2y 3 0   A.Đường thẳng x 2y 3 0   D.Đường thẳng x 9y 3 0  

Hướng dẫn giải   Chọn A 

Cách 1.  Đặt z x yi; x, y 







.là số phức đã cho và ^{M x; y}

 

là điểm biểu diễn của z trong  mặt phẳng phức 

Ta có  ^{z 2   i z}



^{x 2}



^{yi  x}



^{y 1 i}



^



^{x 2}



^{2y2  x2}



^{y 1}



²

4x 2y 3 0

     . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x 2y 3 0     Cách 2.   ^{z 2}     ^{i z z}

 

²  ^{i z *}

 

 

Đặt  z x yi; x, y 







.là số phức  đã cho và  ^{M x; y}

 

^{là  điểm biểu diễn của z trong mặt} 

phẳng phức, Điểm A biểu diễn số ‐2 tức A



2; 0



và điểm B biểu diễn số phức i tức B 0;1

 

  Khi  đó 

 

^{* MA MB . Vậy tập  hợp  điểm  M cần  tìm  là  đường  trung  tực  của AB:} 

4x 2y 3 0   . 

Bài tập 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều 

kiện  z 2i   z 1 i  là 

A.Đường thẳng x y 3 0   B.Đường thẳng x 2y 3 0   A.Đường thẳng x 2y 3 0   D.Đường thẳng x y 1 0  

Hướng dẫn giải  Chọn D  

Giả sử z x yi (x, y  ), điểm ^{M x; y}

 

 biểu diễn z. Theo bài ra ta có: 

     

²

 

²

  

²



²

x y 2 i x 1 y 1 i x y 2 x 1 y 1

4y 4 2x 2y 2 x y 1 0

            

        

Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x y 1 0   . 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x y 1 0   .  Bài tập 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều  kiện 5 1 i z 3 2i

 

   



1 7i z i



  là 

A.Đường thẳng B.Đường tròn

A.Đường elip D.Đường Parabol

Hướng dẫn giải  Chọn A 

Nhận thấy 5 1 i 5 2 1 7i Ta có 5 1 i z 3 2i

 

   



1 7i z i





 

^{3 2i i}

5 1 i . z 1 7i . z

5 5i 1 7i

3 2i i 1 1 7 1

z z z i z i

5 5i 1 7i 10 2 50 50

      

 

          

 

Vậy tập hợp M là đường trung trực AB, với A ^{1 1}; , B ⁷ ; ¹ 10 2 50 50

   

   

   . 

Bài tập 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều  kiện  z z 3  4 là 

A.Hai đuờng thẳng x ¹

2, x ⁷

 2 B.Hai đuờng thẳng x ¹

 2, x ⁷

 2 A.Hai đuờng thẳng x ¹

2, x ⁷

2 D.Hai đuờng thẳng x ¹

 2, x ⁷

2 Hướng dẫn giải 

Chọn A 

Đặt z x yi, x, y 







Lúc đó: 

2

2

z z 3 4 x yi x yi 3 4 2x 3 4 4x 12x 9 16 x 1

4x 12x 7 0 2 x 7

2

               

 

     

  



Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng x= ; x^{1 7}

2  2 song song với trục tung.  

Bài tập 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều  kiện  z z 1 i   2 là 

A.Hai đuờng thẳng  y ^{1 3}; y ^{1 3}

2 2

 

  B.Hai đuờng thẳng  y ^{1 3}; y ^{1 3}

2 2

 

 

A.Hai đuờng thẳng  y ^{1 5}; y ^{1 3}

2 2

 

  D.Hai đuờng thẳng  y ^{1 5}; y ^{1 3}

2 2

 

 

Hướng dẫn giải  Chọn B 

 Đặt z x yi, x, y 







Lúc đó: 

 

 

^{2 2 2}

2

z z 1 i 2 x yi x yi 1 i 2 1 2y 1 i 2 1 2y 1 2 1 4y 4y 1 4 4y 4y 2 0

1 3

y 2

2y 2y 1 0

1 3

y 2

              

            

  



    

  



Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng  y ^{1 3}; y ^{1 3}

2 2

 

   song song với trục hoành.  

Bài tập 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều 

kiện 2 z 1   z z 2 là 

A.Hai đuờng thẳng x 0 , y 0 . B.Hai đuờng thẳng x 0 , y 2. C.Hai đuờng thẳng x 0 , x 2. D.Hai đuờng thẳng x 2 , y 2.

Hướng dẫn giải  Chọn C 

Gọi ^{M x; y}

 

 là điểm biểu diễn số phức z x yi  , 



^{x, y}



 ^{thỏa 2 z 1   z z 2}

 

 

^{2 2}

   

^{2 2 2}

2 x yi 1 x yi x yi 2 2 x 1 yi 2 2yi 2 x 1 y 2 2y x 2x 0 x 0

x 2

             

             

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là hai đường