Biến đổi và tính giá trị biểu thức mũ - lôgarit, biểu diễn lôgarit qua các lôgarit cơ số khác nhau - TOANMATH.com

BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LÔGARIT BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU

PHƯƠNG PHÁP

Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit.

Ngoài ra, ta còn cần sử dụng các công thức lũy thừa đã học.

 ^a01,



^{a0 .}





 

^{a 1a}



 

^{a 1}

a





 



 

 

^a

 

^a

a



 



 



     

^{a . b   a  }



     

^{a . b   a b. }



 

 

^{a a ,}



^{b 0}



b b

 

     



 

^{a  }

 

^{a ,}



^^*





 

^{a  }

^{ }

^{a }



 

a ^   b  log_ab

 ^{log 1 0, 0}a 



 a ¹



 ^logaa^{1, 0}



 a ¹



 ^logaa^ ^{, 0}



 a ¹



 ^log_a^{ a}_^{1, 0}



^{ a 1}



 .^logab^ ^{.log , ,}ab a b



^0,a¹



.

 1

log_a b .log_ab

 

 log_a b .log_ab

 

 ^logab^logac^loga

  

bc ^, b c^, ^0,a¹



.

 ^loga ^loga ^loga ^,



^{, 0, 1}



b c b b c a

c

        .

 log 1

a log

b

b a ,



^{a b, 0,a1}



^.

Câu 1. Cho , , a b clà các số thực dương thỏa mãn a^{log 73} 27, b^{log 117} 49, c^{log 2511}  11. Giá trị của biểu thức T a^{log 723} b^{log 1127} c^{log 25112} bằng

A. 467. B. 469. C. 468. D. 465.

Lời giải Chọn B

Có ^{T }



^{alog 73}



^{log 73 }



^{blog 117}



^{log 117 }



^{clog 2511}



^{log 2511 }

^{ }

^{27 log 73 }

^{ }

^{49 log 117 }

 

^{11 log 2511 .}

Áp dụng a^logabb, ta được

     

     

   

3 3 3

7 7 7

11

11 11

3 log 7

log 7 3 log 7 3

2 log 11

log 11 2 log 11 2

log 25

1 1 1

log 25 2 log 25 2 2

27 3 3 7 343

49 7 7 11 121

11 11 11 25 25 5

    



   



  

     

  

 Vậy T343 121 5 469   .

Câu 2. Cho , , a b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4^a25^b10^c. Tính c c. T  a b

A. 1

T 10 B. 1

T 2 C. T 2 D. T  7

Lời giải Chọn C

Giả sử

4 25 10

log

4 25 10 log .

log

a b c

a t

t b t

c t

 

    

 

Do , , a b c là các số thực khác 0 nên t0,t1.

Ta có ^{10 10} _{10 10}

4 25

log log log 4 log 25

log 4 log 25 log log log 10 log 10

t t

t t

t t

c c

T   a b t  t    

 

10 10

log 4.25 log 100 2.

  

Câu 3. Cho các số thực dương x y z, , theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương a1 thì log , log_ax _a y, log3_a z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức

3x 7y 2020z P y  z  x bằng

A. 2029. B. 2030. C. 2031. D. 2033.

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết ta có

 

3

2 2 2

3 4 3 4 0.

loga log a 2 log a loga . loga

xz y

xz y xz y

x y z

x z y x z y xz y

     

      

      

  

 

3 7 2020

3 7 2020 2030.

x y z

P y z x

       

Câu 4. Cho xlog 3₂ , ylog 337₂ . Từ đó hãy tính giá trị của biểu thức

1 2 3 2021

ln ln ln ... ln

2 3 4 2022

ln1348 P

    

 theo x y, .

A. 1

2 P x y

y

  

 ^{. B.}

1 2 P x y

y

   . C.

2 P x y

y

  . D. 1

2 P x y

y

   

 ^. Lời giải

Chọn A

1 2 3 2021

1 2 3 2021 ln ln ln ... ln

ln2 ln3 ln4 ... ln2022 2 3 4 2022

ln1348 ln1348

P

 

    

      

 

 

 

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

ln20221 ln 2022 log 2022 log 2.3.337 log 2 log 3 log 337 1 .

ln1348 ln1348 log 1348 log 2 .337 log 2 log 337 2

x y y

    

     

 

Câu 5. Cho ,a b là hai số thực dương thỏa mãn: logb 1011 và log²a4log²b4log .loga b. Giá trị của biểu thức



²



3033 log log 2021 log 9

a b

L a b

 

   bằng

A. 5

L 2. B. L3. C. 3

L 4. D. 3 L2. Lời giải

Chọn D

Ta có log²a4 log²b4 log .loga b

log²a4log²b4log .loga b0^



^loga2logb



^{2  0 loga2logb a b2.}

Vậy

   

2

2 2 2

3033 log log 3033 log log 2021 log 9 2021 log 9

a b b b

L a b b b

   

 

   

 

 

3. 1011 log

3033 3log 3.

2022 2log 2. 1011 log 2 b b

b b

 

  

 

Câu 6. Cho x y m, , là ba số thực dương khác 1 và x y thỏa mãn 3 1 ₂ 1 ₂ log^m 4 log_x log_y

x y

m m

   .

Khi đó biểu thức

2 2

2

4

( )

x xy y

P x y

 

  có giá trị bằng:

A. 25

P 8 . B. 25

P100. C. 59

P50. D. 59 P 5 . Lời giải

Chọn C

Ta có: 3 1 ₂ 1 ₂

log^m 4 log_x log_y x y

m m

   log 3 log log

m 4 m m

x y x y

  

 

²

3 4 3 16

x y xy x y xy

      ^{x210xy9y2 0}



^{x y x}



^9y



^0

9 x y

  do



^{x y}



Như vậy:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 81 36 118 59

( ) (9 ) 100 50.

x xy y y y y y

P x y y y y

   

   

 

Câu 7. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 log 2a 3 log3blog6



a b



. Tính giá trị của 1 1

a b .

A. 2. B. 108. C. 216. D. 324.

Lời giải Chọn B

Đặt log₂a x , log₃b y. Ta có a2 ,^x b3^y và 2     x 3 y y x 1;

 

²

log6 a b     2 x a b 6 ^x 36.6^x.

Khi đó 1 1 36.6 36.6₁ 108.6

. 2 .3 2 .3 2 .3 108

x x x

x y x x x x

a b

a b a b ^

       .

Câu 8. Cho log 5₂₇ a, log 7₃ b, log 3₂ c. Tính log 35₆ theo a, b, c. A.



³



1 a b c

c



 . B.



³



1 a b c

b



 . C.



³



1 a b c

a



 . D.



³



1 b a c

c



 . Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết ta có log 5₂₇ 1log 5₃ log 5 3₃

a 3 a a

     .

Ta lại có log 5 log 3 log 5 3ac₂  ₂  ₃  và log 7 log 3 log 7₂  ₂  ₃ bc.

Vậy _{2 2 2}

 

6

2 2 2

log 35 log 5 log 7 3 3 log 35

log 6 log 2 log 3 1 1

a b c ac bc

c c

  

   

   ^.

Câu 9. Cho , ,a b c0; ,a b1. Tình Alog ( ).log (_a b² _b bc) log ( ) _a c

A. log_ac. B. 1. C. log_ab. D. log_abc. Lời giải

Chọn C Ta có

log ( ).log (_a 2 _b ) log ( )_a

A b bc  c .

   

2log . log1 log

ab2 b bc a c

  ^{log . log}ab



bb^logbc



^loga

 

c .

 

log . 1 log_ab _bc log_ac

   log_ablog .log_ab _bclog_ac. log_ab log_ac log_ac log_ab

    .

Câu 10. Cho x, y và z là các số thực lớn hơn 1 _{và gọi} w là số thực dương sao cho log_x2 w15, log_zw20 và log_xyzw15. Tính log_yw.

A. 60. B. 60. C. 1

60^{. D.}

1

60. Lời giải

Chọn A

Ta có log_x2w15log_xw30 1 log^wx 30

  .

log_zw20 1 log^wz 20

  .

Lại do log_xyzw15

1

 

log 15

w xyz

  .

log log log 1

15

w x w y w z

    1 1 1

30 20 log^w y 15

    1

log^w y 60

   log_yw 60. Câu 11. Cho log 5₉ a, log 7₄ b và log 3₂ c. Biết log 175₂₄ mb nac.

pc q

 

 với , , ,m n p q và q là số nguyên tố. Tính A mnpq .

A. 24. B. 42. C. 12. D. 8.

Lời giải Chọn A

Ta có

9 3

log 5 a log 5 2 . a

4 2

log 7 c log 7 2 . b

log 32 c

2 2 3

log 5 log 3.log 5 2ac 

Khi đó ₂₄ ²

2

log 175 log 175

log 24



 

 

2 2

3 2

log 7.5 log 2 .3

 ² ₃ ^{2 2}

2 2

log 7 log 5 log 2 log 3

 

 ² ₂ ²

log 7 2log 5 3 log 3

 



2 4 3 b ac

c

 

 ^.

Suy ra 2 4. 1 3 m n

p q

 

 

 

 

Do đó A m n p q . . . 2.4.1.3 24.

Câu 12. Cho alog 3₂ , blog 5₃ và clog 15₁₁ . Biết log 120₆₆ mc nac pabc a c ab ac

 

    ^{với , ,m n p.} Tính T   m n p.

A. T5. B. T3. C. T1. D. T7. Lời giải

Chọn A

Ta có log 5 log 3.log 5₂  _{2 3} a b. .

 

2 2 15 2 2 2

11 11

1 1

log 11 log 15.log 11 log (3.5) . (log 3 log 5). .

log 15 log 15

a ab c

     

Do đó

 

 

3

2 2 2 2

66

2 2 2 2

log 2 .3.5

log 120 3 log 3 log 5

log 120

log 66 log 2.3.11 1 log 3 log 11

 

  

  .

3 3 .

1

a ab c ac abc a ab a c ab ac

a c

   

        Suy ra:

3 1 .

1 m n

p

 

 

 

Vậy T 5.

Câu 13. Cho log 5₂₇ a,log 7₃ b,log 3₂ c, nếu biểu diễn

 

log 356 xa yb c m nc

 

 thì giá trị của biểu thức

2 2 3 2

P x y  m n bằng bao nhiêu?

A. .P7.. B. P8. C. P0. D. P2.

Lời giải Chọn B

Ta có log 35 log 5 log 7₆  ₆  ₆

 

5 5 7 7

1 1

log 2 log 3 log 2 log 3 1

 

 

Từ giả thiết: log 5₂₇ a; log 3₂ c log 5 3a3

  log 5 log 3.log 5 3ac₂  _{2 3}  , log 7 log 3.log 7₂  _{2 3} bc. Do đó,

 

6

1 1

1 log 35

1 1 1 1

3ac 3a bc b

  

 



³



3

1 1 1

a b c ac bc

c c c

   

   ^.

3; 1; 1; 1

x y m n

     .

Vậy P x ²y²3m² n 8.

Câu 14. Cho các số thực ,a b thỏa mãn a b 1 và 1 1

log_ablog_ba  2021. Tìm giá trị của tham số

thực m để giá trị biểu thức 2022

log_ab log_ab

m m

P b a .

A. m 2017. B. 2022

m 2017 . C. m 2020. D. Đáp án khác.

Lời giải Chọn B

Do a b  1 log_ab0, log_ba0, log_balog_ab.

Ta có: 1 1

2021 log log 2021

log_b log_a ^ab ^ba

a b    

Do đó, P²⁰²²m



^logba ¹



m



^{1 log} ab



²⁰²²m



^logba^logab



^{2022 *}

 

Mặt khác



^logba^logab

 

² ^logba^logab



² ⁴ 2021 4 2017  log_balog_ab 2017 Do vậy,

 

^{* 2022 2022 2017}

2017 2017

 m 

Câu 15. Gọi a là số thực sao cho 3 số alog 2021₃ , alog 2021₉ , alog 2021₈₁ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm công bội qcủa cấp số nhân đó.

A. 1

q2. B. q2. C. q3. D. 1 q3. Lời giải

Chọn A

Do 3 số alog 2021;₃ alog 2021;₉ alog 2021₈₁ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội qcủa cấp số nhân là:

9 3

log 2021 log 2021 q a

a

 



81 9

log 2021 log 2021 a

a

 



81 9

9 3

log 2021 log 2021 log 2021 log 2021

  



3

3

14log 2021 1 1log 2021 2 2

 

 .

Câu 16. Biết rằng b là số nguyên thỏa mãn



²

 

²



2 2

3 3

log a b a a a log 4 4 8

a a

b b

  

      

 

  . Số giá trị thực của a là

A. 3. B. 2. C. 5. D. 4.

Lời giải Chọn D

Điều kiện : 3 0 b

a b

 

 

 



 .

Từ giả thiết, ta có: ^log2^a_b^{3 } ^{b a a}



^{ 2}_b



^{ 3 a log 42}



^a24a8





2

 

²



2 2

3 3

log a log 4 4 8 b a a a

a a

b b

  

  

     

^log2^a_b^3^{log 42}



^{a2 a 2}



^^{2a a 2a}_b^{3 log2}^a_b^3^a_b^3log2



^{a2 a 2}



^{a2 a 2}. Nếu tồn tại cặp

 

^{a b;} thỏa mãn đề bài thì a 3 0

b

  .

Xét hàm số y f t

 

log2t t , là hàm số xác định và đồng biến trên



^{0 :}

  

^{1 .}

Do đó

 

^{1  f }^a_b^3^{ f a}



^{2 a 2}



.

 

2 2

3 2 1 2 3 0

a a a ba b a b

b

          

Phương trình ^{ba2 }



^{b 1}



^{a2b 3 0 2}

 

có nghiệm khi



^{b 1}



^{2 4 2b b}



³



⁰

     

2 7 2 14 7 2 14

7 14 1 0

7 7

b b   b  

       .

Vì b,b0 nên ^{b  }



^{2; 1}



^.

Nếu b 2 thay vào

 

^{2 ta có:} 1; ¹ a   2

 .

Nếu b 1 thay vào

 

^{2 ta có: a  }



^{1 2; 1  2}



^.

Vậy có 4 giá trị a thỏa mãn bài toán.

Câu 17. Biết rằng a b, là hai số thực dương và thỏa mãn đẳng thức



^{2021a b 12021a 2b 1}

 

^{. 20213a 4b 320211 a b}



^{4.20212a 3b 2}. Tìm giá trị của biểu thức

3 3

2021 a b T   . A. 2022

T  2021. B. 2

T  2021. C. 1

T  2021. D. 4 T  2021. Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết :



^{2021a b 12021a 2b 1}

 

^{. 20213a 4b 320211 a b}



^{4.20212a 3b 2}

2021^{4a 5b 4}2021^{4a 6b 4}2021^b 1 4.2021^{2a 3b 2}

2021^2a2b22021^{2a 3b 2}2021^{ 2b 2a2}2021^{  2a 3b 2} 4

 

^{1 .}

Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

2021^{a b} 2021^{  b a} 2 2021^{a b} .2021^{  b a} 2 2021 2

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2021^{  a b} 2021^{a b} 2 2021^{  a b} .2021^{a b} 2 Suy ra 2021^2a2b42021^{2a 3b 4}2021^{ 2b 2a}2021^{ 2a 3b}4 Đẳng thức

 

1 xảy ra khi:

2 2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 2

2021 2021 2 2 2 2 2 2 1

1; 0

2 3 2 2 3 2 2 3 2

2021 2021

a b b a

a b a b

a b b a a b

a b

a b a b a b

    

    

           

     

          

  

 .

Vậy

3 3 1

2021 2021 a b

T    .

Câu 18. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn logx logylog xlog y 100 và logx, logy , log x, log y là các số nguyên dương. Khi đó kết quả xy bằng

A. 10¹⁶⁴. B. 10¹⁰⁰. C. 10²⁰⁰. D. 10¹⁴⁴. Lời giải

Chọn A

Đặt log log

a x

b y

 

 

 ^

2 2

log log

x a y b

 



  

2

2

10 10

a b

x y

 

 

 ^

2 2

10^{a b} xy ^ .

Ta có :

2

2 2

2

log log 10

2

log log 10

2

a

b

x a

y b

  



  



thỏa điều kiện

2

2 a và

2

2

b là các số nguyên dương .

Vậy a² và b² là các số chẵn dương . Do đó a và b là các số chẵn dương . Ta có : logx logylog xlog y 100

 a b log 10^a2 log 10^b2 100

 ^{2 2} 100

2 a b

a b    ^{a22a}



^{b22b200}



^0.(*)

Ta coi

 

^ là phương trình bậc 2, ẩn là a và tham số b. Do đó

 

^{ có   201b22b}

Để

 

^ có nghiệm    0  1 b 202 1 (Do b nguyên dương).

Như vậy b



1; 2;3;...;13



Mà b là các số chẵn dương nên b



2; 4;6;8;10;12



.

Vì a là số chẵn , dương với b



2; 4;6;8;10;12



, thay vào phương trình (*) ta có 8 10 b a

 

  ^hoặc 10

8 b a

 

  ^.

Vậy xy10^a2b2 10¹⁶⁴.

Câu 19. Cho các số thực x y z, , thỏa mãn 2x 1 3y 1 4z 1 15 và

2 3 1 3 4 1 4 2 1 30

3^{x y} 3 ^{y z} 3^{z x} 3 . Giá trị của x y z. . bằng

A. 288. B. 864. C. 1152. D. 576.

Lời giải Chọn D

Điều kiện 1; 1; 1.

2 3 4

x  y z

Ta có: ^152



^{2x 1 3y 1 4z1}



^{2 3. 2}

^

^{x 1 3y 1 4z 1}

^

^{3. 2}

^

^{x3y4z3}

^

Suy ra

152

2 3 4 3 72

x y z 3   .

Mặt khác, từ giả thiết và chứng minh trên, ta có

3

2 3 1 2 3 1

30 3 4 1 4 2 1 3 4 1 4 2 1

3 3 ^{x y} 3 ^{y z} 3 ^{z x} 3 3 ^{x y}.3 ^{y z}.3 ^{z x}

3 2 3 1 3 4 1 4 2 1 3 2 3 4 15 3 72 15 30

3. 3 ^{x y  y z  z x} 3 3 ^{x y z} 3. 3 ^ 3

   

Dấu “=” xảy ra khi ^{2 3 1 3 4 1 4 2 1}

2 1 3 1 4 1 12

3 3 3 8

2 3 4 72 6

x y y z z x

x y z x

y

x y z z

     

       

    

 

     



.

Ta được . .x y z12.8.6 576 .

Câu 20. Giả sử a, b là các số thực sao cho x³y³a.10^3zb.10^2z đúng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn ^log



^{x y}



^{z và log}



^x2y2



^{ z 1}. Giá trị của a b bằng

A. 29

2 ^{. B.}

31

 2 . C. 31

2 ^{. D.}

25

 2 . Lời giải

Chọn A

Ta có: ^x3y3



^{x y x}

 

^2y2



^{xy x y}



^



^{và xy 1}₂^_



^{x y}



^2



^{x2 y2}



^_

Từ giả thiết, ta có:

 

3 3 1 2 1

2 2 1

10 1

10 .10 10 10 .10

10 2

z

z z z z z

z

x y x y

x y

 



  

     

  

 .

Vì x³y³a.10^3zb.10^2z đúng với mọi số thực dương x, y, z nên

 

1 1 2 1 3z 2z

10 .10 10 10 .10 .10 .10 2

z z^  z z^ z a b , z

2z 1 1 3z 1 2z 1 3z 2z

10 .10 .10 .10 .10 ,

2 2 a b z

 

     

 

3z 2z

1 .10 15 .10 0,

a 2 b z

 

       1 0

2 15 0 a

b

  

 

  



1 2 15 a b

  

 

 

29. a b 2

  

Câu 21. Cho hàm số ₃ 1 ² 109

( ) log

2 4

f x x x x 

      . Tính

1 2 2020

2021 2021 ... 2021

T  f  f   f .

A. 4042. B. 4040. C. 3030. D. 6060.

Lời giải Chọn C

Ta có: 3

  

²



3 ²

1 109 109 1

(1 ) log 1 1 1 log

2 4 4 2

f x     x x  x    x  x x 

   

3 ² 3 ²

1 109 109 1

1 log log

2 4 4 2

f x  f x  x  x  x   x  x x 

2 2

3

1 109 109 1

log x 2 x x 4  x x 4 x 2

            log 27 3³ 

1 2 2020

2021 2021 ... 2021

T  f  f   f 

1 2020 2 2019 1010 1011

2021 2021 2021 2021 ... 2021 2021

f f f f f f

              

                3 3 ... 3 3.1010 3030.

     

Câu 22. Biết rằng 2^x1x log 142 



y2



y1 trong đó x0. Tính giá trị của biểu thức

2 2 1

P x y xy .

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có:

1 1 1

2 . 2 2^{x x} 4

x x

x x

     

 

¹

Lại có: 14



y2



y 1 14



y1



y 1 3 y1. Đặt t y 1 0.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{   t3 3 14t trên}



^0;



^{, ta có} _{ }

   

max0; 1 16

t f t f

   

 

14 y 2 y 1 16

     log 142 



y2



y14

 

²

Từ

 

^{1 và}

 

^{2 ta có:} 2^x1x log 142 



y2



y1 1 0 2

x P

y

 

    ^. Câu 23. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

₂ ² ₂₀₁₈

1 2

log 2017 log 2017 1 log 2017 log 2017

2 2

n a

a i i a a

i







  ^{, với 0 a 1.}

A. n2016. B. n2017. C. n2018. D. n2019. Lời giải

Chọn C

Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B.

Ta có 1_{2 2} 2₂

log 2017 log 2017

2 2

n

n na  n a .

Do đó 2₂ 4₄ 8₆ 2₂

log 2017 log 2017 log 2017 log 2017 ... log 2017

2 2 2 2

n

a a a a n a

A     

1 2₂ 4₄ 8₆ ... 2₂ log 2017

2 2 2 2

n n a

 

      

  .

Ta có : Dãy số 2 4 8_{2 4 6} 2₂ 1; ; ; ;...;

2 2 2 2

n

n lập thành một cấp số nhân với công bội 2₂ 1

2 2

q 

1 1

2 4 6 2 1

1 1

2 4 8 2 1 2 1

1 ... . 1. 2

2 2 2 2 1 1 1 2

2

n

n n

n n

u q q



    

  

         

  ^.

1

2 log 2017

2^{n a} A  

² log 2017_{2018 2018}1

log 2017 2log 2017 log 2017

2 2

a

a a a

B   

Từ đó 2 1 2 ₂₀₁₈1 2018

2ⁿ 2 n

      .

Câu 24. Cho x0. Biết biểu thức

 

 

2

2

1 1 1 3 3

4

1 1 1 3 3

4

x x

x x

A a

b





   

 

  

, với a

b là phân số tối giản. Tính giá trị của S a b  .

A. 2.3^x. B. 2.3^x. C. 2. D. 3^2x.

Lời giải Chọn A

Ta có ^11₄



^{3x 3x}



^{2  11}₄



^{32x 2 32x}



^{ 1}₄



^{32x  2 32x}



^{ 1}₄



^{3x 3x}



²

^1₂



^3x3x



Suy ra

 

 

 

 

2

2

1 1

1 1 4 3 3 1 2 3 3 3 3 2

1 3 3 2

1 1 3 3

1 1 4 3 3 2

x x x x

x x

x x

x x

x x

A

 



 



        

  

 

 

  

 

 

2 2

2 2

3 1

3 2.3 1 3 1

3 2.3 1 3 1 3 1

x x x x

x x x x

   

  

    (Vì x0 nên 3^x 1 0).

Vậy S   a b 2.3^x.

Câu 25. Cho ,a b là các số thực và hàm số

f x^{( )}a^log2021



x² ¹ x



bsin .cos 2020x

^

x

^

7. Biết rằng ^f



^{2020ln 2021}



^{12. Tính}

^{P f}



^{2021ln 2020}



^.

A. P4. B. P2. C. P 2. D. P10.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số g x

 

 f x

 

 ⁷ a^log2021



x² ¹ x



bsin .cos 2020x

^

x

^

Do x²    1 x x x 0 nên hàm số ^{g x}

 

có tập xác định D^.

Ta có:     x D x D và ^g

 

^{ x alog2021}

  

^{x 2  1}

 

^x



^bsin

^{ }

^{x .cos 2020.}

^{  }

^x

^

 

^log2021



^{2 1}



sin .cos 2020

^{ }

g x a x x b x x

     

 

^log2021 ₂ ¹ sin .cos 2020

 

g x a 1 b x x

x x

 

    

   

 

^log2021



^{2 1}



sin .cos 2020

^{ }

g x a x x b x x

      

   

g x g x

    . Vậy hàm số ^{g x}

 

là hàm số lẻ.

Lại có: 2020^{ln 2021} 2021^{ln 2020}



^{2020ln 2021}

 

^{2021ln 2020}



g g

   



^{2020ln 2021}



⁷



^{2021ln 2020}



⁷

f f 

       ^{12 7  f}



^{2021ln 2020}



^7



^{2021ln 2020}



²

 f   .

Câu 26. Cho hàm số ^{f x}

 

^{log 1 1}₂

x

 

   . Cho biểu thức Scó dạng

^{S  f}

 

^{2  f}

 

^{3  ... f}



²⁰²⁰



. Biết rằng tổng S được viết dưới dạng log a b

  

  với a

b ^{là phân} số tối giản và ,a b0. Khi đó giá trị của



^{b a}



^bằng

A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 4040

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{f x}

 

^{log 1 1}₂ ^{f x}

 

^{log x2}₂^{1 log}



^{x 1}



^log



^{x 1}



^2logx

x x

  

 

           Suy ra ta có:

 

 

 

 

 

 

2 log 3

3 log 4 2log 3

4 log 3 log 5 2lo

0 g 4

5 log 4 log 6 2log 5 ....

2019 log 2018 l

log1 2

2log 2019

2020 og 20 0

log 2 log 2

log 2020

log 2021 2 lo 2

19 g2

f f f f

f f

  

  

  

 

 



  



Suy ra 2021

log1 2log 2 log 2 log 2020 log 2021 2 log 2020 log

S       4040

Như vậy suy ra 2021

4040 2021 2019 4040

a b a

b

      

  Câu 27. Cho

 

^{2  2}

1 1

1 1

e ^{x x} f x

 

  . Biết rằng ^f

     

^{1 .f 2 .f 3 ...f}



²⁰¹⁷



^{emn với m, n} là các số tự nhiên và m

n tối giản. Tính m n ².

A. m n ²  1. B. m n ²1. C. m n ²2018. D. m n ²  2018. Lời giải

Chọn A

 

   

 

 

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1

1 1 1 1

x x

x x x x

x x x x x x

     

  

   .

 

^{2  2  }

1 1 1 1

1 1 1

e e

x x

x x x x

f x

   

 

  ,  x 0.

Xét dãy số

 

uk :

 

   

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1

k

u k k

k k k k k k

       

   ,



^k_^*



^.

Ta có ₁ 1 1 1 1 2

u    , ₂ 1 1 1 2 3

u    , ₃ 1 1 1 3 4

u    , …, ₂₀₁₇ 1 1 1 2017 2018

u    .

      

^{1 . 2 . 3 ... 2017}



^{eu u1 2 u3 ... u2017}

f f f f  ^{   } .

2

1 2 3 2017

1 1 2018 1

... 2017

1 2018 2018 u u u u m

n

          .

Vậy m n ² 1.

Câu 28. Cho dãy số 11 11 11

 

2

log 2.log 3....log 1

n 2 n

u n

 với số tự nhiên n1. Số hạng nhỏ nhất của dãy số có giá trị làm. Hỏi có bao nhiêu số hạng của dãy số cùng đạt giá trị là m

A. 1. B. 2. C. 3. D. 8.

Lời giải Chọn B

Xét ba số hạng liên tiếp sau đây:

     

11 11 11 11 11 11 11 11 11

1 2 2 1 2

log 2.log 3....log log 2.log 3....log 1 log 2.log 3....log 2

; ; ;

2 2 2

n n n n n n

n n n

u _ u  u _ 

  

Để số hạng u_n nhỏ nhất thì

   

   

11 11 11 11 11 11

1 2 2

11 11 11 11 11 11

2 1 2

log 2.log 3....log log 2.log 3....log 1

2 2 ;

log 2.log 3....log 1 log 2.log 3....log 2

2 2 ;

n n n n

n n n n

n n

u u

n n

u u







   

  

   



 

 

 

 

11

2 11 4 4

11 11

2

log 1

1 log 1 4

2 11 2 11 1

log 2 log 2 4

1 2

n

n n

n n



 

   

 

      

   

  



Suy ra có hai giá trị nguyên dương của n thỏa mãn, ứng với hai số hạng của dãy số cùng đạt giá trị nhỏ nhất, tương ứng là

4 4

11 1 11 2 n

n

  

  



Câu 29. Lần lượt gọi , , ,a b c dlà các số nguyên dương thỏa mãn 3

log^ab 2 và 5

log^cd 4; Khi a c 9 thì b d bằng

A. 80. B. 93. C. 50. D. 97.

Lời giải Chọn B

Ta có:

3

2 3

2

5 4 5

4

log 3 2 log 5

4

a

c

b b a b a

c d

d c d

  

   

  

  

 

   



Đặt

2 3 6

4 5 20

b a m m k

c d n n l

    

 

 

  

 

  với m n k l Z, , ,  ^

2

2 3 6 3

4 5 20 4

5

a k b a k b k

c d l c l

d l

 

    

 

 

   

 

 



Suy ra

2 4

3 5

9 (*) (**) a c k l b d k l

    

   

 . Từ ^(*)



^{k l 2}



^{k l 2}



^9

Do ^{m n k l Z, , ,   }



^{k l 2}

 

^{, k l 2}



^Z

Do k l ² 0 nên suy ra

2

2 2

2 2

0 ;

k l k l k l

k l k l

  

   

   



Suy ra phương trình



²



²



²2 ²

1 5 5

(*) 9 4

9 2

0

k l k k

k l k l l

k l l

l

 

     

           

Từ đó suy ra (**)  b d k³  l⁵ 5³ 2⁵93

Câu 30. Chọn hai số ,a b đôi một khác nhau bất kì trong tập hợp sau đâyA



2; 2 ; 2 ;...; 2^{2 3 25}



. Tính xác suất để log_ab là 1 số nguyên

A. 31

300^{. B.}

7

60^{. C.}

37

300^{. D.}

11 100^. Lời giải

Chọn A Cách 1:

Ta có: A



2; 2 ; 2 ;...; 2^{2 3 25}



suy ra A có 25 phần tử Do log_ab là 1 số nguyên nên suy ra b a

Như vậy a có 25 cách chọn và bcó 24 cách chọn tức ⁿ

 

^{ 25.24 600 cách}

Đặt 2

2

m n

a b

 

 

 . Suy ra

   

 

2

log 2 log 2

log log 2 ;log

log 2 log 2

m

n n

a m a

n n n

b b Z Z

m m m

      

Khi m1 thì n có 24 cách chọn Khi m2 thì n có 11 cách chọn Khi m3 thì n có 7 cách chọn Khi m4 thì n có 5 cách chọn Khi m5 thì n có 4 cách chọn Khi m6 thì n có 3 cách chọn Khi m7 thì n có 2 cách chọn Khi m8 thì n có 2 cách chọn Khi m9 thì n có 1 cách chọn Khi m10 thì n có 1 cách chọn Khi m11 thì n có 1 cách chọn Khi m12 thì n có 1 cách chọn

Như vậy tổng biến cố thỏa mãn đề bài là:

 

24 11 7 5 4 3 2 2 1 1 1 1 62 n A              cách Như vậy xác suất cần tìm là

 

 

^{25.2462 30031}

P n A

 n  

 .

_______________ TOANMATH.com _______________