20 đề ôn tập kiểm tra giữa học kỳ 2 Toán 11 có đáp án và lời giải

(1)

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II Môn: TOÁN 11 – ĐỀ SỐ 01

Thời gian làm bài: 90 phút, không tính thời gian phát đề I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm)

Câu 1: Hàm số 1

( 1)( 1) y= x x x

+ − liên tục tại điểm nào dưới đây?

A. x=0. B. x=1. C. x= −1. D. x=2. Câu 2: Cho hàm số ( ) 1

y f x 2

= = x

− . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. Hàm số f liên tục trên . B. Hàm số f liên tục trên

( )

1;3 . C. Hàm số f gián đoạn tạix=1. D. Hàm số f gián đoạn tại x=2.

Câu 3: Cho ba dãy số

( ) ( ) ( )

u_n ^, v_n ^, w_n thỏa mãn limu_n =2,limv_n = −6,limw_n =4. Giá trị của lim .

w^{n n}_n u v bằng

A. 7. B. −7. C. −3. D. 3.

Câu 4: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.Hãy phân tích vectơ AC′

theo các  AB AD,

và AA′ A.    AC′= AB AD AA+ + ′.

B.    AC′= AB AD AA+ − ′. C. AC′= −  AB AD AA− − ′. D. AC′= −  AB AD AA− + ′. Câu 5: Giá trị của

lim 2 15 x_→ x− bằng

A. 10. B. 0. C. 3. D. 9.

Câu 6: Giá trị của lim ²⁰²⁰

x x

→−∞ bằng

A. +∞. B. 0. C. −∞. D. 1.

( ) ( ) ( )

u_n , v_n , w_n thỏa mãn limu_n =2, limv_n = −6 và lim w_n =4. Giá trị của

( )

lim u v_n+ −_n w_n bằng

A. 0. B. −4. C. −8. D. −12.

Câu 8: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.Các vectơ nào dưới đây đồng phẳng?

A.  AB AD,

vàAC'.

B.  AC A B, ' '

vàA D' . C.  AB AC,

vàA D' '.

D.  AA AD',

vàA C' '.

Câu 9: Cho hai hàm số f x

( )

, g x

( )

thỏa mãn

( )

lim1 3

x f x

→ = − và

1

( )

lim .

x g x

→ = −∞ Giá trị của lim₁

( ) ( )

.

x_→ f x g x  bằng

A. 3. B. −∞. C. +∞. D. −3.

Câu 10: lim ¹

2 1n+ bằng

A. −∞. B. −1. C. 1. D. 0.

Câu 11: Cho dãy số

 

un thỏa mãn limu_n 3. Giá trị của ^lim



³un ⁴



bằng

A. 8. B. 3. C. 0. D. 5.

A'

D'

C'

B' A

D B

C

(2)

Câu 12: Trong không gian, hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?

A. . B. . C. . D.

Câu 13: Trong không gian cho hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau. Gọi hai vectơ u₁ và u₂ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của d₁ và d₂. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. u u _{1 2}. =0

B. Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂bằng 90°

C. Hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông.

D.

(

^{u u}^{ }¹^; ²

)

^{= °}⁹⁰

( )

u_n thỏa mãn lim

(

u_n+ =5 0

)

. Giá trị của limu_n bằng

A. 1 B. 5 C. −5 D. 0

Câu 15: Cho hàm số f x g x

( ) ( )

, thoả mãn lim₁

( )

2

x_→ f x = , lim₁

( )

¹

4

x g x

→ = . Giá trị của lim₁

( ) ( )

.

x_→ f x g x  bằng:

A. ¹

8 B. ¹

2 C. 2 D. 1

Câu 16: Cho hàm số f x

( )

thoả mãn

( )

lim2 3

x ₋ f x

→ = ,

( )

lim2 2

x ₊ f x a

→ = −

(

a∈

)

. Tìm giá trị của a để

2

( )

limx_→ f x tồn tại.

A. 5 B. -1 C. 1 D. 3

Câu 17: lim n² 2 ⁵ n

 − + 

 

  bằng:

A. 2. B. ^−∞. C. -3. D. +∞.

Câu 18: ^{lim 2}

( )

⁻ ⁿ ^bằng

A. -2. B. +∞. C. 0. D. ^−∞.

Câu 19: Cho , ,A B C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A.   AB BC AC+ = .

B.  AB AC+ =2AM,

với M là trung điểm của BC. C.   AB AC BC− = .

D.    AG BG CG+ + =0,

với G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 20: lim 2 5_x ₁

(

x

)

→ − bằng

A. −7. B. −3. C. 7. D. 3.

Câu 21: Giới hạn lim ²₂ 2 1

5 6

n n n n

+ −

− − + bằng A. 1.

−2 B. 1. C. −1. D. 1.

2 Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.Góc giữa hai đường thẳng AB′và B C′ bằng

A. 45 .° B. 60 .° C. 90 .° D. 30 .°

Câu 23: Hàm số nào dưới đây liên tục trên _. A. y ¹

= x. B. y=sinx+cosx. C. y=tanx. D. y= 2x+1.

(3)

Câu 24: Tính

1

lim 2 1

x

x x

→−

+

− .

A. 1. B. −∞. C. +∞. D. −2.

Câu 25: Hàm số f x( )= x²−5x+6 liên tục trên khoảng nào nau đây?

A. 5 7; . 3 3

 

 

  B. 3 5; .

2 2

 

 

  C. 1 3; . 2 2

 

 

  D. 5 7; . 2 2

 

 

 

Câu 26: Tìm giá trị của tham số a để hàm số 2 1 1

( ) 2 1

x khi x f x a khi x

+ ≠

=  = liên tục tại x=1.

A. a=2. B. 3 .

a= 2 C. a= −2. D. 2 . a=3 Câu 27: Trong không gian cho hai vectơ a

và b

có

( )

^{a b}^{ }^, ⁼⁶⁰^o^, ^a^ ⁼²^, ^b^ ⁼³. Độ dài của vectơ a b − bằng

A. 2 2 . B. 13 . C. 2. D. 7 .

Câu 28: Cho hàm số ( ) ₂² 2

5 6

x x f x x x

= − −

− + . Tính giới hạn

lim ( )2 x_→ f x A. lim ( ) 22

x_→ f x = . B.

lim ( )2 1

x_→ f x = − . C.

lim ( )2 3

x_→ f x = − . D.

2

lim ( ) 1 3

x_→ f x = − . Câu 29: _x^{lim 2}_→−∞

(

^x³⁻³^x²⁺¹

)

^bằng

A. +∞. B. 2. C. −∞. D. 0.

Câu 30: Cho tứ diện ABCD. Gọi M N, theo thứ tự là trung điểmAB và CD. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. MC MD NA NB   + + + =4MN.

B.  AC BD+ =2MN. C.   AD BC MN+ = .

D.   AC BD MN− = .

Câu 31: Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau và OA=1;0B=2;OC=3. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB AC, là

A. ²

10 . B. ⁶

3 . C. ^{4 65}

65 . D. ^{9 130}

130 . Câu 32: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có u₁=4và công bội 1

q=5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho bằng

A. ⁵. B. ⁴. C. ⁷. D. ⁶.

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD. với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Khi đó SO k SA SB SC SD=

(

   + + +

)

^.

Hãy xác định k.

A. k =3. B. 1 .

k= 4 C. 1.

k=3 D. k=3.

Câu 34: lim ²₂ 2 1

5 6

n n n n

+ −

− − + bằng A. 1 .

−2 B. 1 .

2 C. −1. D. 1.

(4)

Câu 35: Hàm số nào dưới đây liên tục trên ?

A. y= 2x+1. B. y=tan .x C. y 1 .

= x D. y=sinx+cos .x II. PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 36: (1,0 điểm) Tính ^{lim 2}

(

ⁿ⁻ ⁴ⁿ²⁺^{3 1}ⁿ⁻

)

^.

Câu 37: (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Lấy điểm M thỏa mãn ' ¹ ' A M =3A D

 

. Trên B D' ' lấy điểm N và đặt B N kB D' = ' '

. Xác định k để MN AC// '. Câu 38: (1,0 điểm)

a) Tìm các số thực a b, thỏa mãn ₂ ³

1

1 1

lim 3

x

x x ax b

→−

+ =

+ +

b) Chứng minh rằng phương trình ^x⁵⁺

(

^m²⁺²

)

^x²^{− − =}^x ^{1 0} luôn có ít nhất 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

--- HẾT ---

(5)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm)

Câu 1: Hàm số 1

( 1)( 1) y= x x x

+ − liên tục tại điểm nào dưới đây?

A. x=0. B. x=1. C. x= −1. D. x=2. Lời giải

Chọn D 1 ( 1)( 1) y= x x x

+ − là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là

(

−∞ − ∪ −; 1

) (

1;0

) (

∪ 0;+∞

)

. Do đó hàm số liên tục trên

(

−∞ − ∪ −; 1

) (

1;0

) (

∪ 0;+∞

)

. Suy ra yliên tục tại x=2.

Câu 2: Cho hàm số ( ) 1 y f x 2

= = x

− . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. Hàm số f liên tục trên . B. Hàm số f liên tục trên

( )

1;3 . C. Hàm số f gián đoạn tạix=1. D. Hàm số f gián đoạn tại x=2.

Lời giải Chọn D

( ) 1 y f x 2

= = x

− là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là

(

−∞;2

) (

∪ 2;+∞

)

. Do đó hàm số gián đoạn tại x=2.

( ) ( ) ( )

un ^, vn ^, wn thỏa mãn limu_n =2,limv_n = −6,limw_n =4. Giá trị của lim .

w^{n n}_n u v bằng

A. 7. B. −7. C. −3. D. 3.

Lời giải Chọn C

Câu 4: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.Hãy phân tích vectơ AC′

theo các  AB AD,

và AA′ A.    AC′= AB AD AA+ + ′.

B.    AC′=AB AD AA+ − ′. C. AC′= −  AB AD AA− − ′.

D. AC′= −  AB AD AA− + ′.

Lời giải ChọnA

Quy tẳc hình hộp

(6)

Câu 5: Giá trị của

lim 2 15

x x

→ − bằng

A. 10. B. 0. C. 3. D. 9.

Ta có:

lim 2 15 2.5 1 3

x_→ x− = − = .

Câu 6: Giá trị của lim ²⁰²⁰

x x

→−∞ bằng

A. +∞. B. 0. C. −∞. D. 1.

Lời giải Chọn A

Ta có: lim ²⁰²⁰

x x

→−∞ = +∞.

( ) ( ) ( )

u_n , v_n , w_n thỏa mãn limu_n =2, limv_n = −6 và lim w_n =4. Giá trị của

( )

lim u v_n+ −_n w_n bằng

A. 0. B. −4. C. −8. D. −12.

( )

lim u v_n+ −_n w_n =limu_n+limv_n−lim w_n = + − − = −2 ( 6) 4 8.

Câu 8: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.Các vectơ nào dưới đây đồng phẳng?

A.  AB AD,

vàAC'.

B.  AC A B, ' '

vàA D' .

C.  AB AC,

vàA D' '.

D.  AA AD',

vàA C' '.

( )

, , , '

'

AB AD ABCD

AB AD AC AC ABCD

⊂ ⇒

⊄ 

  

không đồng phẳng loại A.

( )

' ' , ' ', '

'

AC ABCD

A B ABCD AC A B A D A D ABCD

⊂ 

⇒



⊄ 

  

 không đồng phẳng loại B.

( )

, , , ' '

' '

AB AC ABCD

AB AC A D A D ABCD

⊂ ⇒



  

 đồng phẳng Chọn C

Câu 9: Cho hai hàm số f x

( )

, g x

( )

thỏa mãn lim_x_→₁ f x

( )

= −3 và lim_x_→₁g x

( )

= −∞. Giá trị của

A'

D'

C'

B' A

D B

C

(7)

( ) ( )

lim1 .

x f x g x

→   bằng

A. 3. B. −∞. C. +∞. D. −3.

Theo quy tắc về giới hạn vô cực thì lim₁

( )

3

x f x

→ = − và lim₁

( )

x g x

→ = −∞nên ^lim_x_→₁f x g x

( ) ( )

^. = +∞^. Câu 10:

lim 1

2 1n+ bằng

A. −∞. B. −1. C. 1. D. 0.

1 1 0

lim2 1 lim2 1 2 0 0.

n n

n

= = =

+ + +

 

un thỏa mãn limu_n 3. Giá trị của ^lim



³un ⁴



bằng

A. ^^8. B. ^3. C. 0. D. 5.

Giải Chọn D

Ta có: ^lim



³un ⁴



 ^{3 lim}un ^{lim 4}  ^3.3  ⁴ ^5.

Câu 12: Trong không gian, hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?

A. . B. . C. . D.

Giải Chọn A

Chọn A, vì phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Câu 13: Trong không gian cho hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau. Gọi hai vectơ u₁ và u₂ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của d₁ và d₂. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. u u 1 2. =0

B. Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂bằng 90°

C. Hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông.

D.

(

^{u u}^{ }¹^; ²

)

^{= °}⁹⁰

Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

(8)

( )

un thỏa mãn lim

(

un+ =5 0

)

. Giá trị của limu_n bằng

A. 1 B. 5 C. −5 D. 0

Câu 15: Cho hàm số f x g x

( ) ( )

, thoả mãn lim_x_→₁ f x

( )

=2, lim₁

( )

¹

4

x g x

→ = . Giá trị của lim₁

( ) ( )

.

x f x g x

→   bằng:

A. ¹

8 B. ¹

2 C. 2 D. 1

Lời giải Chọn B

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

lim . lim .lim 2.1 1

4 2

x f x g x x f x x g x

→  = → → = =

( )

thoả mãn

( )

lim2 3

x ₋ f x

→ = ,

( )

lim2 2

x ₊ f x a

→ = −

(

a∈

)

. Tìm giá trị của a để

2

( )

limx_→ f x tồn tại.

A. 5 B. -1 C. 1 D. 3

Lời giải

2

( )

limx f x

→ tồn tại khi và chỉ khi

( ) ( )

2 2

lim lim 3 2 1

x ₋ f x x ₊ f x a a

→ = → ⇔ = − ⇔ = −

Câu 17:

2 5

lim n 2 n

 − + 

 

  bằng:

A. 2. B. ^−∞. C. -3. D. +∞.

2 2

2 3

5 2 5

lim n 2 limn 1

n n n

 − + =  − + = +∞

   

   

Câu 18: ^{lim 2}

( )

⁻ ⁿ _bằng

A. -2. B. +∞. C. 0. D. −∞.

( )

lim 2− ⁿ =^−∞

Câu 19: Cho , ,A B C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A.   AB BC AC+ = . B.  AB AC+ =2AM,

với M là trung điểm của BC. C.   AB AC BC− = .

D.    AG BG CG+ + =0,

với G là trọng tâm của tam giác ABC. Lời giải

(9)

Chọn C

Ta có:   AB AC CB− =

nên đáp án C sai.

Câu 20: lim 2 5₁

( )

x_→ − x

bằng

A. −7. B. −3. C. 7. D. 3.

Ta có: lim 2 5₁

( )

3.

x_→ − x = −

Câu 21: Giới hạn

2 2

lim 2 1

5 6

n n n n

+ −

− − + bằng

A. 1.

−2 B. 1. C. −1. D. 1.

Lời giải 2 Chọn C

Ta có

2 2 2 2

2 2

2 1 2 1

1 1

2 1 1 0 0

lim 5 6 lim 1 5 6 lim 1 5 6 1 0 0 1.

n n n n n n n

 + −  + −

 

+ − =   = = + − = −

− − + − − +  − − + − − +

Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.Góc giữa hai đường thẳng AB′và B C′ bằng

A. 45 .° B. 60 .° C. 90 .° D. 30 .°

Lời giải ChọnB

Ta có

(

AB B C′ ′,

)

=^AB C′ = °60 .

(∆AB C′ đều vì đường chéo của các hình vuông A B BA B C CB ABCD′ ′ , ′ ′ , bằng nhau).

Câu 23: Hàm số nào dưới đây liên tục trên _. A. y ¹

= x. B. y=sinx+cosx. C. y=tanx. D. y= 2x+1. Lời giải

Chọn B

Hàm số y=sinx+cosx xác định trên .

Do hàm số y=sinx+cosxlà tổng của các hàm số liên tục trên _nên liên tục trên _.

Câu 24: Tính ¹ lim 2

1

x

x x

→−

+

− .

A. 1. B. −∞. C. +∞. D. −2.

Ta có: lim₋

(

x+2 3 0

)

= > ,

(10)

( )

lim1 1 0

x ₋ x

→ − = và x→ ⇒ − <1⁻ x 1 0. Vậy 1

lim 2 1

x

x x

→−

+

− = −∞.

Câu 25: Hàm số f x( )= x²−5x+6 liên tục trên khoảng nào nau đây?

A. 5 7; . 3 3

 

 

  B. 3 5; .

2 2

 

 

  C. 1 3; . 2 2

 

 

  D. 5 7; . 2 2

 

 

 

ĐK: x²−5x+ ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥6 0 x 2 x 3. TXĐ: D= −∞

(

;2

] [

∪ 3;+∞

)

.

Vì hàm số f x( )= x²−5x+6 liên tục trên các khoảng

(

−∞;2 , 3;

) (

+∞

)

nên f x( ) liên tục trên 1 3; .

2 2

 

 

 

Câu 26: Tìm giá trị của tham số a để hàm số 2 1 1

( ) 2 1

x khi x f x a khi x

+ ≠

=  = liên tục tại x=1.

A. a=2. B. 3 .

a= 2 C. a= −2. D. 2 . a=3 Lời giải

Chọn B TXĐ: D R= .

Hàm số f x( ) liên tục tại x= ⇔¹ ^{lim ( )}_x_→₁ f x = f⁽¹⁾⇔^{lim 2 1 2}_x_→₁

(

x+ =

)

a⇔ =^{3 2}a⇔ =a ³₂^. Câu 27: Trong không gian cho hai vectơ a

và b

có

( )

^{a b}^{ }^, ⁼⁶⁰^o^, ^a^ ⁼²^, ^b^ ⁼³. Độ dài của vectơ a b − bằng

A. 2 2 . B. 13. C. 2. D. 7 .

Ta có: ^{a b a b}^{   }^. ⁼ ^{. cos ,}

( )

^{a b}^{ } ⁼^2.3.cos60^o ⁼³

( )

^{a b} ² ^a² ^{2. .}^{a b b}² ^{4 2.3 9 7}

⇒  − = −   + = − + = Vì ^{a b}^{ }⁻ ² ⁼

( )

^{a b}^{ }⁻ ² ⁼⁷^nên^{a b}^{ }^{− =} ⁷^.

Câu 28: Cho hàm số ( ) ₂² 2

5 6

x x f x x x

= − −

− + . Tính giới hạn

lim ( )2

x f x

→

A. lim ( ) 2₂

x_→ f x = . B. lim ( )₂ 1

x_→ f x = − . C. lim ( )₂ 3

x_→ f x = − . D. lim ( )₂ ¹ 3

x_→ f x = − . Lời giải

(11)

Chọn C

Ta có ( ) ₂² 2 ( 1)( 2) 1

5 6 ( 2)( 3) 3

x x x x x

f x x x x x x

− − + − +

= = =

− + − − − , với x≠2.

2 2

1 2 1

lim ( ) lim 3

3 2 3

x x

f x x

x

→ →

+ +

⇒ = = = −

− −

Câu 29: _x^{lim 2}_→−∞

(

^x³⁻³^x²⁺¹

)

_bằng

A. +∞. B. 2. C. −∞. D. 0.

Ta có: lim 2

(

³ 3 ² 1

)

lim ³ 2 3 13

x x x x x

x x

→−∞ →−∞

 

− + =  − +  Vì lim ³ ; lim 2 ^{3 1}₃ 2 0

x x x

x x

→−∞ →−∞

 

= −∞  − + = > nên _x^{lim 2}_→−∞

(

^x³⁻³^x²^{+ = −∞}¹

)

^.

Câu 30: Cho tứ diện ABCD. Gọi M N, theo thứ tự là trung điểmAB và CD. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. MC MD NA NB   + + + =4MN.

B.  AC BD+ =2MN. C.   AD BC MN+ = .

D.   AC BD MN− = .

Vì M là trung điểm của AB nên MA MB  + =0 Vì N là trung điểm của AB nên CN DN  + =0

( ) (

^;

) ( )

2 2 .

MN MA AC CN MN MB BD DN

MN MA MB AC BD CN DN MN AC BD

= + + = + +

⇒ = + + + + + ⇒ = +

       

         

Câu 31: Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau và OA=1;0B=2;OC=3. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB AC, là

A. ₁₀² . B. ₃⁶. C. ^{4 65}

65 . D. ^{9 130}₁₃₀ . Lời giải

Chọn A

(12)

Theo định lý Pitago ta có:

2 2 2 10; 2 2 2 5; 2 2 2 13

AC =OA OC+ = AB =OA OB+ = BC =OB OC+ = .

Trong tam giác ∆ABC ta có: ² ² ² 5 10 13 50 2

2 . 2 5 10 50 10

AB AC BC cosA AB AC

+ − + −

= = = = .

Câu 32: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có u₁=4và công bội 1

q=5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho bằng

A. 5. B. ⁴. C. ⁷. D. 6.

Ta có: ₁11 4.111 5 5 S U= q = =

− − .

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD. với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Khi đó SO k SA SB SC SD=

(

   + + +

)

^.

Hãy xác định k.

A. k =3. B. 1 .

k= 4 C. 1.

k=3 D. k=3.

Vì Olà giao điểm hai đường chéo ACvàBDcủa hình bình hànhABCD nên O là trung điểm của AC BD, . Suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 , 1 2 .

2 2

SO= SA SC+ SO= SB SD+

     

Cộng

( ) ( )

1 , 2 vế theo vế ta được:

( )

1 .

SO=4 SA SB SC SD+ + +

    

Suy ra: 1 .

k= 4 Vậy, chọn đáp án B.

Câu 34:

2 2

lim 2 1

5 6

n n n n

+ −

− − + bằng A. 1 .

−2 B. 1 .

2 C. −1. D. 1.

Ta có: ²₂ ²

2

1 2 1

lim 2 15 6 lim 1 5 6 1.

n n n n

n n

n n

+ − = + − = −

− − + − − +

O B C

A D S

(13)

Vậy, chọn đáp án C.

Câu 35: Hàm số nào dưới đây liên tục trên ?

A. y= 2x+1. B. y=tan .x C. y 1 .

= x D. y=sinx+cos .x Lời giải

Chọn D

Hàm số y= 2x+1 1

( )

có tập xác định là 1 ; . 2

− +∞

 

Hàm số ^y⁼^tan^x

( )

² có tập xác định là \ , . 2 k k π π

 + ∈ 

 

 

 

Hàm số y 1 3

( )

= x có tập xác định là \ 0 .

{ }

Suy ra các hàm số

( ) ( ) ( )

1 , 2 , 3 không liên tục trên .

Hàm số y=sinx+cosx

( )

4 có tập xác định là  và hàm chứa các hàm số lượng giác nên hàm số

( )

4 liên tục trên . Vậy, chọn đáp án D.

II. PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 36: (1,0 điểm) Tính ^{lim 2}

(

ⁿ⁻ ⁴ⁿ²⁺^{3 1}ⁿ⁻

)

^.

Lời giải

Ta có

(

²

)

2

3 1

3 1 3

lim 2 4 3 1 lim lim

3 1 4

2 4 3 1 2 4

n n

l n n n

n n n

n n

− + − + −

= − + − = = =

+ + − + + −

.

Câu 37: (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Lấy điểm M thỏa mãn ' ¹ ' A M =3A D

 

. Trên B D' ' lấy điểm N và đặt B N kB D' = ' '

. Xác định k để MN AC|| '. Lời giải

(14)

Đặt     AB a AD b AA c= ; = ; '= . Ta có   AC a b c'= + +

(1).

' ' ' ' ' 1 '

MN A N A M A B B N= − = + −3A D

     

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

' ' ' ' ( ) 1

3 3 3 3

MN a k B D= + − A D A A+ = +a k b a− − b c− = −k a+k− b+ c

            

(2).

Từ (1) và (2) ta cóMN AC|| ' khi và chỉ khi:

1 13 1 2

1 1 3 3

k k− k

− = = ⇔ = .

Câu 38: (1,0 điểm)

c) Tìm các số thực a b, thỏa mãn ₂ ³

1

1 1

lim 3

x

x x ax b

→−

+ =

+ +

d) Chứng minh rằng phương trình ^x⁵⁺

(

^m²⁺²

)

^x²^{− − =}^x ^{1 0} luôn có ít nhất 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

Lời giải .

a) Dạng vô định ⁰

0 nên ta có

( )

−1 ²+a. 1

( )

− + = ⇔ = −b 0 b a 1

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2

3 3

2 2

1 1 1 1

1 1 1

1 1 3

lim lim lim lim

1 1 1 1 2

x x x x

x x x x x

x x

x ax b x ax a x x a x a a

→− →− →− →−

+ − + − +

+ = + = = =

+ + + + − + + − + − −

3 1 11 11 1 10

2 3 a b

⇒ a = ⇒ = ⇒ = − =

− .

b) Đặt ^{f x}

( )

⁼^x⁵⁺

(

^m²⁺²

)

^x²^{− −}^x ¹ liên tục trên _

●_xlim_→−∞ f x

( )

= −∞ ⇒ ∃ < −a 1 sao cho f a

( )

<0 D'

D C

A B

A' B'

C' M

N

(15)

● f

( )

− =1 m²+ >1 0

● f

( )

0 = − <1 0

● f

( )

1 =m²+ >1 0

( )

0 f x

⇒ = có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

(

a; 1−

)

; có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

(

−1;0

)

và có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

( )

0;1 . Vậy phương trình có ít nhất ba nghiệm.

--- HẾT ---

(16)

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II Môn: TOÁN 11 – ĐỀ SỐ 02

Thời gian làm bài: 90 phút, không tính thời gian phát đề I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm)

Câu 1: Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ?

A. 2 .

1 y x

= x

− B. ₂ .

1 y x

= x

+ C. y=3 .x D. y=cos .x Câu 2: Cho hàm số

2 9 3

( ) 3

3 x khi x f x x

m khi x

 − ≠

= −

 =



(mlà tham số). Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số liên tục tại x=3.

A. m= −4. B. m=8. C. m=4. D. m=6.

Câu 3: Tính lim1 3 5 7 ... (2 1)₂ .

3 5

n n n + + + + + +

+

A. 0. B. 1.

3 C. 2 .

3 D. 1 .

2 Câu 4: Cho hai hàm số f x g x

( ) ( )

, thỏa mãn lim

( )

; lim

( )

.

o o

x x g x b x x f x a

→ = → = Tính ^lim

( ) ( )

x x_→of x −g x .

A. b a− B. +∞ C. a b− D. x_o

Câu 5: Trong không gian cho AB CD⊥ và CD EF|| . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB EF⊥ B. ABvà EF chéo nhau

C. ABcắt EF D. AB EF||

Câu 6: Tính

2

3 5

lim 2

x

x x

→ −

+

−

A. 0 B. −∞ C. 3

2 D. +∞

Câu 7: Cho hàm số ^{y f x}⁼

( )

^{thỏa mãn}

( )

lim4 3

x ₊ f x

→ = và

( )

lim4 3.

x ₋ f x

→ = − Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. lim₄

( )

3.

x_→ f x = B. lim₄

( )

x_→ f x không tồn tại.

C. lim₄

( )

.

x_→ f x = +∞ D. lim₄

( )

3.

x_→ f x = − Câu 8: Tính lim 3 ² 1₂.

2 n n n

+ + A. 2.

3 B. 3. C. 3.

2 D. 1.

Câu 9: Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. MA MB  + =0.

B. MA MB = .

C. MA MB  − =0.

D.   AM MB+ =0.

Câu 10: Tính: ₂

2

4 1 3 lim^x 4

x x

→

+ −

− .

A. 0. B. 1

7. C. 1

6. D. 0.

Câu 11: Tính lim5ⁿ

A. 0. B. 5. C. . D. ^.

(17)

Câu 12: Tính lim5 ¹₃ 3.4

2 2.5

n n

+ +

+

− A. 1 .

−2 B. −∞. C. 5 .

−2 D. 0.

Câu 13: Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnhAD và BC lần lượt lấy các điểm M N, sao cho

2 ; 2

AM = MD NB= − NC

   

. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. Các vec-tơ   AD BC MN, ,

đồng phẳng. B. Các vec-tơ   AB DC MN, ,

đồng phẳng.

C. Các vec-tơ   AD DC MN, ,

đồng phẳng. D. Các vec-tơ   BD AC MN, ,

đồng phẳng.

Câu 14: Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

( )

I f x. ( )=x⁴−3x²+10 liên tục trên .

( )

. ( ) ₂¹ II f x 4

= x

− liên tục trên khoảng

(

−2;2 .

)

A. Chỉ

( )

I đúng. B. Chỉ

( )

II đúng.

C. Cả

( )

I và

( )

II đúng. D. Cả

( )

I và

( )

II sai.

Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Vecto nào sau đây bằng vecto AB

? A. AA'.

B. A B' '.

C. AC.

D. A C' '.

Câu 16: Cho lim

( )

0, lim

( )

.

x f x L x g x

→+∞ = ≠ →+∞ = +∞ Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. lim

( ) ( )

.

x f x g x

→+∞ = +∞ B.

( )

lim

( )

.

x

g x f x

→+∞ = +∞ C.

( )

lim

( )

.

x

g x f x

→+∞ = −∞ D.

( )

lim

( )

0.

x

f x g x

→+∞ =

Câu 17: Cho hình tứ diện ABCD. Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi nào?

A.  AB CD. = −1.

B.  AB CD AB CD. = . .

C.  AB CD. =0.

D.  AB CD. =1.

Câu 18: Khẳng định nào sau đây SAI?

A. limn= +∞ B. limc c= ( c là hằng số)

C. lim ¹_k 0

n =

(

^{k Z}^∈ ^*

)

^D.^lim^qⁿ ^{= +∞}

(

^q ^>¹

)

Câu 19: Cho hàm số ^{f x}

( )

⁼²_x^x₋⁺₂³.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số gián đoạn tại x=2 B. Hàm số liên tục tại x=2 C. Hàm số liên tục trên khoảng

( )

1;5 D. Hàm số liên tục trên  Câu 20: Biết ^limx

(

x² ax ⁵ x

)

⁵

→∞ + + + = .Khi đó a là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. x²−5x+ =6 0 B. x³−8 15 0x+ = C. x²−11 10 0x+ = D. x²+9 10 0x− =

Câu 21: Trong không gian cho hai vectơ u v , có u =2;v =3; ,

( )

u v  = °60 . Tính tích vô hướng u v . .

A. −3 3. B. −3. C. 3 3 . D. 3.

( )

xác định trên khoảng K chứa a và hàm số f x

( )

liên tục tại x a= . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. ^lim

( )

x a f x

→ không hữu hạn. B. ^lim

( ) ( )

x a f x f a

→ = .

C. ^lim

( )

^lim

( )

x a₊ f x x a₋ f x

→ = → = +∞. D. ^lim

( )

^lim

( )

x a₊ f x x a₋ f x

→ = → .

Câu 23: Tính _x^lim_→−₁

(

^x²^{− +}^x ⁷

)

^.

A. 0 . B. 9. C. 5. D. 7 .

(18)

Câu 24: Tính 1 lim 2 3

x

x x

→−∞

− + . A. 1

3. B. 1 .

−2 C. 1.

3

− D. 1 .

2 Câu 25: Cho hàm số 2 khi ₂ 0

( ) +1 khi 0

x x

f x x x

 ≤

=  > .Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số gián đoạn tại x=0. C. Hàm số liên tục trên

(

− +∞1;

)

. D. Hàm số liên tục tại x=0. Câu 26: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Vectơ   AB AD AA+ + '

bằng vectơ nào sau đây?

A. AC'

. B. AC.

C. AB'.

D. AD'.

Câu 27: Cho tứ diện ABCD có AB CD= . Gọi I J E F, , , lần lượt là trung điểm của AC BC BD AD, , , . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng IE và JF.

A. 90 .° B. 60 .° C. 30 .° D. 45 .°

Câu 28: Tính

lim 2021.

x x

→−∞

A. −2021. B. 2021. C. +∞. D. −∞.

Câu 29: Tính ^{lim 3}

(

ⁿ²⁻²ⁿ⁺^{4 .}

)

A. 3. B. − ∞. C. −2. D. +∞.

Câu 30: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng

(

ABCD

)

? A.

(

ABB A' '

)

. B.

(

A B C D' ' ' '

)

. C.

(

ACC A' '

)

. D.

(

ABC D' '

)

. Câu 31: Trong không gian cho hai vectơ u v ,

có u = = − =v u v   1

. Tính u v + . A. ¹

2. B. ₂³ . C. 1. D. 3.

( )

un và

( )

vn thỏa mãn limu_n = −3,limv_n =6. Tính lim 2

(

un−3 .vn

)

A. 24. B. 3. C. -24. D. -3.

Câu 33: Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0?

3 1 4 1

I. II. III. IV.

2 2 3 3

n n n n

u =−  u =−  u =    u =   

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Câu 34: Tính tổng ^{1 1 1}_{3 9 27 81}+ + + ¹ + +^... ₃¹n +^...

(

n∈^*

)

A. 1.

3 B. 2 .

3 C. 1 .

2 D. 1.

(19)

Câu 35: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. y= sin .x _B.y = +1 cos .x _C.y = +1 sin .x _D.y= +1 sin .x II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 36: (1,5 điểm)

a) Tính ^{lim 2}

(

ⁿ⁻ ⁴ⁿ²⁺^{3 1}ⁿ⁻

)

^.

b) Tìm các số thực a b, thỏa mãn ₂ ₂

3

1 2

lim 6

2 11 15 5 6

x

a b

x x x x

→

+ −

 + =

 − + − + − 

  .

Câu 37: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' '. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và A D' '. Đặt      AA a AB b AD c'= , = , =

. a) Hãy biểu thị B M'

theo các vectơ a b c  , , .

b) Chứng minh hai đường thẳng B M' và C N' vuông góc.

Câu 38: Cho hai số a và b dương, c≠0, ,m n là hai số thực tùy ý. Chứng minh phương trình

a b c

x m x n+ =

− − luôn có nghiệm thực.

--- HẾT ---

(20)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm)

Câu 1: Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ?

A. 2 .

1 y x

= x

− B. ₂ .

1 y x

= x

+ C. y=3 .x D. y=cos .x Lời giải

Chọn A Câu 2: Cho hàm số

2 9 3

( ) 3

3 x khi x f x x

m khi x

 − ≠

= −

 =



(mlà tham số). Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số liên tục tại x=3.

A. m= −4. B. m=8. C. m=4. D. m=6.

Ta có: ²

3 3 3 3

9 ( 3)( 3)

lim ( ) lim lim lim( 3) 6;

3 3

x x x x

x x x

f x x

x x

→ → → →

− − +

= = = + =

− − ^f⁽³⁾⁼^m^.

Để hàm số liên tục tại x=3thì

lim ( )3 (3) 6 .

x_→ f x = f ⇔ =m

Câu 3: Tính ²

1 3 5 7 ... (2 1)

lim .

3 5

n n n + + + + + +

+

A. 0. B. 1.

3 C. 2 .

3 D. 1 .

Lời giải 2 Chọn B

Ta có: 1 3 5 7 ... (2 1)+ + + + + n+ =n²

Do đó: lim1 3 5 7 ... (2 1)₂ lim ( 1)₂ ² lim ² ₂2 1 1.

3 5 3 5 3 5 3

n n n n

n n n n n n

+ + + + + + = + = + + =

+ + +

Câu 4: Cho hai hàm số f x g x

( ) ( )

, thỏa mãn ^lim

( )

^{; lim}

( )

^.

o o

x x_→ g x =b x x_→ f x =a Tính lim

( ) ( )

x x_→of x −g x .

A. b a− B. +∞ C. a b− D. xo

Ta có: lim

( ) ( )

lim

( )

lim

( )

.

o o o

x x_→ f x −g x =x x_→ f x −x x_→ g x = −a b

Câu 5: Trong không gian cho AB CD⊥ và CD EF|| . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB EF⊥ B. ABvà EF chéo nhau C. ABcắt EF D. AB EF||

Ta có:

||

a c a b b c

 ⊥ ⇒ ⊥

 Câu 6: Tính ²

lim3 5 2

x

x x

→ −

+

−

A. 0 B. −∞ C. 3

2 D. +∞

(21)

Ta có:

( ) ( )

2 2

lim 3 5 11 0; lim 2 0

x ₋ x x ₋ x

→ + = > → − = và x− <2 0,x→2⁻ Nên 2

3 5

lim 2

x

x x

→ −

+ = −∞

−

Câu 7: Cho hàm số ^{y f x}⁼

( )

^{thỏa mãn}

( )

lim4 3

x ₊ f x

→ = và

( )

lim4 3.

x ₋ f x

→ = − Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. lim₄

( )

3.

x_→ f x = B. lim₄

( )

x_→ f x không tồn tại.

C. lim₄

( )

.

x_→ f x = +∞ D. lim₄

( )

3.

x_→ f x = −

Vì

( ) ( )

4 4

lim lim

x ₊ f x x ₋ f x

→ ≠ → nên không tồn tại lim₄

( )

.

x_→ f x Câu 8: Tính

2 2

3 1

lim .

2 n n n

+ + A. 2.

3 B. 3. C. 3.

2 D. 1.

Ta có ² ₂ ²

3 1

3 1 3

lim 2 lim 1 2 2.

n n

n

+ = + =

+ +

Câu 9: Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. MA MB  + =0.

B. MA MB = .

C. MA MB  − =0.

D.   AM MB+ =0.

Câu 10: Tính: ² ² 4 1 3 lim^x 4

x x

→

+ −

− .

A. 0. B. 1

7. C. 1

6. D. 0.

        

2 2 2 2

4 1 3 4 8 4 1

lim lim lim

4 2 2 4 1 3 2 4 1 3 6

x x x

x x

x x x x x x

  

     

       

Câu 11: Tính ^lim5ⁿ

A. 0. B. 5. C. . D. ^.

Câu 12: Tính

1 3

5 3.4

lim2 2.5

n n

+ +

+

−

(22)

A. 1 .

−2 B. −∞. C. 5 .

−2 D. 0.

1 3

5 3. 4

5 3.4 5.5 3.4 5 5

lim lim lim

2 2.5 8.2 2.5 8. 2 2 2

5

n

n n n n

n n n n n

+ +

+   

+ = + =   = −

− −   − 

 

Câu 13: Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnhAD và BC lần lượt lấy các điểm M N, sao cho

2 ; 2

AM = MD NB= − NC

   

. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. Các vec-tơ   AD BC MN, ,

đồng phẳng. B. Các vec-tơ   AB DC MN, ,

đồng phẳng.

C. Các vec-tơ   AD DC MN, ,

đồng phẳng. D. Các vec-tơ   BD AC MN, ,

đồng phẳng.

Theo giả thuyết có AM =2MD

và NB= −2NC Mặt khác MN MA AB BN   = + +

(1).

Và MN MD DC CN   = + + ⇒2MN=2MD+2DC+2CN