SBT Toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 35 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí như thế nào đối với các trục tọa độ ?

Lời giải:

Kẻ IA⊥Ox tại A

Ta có: IA = 2 = R (do điểm I có tọa độ (-3; 2)) Do đó, đường tròn (I) tiếp xúc với trục hoành Kẻ IB⊥Oy tại B

Ta có IB = 3 > R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))

Do đó, đường tròn (I) và trục tung không có điểm chung

Bài 36 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào ? Lời giải:

(2)

Vì đường tròn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a là 5cm.

Vậy I nằm trên hai đường thẳng x và y song song với a, cách a một khoảng bằng 5cm.

Bài 37 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm)

a) Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC.

Lời giải:

a)

(3)

Kẻ AH⊥xy tại H Ta có: AH = 12cm

Bán kính đường tròn (I) là 13cm hay R = 13cm Mà ta có: AH = d = 12cm < R = 13cm

Do đó, đường tròn (A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C b)

Xét tam giác AHC vuông tại H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2

AC =AH +HC

2 2 2 2 2

HC AC AH 13 12 25

 = − = − =

HC 25 5

 = = (cm)

Mặt khác, AH là một phần của đường kính, BC là dây cung, AH vuông góc với BC tại H

Do đó, H là trung điểm của BC BC 2CH 2.5 10

 = = = (cm)

Bài 38 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm.

Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD.

Lời giải:

(4)

Xét tam giác ACD, ta có : B là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của CD (tâm – đường kính)

Do đó, OB là đường trung bình của tam giác ACD OB 1AD AD 2OB 2.2 4

 = 2  = = = (cm)

Bài 39 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang vuông ABCD

(

^A^{= =}^D ⁹⁰^o

)

, AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm.

a) Tính độ dài AD

b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC Lời giải:

(5)

a)

Kẻ BE vuông góc với CD tại E Xét tứ giác ABED có:

BAD=ADE=90o (theo đề bài)

BED=90o(do BE vuông góc với CD tại E) Do đó, ABED là hình chữ nhật

AD EB

 = , AB = DE = 4cm

 CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm) Xét tam giác BCE vuông tại E Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2

BC =BE +CE

2 2 2 2 2

BE BC CE 13 5 144

 = − = − =

BE 144 12

 = = (cm)

AD EB 12

 = = cm b)

(6)

Gọi I là trung điểm của BC BC 13

IB IC 6,5

2 2

 = = = = (cm) (1)

Kẻ IH vuông góc với AD tại H Xét hình thang ABCD có:

I là trung điểm của BC

Mà CD, AB vuông góc với AD

(

^A^{= =}^D ⁹⁰^o

)

 IH // CD // AB

Do đó, H là trung điểm của AD

Hay IH là đường trung bình của hình thang ABCD AB CD 4 9

IH 6,5

2 2

+ +

 = = = (cm) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IB = IH = IC = ^BC 2 . Vậy đường tròn (I; ^BC

2 ) tiếp xúc với đường thẳng AD

Bài 40 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.

a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I.

Tính độ dài CI biết OA = R.

Lời giải:

(7)

a)

Gọi H là giao điểm của OA và CD Vì CD là đường trung trực của OA nên:

CD⊥OA tại H và HA = HO

Mà OH là một phần của đường kính, CD là dây cung nên H là trung điểm của CD

 HC = HD

Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H và cũng vuông góc với nhau tại H nên ACOD là hình thoi

b)

Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC Mà OC = OA = R nên AC = OC = OA Do đó, tam giác OAC đều

OAC 60o hay COI 60^o

Mà CI⊥OC (tính chất của tiếp tuyến) Xét tam giác OCI vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

(8)

CI=OC.tan COI=R.tan 60o =R 3

Bài 41 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng :

a) CE = CF

b) AC là tia phân giác của góc BAE c) CH² =AE.BF

Lời giải:

a) Ta có:

OC⊥d (tính chất tiếp tuyến) AE⊥d, BF⊥d (theo đề bài)

 OC // AE // BF

(9)

Mà OA = OB (= R)

 CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều) b)

Ta có: AE // OC OCA EAC

 = (hai góc so le trong bằng nhau) (1) Ta có: OA = OC (= R)

Do đó, tam giác OAC cân tại O OCA OAC

 = (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: OAC=EAC

Do đó, AC là tia phân giác của góc OAE hay AE là tia phân giác của góc BAE c)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

CH vuông góc với AB tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

CH2 =HA.HB (3)

Xét tam giác ACH và tam giác ACE có:

AEC=AHC=90o

CH = CE (tính chất đường phân giác) AC chung

Do đó, tam giác ACH bằng tam giác ACE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(10)

 AH = AE (4)

Xét tam giác BCH và tam giác BCF có:

BHC=BFC=90o

CH = CF (= CE) BC chung

Do đó, tam giác BCH bằng tam giác BCF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 BH = BF (5)

Từ (3), (4), (5) ta suy ra CH² =AE.BF (đcpcm) Bài tập bổ sung

Bài 4.1 trang 163 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn (O) đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên

(A) Đường vuông góc với AB tại A;

(B) Đường vuông góc với AB tại B;

(C) Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 1cm;

(D) Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 2 cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Vì đường tròn tâm O đường kính 2cm có bán kính 1cm tiếp xúc với đường thẳng AB nên khoảng cách từ O đến AB là 1cm.

Vậy O nằm trên hai đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng 1cm.

Vậy ta chọn đáp án (C)

(11)

Bài 4.2 trang 163 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), điểm A di chuyển trên đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A, lấy điểm M sao cho AM = OA.

Điểm M chuyển động trên đường nào ? Lời giải:

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; 2cm) nên ta có: OA⊥AM Xét tam giác OAM vuông tại A

OA = AM = 2cm

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

OM =OA +AM =2 +2 =8 OM 8 2 2

 = = (cm)

Vậy điểm M chuyển động trên đường tròn (O; 2 2 cm).

Bài 4.3 trang 163 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O; 15cm), dây AB = 24cm. Một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự E, F. Tính độ dài EF.

Lời giải:

(12)

Gọi C là tiếp điểm của EF với đường tròn (O), H là giao điểm của OC và AB.

Ta có: OC⊥EF và AB // EF OC⊥AB

OH là một phần của đường kính, AB là dây cung, OH vuông góc với AB tại H Do đó, H là trung điểm của AB HA HB ^AB ²⁴ 12

2 2

 = = = = (cm)

Xét tam giác OHB vuông tại H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2

OB =OH +HB

2 2 2 2 2

OH OB HB 15 12 81

 = − = − =

OH 81 9

 = = (cm)

Xét tam giác OAB và tam giác OEF Góc O chung

Có: AB // EF ^OA ^OB OE OF

 = (định lí Ta-lét)

Do đó, tam giác OAB đồng dạng với tam giác OEF (cạnh – góc – cạnh)

(13)

OH AB OC.AB 15.24

EF 40

OC EF OH 9

 =  = = = (cm)