Giải SBT Toán 9 Bài 3: Góc nội tiếp

Bài 3. Góc nội tiếp

Bài 15 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O,bán kính 1,5cm. Hãy vẽ hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Nêu cách vẽ.

Lời giải:

Cách vẽ:

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính 1,5cm

- Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau

- Nối AB, BC, CD, DA lại với nhau ta được hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; 1,5)

Chứng minh:

Theo cách vẽ ta có:

OA = OC = R OB = OD = R

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành

Ta lại có: AC = BD = 2R nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật

Mặt khác, BD vuông góc với AC nên ABCD là hình vuông.

Bài 16 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng MSD2.MBA. Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

SM là tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) Do đó, SM vuông góc với OM tại M Do đó, tam giác OMS vuông tại M

OMS 90o

 

MSO MOS 90o

   (1)

Lại có: AB vuông góc với CD tại O (gt) MOA 90o

 

MOS MOA 90o

   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MSOMOA

MSD MOA

  (3)

Mà MOA2MBA (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (4) Từ (3) và (4) ta suy ra: MSD2MBA.

Bài 17 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh rằng: AB² = AD.AE.

Lời giải:

Vì AB = AC (gt)

AB AC

  (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Mà góc ABC và góc AEB lần lượt là hai góc nội tiếp chắn hai cung AB và AC

ABC AEB

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Xét tam giác ABD và tam giác ABE có:

Góc A chung

ABCAEB hay ABDAEB (cmt)

Do đó, tam giác ABD và tam giác AEB đồng dạng (góc – góc) AE AB 2

AB AD.AE

AB AD

    .

Bài 18 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B.

Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi.

Lời giải:

TH1: M ở bên trong đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kì của đường tròn (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D.

Xét tam giác MAC và tam giác MDB có:

AMCBMD (hai góc đối đỉnh)

AD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Do đó, tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng (góc – góc)

MA MC

MD MB

 

MA.MB MC.MD

  (1)

Vì M, O cố định nên điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC.MD không đổi (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích MA.MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.

TH2: M ở ngoài đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kì của đường tròn (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D

Xét tam giác MAD và tam giác MCB Góc M chung

BD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, tam giác MAD và tam giác MCB đồng dạng (góc – góc)

MC MB

MA MD

 

MA.MB MC.MD

  (3)

Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC.MD không đổi (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra tích MA.MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.

Bài 19 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray hướng này sang một đường ray hướng khác người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung (hình 1). Biết chiều rộng của đường ray là AB ≈ 1,1m, đoạn BC ≈ 28,4m. Hãy tính bán kính OA = R của đoạn đường ray hình vòng cung.

Lời giải:

Ta xem hai đoạn đường ray thẳng là tiếp tuyến của hai đoạn đường ray vòng cung Điểm B cố định nằm trong đường tròn có cung AC

Đường thẳng OB cắt đường tròn đó là A và A’

A cố định và A’ cố định

B là tiếp điểm cung nhỏ trong nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB) Do đó, BC vuông góc với OB tại B

Kéo dài BC cắt đường tròn (O; OA) tại C’

BC BC'

  (đường kính vuông góc với dây cung) Xét tam giác BAC và tam giác BA’C’ có:

ABCC'BA ' (hai góc đối đỉnh)

ACBC'A 'B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC’)

Do đó, tam giác BAC và tam giác BC’A’ đồng dạng (góc – góc)

BC' BA ' AB BC

 

BC.BC' AB.BA '

 

Mà BC = BC’ , BA’ = 2R – AB

 

BC2 AB. 2R AB

  





 

  

2, 2R 806,56 1, 21

  

R 367, 2

  (m).

Vậy bán kính đoạn đường ray hình vòng cung là 367,2 m.

Bài 20 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.

a) Hỏi tam giác MBD là tam giác gì?

b) So sánh hai tam giác BDA và BMC.

c) Chứng minh rằng MA = MB + MC.

Lời giải:

a)

Ta có: MB = MD (gt)

Do đó, tam giác MBD cân tại M Xét tam giác MBD cân tại M có:

AMBACB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà ACB60^o (do tam giác ABC đều)

AMB 60o

 

Do đó, tam giác MBD đều.

b)

Do tam giác MBD đều (chứng minh phần a) DBC CBM DBM 60o

    (1)

Tam giác ABC đều ABDDBCABC60^o (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: CBMABD Xét tam giác BDA và tam giác BMC có:

BA = BC (gt)

ABDCBM (cmt)

BD = BM (do tam giác MBD đều)

Do đó, tam giác BDA bằng tam giác BMC (cạnh – góc – cạnh).

c)

Tam giác BDA bằng tam giác BMC (chứng minh phần b)

DA MC

 

Ta có: MB = MD (gt) Mà AM = AD + DM

MA MC MB

   (dcpcm).

Bài 21 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, biết A32^o, B 84 ^o. Lấy các điểm D, E, F thuộc đường tròn (O) sao cho AD = AB, BE = BC, CF = CA. Hãy tính các góc của tam giác DEF.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

A 1

2sđ BC (tính chất góc nội tiếp)

sđ BC2A2.32^o 64^o Ta có: BC = BE (gt)

sđ BC = sđBE64^o

Mà 1

B 2sđ AC (tính chất góc nội tiếp)

sđAC2B2.84^o 168^o Lại có: AC = CF (gt)

sđ CF= sđAC 168 ^o

sđ AC + sđ AF + sđ CF = 360 ^o

sđ AF = 360 - sđ AC - sđ CF = ^o 360^o 168 .2^o 24^o Xét tam giác ABC có:

  ^{ }

o o o o o

ACB 180 A B 180 32 84 64

       

Mà 1

ACB 2sđ AB (góc nội tiếp chắn cung)

sđ AB 2ACB2.64^o 128^o Lại có: AD = AB (gt)

sđ AD = sđAB 128 ^o

Ta có: 1

FED 2sđ 1

DF 2(sđ AD + sđ AF) = ¹





2  

  ^

^

1 1 1

EDF sdEF sdAB sdAF sdBE 128 24 64 20

2 2 2

       

  ^{ }

o o o o o

DFE 180  FEDEDF 180  76 20 84

Bài 22 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2: Vẽ một tam giác vuông biết cạnh huyền là 4cm và đường cao ứng với cạnh huyền là 1,5cm.

Lời giải:

Cách vẽ:

A  B C 180o

- Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm

- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC

-Vẽ đường thẳng xy nằm trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn đường kính BC và xy // BC, cách BC một khoảng bằng 1,5cm

-Vẽ đường thẳng BC cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A và A’. Nối AB, AC, A’B, A’C ta được tam giác ABC cần vẽ.

Chứng minh:

Vì xy cách BC một khoảng 1,5m < BC

2 = 2cm nên đường thẳng xy cắt nửa đường tròn đường kính BC

Ta lại có tam giác ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính BC nên BAC90^o Có AH vuông góc với BC tại H và AH = 1,5cm

Vậy tam giác ABC hoặc tam giác A’BC thỏa mãn đề bài.

Bài 23 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác của hai góc B và C cắt nhau ở E và cắt đường tròn lần lượt tại F và D. Chứng minh rằng tứ giác EDAF là một hình thoi.

Lời giải:

Vì tam giác ABC cân tại A

ABC ACB

  (tính chất tam giác cân) Lại có:

BF là tia phân giác của góc ABC (gt) CD là tia phân giác của góc ACB (gt)

1 2 1 2

B B C C

   

AD DB AF FC

   

Từ đó, đường tròn (O) có: A₁B₁ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau BD và AF)

AD // EF (có hai góc so le trong bằng nhau) (1)

Tương tự: A₂ C₁ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau

 AF // ED (có hai góc so le trong bằng nhau) (2) Mà ADAF (cmt)

AD = AF (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: Tứ giác ADEF là hình thoi.

Bài tập bổ sung

Bài 3.1 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 2: Mỗi câu sau đây đúng hay sai (A) Góc nội tiếp là góc tạo bởi hai dây của đường tròn đó.

(B) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

(C) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không cùng chắn một cung thì không bằng nhau.

(D) Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn.

(E) Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Lời giải:

Chỉ có một câu đúng là câu (E): Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Các câu (A), (B), (C), (D) đều sai vì:

(A) Sai. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

(B) Sai. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.

(C) Sai. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

(D) Sai. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Bài 3.2 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O.

Đường tròn tâm A bán kính AO cắt nửa đường tròn đã cho tại C. Đường tròn tâm B bán

kính BO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Đường thẳng qua O và song song với AD cắt nửa đường tròn đã cho tại E.

a) ADC và ABC có bằng nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh CD song song với AB.

c) Chứng minh AD vuông góc với OC.

d) Tính số đo của DAO .

e) So sánh hai cung BE và CD.

Lời giải:

a)

Trong đường tròn (O) ta có:

ADCABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) b)

Tam giác ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C

O là trung điểm của AB (tâm – đường kính) Do đó, CO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

CO OA 1AB

  2 (tính chất tam giác vuông) Mà AC = AO (bánh kính đường tròn (A))

CO OA AC

  

Do đó, tam giác ACO đều AOC 60o

 

Ta có: Tam giác ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D

O là trung điểm của AB nên DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

DO OB OA 1AB

    2 (tính chất tam giác vuông) Mà BD = BO (bán kính đường tròn (B))

BO OD BD

  

Do đó, tam giác BOD đều ODB BOD 60o

  

Mà AOC COD BOD 180 ^o

  ^{ }

o o o o o

COD 180 AOC BOD 180 60 60 60

       

Mà OC = OD (do cùng bằng 1 2AB) Do đó, tam giác COD đều

ODC 60o ODC BOD

   

Do đó, CD // AB (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau) c)

Có: OA = AC = OC (chứng minh phần b)

Mà tam giác OCD đều (chứng minh phần b) nên OC = OD = CD Suy ra AC = OA = OD = DC

Do đó, tứ giác AODC là hình thoi

AD OC

  (tính chất hình thoi) d)

Tam giác BOD đều (chứng minh phần b) OBD ABD 60o

  

Vì tam giác ADB vuông tại D (chứng minh phần b) DAB ABD 90o

  

o o o o

DAB 90 ABD 90 60 30

     

DAO DAB 30o

  

e)

OE // AD (gt)

EOB DAO 30o

   (hai góc đồng vị) sđBEEOB30^o (góc ở tâm chắn cung) sđCDCOD60^o (góc ở tâm chắn cung)

Do đó, số đo cung CD gấp đôi số đo cung BE.