Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

GIẢI TÍCH 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

VÀ

ỨNG DỤNG

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

(2)

(3)

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 12.

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và ch ươ ng trình nâng cao v ề môn Toán đ ã đượ c B ộ Giáo d ụ c và Đ ào t ạ o quy đị nh.

N Ộ I DUNG

1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học 2. Bài tập trắc nghiệm

3. Bổ sung đầy đủ các dạng đề thi THPT QG.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn ch ỉ nh h ơ n.

Mọi góp ý xin gọi về số 0939989966 – 0916 620 899

Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành c ả m ơ n.

Lư Sĩ Pháp

GV_ Trường THPT Tuy Phong

L Ờ I NÓI ĐẦ U

(4)

M Ụ C L Ụ C

PH Ầ N T Ự LU Ậ N

NGUYÊN HÀM --- 01 – 19 TÍCH PHÂN --- 20 – 46

Ứ NG D Ụ NG --- 47 – 51 ÔN T Ậ P CH ƯƠ NG III --- 52 – 75

PH Ầ N TR Ắ C NGHI Ệ M

NGUYÊN HÀM --- 01 – 15 TÍCH PHÂN --- 16 – 30

Ứ NG D Ụ NG --- 31 – 38

ÔN T Ậ P CH ƯƠ NG III --- 39 – 60

ÔN T Ậ P THI THPT --- 61 – 76

Đ ÁP ÁN --- 77 – 81

(5)

CHƯƠNG III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

---0O0---

§1. NGUYÊN HÀM

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

I. Nguyên hàm và tính chất 1. Nguyên hàm

a) Định nghĩa: Cho hàm số ( )f x xác định trên K. Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( )

f x trên K nếu '( )F x = f x( ) với mọi x∈K. b) Định lí

Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số ( )= ( )+

G x F x C cũng là một nguyên hàm của ( )f x trên K.

Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K thì mọi nguyên hàm của ( )f x trên K đều có dạng ( )F x +C, với C là một hằng số.

Họ tất cả các nguyên hàm của ( )f x trên K được kí hiệu:

∫

^{f x x}( )d ^. Vậy:

∫

^{f x x}( )d =^{F x}( )+^C

2. Tính chất của nguyên hàm a)

∫

^f'( )d^{x x}= ^{f x}( )+^C

b)

∫

^{kf x x}( )d =^{k f x x}

∫

( )d (với k là một hằng số khác 0) c)

∫ [

^{f x}^{( )}^±^{g x}^{( ) d}

]

^x⁼

∫

^{f x x}^{( )d} ^±

∫

^{g x x}^{( )d}

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp Bảng 1

Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (với u=u x( )) 1. 0d

∫

^x=^C

2. d

∫

^x= +^{x C} 3.

1

d ( 1)

1

α α α

α

= + + ≠ −

∫

^x ^x ^x+ ^C

4.

∫

1_xd^x=ln ^x+^C 5.

∫

^{e x}^xd = +^e^x ^C

6. d ( 1, 0)

=ln + ≠ >

∫

â^x ^x â^x_a ^{C a} â

7. cos d

∫

^{x x}=sin^{x C}+ 8. sin d

∫

^{x x}= −cos^{x C}+ 9. 1₂

d tan

cos = +

∫

_x ^x ^x ^C

10. 1₂

d cot

sin = − +

∫

_x ^x ^{x C}

1. 0d

∫

^u=^C 2. d

∫

^u= +^u ^C 3.

1

d ( 1)

1

α α α

α

= + + ≠ −

∫

û û û+ ^C

4.

∫

1_ud^u=ln ^u +^C 5.

∫

^{e u}ûd = +êû ^C

6. d ( 1, 0)

= ln + ≠ >

∫

âû û âû_a ^{C a} â

7. cos d

∫

^{u u}=sin^u+^C 8. sin d

∫

^{u u}= −cos^u+^C 9. 1₂

d tan

cos = +

∫

_u ^u ^u ^C

10. 1₂

d cot

sin = − +

∫

_u ^u ^u ^C

(6)

Bảng 2 1. cos d sinkx

kx x C

= k +

∫

^2.

∫

^{sin d}^{kx x}^{= −}^cos_k^kx⁺^C

3.

kx

kx e

e dx C

= k +

∫

^4.

∫

_{ax b}^dx₊ ⁼ ¹_a^.ln ^{ax b}^{+ +}^C

Bảng 3 Với a≠0

1.

( )

_d ¹_.

( )

¹ ₍ ₁₎

1

n

n ax b

ax b x C n

a n

+ +

+ = + ≠ −

∫

+ ^5.

∫

_{ax b}¹₊ ^d^x⁼ ¹_a^.ln ^{ax b}^{+ +}^C

2.

∫ (

^{ax b}¹⁺

)

²^d^x^{= −}¹^{a ax b}^. ¹⁺ ⁺^C ^6.

∫

ê^{ax b}⁺ ^d^x⁼¹â^.ê^{ax b}⁺ ⁺^C

3.

∫

^cos

(

^{ax b}⁺

)

^d^x⁼¹_a^.sin

(

^{ax b}^{+ +}

)

^C ^7.

∫

^sin

(

^{ax b}⁺

)

^d^x^{= −}¹_a^.cos

(

^{ax b}^{+ +}

)

^C

4.

∫

_cos²

(

¹_{ax b}₊

)

^d^x⁼¹_a^.tan

(

^{ax b}^{+ +}

)

^C ^8.

∫

_sin²

(

_{ax b}¹ ₊

)

^d^x^{= −}¹_a^.cot

(

^{ax b}^{+ +}

)

^C

II. Phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp biến đổi

Nếu

∫

f u u( )d =F u( )+C^và^u⁼^{u x}^{( )}là hàm số có đạo hàm liên tục thì ( ( )) '( )d ( ( ))

f u x u x x=F u x +C

∫

. Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x x^/( )d . Khi đó:

∫

f t t( )d =F t( )+C^{, sau} đó thay ngược lại t=u x( ) ta được kết quả cần tìm.

Với u=ax b a+ ( ≠0), ta có f ax b x( )d 1F ax b( ) C

+ = a + +

∫

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số u=u x( ) và v=v x( ) có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) '( )d ( ). ( ) '( ) ( )d

u x v x x=u x v x − u x v x x

∫ ∫

^Hay

∫

^{u v}^d ⁼^uv⁻

∫

^{v u}^d

Đặt u= f x( )⇒du= f x x^/( )d và dv=g x x( )d ^⇒v=

∫

g x x( )d =G x( )(chọn C = 0) Lưu ý: Với P x( ) là đa thức

N.Hàm

Đặt

∫

P x e x( ) d^x

∫

^{P x}^{( )cos d}^{x x}^hay

∫

^{P x}^{( )sin d}^{x x}

∫

^{P x}^{( )ln d}^{x x}

u P(x) P(x) lnx

dv e x^xd ^{cos d}^{x x}^hay^{sin d}^{x x} ^{P x x}^{( )d}

Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” và phần còn lại là d .v Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

(7)

B. BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm Phương pháp: Dùng thành thạo các bảng nguyên hàm

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f x( ) 4= x⁴ b) f x( )= x c) x f x( ) cos

= 2

d) x

f x x

( ) 2

= 2 + e) x

f x x x

2

2 3

( )= + − +1 f) _{f x}

(

^x

)( )

^x

x

2 1 1

( ) − +

=

HD Giải a) 4x dx⁴ 4x⁵ C

= 5 +

∫

b) x x

xdx x dx C C x C

1 1 3

1 2 2

2 2 3

1 1 3 3

2 2

+

= = + = + = +

∫ ∫

+

c)

x

x x

dx C C

sin2

cos 2sin

1

2 2

2

= + = +

∫

d) x x

dx dx dx x dx x dx x x C x x C

x x

1

1 1 1

3 3

2 2 2

2 2 1 2 1 4 1 4

2 2 2 3 3

  −

+ = + = + = + + = + +

 

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

e) x x

dx x dx x x C

x x x x x

2 2

2 1 3 2 1 3 2ln 3

2

 + − +  =  + − +  = + − − +

   

 

∫ ∫

f) _x

(

^x

)( )

^x _dx _{x x} _x _dx _x _x _x _dx

x x

3 1 1

2 2 2

2 1 1 2 1 2 ⁻

 − +     

  =  + −  =  + − 

     

 

∫ ∫ ∫

x x x C x x x x x C

5 3 1

2 2 2 2

2 2 4 2

2. 2 2

5 3 5 3

= + − + = + − +

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f x x

x

( ) 3sin= +2 b) f x x x

2 3 2

( ) 2= + 1 c) f x( ) 3cos= x−3^x⁻¹

d) ^{f x}^{( )}⁼

( )

^x⁻¹

(

^x⁴⁺³^x

)

^e) ^{f x}^{( ) sin}⁼ ²^x ^f)^{f x}^{( ) cos}⁼ ²^x

HD Giải

a) x dx xdx dx x x C

x x

2 1

3sin 3 sin 2 3cos 2 ln

 

+ = + = − + +

 

 

∫ ∫ ∫

b) x dx x dx x dx x x C x x C

x

2 1

2 2 3 3 3 3 3

3 2

1 2 2

2 2 3 3

3 3

  −

+ = + = + + = + +

 

 

∫ ∫ ∫

c)

∫ (

^3cos^x⁻³^x⁻¹

)

⁼^{3 cos}

∫

^xdx⁻¹₃

∫

³^x^dx⁼^3sin^x⁻^{1 3}_{3 ln3}^x ^{+ =}^C ^3sin^x⁻³_ln3^x⁻¹ ⁺^C

d)

∫ ( )

^x⁻¹

(

^x⁴⁺³^{x dx}

)

⁼

∫ (

^x⁵⁻^x⁴⁺³^x²⁻³^{x dx}

)

⁼ ^x₆⁶ ⁻^x₅⁵ ^{+ −}^x³ ³₂^x²⁺^C

e) x

xdx dx dx xdx x x C

2 1 cos2 1 1 1 1

sin cos2 sin 2

2 2 2 2 4

= − = − = − +

∫ ∫ ∫ ∫

(8)

f) x

xdx dx dx xdx x x C

2 1 cos2 1 1 1 1

cos cos2 sin 2

2 2 2 2 4

= + = + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

a)

x

x e

f x e

2x

( ) 7

cos

 − 

=  − 

  b)

x

x e

f x e

2x

( ) 2

sin

 − 

=  + 

  c) f x

x x

2 2

( ) 1

sin .cos

=

d) x

f x x

cos3

( )= cos 1

+ e) x

f x ²x

1 cos2 ( ) cos

= − f) f x

x ( ) 1

2 1

= +

HD Giải a)

x

x e x x

e dx e dx e x C

x x

2 2

7 7 1 7 tan

cos cos

 −   

− = − = − +

   

 

∫ ∫

b)

x

x e x x

e dx e dx e x C

x x

2 2

2 2 1 2 cot

sin sin

 −   

+ = + = − +

   

 

∫ ∫

c) x x

dx dx dx dx x x C

x x x x x x

2 2

2 2 2 2 2 2

1 sin cos 1 1 tan cot

sin .cos sin .cos cos sin

= + = + = − +

∫ ∫ ∫ ∫

d) x

dx x x dx x x dx

x x x

3 2 2

2

cos cos cos 1 1 cos cos 1 1

cos 1 cos 1 2 cos

2

 

 

 

=  − + −  =  − + − 

+  +   

 

∫ ∫ ∫

x

x x x C

3 1sin 2 sin tan

2 4 2

= + − − +

e) 2_x^x^dx 2²_x^x^dx 2_x ^dx

(

^{x x}

)

^C

1 cos2 2sin 2 1 1 2 tan

cos cos cos

 

− = =  −  = − +

 

∫ ∫ ∫

f) dx x C

x

1 2 1

2 1 = + +

∫

+

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp:

Nếu

∫

f t dt( ) =F t( )+C^và^t⁼^ϕ^{( )}^x có đạo hàm liên tục, thì

∫

^f

( )

^ϕ^{( )}^x ^ϕ^/^{( )}^{x dx}⁼^F

( )

^ϕ^{( )}^x ⁺^C

Lưu ý: t=ϕ( )x ⇒dt=ϕ^/( )x dx

g t( )=ϕ( )x ⇒g t dt^/( ) =ϕ^/( )x dx

Sau khi tính

∫

f t dt( ) theo t, ta phải thay lại t=ϕ( )x Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

∫

e^sin^x.cosxdx ^b)

∫

^e^cos^x^.sin^xdx ^c)

∫

^e^sin²^x^{.sin 2}^xdx

d)

∫

e^cos²^x.sin2xdx ^e)

∫

^{sin cos}²^x ^xdx ^f)

∫

^{cos sin}²^x ^xdx

HD Giải

a) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Vậy

∫

e^sin^x.cosxdx=

∫

e dt^t = + =e^t C e^sin^x +C b) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx. Vậy

∫

e^cos^x.sinxdx= −

∫

e dt^t = − + = −e^t C e^cos^x +C

c) Đặt t=sin²x⇒dt=2sin cosx xdx=sin2xdx. Vậy

∫

e^sin²^x.sin2xdx=

∫

e dt^t = + =e^t C e^sin²^x+C d) Đặt t=cos²x⇒dt_{= −}2sin cosx xdx_{= −}sin 2xdx.

Vậy

∫

e^cos²^x.sin2xdx= −

∫

e dt^t = − + = −e^t C e^cos²^x +C

(9)

e) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Vậy sin cos²x xdx t dt² 1t³ C 1sin³x C

3 3

= = + = +

∫ ∫

f) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx. Vậy cos sin²x xdx t dt² 1t³ C 1cos³x C

3 3

= − = − + = − +

∫ ∫

Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

∫

tanxdx ^b)

∫

^cot^xdx ^c)

∫

cos^e^tan2^x_x^dx

d) x

x dx

2

1 tan cos

∫

+ ^e)

( )

^x _dx

x sin ln

∫

^f)

∫

^x^{ln ln ln}^x^dx

( )

^x

HD Giải

a) x

xdx dx

x tan sin

= cos

∫ ∫

^{. Đặt}^t⁼^cos^x^⇒^dt^{= −}^sin^xdx^.

Vậy dt

xdx t C x C

tan = − t = −ln + = −ln cos +

∫ ∫

b) x

xdx dx

x cot cos

= sin

∫ ∫

^.^Đặ^t^t⁼^sin^x^⇒^dt⁼^cos^xdx^.

Vậy dt

xdx t C x C

cot = t =ln + =ln sin +

∫ ∫

c) Đặt t x dt dx

2x tan 1

= ⇒ =cos . Vậy

x

t t x

e dx e dt e C e C

x

tan tan

cos2 = = + = +

∫ ∫

d) Đặt t 1 tanx t² 1 tanx 2tdt 1₂ dx

= + ⇒ = + ⇒ = cos .

Vậy

∫

^{1 tan}_cos⁺ ²_x^x^dx⁼

∫

^{t tdt}^.2 ⁼²₃^t³^{+ =}^C ²₃

(

^{1 tan}⁺ ^x

)

³ ^{+ =}^C ²₃

(

^{1 tan}⁺ ^x

)

^{1 tan}⁺ ^{x C}⁺

e) Đặt t x dt dx

x ln 1

= ⇒ = . Vậy

∫

^{sin ln}

( )

_x ^x ^dx⁼

∫

^sin^tdt^{= −}^cos^{t C}^{+ = −}^{cos ln}

( )

^x ⁺^C

f) Đặt _t

( )

_x _dt

( )

^x _dx _dx

x x x

ln / 1

ln ln

= ⇒ = = . Vậy

( ) ( )

dx dt

t C x C

x x x t ln ln ln ln

ln ln ln = = + = +

∫ ∫

a)

∫ ( )

¹⁻^{x dx}⁹ ^b)

∫

^x

(

¹⁺^x^{2 2}

)

³^dx ^c)

∫

^{cos sin}³^x ^xdx

d) _x dx_x e +e⁻ +2

∫

^e)

∫

^xe⁻^x²^dx ^f) ^x ^x ^dx

x x

cos sin sin cos

+

∫

− HD Giải

a) Đặt t= −1 xthì dt= −dx⇒dx= −dt.

Vậy

∫ ( )

¹⁻^{x dx}⁹ ^{= −}

∫

^{t dt}⁹ ^{= −}₁₀^t¹⁰ ⁺^C^{. Vậy}

∫ ( )

¹⁻^{x dx}⁹ ^{= −}⁽¹⁻₁₀^x⁾¹⁰ ⁺^C

b) Đặt t= +1 x² thì dt

dt xdx dx 2 x

= ⇒ =2 .

Vậy

∫

^x

(

¹⁺^x^{2 2}

)

³^dx⁼¹₂

∫

^{t dt}³² ⁼¹₅^t⁵²⁺^C^{. Vậy}

∫

^x

(

¹⁺^x²

)

³²^dx⁼¹₅

(

¹⁺^x²

)

⁵²⁺^C

c) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx. Khi đó cos sin³x xdx 1cos⁴x C

= −4 +

∫

(10)

d) Đặt t= +e^x 1⇒dt=e dx^x . Khi đó _x dx_x _x

e e e C

1 2 1

−

= − +

+ + +

∫

e) Đặt t=x² ⇒dt=2xdx. Khi đó xe ^x²dx 1e ^x² C 2

− = − − +

∫

f) Đặt ^t⁼^sin^x⁻^cos^x^⇒^dt⁼

(

^cos^x⁺^sin^{x dx}

)

^{. Khi đó} ^x ^x ^dx ^x ^{x C}

x x

cos sin 2 sin cos sin cos

+ = − +

∫

− Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

∫ (

²^x⁺¹

)

⁴^dx ^b)

∫

²^{x x}

(

²⁺¹

)

³^dx ^c) ^x ^dx

3 x2

2 +4

∫

d)

∫

cos(7x+5)dx ^e)

∫

^e^sin^x^cos^xdx ^f)

∫

^xe¹⁺^x²^dx

g) x

dx x

2 3

9

∫

1− ^h)

( )

^dx

x x ²

1 1+

∫

ⁱ⁾

∫

^x⁴¹⁻^{x dx}²

HD Giải

a) Đặt t=2x+1⇒dt=2dx. Khi đó

∫ (

²^x⁺¹

)

⁴^dx⁼₁₀¹

(

²^x⁺¹

)

⁵⁺^C

b) Đặt t=x²+1⇒dt=2xdx. Khi đó

∫

²^{x x}

(

²⁺¹

)

³^dx⁼¹₄

(

^x²⁺¹

)

⁴⁺^C

c) Đặt t=x²+4⇒dt=2xdx. Khi đó ^x ^dx

(

^x

)

^C

x

2

2 3

3 2

2 3 4

4 =2 + +

∫

+

d) Đặt t=7x+5⇒dt=7dx. Khi đó cos(7x 5)dx 1sin(7x 5) C

+ = 7 + +

∫

e) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Khi đó

∫

e^sin^xcosxdx=e^sin^x +C f) Đặt t= +1 x²⇒dt=2xdx. Khi đó xe¹ ^x²dx 1e¹ ^x² C

2

+ = + +

∫

g) Đặt t= −1 x³⇒dt= −3x dx² . Khi đó x

dx x C

x

2 3

3

9 6 1

1 = − − +

∫

−

h) Đặt t x dt

x 1 1

= + ⇒ = 2 . Khi đó

( )

^dx ^x ^C

x x

2

1 2

1 = −1 +

+ +

∫

i) Đặt t= −1 x²⇒dt= −2xdx. Khi đó

∫

^x⁴¹⁻^{x dx}² ^{= −}²₅

(

¹⁻^x^{2 4}

)

⁵ ⁺^C

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

x x

e dx e +1

∫

^b) x^x ^xx

e e e e dx

−

∫

+ ^c)

∫

^{x x}²⁻⁵^dx

d)

∫

x³ x⁴+3dx ^e)

∫

^x³ ^x²⁺⁷^dx ^f)

∫

^{x x}⁺¹^dx

HD Giải

a) Đặt t= +e^x 1⇒dt=e dx^x . Vậy

∫

_e^x^e₊^x ₁^dx⁼

∫

^dt_t ⁼^ln ^t^{+ =}^C ^ln

(

^e^x ^{+ +}¹

)

^C

b) Đặt ^t^{= +}^e^x ^e⁻^x ^⇒^dt⁼

(

^e^x⁻^e⁻^x

)

^dx^{. Vậy} _e^e^x^x ^e_e⁻−^x^x^dx ^dt_t ^ln^t ^C ^ln

(

^e^x ^e⁻^x

)

^C

− = = + = + +

∫

+

∫

c) Đặt t= x²−5⇒t² =x²−5⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx

(11)

Vậy: _{x x}² ₅_dx _{t dt}² ¹_t³ _C

(

^x² ⁵

)

³ _C

(

^x² ⁵

)

^x² ⁵ _C

3 3 3

− − −

− = = + = + = +

∫ ∫

d) Đặt t= x⁴+3⇒t²₌x⁴₋5⇒2tdt₌4x dx³ ⇒tdt₌2x dx³

Vậy: _x³ _x⁴ ₃_dx ¹ _{t tdt}_. ¹ _{t dt}² ¹_t³ _C

(

^x⁴ ³

)

^x⁴ ³ _C

2 2 6 6

+ +

+ = = = + = +

∫ ∫ ∫

e)

∫

x³ x²+7dx=

∫

x² x²+7.xdx^{. Đặt}^t⁼ ^x²⁺⁷^⇒^t²⁼^x²⁺⁷^⇒^x² ^{= −}^t² ⁷^⇒^xdx⁼^tdt Vậy:

∫

^x³ ^x²⁺⁷^dx⁼

∫

^x² ^x²⁺^7.^xdx⁼

∫ (

^t²⁻⁷

)

^{t dt}² ⁼

∫ (

^t⁴⁻⁷^{t dt}²

)

⁼¹₅^t⁵⁻⁷₃^t³ ⁺^C

(

^x² ⁷

)

² ^x² ^{7 7}

(

^x² ⁷

)

^x² ⁷ _C

5 3

+ + + +

= − +

f) Đặt t= x+1⇒x= −t² 1⇒dx=2tdt.

Vậy

∫

^{x x}⁺¹^dx⁼

∫ ( )

^t²⁻^{1 2}^{t dt}² ⁼²

∫ (

^t⁴⁻^{t dt}²

)

⁼ ²₅^t⁴⁻²₃^t³^{+ =}^C ²

( )

^x⁺¹ ^x⁺¹^^_^x₅⁺^{1 2}⁻₃^^_⁺^C

Bài 9. Tính:

a) A=

∫

cos⁴xdx ^b)^B ³4^x_x^dx

sin

=

∫

cos ^c)^C⁼

∫

^{sin3 .cos5}^x ^xdx

d) D=

∫

sin 4 .sin 6x xdx ^e)^E ⁼

∫

^{cos6 .cos2}^x ^xdx ^f)^F⁼

∫

^{sin 1 sin}^x

(

⁺ ^{x dx}

)

HD Giải

a) ^A⁼

∫

^cos⁴^xdx⁼

∫

^^_^{1 cos2}⁺ ₂ ^x^^_²^dx⁼ ¹₄

∫ (

^{1 2 cos2}⁺ ^x⁺^{cos 2}² ^{x dx}

)

⁼¹₈

(

^{3 4 cos2}⁺ ^x⁺^cos4^{x dx}

)

⁼¹₈^^³^x⁺^{2sin 2}^x⁺¹₄^{sin 4}^x^^⁺^C

 

∫

b) x

B dx xdx

x x x

3

4 4 2

sin 1 1 sin

cos cos cos

 

= =  − 

 

∫ ∫

^{. Đặt}^t⁼^cos^x^⇒^dt^{= −}^sin^xdx^.

Khi đó, ta có: x

B dx dt C C

t x

x t t t x

3

4 4 2 3 3

sin 1 1 1 1 1. 1 1

3 cos

cos 3cos

 

= = −  −  = − + = − +

 

∫ ∫

c) ^C⁼

∫

^{sin3 .cos5}^x ^xdx⁼¹₂

∫ (

^sin8^x⁻^{sin 2}^{x dx}

)

⁼¹₄^^_⁻¹₄^cos8^x⁺^cos2^x^^_⁺^C

d) ^D sin 4 .sin 6^x ^xdx ¹

(

cos2^x cos10^{x dx}

)

¹ sin 2^x ¹sin10^x ^C

2 4 5

 

= = − =  − +

 

∫ ∫

e) ^E⁼

∫

^{cos6 .cos2}^x ^xdx⁼¹₂

∫ (

^cos8^x⁺^cos4^{x dx}

)

⁼^{1 1}_{8 2}^^_ ^sin8^x⁺^{sin 4}^x^^_⁺^C

f) ^F⁼

∫

^{sin 1 sin}^x

(

⁺ ^{x dx}

)

⁼

∫ (

^sin^x⁺^sin²^{x dx}

)

⁼

∫

^^_^sin^x⁺^{1 cos2}⁻ ₂ ^x^^_^dx

⁼¹₂

∫ (

^2sin^x⁻^cos2^x⁺¹

)

^dx⁼ ¹₂^^_⁻^{2 cos}^x⁻¹₂^{sin 2}^{x x}⁺ ^^_⁺^C

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Phương pháp: Nếu hai hàm số u=u x( ) và v=v x( ) có đạo hàm liên tục trên K thì u x v x dx( ) '( ) =u x v x( ). ( )− u x v x dx'( ) ( )

∫ ∫

^Hay

∫

^udv⁼^uv⁻

∫

^vdu

(12)

Lưu ý: Đặt u f x du f x dx

dv g x dx v g x dx G x C

( ) /( )

( ) ( ) ( )

 = ⇒ =



= ⇒ = = +



∫

. Ta thường chọn C=0⇒v G x= ( )

Các dạng cơ bản: Cho P x( ) là một đa thức

1.

∫

P x( )sin(ax b dx+ ) ^{. Đặt}^^^u_dv⁼₌^{P x}_sin(^{( )}_{ax b dx}₊ ₎



2.

∫

P x( )cos(ax b dx+ ) ^{. Đặt}^^^u_dv⁼₌^{P x}_cos(^{( )}_{ax b dx}₊ ₎

 3.

∫

P x e( ) ^{ax b}⁺ dx^{. Đặt} ax b

u P x dv e dx

( )

+

 =



 =

4.

∫

P x( )ln(ax b dx+ ) ^{. Đặt}^^^u_dv⁼₌^ln(_{P x dx}^{ax b}_{( )}⁺ ⁾



5.

∫

e^{ax b}⁺ sin(Ax B dx+ ) ^hoặc

∫

^e^{ax b}⁺ ^cos(^{Ax B dx}⁺ ⁾ . Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u e= ^{ax b}⁺ Bài 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) A=

∫

xcosxdx ^b)^B⁼

∫

^x²^sin^xdx ^c)^C⁼

∫

^{2 ln}^x

( )

^x⁻¹ ^dx

d) ^D⁼

∫ ( )

^ln^{x dx}² ^e)^E ⁼

∫ ( )

¹⁺^x ^ln^xdx ^f)

( )

F x dx

x ²

ln

= 1

∫

+ HD Giải

a) Đặt: u x du dx dv cosxdx v sinx

 = ⇒ =

 = ⇒ =

 .

Vậy A=

∫

xcosxdx=

∫

udv=uv−

∫

vdu=xsinx−

∫

sinxdx=xsinx+cosx C+ b) u x du xdx

dv xdx v x

2 2

sin cos

 = ⇒ =



= ⇒ = −

 . Vậy B=

∫

x²sinxdx= −x²cosx+

∫

2 cosx xdx= −x²cosx B+ ₁ TínhB₁=

∫

2 cosx xdx^{. Đặt}^^^u_dv⁼₌²_cos^x_xdx^⇒_⇒^du_v₌⁼_sin²^dx_x

 .

Do đó B₁=2 sinx x−2 sin

∫

xdx=2 sinx x+2 cosx C+

Vậy: B=

∫

x²sinxdx= −x²cosx B+ ₁= −x²cosx+2 sinx x+2 cosx C+

c) Đặt: ^u

( )

^x ^du _x ^dx

dv xdx v x² ln 1 1

1 2

 = − ⇒ =

 −

 = ⇒ =



. Vậy: ^C⁼

∫

^{2 ln}^x

( )

^x⁻¹ ^dx⁼^x²^ln(^x^{− −}¹⁾

∫

_x^x₋²₁^dx

x

x x x dx x x x x C

x

2ln( 1) 1 1 2ln( 1) 2 ln 1

1 2

 

= − −  + +  = − − − − − +

−

 

∫

d) Đặt: ^u

( )

^x ^du _x^x^dx

dv dx v x

2 2 ln

 ln

= ⇒ =



 = ⇒ =



. Vậy: ^D⁼

∫ ( )

^ln^{x dx}² ⁼^x

( )

^ln^x ²⁻^{2 ln}

∫

^xdx⁼^x

( )

^ln^x ²⁻²^D¹

Tính D₁=

∫

lnxdx^{. Đặt} ^u ^x ^du ^x^dx dv dx v x

ln 1

 = ⇒ =



 = ⇒ =



. D₁=

∫

lnxdx=xlnx−

∫

dx=xlnx x C− + Vậy: ^D⁼

∫ ( )

^ln^{x dx}² ⁼^x

( )

^ln^x ²⁻^{2 ln}^x ^x⁺²^{x C}⁺

(13)

e) Đặt:

( )

u x du dx x dv x dx v x x

2

ln 1

1 2

 = ⇒ =



 = + ⇒ = +



.

Vậy: ^E⁼

( )

¹⁺^x ^ln^xdx⁼^^^x⁺ ^x₂²^^^ln^x⁻ ^^_¹⁺^x₂^^_^dx⁼^^^x⁺ ^x₂²^^^ln^x⁻^^^x⁺ ^x₄²^^⁺^C

     

∫ ∫

f) Đặt:

( )

u x du dx x

dv dx v

x ² x ln 1

1 1

 = ⇒ =



 = ⇒ = −

 +



.

Vậy:

( )

^x ^x

( )

^dx ^x ^x ^x

F dx dx C

x x x x x x x x

x ²

ln ln ln 1 1 ln ln

1 1 1 1 1 1

1

 

= = − + = − +  −  = − + +

+ + +  +  + +

∫

+

∫ ∫

Bài 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ^A⁼

∫

^x^{ln 1}

( )

⁺^{x dx} ^b)^B⁼

∫ (

^x²⁺²^x⁻¹

)

^{e dx}^x

c) ^C⁼

∫

^x^{sin 2}

(

^x⁺¹

)

^dx ^d)^D⁼

∫ ( )

¹⁻^x ^cos^xdx

HD Giải

a) Đặt:

( )

2

ln 1 11

2

du dx

u x x

dv xdx v x

 =

 = + 

 ⇒ +

 

=

 

  =

.

Vậy ^A⁼

∫

^x^{ln 1}

( )

⁺^{x dx}⁼ ¹₂^x²^{ln 1}

( )

^{+ −}^x ¹₂

∫

_x^x₊²₁^dx⁼¹₂^x²^{ln 1}

( )

^{+ −}^x ¹₂

∫

^^_^x^{− +}¹ _x¹₊₁^^_^dx

( )

²

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 ln 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 1

2 2 2 2 4 2

x x x x x  C x x x x C

= + −  − + + + = − + − + +

 

b) Đặt: ² ² ¹

(

² ²

)

x x

du x dx

u x x

dv e dx v e

 = + −  = +

 ⇒

 

=

  =

 

.

Vậy ^B⁼

∫ (

^x²⁺²^x⁻¹

)

^{e dx}^x ⁼^e^x

(

^x²⁺²^x^{− −}¹

) ∫

^e^x

(

²^x⁺²

)

^dx⁼^e^x

(

^x²⁺²^x^{− +}¹

)

^I

Với ^I⁼

∫

^e^x

(

²^x⁺²

)

^dx^{. Đặt:} ² x ² ²x

u x du dx

dv e dx v e

 = +  =

 

 ⇒

= =

 

 

(

² ^{2 2}

) (

² ^{2 2}

)

²

x x x x x

I=e x+ −

∫

e dx=e x+ − e = xe +C Vậy: ^B⁼^e^x

(

^x²⁺²^x^{− −}^{1 2}

)

^xe^x ⁼^e^x

(

^x²^{− +}¹

)

^C

c) Đặt:

( )

¹

( )

sin 2 1 cos 2 1

2 du dx u x

dv x dx v x

 =

 

 ⇒

= + = − +

 

 

.

( )

¹

( )

¹

( )

¹

( )

¹

( )

sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1

2 2 2 4

C=

∫

x x+ dx= − x x+ +

∫

x+ dx= − x x+ + x+ +C d) Đặt: 1

cos sin

u x du dx

dv xdx v x

 = − ⇒ = −

 

= =

  .

Vậy: ^D^{= −}

( )

¹ ^x ^sin^x⁺

∫

^sin^xdx^{= −}

( )

¹ ^x ^sin^x⁻^cos^{x C}⁺

(14)

Bài 12. Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a) f x( )=xsinx b) f x( )=xe^x c) x ^x f x( ) e²

= 3 d) x

f x( ) xsin

= 2

e) f x( )=x²cosx f) f x( )=e ^{3 9}^x⁻ g) f x( )=x³ln(2 )x h) f x( )= xlnx HD Giải

a) Đặt u=x và dv=sinxdx ta có du dx= và v= −cosx

Do vậy

∫

xsinxdx= −xcosx+

∫

cosxdx= −xcosx+sinx C+ b) Đặt u=x dv, =e dx^x khi đó du=dx v, =e^x. Do đó

∫

xe dx^x =xe^x− +e^x C

c) Đặt x ^x

u ,dv e dx²

= 3 = . Khi đó, ta có du 1,v 1e²^x

3 2

= = . Do đó x ^x ^x ^x

e dx² 1xe² 1 e² C

3 = 6 −12 +

∫

d) Đặt x

u x dv, sin dx

= = 2 , ta có x

du dx v, 2cos

= = − 2. Do đó x x x

xsin dx 2 cosx 4sin C

2 = − 2+ 2+

∫

e) Đặt u=x dv², =cosxdxkhi đó du=2xdx v, =sinx.

Do đó:

∫

x²cosxdx=x²sinx−2 sin

∫

x dx=x²sinx−2I^{, với}^I⁼

∫

^x^sin^dx. Tính I bằng công thức lấy nguyên hàm từng phần, đặt u=x dv, =sinxdx khi đó du=dx v, = −cosx.

Do vậy I=

∫

xsindx= −xcosx+sinx C+

Vậy

∫

x²cosxdx=x²sinx+2 cosx x−2sinx−2C

f) Đổi biến u= 3x−9. Ta có dx u

du hay dx du u

3 2

2 3

= = . Vậy e ^{3 9}^x dx 2 ue du^u

3

− =

∫ ∫

Áp dụng kết câu b), ta được

∫

^e ^{3 9}^x⁻ ^dx⁼²₃

∫

^{ue du}^u ⁼²₃

(

ûeû⁻êû

)

^{+ =}^C ^{2 3 9.}₃

(

^x⁻ ^e ^{3 9}^x⁻ ⁻^e ^{3 9}^x⁻

)

⁺^C

g) Đặt

u x du dx

x dv x dx v x

3 4

ln(2 ) 1

4

 = ⇒ =



 = ⇒ =



. Vậy x x x

x x dx C

4 4

3ln(2 ) ln(2 )

4 16

= − +

∫

h) Đặt

u x du dx

x dv xdx v x

3 2

ln 1

2 3

 = ⇒ =





= ⇒ =



.Vậy x xdx x x x dx x x x C

3 1 3 3

2 2 2 2

2 2 2 4

ln ln ln

3 3 3 9

= − = − +

∫ ∫

Bài 13. Tính các nguyên hàm sau:

a) A=

∫

xe dx⁻^x ^b)^B⁼

∫ (

²^x⁻³^x

)

²^dx ^c)^C⁼

∫

^cos ^xdx ^d)^D⁼

∫

^{(1 2 )}⁻ ^{x e dx}^x

e) x

E x dx

x ln1

1

= +

∫

− ^f)^F⁼

∫

^ln

(

^x⁺ ¹⁺^x²

)

^dx^g)^G⁼

∫

^{ln(sin )}_cos²_x^x ^dx^h)^H

(

_x 2^x

)(

¹_x 3

)

^dx

= +

− +

∫

HD Giải a) Đặt:

x x

u x du dx dv e dx⁻ v e⁻

 = ⇒ =



= ⇒ = −

 . Vậy: A=

∫

xe dx⁻^x = −xe⁻^x+

∫

e dx⁻^x = −xe⁻^x− +e^x C b) ^B⁼

∫ (

²^x⁻³^x

)

²^dx⁼

∫ (

⁴^x ⁻^2.6^x ⁺⁹^x

)

^dx⁼ _{ln 4}⁴^x ⁻²_{ln6 ln9}⁶^x ⁺ ⁹^x ⁺^C

c) Đổi biến, đặt t x dt dx hay dx xdt x

1 2

= ^⇒ =2 = .

∫

cos xdx=2 cos

∫

t tdt

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có

∫

tcostdt=tsint−

∫

sintdt t= sint+cost C+

(15)

Vậy

∫

cos xdx=2 xsin x+2 cos x C+ d) Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

1 2 2

 = − ^⇒ = −



= ^⇒ =

 . Do vậy:

∫

(1 2 )− x e dx^x = −(1 2 )x e^x +2

∫

e dx^x = −(3 2 )x e^x+C e) Đặt

u x du dx

x x

dv xdx v x

2 2

1 2

ln1 1

2

 = + ⇒ =

 − −

 = ⇒ =



.

Do đó x x x x x x

x dx dx dx

x x x x x

2 2 2

2 2

1 1 1 1

ln .ln .ln 1

1 2 1 1 2 1 1

 

+ = + − = + − − + 

− − − −  − 

∫ ∫ ∫

x x x x x

x x C

x x x

2.ln1 1 1ln 1 2ln1

2 1 2 1 2 1

+ + − +

= + − = − +

− − −

f) Đặt ^u

(

^x ^x

)

^du _x ^dx

dv dx v x

2

ln 1 1

1

 = + + ^⇒ =

 +

 = ^⇒ =

(

^x ^x²

)

^dx ^x

(

^x ^x²

)

^x ¹_x² ^dx ^x

(

^x ^x²

)

^I

ln 1 ln 1 . ln 1

+ + = + + − 1 = + + −

∫ ∫

+

Với I x dx

x² . 1

= 1

∫

+ . Áp dụng phương pháp đổi biến, ta được I x dx x C

x

2 2

. 1 1

= 1 = + +

∫

+ Vậy

∫

^ln

(

^x⁺ ¹⁺^x²

)

^dx⁼^x^ln

(

^x⁺ ¹⁺^x²

)

⁻ ¹⁺^x² ⁺^C

g) Đặt

u x du xdx

x

dv dx v x

2x ln(sin ) cos

sin

1 tan

cos

 = ⇒ =



 = ⇒ =



.

Do đó: x

dx x x dx x x x C

2x

ln(sin ) tan .ln(sin ) tan .ln(sin )

cos = − = − +

∫ ∫

h)^H ⁼