Phân dạng và bài tập Đại số và Giải tích 11 học kỳ I – Lư Sĩ Pháp - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

TOÁN 11

CHƯƠNG I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II

TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III

DÃY SỐ

CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TẬP 1

(2)

(3)

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nh ằ m giúp các em h ọ c sinh có tài li ệ u t ự h ọ c môn Toán, tôi biên so ạ n cu ố n gi ả i toán tr ọ ng tâm c ủ a l ớ p 11.

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định.

Nội dung gồm 3 phần

Phần 1. Kiến thức cần nắm

Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.

Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899 Email: lsp0207@yahoo.com.vn

lsp02071980@gmail.com

Chân thành c ả m ơ n.

Tác gi ả L ư S ĩ Pháp

Gv_Trường THPT Tuy Phong

LỜI NÓI ĐẦU

(4)

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trang 1

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trang 3

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trang 11

§3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP Trang 18

ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 27

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 44

ĐÁP ÁN Trang 59

CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT

§1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Trang 60

§2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Trang 66

§3. NHỊ THỨC NIU-TƠN Trang 77

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trang 83

§5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Trang 86

ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 93

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 103

Chương III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Trang 118

§2. DÃY SỐ Trang 125

§3. CẤP SỐ CỘNG Trang 134

§4. CẤP SỐ NHÂN Trang 141

ÔN TẬP CHƯƠNG III Trang 150

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Trang 155

(5)

CHƯƠNG I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

---0O0---

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

sin²α+cos²α =1 _tan ^sin _; _, cosα π2 k k

α α π

= α ≠ + ∈ℤ

_cot ^cos _; _, sinα k k

α α π

= α ≠ ∈ℤ _{tan .cot} _1; _,

2 kπ k α α = α ≠ ∈ℤ ²

2

1 tan 1 ; ,

cos π2 k k

α α π

+ = α ≠ + ∈ℤ ²

2

1 cot 1 ; ,

sin k k

α α π

+ = α ≠ ∈ℤ

2. Các công thức lượng giác 2.1. Công thức cộng

^cos

(

^{α β}^±

)

⁼^{cos cos}^α ^β ^∓^{sin sin}^α ^β

^sin

(

^{α β}^±

)

⁼^{sin cos}^α ^β^±^{cos sin}^α ^β

^tan

(

^{α β}^±

)

⁼_{1 tan tan}^tan_∓ ^α ^±_α^tan^β_β ^{, với mọi}^{α β}^, làm cho các biểu thức có nghĩa.

2.2. Công thức nhân đôi _{sin 2}α =_{2sin cos}α α

cos2α =cos²α−sin²α =2 cos²α− = −1 1 2sin²α 2

2 tan

tan 2 ; ,2 ,

1 tanα π2 k k

α α α π

= α ≠ + ∈

− ℤ

2.3. Công thức nhân ba

cos3α =4 cos³α−3cosα sin3α =3sinα−4sin³α 2.4. Công thức hạ bậc

_cos² ^{1 cos2} 2

α = ⁺ α _sin² ^{1 cos2}

2 α = ⁻ α

_tan² ^{1 cos2} 1 cos2 α α

α

= −

+ , với α làm cho biểu thức có nghĩa.

2.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

_cos _cos _{2 cos} _.cos

2 2

α β α β

α+ β = ⁺ ⁻ _cos _cos _2sin _.sin

2 2

α β α β

α − β = − ⁺ ⁻

_sin _sin _2sin _.cos

2 2

α β α β

α + β = ⁺ ⁻ sin sin 2 cos .sin

2 2

α β α β

α− β = ⁺ ⁻

, với mọi α β, làm cho các biểu thức có nghĩa.

2.7. Công thức biến đổi tích thành tổng

^{cos .cos}^α ^β ⁼¹₂^^cos

(

^{α β}⁺

)

⁺^cos

(

^{α β}⁻

)

^ ^{sin .sin}^α ^β ^{= −}¹₂^^cos

(

^{α β}⁺

)

⁻^cos

(

^{α β}⁻

)

^ ^{sin .cos}^α ^β ⁼¹₂^^sin

(

^{α β}⁺

)

⁺^sin

(

^{α β}⁻

)

^

(6)

2.8. Công thức rút gọn

^sin ^cos ^{2 sin} ^{2 cos}

4 4

π π

α + α = ^α+ ^= ^α− ^

   

^sin ^cos ^{2 sin} ^{2 cos}

4 4

π π

α − α = ^α− ^= − ^α+ ^

   

^tan ^cot ²

sin 2

α α

+ = α , với α làm cho biểu thức có nghĩa 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt

3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) (α làm cho các biểu thức có nghĩa) ^cos(− =α^{) cos}α ^sin(− = −α⁾ ^sinα ^tan(− = −α⁾ ^tanα ^cot(− = −α⁾ ^cotα 3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

^sin(π α− ^{) sin}= α ^cos(π α− ⁾= −^cosα

^tan(π α− ⁾= −^tanα ^cot(π α− ⁾= −^cotα

3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

^sin ^cos

π α2 α

 

− =

 

  ^cos ^sin

π α2 α

 

− =

 

 

^tan ^cot

π α2 α

 

− =

 

  ^cot ^tan

π α2 α

 

− =

 

 

3.4. Hai góc hơn kém π(cung hơn kém π^),(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

^sin(π α+ ⁾= −^sinα ^cos(π α+ ⁾= −^cosα

^tan(π α+ ^{) tan}= α ^cot(π α+ ^{) cot}= α 3.5. Hai góc hơn kém

2

π (cung hơn kém 2

π ),(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

^sinπ α₂  ^cosα

+ =

 

  ^cosπ α₂  ^sinα

+ = −

 

 

^tanπ α₂  ^cotα

+ = −

 

  ^cotπ α₂  ^tanα

+ = −

 

 

3.6. Cung bội. (k∈ℤ, α làm cho các biểu thức có nghĩa)

^sin(α+^k^{2 ) sin}π = α ^cos(α+^k^{2 ) cos}π = α ^tan(α+^kπ^{) tan}= α ^cot(α+^kπ^{) cot}= α 4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt

α

HSLG

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 120⁰ 135⁰ 150⁰ 180⁰

0 π₆

4 π

3 π

2

π ²

3π ³

4π ⁵

6π π

sinα

0

1

2 2

2

3

2 1 3

2

2 2

1

2 0

cosα

1 3

2

2 2

1

2 0

1

−2 2

− 2 3

− 2 - 1 tanα

0 3

3 1 3

|| − 3

- 1 3

− 3 0 cotα

|| 3

1 3

3 0 3

− 3 - 1 − 3

||

|| : Không xác định

(7)

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

Hàm số y=sinx Hàm số y=cosx

• Có tập xác định là ℝ

• Có tập giá trị là −1;1

• Là hàm số lẻ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

2 ; 2

2 k 2 k

π π π π

 

− + +

 

  và nghịch biến trên

mỗi khoảng 2 ;³ 2 ,

2 k 2 k k

π π π π

 

+ + ∈

 

  ^ℤ

• Có đồ thị là một đường hình sin

• Có tập xác định là ^ℝ

• Có tập giá trị là −1;1

• Là hàm số chẵn

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

T = π

(

^{− +}^π ^k^{2 ; 2}^π ^k ^π

)

^{và ngh}^ị^{ch bi}^ế^{n trên}

mỗi khoảng

(

^k^{2 ;}^{π π} ⁺^k^{2 ,}^π

)

^k^∈^ℤ

• Có đồ thị là một đường hình sin

Hàm số y=tanx Hàm số y=cotx

• Có tập xác định là ₁ \ , D = ^π2 +kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

• Có tập giá trị là ℝ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

; ;

2 k 2 k k

π π π π

 

− + + ∈

 

  ^ℤ

• Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng 2 ;

x= +π kπ k∈ℤ làm một đường tiệm cận

• Có tập xác định là ^D² ⁼^ℝ^\

{

^k^π^,^k^∈^ℤ

}

• Có tập giá trị là ℝ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Nghịch biến trên mỗi khoảng

(

^k^{π π}^; ⁺^k^π

)

^;^k^∈^ℤ

• Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng x=kπ;k∈ℤ làm một đường tiệm cận

B. BÀI TẬP

Dạng 1. Tập xác định của hàm số - Hàm số xác định với một điều kiện

- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện - Hàm số _y₌_{sin ;}_{x y}₌_cos_x có tậ_{p xác}đị_{nh là}ℝ

- Hàm số y=tanxxác định khi và chỉ khi cosx≠0; Hàm số y=cotxxác định khi và chỉ khi sinx≠0 Lưu ý:

1 sin 1 2

u= ⇔ = +u π2 k π sin 1 2

u= − ⇔ = − +u π2 k π ^sin^u= ⇔ =⁰ ^u ^kπ 2 cosu= ⇔ =1 u k2π cosu= − ⇔ = +1 u π k2π cos 0

u= ⇔ = +u π2 kπ 3 tan 1

u= ⇔ = +u π4 kπ tan 1

u= − ⇔ = − +u π4 kπ ^tan^u= ⇔ =⁰ ^u ^kπ 4 cot 1

u= ⇔ = +u π4 kπ cot 1

u= − ⇔ = − +u π4 kπ cot 0

u= ⇔ = +u π2 kπ - Hàm số y ¹

= A xác định khi và chỉ khi A≠0 - Hàm số y= A xác định khi và chỉ khi A≥0

(8)

- Hàm số y ¹

= A xác định khi và chỉ khi A>0 Bài 1.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) 1 cos sin y x

x

= + b) 1 sin

cos y x

x

= + c) 1 cos

1 cos y x

x

= +

− d) y= 3 sin− x HDGiải

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈ℤ. Vậy ^D⁼^ℝ^\

{

^k^π^,^k^∈^ℤ

}

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 ,

x≠ ⇔ ≠ +x π2 kπ k∈ℤ. Vậy \ , D= ^π2+kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 cos 0 1 cos

x x

+ ≥

− . Vì 1 cos+ x≥0 nên điều kiện là 1 cos− x>0 hay 1 cos− x≠ ⇔0 cosx≠ ⇔ ≠1 x k2 ,π k∈ℤ. Vậ_y^D⁼^ℝ^\

{

^k^π^,^k^∈^ℤ

}

d) Vì − ≤1 sinx≤1 nên 3 sin− x≥ ∀ ∈0, x ℝ. Vậ_y_D₌ℝ Bài 1.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) tan

y₌ ^x₋π3^

 

  b) cot

y₌ ^x₊π6^

 

  c) tan 2

y₌ ^ x₊π3^

 

  d) y=tanx+cotx HDGiải

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 5 ,

3 3 2 6

x π x π π kπ x π kπ k

 

− ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈

 

  ^ℤ^.

Vậy \ 5 ,

D= ^ 6π +kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0 ,

6 6 6

x π x π kπ x π kπ k

 

+ ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ∈

 

  ^ℤ^.

Vậy \ ,

D= ^− +π6 kπ k∈ ^

 

ℝ ℤ

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 2 0 ,

3 3 2 12 2

x π x π π kπ x π kπ k

 

+ ≠ ⇔ + ≠ + ⇔ ≠ + ∈

 

  ^ℤ^.

Vậy \ ,

12 2

D₌ ^π ₊kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

d) Hàm số_xácđịnh khi và chỉ_khi cos 0

sin 2 0 ,

sin 0 2

x k

x x k

x

π

 ≠

⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈

 ≠

 ℤ.

Vậy \ ,

2

D₌ ^kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

Bài 1.3. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) cos 2 1 y x

= x

− b) tan

3

y= x c) y = cot2x

d) ₂1

sin 1 y= x

− e) y= cosx+1 f) 2

cos cos3

y= x x

−

g) ₂ 3 ₂

sin cos

y= x x

− h) 1 sin

1 cos y x

x

= −

+ i) 3sin 7

2 cos 5 y x

x

= −

− HDGiải

a) Ta có 2

cos 1 y x

= x

− xác định trên ℝkhi và chỉ khi 2

1 0 1

1

x x x

x ∈ ⇔ − ≠ ⇔ ≠

− ℝ .

(9)

Vậy tập xác định của hàm số cos ² 1 y x

= x

− là ^D⁼^ℝ^{\ 1}

{ }

b) Hàm số tan 3

y= x xác định khi và chỉ khi cos 0 ³ 3 ,

3 3 2 2

x x

k x k k

π π π π

≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈ℤ. Vậy tập xác định của hàm số \ ³ 3 ,

D= ^ 2π +k π k∈ ^

 

ℝ ℤ

c) Tập xác định của hàm số \ , 2

D₌ ^kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

d) Tập xác định của hàm số ^D⁼^ℝ^{\ 1;1}

{ }

⁻

e) Ta có cosx+ ≥ ∀ ∈1 0, x ℝ. Vậy tập xác định của hàm số _D₌ℝ f) Ta có cosx−cos3x= −2sin 2 sin( ) 4sinx − =x ²xcosx.

Vậy tập xác định của hàm số \ , 2

D₌ ^kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

g) Ta có sin² x−cos² x= −cos2x. Vậy tập xác định của hàm số \ ,

4 2

D₌ ^π ₊kπ k_∈ ^

 

 

ℝ ℤ

h) Ta có 1 sin− x≥0,1 cos+ x≥0. Do đó hàm số xác định ∀ ∈x ℝ khi cosx≠ −1. Vậy tập xác định của hàm số ^D⁼^ℝ^\

{

^π ⁺^k^{2 ,}^π ^k^∈^ℤ

}

i) Ta có 3sinx− <7 0, 2 cosx− <5 0 nên ^3sin ⁷ 0, 2 cos 5

x x

x− > ∀ ∈

− ℝ. Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ Bài 1.4. Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) y=cos x b) sin ¹

1 y x

x

= +

− c) ^{1 cos2}₂

1 cos 2 y x

x

= − +

d) ^cot

cos 1 y x

= x

− e) ^{2 cos}

1 tan 3 y x

x π

= −

 

+  − 

 

f) ^tan ^cot

1 sin 2

x x

y x

= +

− HDGiải

a) Ta có y=cos xxác định trên ℝ khi và chỉ khi x∈ ⇔ ≥ℝ x 0. Vậy tập xác định của hàm số D=[0;+∞)

b) Ta có sin ¹ 1 y x

x

= +

− xác định trên ℝ khi và chỉ khi ¹ ¹ 0 1 1

1 1

x x

x x x

+ ∈ ⇔ + ≥ ⇔ − ≤ <

− ℝ − .

Vậy tập xác định của hàm số D= −[ 1;1)

c) Ta có 1 cos2− x≥0,1 cos 2+ ² x≥ ∀ ∈0, x ℝ. Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ d) Hàm số ^cot

cos 1 y x

= x

− xác định sin 0

cos 1 2 ;

x x k

x k k

x x k

π π

π

 ≠  ≠

⇔ ⇔ ⇔ ≠ ∈

≠ ≠

  ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số ^D⁼^ℝ^\

{

^k^π^,^k^∈^ℤ

}

e) Hàm số ^{2 cos}

1 tan 3 y x

x π

= −

 

+  − 

 

xác định

cos 0 5

3 6 ;

tan 0

3 12

x x k

k

x k

x

π π π

  − ≠ 

    ≠ +

   

⇔ ⇔ ∈

 

  − ≠  ≠ +

   



ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số 5

\ ;

6 12

D= ^^ π +kπ^∪^π +kπ^ k∈ ^

   

 

ℝ ℤ

(10)

f) Hàm số ^tan ^cot 1 sin 2

x x

y x

= +

− xác định

cos 0

sin 0 2 ;

sin 2 1

4

x x k

x k

x

π π π

 ≠  ≠

 

⇔ ≠ ⇔ ∈

 ≠  ≠ +

 

ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \ ;

2 4

D= ^^kπ^∪^π +kπ^ k∈ ^

   

 

ℝ ℤ

Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y= f x( )

Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x x, ∈D⇒− ∈x D (1) Tính f( )−x và so sánh f( )−x với f x( ):

Nếu f( )− =x f x( ) thì f x( ) là hàm số chẵn (2) Nếu f( )− = −x f x( ) thì f x( ) là hàm số lẻ (3) Do vậy

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D Để kết luận f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x₀ sao

chof(−x₀)≠ f x( )₀ và f(−x₀)≠ −f x( )₀

Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG Bài 1.5. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y ^cos^x

= x b) y = x – sinx c) y= 1 cos− x

d) 1 cos .sin ³ 2 y_{= +} x ^ 2π ₋ x^

 

  e) y = sinx.cos²x + tanx f) y = sinx – cosx

g) y=sin³x−tanx h) ^tan ^cot

sin

x x

y x

= +

HDGiải a) Hàm số ( ) ^cosx

y f x

= = x có tập xác định ^D⁼^ℝ^{\ 0}

{ }

^{. Ta có}^∀^{x x}^, ^∈^D^⇒^{− ∈}^x ^D^và

cos( ) cos

( ) ( )

( )

x x

f x f x

x x

− = − = − = −

− . Vậy hàm số ( ) ^cosx

y f x

= = x là hàm số lẻ. b) Hàm số lẻ

c) Là hàm số chẵn d) Là hàm số chẵn e) Là hàm số lẻ

f) Hàm số y= f x( ) sin= x−cosxcó tập xác định D=ℝ. Lấy x₌π6

ta có : 1 3; 1 3

6 2 2 6 2 2

f ^π ^_{= −} f ^₋π ^_{= − −}

   

    . Suy ra

6 6

f ^π ^_≠ f ^₋π^

   

   

Vậy hàm số y= f x( ) sin= x−cosx là hàm số không chẵn, không lẻ g) Là hàm số lẻ

h) Là hàm số lẻ

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m.

Nếu ∀ ∈x D f x, ( )≤M và ∃x₀ sao cho f x( )₀ =Mthì M gọi là GTLN của hàm số y= f x( ) trên D và kí hiệu

Max yD =M

Nếu ∀ ∈x D f x, ( )≥m và ∃x₀ sao cho f x( )₀ =mthì m gọi là GTNN của hàm số y= f x( ) trên D và kí

(11)

hiệu

D

Min y=m Chú ý:

− ≤1 sinx≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 sin≤ ² x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 sin≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ − ≤1 cosx≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ ²x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ Bài 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) y=2 cosx +1 b) y_{= −}3 2sinx c) ^y⁼ ^{2 1 cos}

(

⁺ ^x

)

⁺¹ ^d) ^y⁼^3sin^^_^x⁻^π₆^^_⁻²

HDGiải a) y=2 cosx +1. Điều kiện: cos 0

0 cos 1,

1 cos 1

x x x

x

≥

 ⇔ ≤ ≤ ∀ ∈

− ≤ ≤

 ^ℝ

Ta có: 0≤ cosx ≤ ⇔ ≤1 0 2 cosx≤ ⇔ ≤2 1 2 cosx ≤3 hay 1≤ ≤y 3 Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈

ℝ

ℤ

1 cos 0 ,

Min y= ⇔ x= ⇔ = +x π2 kπ k∈

ℝ

ℤ b) y= −3 2sinx. Tập xác định: D=ℝ

Ta có: − ≤1 sinx≤ ⇔ ≥ −1 2 2sinx≥ − ⇔ + ≥ −2 2 3 3 2sinx≥ − + ⇔ ≥ −2 3 5 3 2sinx≥1hay 5≥ ≥y 1

Vậ_y: ₅ _sin ₁ _{2 ,}

Max y= ⇔ x= − ⇔ = − +x π2 k π k∈

ℝ

ℤ

1 sin 1 2 ,

Min y= ⇔ x= ⇔ = +x π2 k π k∈

ℝ

ℤ

c) ^y⁼ ^{2 1 cos}

(

⁺ ^x

)

⁺¹^{. T}^ậ^{p xác}^đị^{nh: D}⁼^ℝ

Ta có: ^{− ≤}^{1 cos}^x^{≤ ⇔ ≤ +}¹ ^{0 1 cos}^x^{≤ ⇔ ≤}² ^{0 2 1 cos}

(

⁺ ^x

)

^≤⁴

( ) ( )

⇔ ≤0 2 1 cos+ x ≤ ⇔ ≤2 1 2 1 cos+ x + ≤1 3 Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈

ℝ

ℤ

1 cos 1 2 ,

Min y= ⇔ x= − ⇔ = +x π k π k∈

ℝ

ℤ

Bài 1.7. Tìm giá trị_lớ_{n nh}ấ_{t và nh}ỏ_nhấ_{t c}ủ_{a m}ỗ_{i hàm s}ố_sau

a) 2 cos 3

y₌ ^π3₊x^₊

 

  b) cos cos

y₌ x₊ ^x₋π3^

 

  c) y= −3 2 sinx d) y=cos²x+2 cos 2x e) y= 5 2 cos .sin− ²x ² x f) 2 sin² x−cos 2x

HDGiải

a) Hàm số 2 cos 3

y₌ ^π3 ₊x^₊

 

  có tập xác định là D=ℝ.

Ta có: _{− ≤} ^π ₊ ^_{≤ ⇔ − ≤} ^π ₊ ^_{≤ ⇔ − + ≤} ^π ₊ ^_{+ ≤ +}

     

     

1 cos 1 2 2 cos 2 1 3 2 cos 3 2 3

3 x 3 x 3 x

π

 

⇔ ≤  + + ≤ ≤ ≤

 

1 2 cos 3 5 1 5

3 x hay y

Vậy: Max y=5

ℝ khi cos 1 2 ,

3 x x 3 k k

π π π

 

+ = ⇔ = − + ∈

 

  ^ℤ

1 Min y= −

ℝ khi cos 1 2 2 ,

3 x x 3 k k

π π π

 

+ = − ⇔ = + ∈

 

  ^ℤ

(12)

b) Hàm số cos cos

y₌ x₊ ^x₋π3^

 

  có tập xác định là D=ℝ.

Ta có cos cos 2 cos cos 3 cos

3 6 6 6

x₊ ^x₋π^₌ ^x₋π ^ π ₌ ^x₋π ^

     

     .

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: 3 3 cos 3 3 3

x π6 hay y

 

− ≤  − ≤ − ≤ ≤

 

Vậy: GTLN của y là 3, đạt đựơc khi cos 1 2 ;

6 6

x π x π k π k

 

− = ⇔ = + ∈

 

  ^ℤ

GTNN của y là − 3, đạt được khi cos 1 ⁷ 2 ;

6 6

x π x π k π k

 

− = − ⇔ = + ∈

 

  ^ℤ

c) Hàm số y= −3 2 sinx có tập xác định là D=ℝ.

Ta có 0 sin≤ x ≤ ⇔ − ≤ −1 2 2 sinx ≤ ⇔ ≤ −0 1 3 2 sinx ≤3 hay 1≤ ≤y 3 Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sinx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là 1, đạt được khi sin 1 , x= ± ⇔ = ± +x π2 kπ k∈ℤ d) Hàm số y=cos² x+2 cos2x có tập xác định là D=ℝ.

Ta có cos² 2 cos2 ^{1 cos2} 2 cos2 ^{1 5cos2}

2 2

x x

x+ x= + + x= + .

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: 2 ^{1 5cos2} 3 2

+ x

− ≤ ≤ .

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ GTNN của y là -2, đạt được khi cos2 1 ,

x= − ⇔ = +x π2 kπ k∈ℤ e) Hàm số y= 5 2 cos .sin− ²x ² x có tập xác định là D=ℝ.

Ta có 5 2 cos .sin² ² 5 ¹sin 2²

x x 2 x

− = − .

Vì 0 sin 2≤ ² x≤1 nên 1 1 ² 9 1 ² 3 2

sin 2 0 5 sin 2 5 5

2 2 x 2 2 x hay 2 y

− ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ≤ ≤ .

Vậy: GTLN của y là 5, đạt được khi sin 2² x= ⇔0 sin 2x= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ GTNN của y là 3 2

2 , đạt được khi sin 2² 1 sin 2 1 ,

4 2

x_{= ⇔} x= ± ⇔ = ± +x π kπ k∈ℤ f) Hàm số y=2sin²x−cos2x= −1 2 cos2x có tập xác định là D=ℝ.

Ta có − ≤ −1 1 2 cos2x≤3

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2 1 , x= − ⇔ = +x π2 kπ k∈ℤ GTNN của y là -1, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y= +3 sin cosx x b) y= −4 2 cos² x c) ² 3 cos

y= x

+

d) ³ ₂

5 sin

y= x

− e) ^y⁼ ^{1 sin}⁻

( )

^x² ⁻¹ ^f) ^y⁼^4sin ^x

HDGiải

(13)

a) GTLN của y là ⁷

2, đạt được khi ,

x= +π4 kπ k∈ℤ GTNN của y là ⁵

x= − +π4 kπ k∈ℤ b) GTLN của y là 4, đạt được khi ,

x= +π2 kπ k∈ℤ

GTNN của y là 2, đạt được khi x=k2π∨ = +x π k2 ,π k∈ℤ

c) Hàm số ²

3 cos

y= x

+ có tập xác định là D=ℝ.

Ta có 1 cos 1 2 3 cos 4 ¹ ¹ ¹ ¹ ² 1

4 3 cos 2 2 3 cos

x x

− ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

+ +

GTLN của y là 1, đạt được khi x= +π k2 ,π k∈ℤ GTNN của y là ¹

2, đạt được khi x=k2 ,π k∈ℤ d) GTLN của y là ³

4, đạt được khi , x= +π2 kπ k∈ℤ GTNN của y là ³

5, đạt đươc khi x=kπ,k∈ℤ

e) Hàm số ^y⁼ ^{1 sin}⁻

( )

^x² ⁻¹ có tập xác định là D=ℝ. Với mọi x∈ℝ ta luôn có: ^{− ≤}¹ ^{1 sin}⁻

( )

^x² ^{− ≤}¹ ^{2 1}⁻ ^{. Vậy}

GTLN của y là 2 1− , đạt được khi ² 2 , 1 x = − +π2 k π k≥ GTNN của y là −1 , đạ_tđượ_{c khi} ² 2 , 0

x = +π2 k π k>

f) Hàm số y=4sin x có tậ_{p xác}đị_{nh là}^D⁼^^^0;^+∞

)

. Trên D ta có: − ≤4 4sin x ≤4^. Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi 2 , 0

x = +π2 k π k≥ GTNN củ_ay là 4− , đạ_tđượ_{c khi} 2 , 1

x = − +π2 k π k≥ Bài 1.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y=sin⁴ x−cos⁴ x b) y=sin⁴x+cos⁴ x c) y=sin²x+2sinx+6 d) y=cos⁴ x+4 cos² x+5

HDGiải

a) ^y⁼^sin⁴ ^x⁻^cos⁴ ^x⁼

(

^sin²^x⁻^cos²^x

)(

^sin²^x⁺^cos²^x

)

^{= −}^cos2^x^.

Mặt khác: − ≤1 cos2x≤1

GTLN của y là 1, đạt được khi , x= +π2 kπ k∈ℤ GTNN của y là −1, đạt được khi x=kπ,k∈ℤ

b) ^y⁼^sin⁴^x⁺^cos⁴ ^x⁼

(

^sin²^x⁺^cos² ^x

)

²⁻^2sin²^x^cos² ^x^{= −}¹ ¹₂^{sin 2}² ^x^.

Mặt khác 1 1 ² 1 sin 2 1 2≤ −2 x≤

GTLN củ_{a y là 1,}đạ_tđượ_{c khi} , 2 x₌ kπ k_∈

ℤ

(14)

GTNN của y là ¹

4 2

x_{= +}π kπ k_∈_ℤ

c) Ta có ^y⁼^sin²^x⁺^2sin^x^{+ =}⁶

(

^sin^x⁺¹

)

²⁺⁵. Mặt khác: ⁵^≤

(

^sin^x⁺¹

)

²^{+ ≤}^{5 9}

GTLN của y là 9, đạt được khi 2 , x= +π2 k π k∈ℤ GTNN của y là 5, đạt được khi 2 ,

x= − +π2 k π k∈ℤ

d) Ta có ^y⁼^cos⁴ ^x⁺^{4 cos}²^x^{+ =}⁵

(

^cos²^x⁺²

)

² ⁺¹. Mặt khác: ⁵^≤

(

^cos² ^x⁺²

)

²^{+ ≤}^{1 10}

GTLN của y là 10, đạt được khi x=kπ,k∈ℤ GTNN của y là 5, đạt được khi ,

x= +π2 kπ k∈ℤ

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) ^tan

1 tan y x

= x

+ b) ¹

3 cot 2 1

y= x

+ c) ^3sin ¹

3 3cos 6 y x

x⁺ π

=  

−  + 

 

d) sin

1 cos 4 y x

x π

=  

−  + 

 

e) 1 cos9

cot 9 1 cos9

y x x

x

= + +

+ f) sin

2 cos 2 y x

= x

+ ^g)

tan 2 1 1 sin 1 y x

x

= −

+ + h) 2 cot 3

1 1 sin3 y x

x

= −

− + Bài 1.11. Tìm giá trị_lớ_{n nh}ất và giá trị_nhỏ_nhậ_{t c}ủa các hàm số_sau

a) y= 1 cos2+ x−5 b) 4 5cos 3 y_{= +} ^ x₊π3^

 

 

c) y= −2 4 2sin 5+ x d) ₂3 cot 1 1

y= x +

+

e) 1 3sin 2

y_{= −} ^ x₋π3^

 

 

f) y= −1 8sin 2² x g) y= 9 9 sin 9− x h) y= sin 2x−5

(15)

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Phương trình sinx=m (1)

Nếu m >1: phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α ^{là m}^ộ^{t nghi}^ệ^{m c}^ủ^{a ph}^ương trình (1), nghĩa là sinα =m

sin 2 ;

2

x k

x m k

x k

α π

π α π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 ℤ

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì:

0

0 0

sin 360 ;

180 360

x k

x m k

x k

α α

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 ℤ

Nhận thấy, trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

Chú ý:

i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện: ₂ ₂

sin m

π α π α

− ≤ ≤



 =



thì ta viết α =arcsinm.

Khi đó: π

π π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 arcsin 2 ℤ

sin ,

arcsin 2

x m k

x m k

x m k

ii) Các trường hợp đặc biệt

• m= −1 , phương trình sinx= −1 có nghiệm là = − +π 2 ,π ∈ℤ

x 2 k k

• m=0 , phương trình sinx=0 có nghiệm là x=kπ;k∈ℤ

• m=1 , phương trình sinx=1 có nghiệm là 2 ; x= +π2 k π k∈ℤ

iii) Tổ_{ng quát:} π

π π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 2 ℤ

sin sin ,

2 u v k

u v k

u v k

2. Phương trình cosx=m⁽²⁾

_Nếu m >1: phương trình (2) vô nghiệm

_Nếu m ≤1: Nếu α ^{là m}^ộ^{t nghi}^ệ^{m c}^ủ^{a ph}^ương trình (2), nghĩa là cosα =m

α π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 2 ℤ

cos ,

2

x k

x m k

x k

_Nếu sốđo của α ^đượ^{c cho b}^ằ^ng^độ^thì: α α

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 ℤ

0 0

cos 360 ,

360

x k

x m k

x k

Chú ý:

i) Nếu α ^tho^ả^đⁱ^ề^{u ki}^ệⁿ⁰^{≤ ≤}α π^{và cos}α = m thì ta viết α = arccosm.

Khi đó pt (2) có nghiệ_{m là :}x= ±arccosm k+ 2 ;π k∈ℤ ii) Các trườ_{ng h}ợ_pđặ_{c bi}ệ_{t khi}^m^∈

{ }

^{0; 1}^±

• cos 0

x= ⇔ = +x π2 kπ ,k∈ℤ

• cosx= − ⇔ = +1 x π k2π,k∈ℤ

• ^cosx= ⇔ =¹ x k²π ,k∈ℤ

(16)

iii) Tổng quát: π π

 = +

= ⇔ ∈

= − +

 2 ℤ

cos cos ,

2 u v k

u v k

u v k

3. Phương trình tanx=m(3) Điều kiện: , x≠ +π2 kπ k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa làtanα =m thì tanx= ⇔ = +m x α kπ;k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tanx= ⇔ = +m x α k180 ;⁰ k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện

2 2

π α π

− < < và tanα =m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:x=arctanm k+ π,k∈ℤ

• Các trường hợp đặc biệt biệt khi ^m^∈

{ }

^{0; 1}^±

tanx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ

tan 1

x= − ⇔ = − +x π4 kπ,k∈ℤ tan 1

x= ⇔ = +x π4 kπ,k∈ℤ

• Tổng quát : tanu=tanv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ 4. Phương trình cotx=m (4) Điều kiện: x≠kπ,k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa làcotα =m thì cotx= ⇔ = +m x α kπ,k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cotx= ⇔ = +m x α k180 ;⁰ k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện 0< <α π và cotα =m thì ta viết α =arccotm. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:x=arccotm k+ π,k∈ℤ

• Tổng quát : cotu=cotv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ

Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản Với u=u x v( ), =v x( ) và u v, làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ 1/ sin sin 2

2 u v k

u v

u v k

π

π π

 = +

= ⇔

= − +



2 / cos cos 2

2 u v k

u v

u v k

π π

 = +

= ⇔

= − +



3 / tanu=tanv⇔ = +u v kπ 4 / cotu=cotv⇔ = +u v kπ B. BÀI TẬP

Dạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản

- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản - Cung đối và cung bù

Bài 2.1. Giải các phương trình sau:

a) sin ¹

x=2 b) sin 3

x= − 2 c) sin 2

x= 3 d) sin 2 sin

5 5

x π π x

   

− = +

   

   

e) ⁰ 1

sin 10

2 2

x 

+ = −

 

  ^f)

sin 2 1

6 2

x π

 

+ = −

 

  ^g)

sin 2 0

3 3

x π

 

− =

 

  ^h)

sin 9 1

3 2

x π

 

− =

 

 

HDGiải a) Ta có: ⁰ 1

sin 30 sin

2 6

= = π . Phương trình đã cho tương đương với:

2 2

6 6

sin sin ,

5

6 2 2

x k x k

x k

x k x k

π π π π

π

π π

π π π

 

= + = +

 

= ⇔ ⇔ ∈

 = − +  = +

 

 

ℤ

(17)

Vậy phương trình có các nghiệm là: 2 ; ⁵ 2 ,

6 6

x= +π k π x= π +k π k∈ℤ b) Ta có: ₋ _{= −} π ₌ ^₋π^

 

 

3 sin sin

2 3 3 ^{(áp d}ụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(− = −α) sinα )

Phương trình đã cho tương đương:

π π

π

π π

 = − +

  

⇔ = − ⇔ ∈



   = +

ℤ 3 2

sin sin ,

3 4 2

3

x k

c) Vì 2 1

3< nên có số α ^để ^sinα =²₃⇒α =^arcsin²₃. Do đó:

2 2

sin sin sin

3 2

x k

x x

x k

α π

α π α π

 = +

= ⇔ = ⇔

= − +

 ^hay

arcsin2 2

3 ,

arcsin2 2 3

x k

k

x k

π

π π

 = +

 ∈

 = − +



ℤ

d)

π π π π π

π π

π π π π π π

 − = + +  = +

 

 ₋ ₌  ₊ _⇔ _⇔ _∈

       

     − = − + +  = +

ℤ

2 5 5 2 25 2

sin 2 sin ,

5 5 2 2 2

5 5 3 3

x x k x k

x x k

x x k x k

e) x= −80⁰+k720⁰^và^x=⁴⁰⁰⁰+^k^{720 ;}⁰ ^k∈ℤ f) x= − +π6 kπ và ;

x= +π2 kπ k∈ℤ

g) 3 ;

2 2

x_{= +}π k π k_∈_ℤ

h) 2 7 2

; ,

18 9 54 9

k k

x₌ π ₊ π x₌ π ₊ π k_∈_ℤ Bài 2.2. Giải các phương trình sau:

a) 2

cosx= 2 b) = −1

cosx 2 c) =4

cosx 5 d) ^ ₋π ^₌ ^π ₊ ^

   

   

cos 3 cos

6 3

x x

e) ^{cos 3}

(

^x⁻⁴⁵⁰

)

⁼ ₂³ ^f)^cos^^_³₂^x⁻^π₄^^_^{= −}¹₂ ^g)^cos^^_³₂^x⁻^π₆^^_^{= −}¹^h)^{cos 2}^^_ ^x⁻^π₃^^_⁼ ³₂

HDGiải

a) Ta có: 2

2 cos4

= π . Phương trình đã cho tương đương với:

4 2

cos cos ,

4 2

4

x k

π π

π

π π

 = +

= ⇔ ∈

 = − +



ℤ

Vậy phương trình có nghiệm là 2 , x= ± +π4 k π k∈ℤ

b) Ta có: 1 2

cos cos cos

2 3 3 3

π ^π π^ π

− = − =  − =

  (Áp dụng cung bù_ cos(π α− )= −cosα) Phương trình đã cho tương đương với: cos =cos²π ⇔ = ±²π + 2 ,π ∈ℤ

3 3

x x k k

c) Vì 4<

5 1 nên có số α ^để α = 4⇒α = 4

cos arccos

5 5. Do đó:

(18)

α π

α α π

 = +

= ⇔ = ⇔

= − +

 4 2

cos cos cos

5 2

x k

x x

x k hay

π π

 = +

 ∈

 = − +



ℤ arccos4 2

5 ,

arc os4 2 5

x k

k

x c k

d)

π π π π π

π π

π π π π π

 − = + +  = +

 

 ₋ ₌  ₊ _⇔ _⇔ _∈

       

     − = − + +  = − +

ℤ

3 2

6 3 12

cos 3 cos ,

6 3 3 2

6 3 24

x x k x k

x x k

x x k x k

e)

(

⁻

)

⁼ ^⇔

(

⁻

)

⁼ ^⇔^^_ ⁻₋ ⁼_{= −} ⁺₊ ^⇔^^_ ⁼_{= +}⁺ ^∈

 

ℤ

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

3 45 30 360 25 120

cos 3 45 3 cos 3 45 cos30 ,

2 3 45 30 360 5 120

x k x k

x x k

x k x k

f)

π π π π π

π π π

π π π π π

 

− = + = +

 

   

− = − ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈

   

 

     − = − +  = − +

ℤ

3 2 11 4

3 1 3 2 2 4 3 2 18 3

cos cos cos ,

2 4 2 2 4 3 3 2 2 5 4

2 4 3 18 3

x k

k x

x x

x k k

k x

g) ^ −π ^= − ⇔ − = +π π π ⇔ = π + π ∈

3  3 7 ℤ

cos 1 2 4 ,

2 6 2 6 9

x x

k x k k

h) Vì ³ 1

2> nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2.3. Giả_{i các ph}ương trình sau:

a) tanx= 3 b) 3

tanx= − 3 c) tan tan 2

4 x x

π

 

− =

 

  d) ^tan

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼ ₃³ ^e) ^{tan 2}^x⁼ ¹₂

HDGiải

a) tan 3 tan tan ,

3 3

x= ⇔ x= π ⇔ = +x π kπ k∈ℤ

b) 3

tan tan tan ,

3 6 6

x= − ⇔ x= ^−π ^⇔ = − +x π kπ k∈

  ℤ

c) tan tan 2 2 ,

4 4 12 3

x x x x k x k k

π π π π π

 

− = ⇔ − = + ⇔ = − ∈

 

  ℤ

d) ^tan

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼ ₃³ ^⇔^tan

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼^{tan 30}⁰ ^{⇔ −}^x ¹⁵⁰ ⁼³⁰⁰⁺^k¹⁸⁰⁰ ^{⇔ =}^x ⁴⁵⁰⁺^k^{180 ,}⁰ ^k^∈^ℤ

e) 1 1 1 1

tan 2 2 arctan arctan ,

2 2 2 2 2

x= ⇔ x= +kπ ⇔ =x +kπ k∈ℤ Bài 2.4. Giả_{i các ph}ương trình sau:

a) 3

cotx= 3 b) cotx= − 3 c) cot cot 2

4 x x

π

 

− =

 

  d) ^cot

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼ ³^e)^{cot 3}^x⁼₅³

HDGiải

a) 3

cot cot cot ,

3 3 3

x= ⇔ x= π ⇔ = +x π kπ k∈ℤ

b) cot 3 cot cot ,

6 6

x= − ⇔ x= ^−π^⇔ = − +x π kπ k∈

  ℤ

c) cot cot 2 2 ,

4 4 12 3

x x x x k x k k

π π π π π

 

− = ⇔ − = + ⇔ = − ∈

 

  ℤ

d) ^cot

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼ ³^⇔^cot

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼^{cot 30}⁰ ^{⇔ −}^x ¹⁵⁰ ⁼³⁰⁰⁺^k¹⁸⁰⁰ ^{⇔ =}^x ⁴⁵⁰⁺^k^{180 ,}⁰ ^k^∈^ℤ

e) 3 3 1 3

cot 3 3 arc cot arc cot k ,

x= ⇔ x= +kπ ⇔ =x + π k∈ℤ

(19)

Bài 2.5. Giải các phương trình sau:

a) ^sin3 0

cos3 1 x

x =

− b) cot 3 tan²

x₌ 5π

c)

(

^sin^x⁺^{1 2 cos2}

) (

^x⁻ ²

)

⁼⁰

d) tan 12 3

12π x

 

+ = −

 

  e) sin ² cos3

x 3π x

 

+ =

 

  f)^{tan 2}

(

^x⁺^{45 tan 180}⁰

)

^^_ ⁰ ⁻₂^x^^_⁼¹

HDGiải a)Điều kiện : cos3x≠1. Ta có sin 3x= ⇔0 3x=kπ .

Do điều kiện, các giá trị k=2 ,m m∈ℤbị loại, nên 3 (2 1) (2 1) , x= m+ π ⇔ =x m+ π3 m∈ℤ Vậy nghiệm của phương trình là (2 1) ,

x₌ m₊ π3 m_∈ ℤ

b) Nghiệm của phương trình là: ,

30 3

x₌ π ₊kπ k_∈_ℤ c) Nghiệm của phương trình là: 2

x= − +π2 k π và , x= ± +π8 kπ k∈ℤ d) Nghiệm của phương trình là: ⁵ ,

144 12 x_{= −} π ₊kπ k_∈_ℤ

e) sin ² cos3 cos3 cos 0

3 6

x π x x x π

   

+ = ⇔ − + =

   

    . Vậy nghiệm của phương trình:

; ,

24 2 12

x= − π +kπ x= π +kπ k∈ℤ

f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có ^{tan 2}

(

^x⁺⁴⁵⁰

)

⁼^{cot 45}

(

⁰⁻^x

)

^và^{tan 180}^^_ ⁰ ⁻₂^x^^_⁼^tan^^_⁻₂^x^^_^nên

(

⁺ ⁰

)

^^_ ⁰⁻ ^^_^{= ⇔}

(

⁰⁻

)

^^_⁻ ^^_⁼

tan 2 45 tan 180 1 cot 45 2 .tan 1

2 2

x x

( )

 

⇔ − = − ⇔ = + ∈

  ^ℤ

0 0 0

tan tan 45 2 30 120 ,

2

x x x k k

Dạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn.

- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho.

Bài 2.6. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:

a) sin 2 ¹

x= −2 với 0< <x π b) cos( 5) 3

x− = 2 với − < <π x π c) ^{tan 2}

(

^x⁻¹⁵⁰

)

⁼¹^v^ớⁱ⁻¹⁸⁰⁰ ^{< <}^x ⁹⁰⁰ ^d)^{cot 3}^x^{= −} ¹₃ ^v^ớⁱ− < <^π₂ ^x ⁰

HDGiải

a)

2 2

1 6 12

sin 2 ,

2 7 7

2 2

6 12

x k x k

x k

x k x k

π π π π

 

= − + = − +

 

= − ⇔ ⇔ ∈

 ₌ ₊  ₌ ₊

 



ℤ

Xét điều kiện 0< <x π, ta có

• 0 1 1 1 1

12π kπ π 12 k 12 k

< − + < ⇔ < < + ⇒ = ( Do k∈ℤ). Vì vậy : 11 x₌ 12π

• 0 7 0

12π kπ π k

< + < ⇒ = . Vì vậy: 7 x₌ 12π

(20)

Vậy: ¹¹ x₌ 12π

và ⁷

x₌ 12π

b)

5 2 5 2

3 6 6

cos( 5) ,

2 5 2 5 2

6 6

x k x k

x k

x k x k

π π π π

 

− = + = + +

 

− = ⇔ ⇔ ∈

 − = − +  = − + +

 

 

ℤ

Xét điều kiện − < <π x π, ta có:

• 5 2 1

6 k k

π π π π

− < + + < ⇒ = − . Do vậy, có 5 ¹¹ x_{= −} 6π

• ⁵ ² ¹

6 k k

π π π π

− < − + + < ⇒ = − . Do vậy, có 5 ¹³ x_{= −} 6π

Vậy: 5 ¹¹

x_{= −} 6π

và 5 ¹³

x_{= −} 6π

c) ^{tan 2}

(

^x⁻¹⁵⁰

)

^{= ⇔}¹ ²^x⁼¹⁵⁰⁺⁴⁵⁰⁺^k¹⁸⁰⁰ ^{⇔ =}^x ³⁰⁰⁺^k^{90 ,}⁰ ^k^∈^ℤ

Xét điều kiện −180⁰ < <x 90⁰, ta có

• ⁻¹⁸⁰⁰ ^<³⁰⁰ ⁺^k⁹⁰⁰ ^<⁹⁰⁰ ⇔ − < + < ⇔ ∈ − −² ¹₃ ^k ¹ ^k

{

^{2, 1,0}

}

Vậy các nghiệm của phương trình là: x= −150 ,⁰ x= −60⁰ và x=30⁰

d) cot 3 ¹ ,

9 3

3

x_{= −} _{⇔ = − +}x π kπ k_∈

ℤ. Xét điều kiện 0 2 x

− < <π , ta có:

• ^{− < − +}^π₂ ^π₉ ^k₃^π ^{< ⇔ ∈ −}⁰ ^k

{ }

^1;0

Vậy các nghiệm của phương trình là: ⁴ x_{= −} 9π

và x_{= −}π9 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 2.7. Giải các phương trình sau:

1. ^{sin 2}

(

^x⁻³⁰⁰

)

^{= −} ₂² ^{2. sin 3}^^_ ^x⁺^π₆^^_^{= −}¹ ^3.^sin^^_²₃^x⁻^π₄^^_⁼¹₂

4. 2

sin 3

x=3 5. 2

sin 2 sin 3

4 3

x π π x

   

− = −

   

    6. 3

sin 2

6 2

x π

 

− = −

 

 

7. ^{cos 60}

(

⁰⁻³^x

)

^{= −}¹₂ ^8. ^cos ¹⁰⁰ ¹

2 2

x 

+ = −

 

  9. 2

cos 2 1

x 3π

 

− =

 

 

10. ^{cos 2}

(

⁵

)

³

x− =4 11. cos 3 cos

4 3

x 3π x π

   

− = +

   

   