Câu 10. [2H3-4](Chu Văn An 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :x4y z 1 0và hai điểm A
1;0;2 ;
B
2;5;3
. Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm Bđến dnhỏ nhất có phương trình :A.
1 2
1 1 3 .
x y z
B.
1 2
3 1 1 .
x y z
C.
1 2
5 1 1 .
x y z
D.
3 1 4
2 1 2 .
x y z
Lời giải:
Chọn D
P
A
B
H
Đề khá là hay vì nếu thử máy tính thì phương án A, B cùng cho một kết quả +) / /( )d P và qua A nên d thuộc Mặt phẳng ( )Q qua A và song song với (P)
+)
Q :x4y z 3 0. Gọi H là hình chiếu của B trên (Q) thì AH là đường thẳng cần tìm+)
2
: 5 4
3
x t
BH y t
z t
, H
2t;5 4 ;3 t t
. Vì H
Q nên t 1 H
3;1;4
+) AH qua H và có vtcpu
2;1;2
.Viết phương trình ra đáp án DCâu 14. [2D3-2](Chu Văn An 2018) Cho hai hàm số y f x
và yg x
liên tục trên đoạn
a b;với a b . Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y3f x
, y3g x
,,
x a x b ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y f x
2,. Khẳngđịnh nào sau đây là đúng?
A. S12S2. B. S1 2S22. C. S1 2S22. D. S13S2. Lời giải:
Chọn D.
Theo giả thiết ta có:
1 3 3 d
b
a
S
f x g x x 3b
da
f x g x x
2 2 2 d
b
a
S
f x g x x b
da
f x g x x
Vậy S1 3S2.
Câu 27. [1D2-3](Chu Văn An 2018) Khai triển của biểu thức
x2 x 1
2018được viết dưới dạng2 4036
0 1 2 ... 4036
a a x a x a x . Tổng S a 0 a2a4a6 ... a4034a4036 bằng
A. 21009. B. 21009. C. 0. D. 1.
Lời giải:
Chọn D
Lấy x i ta được
x2 x 1
2018i2018 1 a0a i a i1. 2 2 ... a4036i4036Lấy x i ta được
x2 x 1
2018
i 2018 1 a0a i a i1. 2 2 ... a4036i4035a4036i4036Cộng lại ta được 2 2
a0a i2 2 ... a4036i4036
2
a0a2a4a6 ... a4034a4036
Suy ra S a 0a2a4a6 ... a4034a4036 1
Câu 34. [2H3-3](Chu Văn An 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
0; 1;2 ,
B
1;1;2
và đường thẳng1 1
: 1 1 1
x y z
d
. Biết điểm M a b c
; ;
thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị T a 2b3c bằngA. 4. B. 5. C. 10. D. 3.
Lời giải:
Chọn C
+) Phương trình đường thẳng
: 1 2
2 x t
AB y t
z
Nhận xét: đường thẳng AB và d chéo nhau.
+ Dựng MH vuông góc với AB. Ta có
1 .
MAB 2
S AB MH
. Do AB cố định nên diện tích tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MH là đoạn vuông góc chung của AB và d.
+) M d M
1 t t1 1; ;1t1
; HABH t
2; 1 2 ;2 t2
2 1 1;2 2 1 1; 1 1 .
MH t t t t t
MH là đoạn vuông góc chung của AB và d khi và chỉ khi
. 0 . d 0 MH AB MH u
2 1
2 1
2 1 2 1 1
1 2 2 1 0
1 2 1 1 0
t t t t
t t t t t
.
1
2
4 1 4 7
3 ; ;
3 3 3 1
t M
t
Vậy T 10.
Câu 36. [2H3-3](Chu Văn An 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : 2x y 2z 9 0 và ba điểm A
2;1;0 ,
B
0;2;1 ,
C 1;3; 1
. Điểm M sao cho 2MA3MB4MCđạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. xM yM zM 4. B. xM yM zM 2.
C. xM yM zM 3. D. xM yM zM 1.
Lời giải:
Chọn A
+) Gọi điểm I thỏa mãn 2IA3IB4IC 0 I
0; 4;7
. ( chắc là thầy Doanh dùng công thức tính nhanh2 3 4
2 3 4
A B C
I
x x x
x
)
+) Ta có 2MA3MB4MC
2IA3IB4 IC IM
IM IM
Do đó, 2MA3MB4MC
nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng .
+) Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với là:
2 4 7 2 x t
y t
z t
.
2 ; 4 ;7 2
M d M t t t . M t 1 M
2; 3;5
. Vậy xM yM zM 4.Câu 38. [2D2-3](Chu Văn An 2018) Tích tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình
3x3
2 4x4
2 3x4x7
2 bằng.A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 1.
Chọn D
Lời giải:
Đặt:
3 3
4 4
x x
a b
. Phương trình trở thành: a2b2
a b
2.2 2 2 2 2
a b a b ab
2b22ab0 b a b
0.
0; 1
; 2 a
a b
TH 1: b0 4x 4 0 x 1.
TH 2: a b 3x4x7. Phương trình có nghiệm duy nhất x1. Vậy Tích các nghiệm là 1.
Câu 42. [1D2-3](Chu Văn An 2018) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10 được thành lập từ6 hai chữ số 0 và 1.Lấy ngẫu nhiên hai số trong S. Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng
A.
53.
96 B.
2279.
4064 C.
4473.
8128 D.
55. 96 Lời giải:
Chọn D
Gọi số nhỏ hơn 10 là 6 a a a a a a1 2 3 4 5 6,
ai
0;1 , i 1,6
(Nếu số đó có 5 chữ số thì a10, tương tự cho số có 4, 3, 2, 1 chữ số) Mỗi chữ số ai có 2 cách chọn nên số các số như vậy là 26 64. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: C642.
Trong các số lập được, các số chia hết cho 3 là 0 hoặc có 3 chữ số 1 hoặc có 6 chữ số 1.
Vậy số các số chia hết cho 3 là: 1C63C66 22.
Suy ra xác suất cần tính là:
2 42
2 64
1 55.
96 C
C
Câu 43. [2H3-3](Chu Văn An 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng : 1
1 1 1
x y z
và hai điểm A
1;2; 5 ,
B 1;0;2
. Biết điểm M thuộc sao cho biểu thức T MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tm ax. Khi đó, Tm ax
bằng bao nhiêu?
A. Tm ax 57
. B. Tm ax 3
. C. Tm ax 2 6 3
. D. Tm ax 3 6 . Lời giải
Chọn B
I M A'
H A
B M
Ta có AB
2; 2;7
suy ra phương trình đường thẳng1 2
: 2
2 7
x t
AB y t
z t
: 1
x t
y t
z t
. Xét hệ
1 2
2 1
2 7 t t
t t
t t
1 3 1 3 t t
, do đó đường thẳng AB và cắt nhau tại
1 2 1
3 3; ; 3
I . Thấy
4 4 14
; ; ;
3 3 3
IA
2 2 7
; ;
3 3 3
IB
2 IA IB
nên hai điểm ,A B nằm về hai phía của đường thẳng . Gọi ,H A lần lượt là hình chiếu của A trên và là điểm đối xứng với A qua . H t
;1t t ;
AH t
1;t1;t5
u
1;1;1
1 1 5 0
t t t
t 1
1;0; 1
H A
3; 2;3
.Với mọi điểm M ta đều có MA MA do đó T MA MB MAMB A B 3 dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A B và . Vậy Tm ax 3
.
Câu 44. [2D1-4](Chu Văn An 2018) Cho hàm số y f x
có đồ thị hàm số y f x
như hình vẽHàm số
1
22 y f x x x
nghịch biến trên khoảng A.
1;3 2
. B.
2;0
. C.
3;1
. D.
1;3 .Lời giải:
Chọn D
- Từ đồ thị hàm số y f x
, có f x
x 0 f x
x 23 1 x x
- Xét hàm số
1
22 y f x x x
, có
1
1y f x x f
1x
1 x
f
1x
1 x
.Như vậy f
1 x
1 x
0 2 13 1 1 x x
0 4
1 x x
Hay f
1x
1 x
0 2 13 1 1x x
0 4
1 x x
. Suy ra hàm số
1
22 y f x x x
nghịch biến trên các khoảng
; 1
và
0;4 .Suy ra hàm số
1
22 y f x x x
cũng sẽ nghịch biến trên khoảng
1;3 0;4
.Câu 45. [2D1-4](Chu Văn An 2018) Tập tất cả các giá trị của mđể phương trình
12 2
2
2
2x .log x 2x3 4x m .log 2 x m 2
có đúng ba nghiệm phân biệt là:
A.
1 3
; 1; .
2 2
B.
1 3
;1; .
2 2
C.
1 3
;1; .
2 2
D.
1 3
;1; .
2 2
Lời giải Chọn D
Ta có 2x12.log x2
22x3
4x m .log2
2 x m 2
1 12 2
2 2 2
2 x .log x 1 2 2 x m .log 2 x m 2
2Xét hàm số f t
2 .tlog t2
2 ,
t0.Vì f t
0, t 0 hàm số đồng biến trên
0;
Khi đó
2 f
x1
2 f
2 x m
x1
2 2 x m
2 2
4 1 2 0 3
2 1 4
x x m
x m
Phương trình
1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:+) PT
3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT
43 m 2
, thay vào PT
4 thỏa mãn+) PT
4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT
31 m 2
, thay vào PT
3 thỏa mãn+) PT
4 có hai nghiệm phân biệt và PT
3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau
4 x 2m1,với 12 m 32. Thay vào PT
3 tìm được m1.KL:
1 3
;1; .
2 2
m
Câu 46. [2H1-3](Chu Văn An 2018) Viện Hải Dương học dự định làm một bể cá bằng kính phục vụ khách tham quan(như hình vẽ), biết rằng mặt cắt dành cho lối đi là nửa hình tròn
10 m
6 m
25 m 1m
Tổng diện tích mặt kính của bể cá gần nhất với giá trị nào sau đây
A. 914m .2 B. 949m .2 C. 984m .2 D. 872m .2
Lời giải:
Chọn C
Tổng diện tích kính bằng diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật theo kích thước đã cho trừ đi diện tích lối đi(hình chữ nhật) và hai cửa đi vào dành cho khách tham quan(hai nửa đường tròn) cộng với diện tích xung quanh của nửa hình trụ.
Vì vậy, tổng diện tích bề mặt là S2 25.10 10.6 6.25
8.25.42.4.25 984m 2. Câu 47. [2D3-3](Chu Văn An 2018) Xét hàm số f x
liên tục trên
0;1 và thỏa mãn điều kiện
2
24 .x f x 3 1f x 1x
. Tích phân
1
0
d I
f x xbằng:
A. I 20
. B. I 16
. C. I 6
. D. I 4
. Lời giải:
Chọn A.
Vì f x
liên tục trên
0;1 và 4 .x f x
2 3 1f
x
1x2 nên ta có
1 1
2 2
0 0
4 .x f x 3 1f x dx 1 x xd
1
2 1
1 20 0 0
4 .x f x dx 3 1f x xd 1 x xd
1.
Mà 1
20
4 .x f x dx
1
2 20
2 f x d x
2 1
0
2 d
t x f t t
2I
và
1
0
3 1f x xd
1
0
3 f 1 x d 1 x
1 1
0
3 d
u x f u u
3I
Đồng thời
1
2 0
1x xd
sin 2 20
1 sin .cos d
x t t t t
2 20
cos dt t
2
0
1 1 cos2 d
2 t t
4
.
Do đó,
1 2I3I 4 hay I 20 .Câu 48. [2D1-3](Chu Văn An 2018) Cho hàm số yx3x23x1 có đồ thị
C . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để từ điểm M
0;m
kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị
Cmà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn
1;3 ?A. Vô số. B. 0. C. 61. D. 60.
Lời giải:
Chọn C
Ta có y 3x22x3. Gọi M x y
0; 0
là tiếp điểm.Để
C có ít nhất 1 tiếp tuyến kẻ từ M
0;m
mà tiếp điểm thuộc đoạn
1;3 Phương trình m
3x022x03 0
x0
x03x02 3x01có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
1;3Hay m 2x03x021
1.
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số
3 2
2 1
y x x
y m
.
Khảo sát đồ thị hàm số y 2x3x21, để phương trình
1 có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
1;3 thì 62 m 2.Câu 49. [2D4-3](Chu Văn An 2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C. có tất cả các cạnh bằng a , gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA và AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B C bằng:
A.
3 5 10 a
. B.
2 5 15 a
. C.
3 5 5 a
. D.
2 5 5 a
. Lời giải:
Chọn A.
z
x
y M
N I
C'
B'
A
B
C A'
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có
0; 3;
2 2
a a
M
,
; 3;0
4 4
a a
N
,
2;0;
B a a
và
2;0;0 Ca
Suy ra
; 3;
4 4 2
a a a
MN
, B C
a;0;a
và MB 2a a; 23;2a
. Khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng MN và B C là:
;
; .;
MN B C MB d MN B C
MN B C
3 5
10 a
.
Câu 50. [2D1-4](Chu Văn An 2018) Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn điều kiện z1 4, z2 3,
3 2
z và 4z z1 2 16z z2 39z z1 3 48. Giá trị của biểu thức P z1 z2 z3 bằng:
A. 2 . B. 6. C. 8. D. 1.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có z1 4, z2 3, z3 2 nên
2
1. 1 1 16
z z z ,
2
2. 2 2 9
z z z ,
2
3. 3 3 4
z z z . Khi đó 4z z1 216z z2 39z z1 3 48 z z z z3 1 2 3z z z z1 1 2 3z z z z2 1 2 3 48
z3 z1 z z z z2
1 2 3 48 z3 z1 z2 2
hay P z1z2z3 2.