Đề cương học tập môn Toán học kỳ I lớp 11 – Lê Văn Đoàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TRUNG TÂM HOÀNG GIA

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11

Häc k× 1 – N¨m häc 2016 – 2017

Biªn so¹n & Gi¶ng d¹y:

Ths. Lª V¨n §oµn

2 2

2

(sin cos ) 2 sin 2

sin sin 3

2 4 4

1 cot

x x x

x x

x

 

     

                                  

1 6 2 6 3 9 2 14

x x x

C  C  C  x  x ²

1

2

2 3,

n n

u

u

u n

  

    

 

α

E'

D' B' C'

A'

E

D

C B

A

S

H

E F

I G

M

A C

B

A' C'

B'

PHẦN i. Giải tích

Chương 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

2π 0

O

-1 -1

1

1

3π 2 π

π 2

sinx

cosx

(III) (IV)

(II) (I)

2. Công thức lượng giác cơ bản

tan .cot  1 sin²cos²1 ² 1₂ 1 tan

 cos

   ² 1₂

1 cot

 sin

  

3. Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos( a) cosa ^{sin( a) sina} sin cos

2 a a

 

   

 

 

 

sin(  a) sina cos( a) cosa cos sin

2 a a

 

  

 

 

 

tan(  a) tana tan( a) tana tan cot

2 a a

 

  

 

 

 

cot(  a) cota cot( a) cota cot tan

2 a a

 

  

 

 

 

Cung hơn kém  Cung hơn kém

2



sin( a)  sina sin cos

2 a a

 

  

 

 

 

cos( a) cosa cos sin

2 a a

 

   

 

 

  Cung phần tư

Giá trị LG I II III IV

sin + + – –

cos _{+ – – +}

tan + – + –

cot + – + –

(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)

tan( a) tana tan cot

2 a a

 

    

 

 

 

cot( a) cota cot tan

2 a a

 

   

 

 

 

4. Công thức cộng cung

sin(a b)sinacosbcosasin .b cos(a b)cosacosbsinasin .b

tan tan

tan( )

1 tan tan

a b

a b

a b

   

 

tan tan

tan( )

1 tan tan

a b

a b

a b

   

 

Hệ quả: 1 tan

tan 4 1 tan

x x

x

  

  

 

 

 

  ^và

1 tan

tan 4 1 tan

x x

x

  

   

 

 

 

 

5. Công thức nhân đôi và hạ bậc

Nhân đơi Hạ bậc

sin 2 2 sincos ² 1 cos 2

sin 2

  



2 2

2 2

cos sin

cos2 2 cos 1 1 2 sin

 

  

 

    

2 1 cos 2

cos 2

  



2

2 tan tan 2

1 tan

 

 



2 1 cos 2

tan 1 cos 2

 



 

 cot2 1

cot2 2 cot

 



  ² 1 cos 2

cot 1 cos 2

 



 



Nhân ba

3 3

sin 3 3 sin 4 sin cos 3 4 cos 3 cos

  

  

  

  



3 2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

 

 

 



6. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

2 2

a b a b

a b  

   cos cos 2 sin sin

2 2

a b a b

a b  

   

sin sin 2 sin cos

2 2

a b a b

a  b     sin sin 2 cos sin

2 2

a b a b a b    

sin( )

tan tan

cos cos a b

a b

a b

  



sin( )

tan tan

cos cos a b

a b

a b

  



sin( )

cot cot

sin sin a b

a b

a b

  



sin( )

cot cot

sin sin b a

a b

a b

  



Đặc biệt

sin cos 2sin 2cos

4 4

x x x x sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x  x x

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos cos 1 cos( ) cos( )

a b  2  a b a b  1

sin sin cos( ) cos( )

a b  2  a b a b 

sin cos 1 sin( ) sin( )

a b  2  a b ab  Bảng lượng giác của một số gĩc đặc biệt

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 120⁰ 135⁰ 150⁰ 180⁰ 360⁰

0 6



4



3



2

 2

3

 3

4

 5

6

  2

sin 0 1

2

2 2

3

2 1 3

2

2 2

1

2 0 0

cos 1 3

2

2 2

1

2 0 1

2 2

 2 3

 2 1 1

tan 0 3

3 1 3 kxđ  3 1 3

 3 0 0

cot kxđ 3 1 3

3 0 3

 3 1  3 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác sẽ cĩ tọa độ M(cosα, sinα)

§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Tính chất của hàm số a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số y  f x( ) cĩ tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x D thì  x D và f( x) f x( ). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

 _{Hàm số} y  f x( ) cĩ tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x D thì  x D và

( ) ( ).

f   x f x Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

b. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên tập ( ; )a b .

 y  f x( ) gọi là đồng biến trên ( ; )a b _nếu x x₁, ₂ ( ; )a b cĩ x₁ x₂  f x( )₁ f x( ).₂

 y  f x( ) gọi là nghịch biến trên ( ; )a b _nếu x x₁, ₂ ( ; )a b cĩ x₁ x₂  f x( )₁  f x( ).₂ c. Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f x( ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hồn nếu cĩ số 0

T  sao cho với mọi x D ta cĩ (x T)D và (x T)Dvà f x( T) f x( ).

 Nếu cĩ số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hồn f.

2. Hàm số y sin .x

 _{Hàm số} y sinx cĩ tập xác định là D   y sin ( )f x  ^{xác định}  f x( ) xác định.

 Tập giá trị T   1;1 , nghĩa là: 0 sin₂ 1

1 sin 1

0 sin 1

x x

x

 

    

 





 _{Hàm số} y f x( )sinx là hàm số lẻ vì f( x) sin(  x) sinx  f x( ). Nên đồ thị hàm số y sinx nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 _{Hàm số} y sinx tuần hồn với chu kì T_o 2 , nghĩa là: sin(x k2 ) sin .x Hàm số

sin( )

y  axb tuần hồn với chu kì 2

To

a

  

 Hàm số y sinx đồng biến trên mỗi khoảng : 2 ; 2

2 k 2 k

 

 

 

   

 

 

  và nghịch biến

trên mỗi khoảng : 3

2 ; 2 ,

2 k 2 k

 

 

 

   

 

 

  với k .

 Hàm số y sinx nhận các giá trị đặc biệt:

sin 1 2

sin 0 2 , ( ).

sin 1 2

2

x x k

x x k k

x x k

 



 

   

   

     



 



1

3 2

 



2

 O

2

 3

2

   ⁵

2



sin

y x

–1

y 

x

Hình dạng đồ thị hàm số y sinx

1

3 2

  

2

 O

2

 3

2

   ⁵

2



ycos x

–1

y 

x

Hình dạng thị hàm số y cosx

 Đồ thị hàm số:

4. Hàm số y cos .x

 _{Hàm số} y cosx có tập xác định D   y cos ( )f x  ^{xác định}  f x( ) xác định.

 Tập giá trị T   1;1 , nghĩa là: 0 cos₂ 1

1 cos 1

0 cos 1

x x

x

 

    

 





 _{Hàm số} y  f x( ) cosx là hàm số chẵn vì f( x) cos( x) cosx  f x( ), nên đồ thị của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

 _{Hàm số} y cosx tuần hoàn với chu kì T_o 2 , nghĩa là cos(x k2 ) cos .x Hàm số

cos( )

y  ax b tuần hoàn với chu kì 2

To

a

 

 _{Hàm số} y cosx đồng biến trên mỗi khoảng (  k2 ; 2 ) k  và nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2 ; k  k2 ).

 Hàm số y cosx nhận các giá trị đặc biệt:

cos 1 2

cos 0 , ( ).

cos 1 2 2

x x k

x x k k

x x k



 

 

  

    

    



 



 Đồ thị hàm số:

4. Hàm số y tan .x

 _{Hàm số} y  tanx có tập xác định \ , ,

D 2 k k

  

 

 

    nghĩa là

x  2 k  hàm số y tan ( )f x  ^{xác định} ( ) ; ( ).

f x 2 k k



   

 Tập giá trị T  .

 _{Hàm số} y  f x( )tanx là hàm số lẻ vì f( x) tan(  x) tanx  f x( ) nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.

 Hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì T_o   y  tan(ax b) tuần hoàn với chu kì T_o

a

  

 Giá trị đặc biệt:

tan 0

tan 1 , ( ).

4

tan 1

4

x x k

x x k k

x x k



 

 

  

    

     



 



 Đồ thị hàm số y tanx

5. Hàm số y cot .x

 Hàm số y cotx có tập xác định là ^{D \}





hàm số y cot ( )f x  ^{xác định}  f x( )k; (k ).

 Tập giá trị T  .

 _{Hàm số} y  f x( )cotx là hàm số lẻ vì f( x) cot(  x) cotx  f x( ) nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.

 Hàm số y cotx tuần hoàn với chu kì T_o   y cot(ax b) tuần hoàn với chu kì T_o

a

  

 Giá trị đặc biệt :

cot 0

2

cot 1 , ( ).

4

cot 1

4

x x k

x x k k

x x k

 

 

 

   

    

     



 



 Đồ thị hàm số y cotx_:

x y

3 2

  

2

 O

2

  3

2

 2 ⁵

2



tan y  x

x y

2

  3

2

  O

2



2

  3

2



cot y  x

 2

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải. Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

 sin ( )

tan ( ) cos ( ) 0 ( ) , ( ).

cos ( ) 2

y f x f x f x f x k k

f x

 

  ^ĐKXĐ     

 cos ( )

cot ( ) sin ( ) 0 ( ) , ( ).

sin ( )

y f x f x f x f x k k

f x 

  ^ĐKXĐ    

 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

1 ( ) 0.

y ( ) P x

 P x ^ĐKXĐ 

  y ²ⁿP x( )^ĐKXĐ P x( )0.

2

1 ( ) 0.

( )

n

y P x

 P x ^ĐKXĐ 



 Lưu ý rằng:  1 sin ( ); cos ( )f x f x 1 _và 0

. 0

0 A B A

B

 

   

 _Với k , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:

sin 1 2

sin 0 2

sin 1 2

2

x x k

x x k

x x k

 



 

    

    

      



cos 1 2

cos 0

cos 1 2 2

x x k

x x k

x x k



 

 

   

     

     



tan 0

tan 1

4

tan 1

4

x x k

x x k

x x k



 

 

   

     

      



cot 0

2 cot 1

4

cot 1

4

x x k

x x k

x x k

 

 

 

    

     

      



Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số: sin 3₂ 2 cos

( ) tan 1 1 cos

x x

y f x

x x

    

 

Giải: ...

...

...

...

...

...

...

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số:

2 2

( ) cos

y f x x

x



 

  

Giải: ...

...

...

...

...

...

...

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a) 4

y cos

 x  b) y cos 2 .x

c) 1 cos

sin y x

x

   _d) tan 5 ²

y   x  3

e) 2 tan 2 5

sin 2 1 y x

x

  

 ^{f) 2}

tan 2 1 cos y x

 x 



g) tan 2

sin 1

y x

 x 

 ^h)

cos 4

sin 1

y x

x

  



i) cos 2

1 sin y x

x

  

 j) 2 sin

cos 1

y x

x

  



k)

2

cot 2 1 cos y x

x

 

 l) 1 sin

1 cos y x

x

  



m) sin

y x

x

  _n) cos2

tan . 1 sin

y x x

 x 

 o)

2 1

cos y x

x x

   p) tan 2

sin 1

y x

 x 

 BT 2. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a)

2 2

sin 2 y x

x

    _b) y  ² 4x² tan 2 .x

c)

tan 2 4 1 sin

8 x y

x





 

  

 

 

 

 

 

 

   

d)

tan 4

1 cos

3 x y

x





 

  

 

 

 

    

e)

1 tan 4

cos 2

x

y x

 

 

   

 

 ^f)

3 sin 4

cos 1

y x

x

  



g) 3

cos cos 3 y  x x 

 ^h) y ^{cot 2} x 3^{.tan 2 .}x

i) ₂1

2 sin

tan 1

y x

   x 

 ^{j) 2 2}

4

sin cos

y  x x 



k) 1 cos

cot 6 1 cos

y x x

x

  

 

      ^l) 2

1 cot 3 tan 3

4 x y

x





 

 

   

    

Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải.

 Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

2

0 sin 1

1 sin 1

0 sin 1

x x

x

 

   

 

 hoặc 0 cos₂ 1

1 cos 1

0 cos 1

x x

x

 

    

 

 Biến đổi về dạng: m  y M.

 Kết luận: max y M _và miny m.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

( ) 4

5 2 cos sin y f x

x x

  



Giải: ...

...

...

...

...

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f x( )3 sin²x 5 cos²x4 cos2x2.

Giải: ...

...

...

...

...

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) sin⁶ cos⁶ 2, ; f x x x x   2 2

 

      

Giải: ...

...

...

...

...

...

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) y 5 3cos 2x 4. b) y  1 cos 4 . x

c) y 3 sin 2² x 4. d) y  4 5 sin 2 cos 2 .² x ² x e) y  3 2 sin 4 .x _f) y  42 sin 2⁵ x 8.

g) 4 ₂

1 3 cos

y  x 

 ^{h) 2 2}

4 5 2 cos sin

y  x x 

 i)

2

2 4 2 sin 3 y

x

 

 ^j)

3

3 1 cos

y  x 

 

k) 4

2 cos 3

6 y

x 

 

 

 

   

l) 2

3 sin 2 cos2

y  x x 



BT 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) y  sin²x cosx 2. b) y sin⁴x 2 cos²x 1.

c) y cos²x 2 sinx 2. d) y sin⁴x cos⁴x 4.

e) y  2cos 2x sin²x. _f) y sin⁶x cos .⁶x g) y  sin 2x  3 cos 2x 4. _h) y cos²x 2 cos2 .x

i) y 2 sin²x cos 2 .x j) y 2 sin 2 (sin 2x x 4 cos 2 ).x k) y  3 sin²x 5 cos²x4 cos 2 .x l) y 4 sin²x  5 sin 2x 3.

m) y (2 sinx cos )(3 sinx x cos ).x _n) y sinx cosx 2 sin cosx x1.

o) y  1 (sin 2x cos 2 ) .x ³ p) y  5 sinx 12 cosx 10 

q) 2 sin 2 sin 1.

y  x  4 x r) 2

2 cos 2 cos 2 3.

y   x   x  3 BT 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) sin 2 , 0;

y x x  2

 

    b) 2

cos , ; 0

3 3

y  x    x   

c) sin 2 , ;

4 4 4

y   x     x    d) sin⁴ cos , ⁴ 0;

y x x x  6

 

    

f) 2 sin² cos 2 , 0;

y x x x  3

 

     g) 3

cot , ;

4 4 4

y  x    x   

Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải.

 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.

Nếu  x D thì  x D D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.

 Bước 2. Tính f(x), nghĩa là sẽ thay x _bằng x, sẽ cĩ 2 kết quả thường gặp sau:

 _Nếu f( x) f x( )f x( ) là hàm số chẵn.

 Nếu f(  x) f x( )f x( ) là hàm số lẻ.

Lưu ý:

 Nếu khơng là tập đối xứng ( x D   x D) hoặc f(x) khơng bằng f x( ) hoặc ( )

f x ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ.

 Ta thường sử dụng cung gĩc liên kết dạng cung đối trong dạng tốn này, cụ thể:

cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan(a   a) tan , cot(a   a) cot .a

Ví dụ. Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a) f x( )sin 2² x cos 3 .x b) f x( )cos x² 16.

... ...

... ...

... ...

... ...

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y  f x( )tanx cot .x _b) y f x( ) tan 2 .sin 5 .⁷ x x

c) 9

( ) sin 2

y  f x   x  2 d) ( ) 2 cos 3³

y f x    x  2

e) yf x( ) sin (3 ³ x5 ) cot(2  x7 ). f) y  f x( )cot(4x 5 )tan(2 x3 ). g) y  f x( )sin 9x². h) y  f x( )sin 2² x cos 3 .x

Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vị trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau.

O. Winfrey

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



I. Phương trình lượng giác cơ bản

Với k , ta cĩ các phương trình lượng giác cơ bản sau:

sin sin 2

2 a b k

a b

a b k



 

  

      

 2

cos cos

2 a b k

a b

a b k





  

      

 tana  tanb   a b k.

  cota  cotb   a b k.

Nếu đề bài cho dạng độ ( )^o thì ta sẽ chuyển k2k360 ,  k k180 , _với  180 .^o Những trường hợp đặc biệt:

sin 1 2

sin 0 2

sin 1 2

2

x x k

x x k

x x k

 



 

    

    

      



cos 1 2

cos 0

cos 1 2 2

x x k

x x k

x x k



 

 

   

     

     



tan 0

tan 1

4

tan 1

4

x x k

x x k

x x k



 

 

   

     

      



cot 0

2 cot 1

4

cot 1

4

x x k

x x k

x x k

 

 

 

    

     

      



Ví dụ. Giải các phương trình:

a) 1

sin 2

x   2 b) cos 1.

x 3

 

   

 

 

 

... ...

... ...

c) tan(2x 30 )^o  3. d) cot 1.

x 3

 

  

 

 

 

... ...

... ...

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 7. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) 2

sin sin

x 3

  b) 1

sin 2

6 2

x 

 

   

 

 

 

c) sin 2 1.

x 6

 

   

 

 

  d) cos 2 cos

3 4

x  

 

   

 

 

 

e) 1

cosx   2 f) cos 1.

x 6

 

  

 

 

 

g) 2 sin(x 30 )⁰  3 0. _h) cot(4x 35 )^o  1.

i) 2 cos 2 2 0.

x 4

 

   

 

 

  j) 2 cos 3 0.

x 6

 

   

 

 

 

k) (12 cos )(3x cos )x 0. _l) tan(x 30 ).cos(2⁰ x150 )⁰ 0.

m) 2 sin 2x 2 cosx 0. n) sin 3 sin 0.

2 x  x 

o) 1

sin 2 .cos2 0.

x x  4  p) 1

sin cos cos 2 cos 4 cos 8

x x x x x 16

II. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1. Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos( a) cosa sin( a)  sina sin cos

2 a a

 

   

 

 

 

sin(  a) sina cos( a) cosa cos sin

2 a a

 

  

 

 

 

tan(  a) tana tan( a) tana tan cot

2 a a

 

  

 

 

 

cot(  a) cota cot( a) cota cot tan

2 a a

 

   

 

 

 

Cung hơn kém  Cung hơn kém

2



sin( a) sina sin cos

2 a a

 

  

 

 

 

cos( a) cosa cos sin

2 a a

 

    

 

 

 

tan( a) tana tan cot

2 a a

 

    

 

 

 

cot( a) cota cot tan

2 a a

 

   

 

 

  Tính chu kỳ

sin(x k2 ) sinx cos(x k2 ) cosx sinx (k2 )   sinx cosx (k2 )   cosx

tan(x k)tanx cot(x k)cotx

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) sin 2 cos

x  x 3 b) tan 2 cot

3 3

x  x 

   

     

   

   

 

   

... ...

... ...

... ...

... ...

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) sin 3 cos 0.

x  3 x b) tan . tan 3x x  1 0.

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 8. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) sin 2 cos

x  6x b) 2 9

sin 3 cos

3 4

x  x 

   

     

   

   

 

   

c) cos 2 sin .

x 4 x

 

  

 

 

  d) 2

cos2 sin

x  x  3

e) cos 4 sin 2 0.

x 5 x

 

   

 

 

  f) 2 9

sin 3 cos

3 4

x  x 

   

     

   

   

 

   

g) 3

cot 2 tan

4 6

x  x 

   

     

   

   

 

    h) tan 3 cot .

x 5 x

 

  

 

 

 

 Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ? ...

 Hãy viết các công thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?

...

BT 9. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) cos(3x 45 )⁰  cos .x b) cos 2 cos

3 4

x  x 

   

      

   

   

 

   

c) sin sin 2

4 6

x  x 

   

      

   

   

 

    d) sin 2 sin 0.

x 3 x

 

   

 

 

 

e) tan 3 tan .

x 3 x

 

   

 

 

  f) cot cot 0.

4 2

x   x

   

     

   

   

 

   

g) cos 3 cos 0.

x 3 x

 

   

 

 

  h) 2 7

sin 3 sin 0.

3 5

x  x 

   

     

   

   

 

   

i) sin 2 cos 0.

x 4 x

 

   

 

 

  j) cos 4 sin 0.

3 4

x  x 

   

     

   

   

 

   

k) tan 3 tan 2 0.

x 4 x

 

   

 

 

  l) tan 2 .tan 3x x 1.

 Muốn bỏ dấu "" trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào ?

...

 Hãy viết cơng thức cung gĩc liên kết dạng cung đối nhau ?

...

BT 10. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 4x2 cos²x  1 0. b) 2 cos 5 .cos 3x x sinx cos 8 .x c) sin 5x 2 cos²x 1. d) cos2 cosx x cosx sin 2 sin .x x

e) cos sin 2 0.

2 x x

 

   

 

 

  f) 1 tan

cot2 1 tan

x x

x

  

 f) 2 sin² cos 5 1.

2

x  x  g) 4

sin 3 sin 3 3.

5 5

x   x

   

     

   

   

 

   

h) 4

sin cos 3.

9 x 18 x

   

     

   

   

 

    i) 5

cos 3 sin 3 2.

3 6

x   x

   

     

   

   

 

   

2.

Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

 cos cos 2 cos cos

2 2

a b a b

a b  

     cos cos 2 sin sin

2 2

a b a b

a b  

    

 sin sin 2 sin cos

2 2

a b a b

a b  

     sin sin 2 cos sin

2 2

a b a b

a b  

   

Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì được hai cung mới là:

2 ; 2 a b ab

 Do đĩ khi sử dụng nên nhẩm (tổng và hiệu) hai cung mới này trước để nhĩm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử cịn lại hoặc cụm ghép khác trong phương trình cần giải.

Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 5x sin 3x sinx 0.

Giải: ...

...

...

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 3x cos 2x cosx  1 0.

Giải: ...

...

...

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 11. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx sin 2x sin 3x 0. b) cosx cos 3x cos 5x 0.

c) 1sinx cos2x sin 3x 0. d) cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0.

e) sin 3x cos 2x sinx 0. f) sinx 4 cosx sin 3x 0.

g) cos 3x 2 sin 2x cosx 0. h) cosx cos 2x sin 3 .x BT 12. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 5x sinx 2 sin²x 1. b) sinxsin2xsin3x  1 cosxcos2 .x c) cos 3x2 sin 2x cosx sinx 1. d) 4 sin 3x sin 5x 2 sin cos2x x 0.

e) sin5x sin3x 2cosx  1 sin 4 .x f) cos2xsin 3xcos5x sin10x cos 8 .x g) 1sinx cos 3x cosx sin 2x cos2 .x

h) sinx sin 2x sin 3x cosx cos2x cos 3 .x

3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

 ² 1 cos 2

sin 2

     ² 1 cos 2

cos 2

  

 ² 1 cos 2

tan 1 cos 2

 



  

  ² 1 cos2

cot 1 cos 2

 



  



 Lưu ý đối với cơng thức hạ bậc của sin và cosin:

― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1

2 và cung gĩc tăng gấp đơi.

― Mục đích của việc hạ bậc: hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhĩm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn.

Ví dụ 1. Giải phương trình: ^{2 2} 1

sin 2 cos 8 cos10 .

x  x  2 x

Giải: ...

...

...

...

...

Ví dụ 2. Giải phương trình: ^{2 2 2 2} 3

cos cos 2 cos 3 cos 4

x  x  x  x  2

Giải: ...

...

...

...

...

...

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 13. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) ² 1

sin x  2 b) ² 3

cos 2

4 4

x 

 

   

 

 

 

c) ² 2 3

cos x  4  _d) 4 sin²x  1 0.

e) ² 2 ² 7

sin 3 sin

3 4

x   x

   

     

   

   

 

    f) ^{4 4} 1

cos sin

4 4

x  x   g) sin 2² x sin²x 1. h) sin 2² x cos 3² x 1.

i) ^{2 2 2} 3

sin sin 2 sin 3

x  x  x  2 j) ^{2 2 2} 3

cos cos 2 cos 3

x  x  x  2 k) sin²x sin 2² x sin 3² x 2. l) sin²x sin 3² x cos 2² x cos 4 .² x

m) ^{3 3} 2

sin cos sin cos

x x  x x  8  n) ^{3 3} 2

sin cos sin cos

x x  x x   4  BT 14. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 4² cos 6² sin10 , 0;

x x  x  x  2 ^b)

2 5 29

cos3 sin7 2sin 2cos

4 2 2

x x

x x   

c) 2 sin 2² x sin 7x  1 sin .x d) cos²x cos 2² x cos 3² x cos 4² x 2.

e) ^{2 2 2} 7

cos cos 2 cos 3

3 4

x  x  x  f) sin 4² cos 6² sin 10 , 0;

2 2

x x  x  x  

g) sin 3² xcos 4² x sin 5² xcos 6 .² x h) tan²x sin 2² x 4 cos .²x

i) cos 3 .cos2² x x cos²x  0. _j) 4sin² 3 cos2 1 2cos^{2 3}

2 4

x x   x 

4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số. Do đĩ, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng cĩ những lượng nhân tử chung nào, sau đĩ định hướng để tách, ghép, nhĩm phù hợp. Một số lượng nhân tử thường gặp:

— Các biểu thức cĩ nhân tử chung với cosx sinx thường gặp là:

2 2 2

1sin 2x sin x 2 sin cosx x cos x (sinx cos ) .x



2 2

cos2x cos x sin x (cosx sin )(cosx x sin ).x



4 4 2 2 2 2

cosx sin x (cos x sin )(cosx x sin )x (cosx sin )(cosx x sin ).x



3 3

cosx sin x (cosx sin )(1x sin cos ).x x

 

sin cos sin

1 tan 1

cos cos

x x x

x x x

     



cos sin cos

1 cot 1

sin sin

x x x

x x x

     



cos sin 1 (sin cos ).

4 4 2

x  x  x x

   

      

   

   

 

   



sin cos 1 (sin cos )...

4 4 2

x  x  x x

   

       

   

   

 

   



— Nhìn dưới gĩc độ hằng đẳng thức số 3, dạng a² b² (ab a)( b), chẳng hạn:

2 2 2

2 2

2 2 2

sin 1 cos (1 cos )(1 cos )

sin cos 1

cos 1 sin (1 sin )(1 sin )

x x x x

x x

x x x x

     

        



3 2 2 2

cos x cos .cosx x cos .(1x sin )x cos (1x sin )(1x sin ).x



3 2 2 2

sin x sin .sinx x sin .(1x cos )x sin (1x cos )(1x cos ).x



2 2 2 2

34 cos x  3 4(1sin )x (2 sin )x 1 (2 sinx 1)(2 sinx 1).



2 2

sin2x  (1 sin2 ) 1x  (sinx cos )x 1 (sinx cosx1)(sinx cosx 1).



4 4 2 2

2(cos x sin )x  1 3 cos x sin x ( 3 cosx sin )( 3 sinx x cos )...x



— Phân tích tam thức bậc hai dạng: f X( )aX² bX  c a X.( X₁) ( X X₂) với X cĩ thể là sin , cos ,....x x _{… và} X X₁, ₂ là 2 nghiệm của f X( )0.

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cosx  3 sinx sin 2x  3.

Giải: ...

...

...

...

...

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2x  (1 sin )(sinx x cos )x 0.

Giải: ...

...

...

...

Ví dụ 3. Giải phương trình: (sinx cosx 1)(2 sinx cos )x sin 2x 0.

Giải: ...

...

...

...

...

Ví dụ 4. Giải phương trình: (2 sinx  3)(sin cosx x  3) 1 4 cos .²x

Giải: ...

...

...

...

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 15. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x  3 sinx 0. b) (sinx cos )x ²  1 cos .x

c) sinx cosx cos 2 .x d) cos2x  (1 2 cos )(sinx xcos )x 0.

e) (tanx 1)sin²x cos 2x 0. f) sin .(1x cos2 )x sin 2x  1 cos .x

g) sin 2 cos 2 sin 1.

x  x  x 4 h) 1 cos 2

2 cos 1 cot .

4 sin

x x x

x

  

    

 

 

  i) 1 tan 2 2 sin

x x 4

     j) cos cos 3 1 2 sin 2

x  x    x 4 BT 16. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin²x 3 sin cosx x cos²x 1. b) 4sin2 sinx x2sin2x2sinx 4 4cos .²x c) 4 sin²x 3 3 sin 2x 2 cos²x 4. d) (cosx1)(cos2x 2cos ) 2sinx  ²x 0.

e) (2cosx1)(sin2x2sinx 2) 4cos²x1. f) (2sinx1)(2cos2x2sinx 3) 4sin²x1.

g) (2sinx1)(2sin2x 1) 4cos²x 3. h) (2sinx1)(2cos2x2sinx  1) 3 4cos .²x i) sin2x(sinxcosx1)(2sinxcosx2). _j) 2(cos⁴x sin )⁴x  1 3 cosxsin .x BT 17. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx 4 cosx  2 sin 2 .x b) sin 2x  3 2 cosx  3 sin .x c) 2(sinx 2 cos )x  2 sin 2 .x d) sin 2x sinx  2 4 cos .x e) sin 2x 2 cosx sinx  1 0. f) sin 2x 2 sinx 2 cosx  2 0.

g) sin 2x  1 6 sinx cos 2 .x h) sin 2x cos2x 2 sinx 1.

i) sin 2x 2 sinx  1 cos 2 .x j) sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 cos .x l) sin 2xsinx 2 cos 2x 1. m) (2cosx1)(2sinxcos )x sin2xsin .x n) tanx cotx 2(sin 2x cos 2 ).x _o) (1 sin )cos ²x x (1 cos )sin²x x 1 sin2 .x p) sin 2x 2 sin²x sinx cos .x q) cos 3x cosx 2 3 cos 2 sin .x x r) cos 3x cosx 2 sin cos 2 .x x s) 2 sin²x sin 2x sinx cosx 1.

t) cosx tanx  1 tan sin .x x u) tanx sin 2x 2 cot2 .x BT 18. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx2sin .(1 cos )x  x ²  2 2sin .x b) 2(cosxsin2 )x  1 4 sin (1 cos2 ).x  x c) 1 sin cos 2 sin cos²

2 x x  x x

     d) sin 2 cos 2 sin 1.

x  x x 4

e) 2

sin 2 sin

4 x 4 x 2

 

   

      

   

   

 

    ^f)

cos sin 2 2

4 x x 4 2

 

   

      

   

   

 

   

g) sin³x cos³x  sinx cos .x h) sin³x cos³x 2(sin⁵x cos ).⁵x

i) 2 sin³x cos 2x cosx 0. _j) ^{8 8 10 10} 5

sin cos 2(sin cos ) cos2 .

x x x x 4 x l) sin 2x cos 2x 2 sinx 0. m) tan 2x cotx  8 cos .²x

n) 3sin3x 2 sin (3 8cos )x  x 3cos .x o) 2 sin (2 cos2x x 1 sin )x cos2x 2.

III. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

sin2 sin 0

a X b X  c t sinX   1 t 1

cos2 cos 0

a X b X  c t cosX   1 t 1

tan2 tan 0

a X b X  c t tanX

X 2 k



 

cot2 cot 0

a X b X  c t cotX X k

Nếu đặt t sin²X, cos²X