Phương Trình, Hệ Phương Trình Và Bất Phương Trình Lượng Giác – Võ Anh Khoa, Hoàng Bá Minh

(1)

LƯỢNG GIÁC

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG

TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(2)

TP. HỒ CHÍ MINH

LƯỢNG GIÁC

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG

TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(3)

CÁC TÁC GIẢ

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.

Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Trong tập 2

“PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”

này, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, một dạng toán quen thuộc trong các đề thi THPT, đặc biệt là đề thi tuyển sinh Đại Học.

Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần :

- Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót.

- Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này.

- Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm.

Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.

Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com

(4)

Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này :

- Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) - Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)

- Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) - Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM)

- Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) - Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) - Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) - Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội)

và một số thành viên diễn đàn MathScope.

(5)

TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II.

I.

1.

2.

3.

4.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 67

5. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC ... 73

a. TỔNG HỢP ... 73

CHƯƠNG 4 : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ... 1

BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ... 2

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ... 3

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ... 20

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ... 20

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO ݔ VÀ ݔ ... 41

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO ݔ VÀ ݔ ... 53

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI ݔ ǡ ݔ ... 61

(6)

c.

d.

I.

II.

I.

II.

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ... 107

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ ... 131

CHƯƠNG 6 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ... 154

TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP ... 154

CÁC BÀI TẬP MINH HỌA ... 155

CHƯƠNG 7 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ... 175

TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP ... 175

CÁC BÀI TẬP MINH HỌA ... 176

ĐỌC THÊM : TẢN MẠN VỀ SỐ PI ... 189

TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 194

(7)

CHƯƠNG 4

SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

- Hàm số ݕ ൌ ݔ là hàm lượng giác ngược của hàm số ݔ ൌ ݕ, có một số tính chất cơ bản sau

ەۖ

۔

ۖۓ ݕ א ቂെߨ ʹǢߨ

ʹቃ

ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א ቂെߨ ʹ

ߨቃ

൞

ەۖ

۔

ۖۓ ߨ

ʹ ߨ

ߨ ʹǢߨ

ʹቁ

൞

ݕ א ሺͲǢ ߨሻ

ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א ሺͲǢ ߨሻ ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א Թ

ሺെݔሻ ൌ ߨ െ ݔ

Ǣʹ

ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א ሾെͳǢ ͳሿ

ሺെݔሻ ൌ െ ݔ

ݕ א ሾͲǢ ߨሿ

ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א ሾͲǢ ߨሿ ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א ሾെͳǢ ͳሿ

ሺെݔሻ ൌ ߨ െ ݔ - Hàm số ݕ ൌ ݔ là hàm lượng giác

ngược của hàm số ݔ ൌ ݕ, có một số tính chất cơ bản sau

ݕ א ቀെ Ǣ ቁʹ

ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א ቀെ

ሺ ݔሻ ൌ ݔǡ ݔ א Թ

ሺെݔሻ ൌ െ ݔ

(8)

II. BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Ǥ ൌ ቆߨ

ͳʹ൅ ቆξʹ ʹ ቇቇ

¿ ൞ ߨ Ͷ ൌξʹ ߨ ʹ

Ͷ א ቂെߨ ʹǢߨ

ʹቃ

² ቆξʹ ʹ ቇ ൌߨ

ͶǤ¯×ǡ

ൌ ቀߨ ͳʹ൅ߨ

Ͷቁ ൌ ߨ

͵ൌ ξ͵

ʹ

Ǥ ൌ ൬ʹߨ

͵ ൰

ʹߨ

͵ ב ቂെߨ ʹǢߨ

ʹቃ ² ൬ʹߨ

͵ ൰ ്ʹߨ

͵

ʹߨ

͵

ߨቁ ൌ ߨ

͵ Do đó,

ʹߨ

͵ ൰ ൌ ቀߨ

͵ቁ ൌߨ

͵ Ǥ ൌ ൬Ͷߨ

͵ ൰ Ta thấy :

Ͷߨ

͵ ൌ ቀߨ ൅ߨ

͵ቁ ൌ െ ߨ

͵ Do đó,

ൌ ൬Ͷߨ

͵ ൰ ൌ ቀെ ߨ

͵ቁ ൌ ߨ െ ቀߨ

͵ቁ ൌ ߨ െߨ

͵ ൌʹߨ

͵ Ǥậ

ൌ ቀߨ െ

͵

ൌ ൬

(9)

CHƯƠNG 5

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

- CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

ʹǤ ݑ ൌ Ͳ ฻ ݑ ൌ ߨ ʹ

͵Ǥ ݑ ൌ ͳ ฻ ݑ ൌ

ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

͸Ǥ ݑ ൌ െͳ ฻ ݑ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

͹Ǥ ݑ ൌ ͳ ʹ฻ ൦

ݑ ൌߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ ݑ ൌ ͷߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

ͺǤ ݑ ൌ ͳ

ʹ฻ ݑ ൌ േߨ

͵൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ݑ ൌ ݒ ฻ ቂ ݑ ൌݒ൅݇ʹߨ

ݑ ൌߨെݒ൅݇ʹߨ ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ݑ ൌ ݒ ฻ ቂ ݑ ൌݒ൅݇ʹߨ

ݑ ൌ െݒ൅݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ Ǥ ݑ ൌ ݒ฻ ቊݑ ൌݒ൅݇ߨ

ݑ ് ߨ

ʹ൅݇ߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ݑ ൌ ݒ ฻ ቄݑ ൌݒ൅݇ߨ

ݑ ്݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ

- CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐẶC BIỆT

ͳǤ ݑ ൌ Ͳ ฻ ݑ ൌ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ͶǤ ݑ ൌ ͳ ฻ ݑ ൌ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ͷǤ ݑ ൌ െͳ ฻ ݑ ൌ െ

(10)

ͻǤ ݑ ൌ ξ͵

ʹ ฻ ൦

ݑ ൌ ߨ

͵൅ ݇ʹߨ ݑ ൌ ʹߨ

͵ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ͳͲǤ ݑ ൌξ͵

ʹ ฻ ݑ ൌ േߨ

͸൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

ͳͳǤ ݑ ൌ െͳ ʹ ฻ ൦

ݑ ൌ െߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ ݑ ൌ ͹ߨ

͸ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ͳʹǤ ݑ ൌ െͳ

ʹ฻ ݑ ൌ േʹߨ

͵ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

ͳ͵Ǥ ݑ ൌ െξ͵

ʹ ฻ ൦

ݑ ൌ െߨ

͵൅ ݇ʹߨ ݑ ൌ Ͷߨ

͵ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ξ͵

ʹ

ͷߨ

͸

ߨ ʹǢߨ

ʹቃǤ

ߨ ʹǢߨ

ʹቁǤ

Àệệ¯× ݉Ǥ

Ͷሻươ¿ ݔ ൌ ݉ሺ݉ א Թሻ×¯ïộệộሺͲǢ ߨሻǤ

Àệệ¯× ݉Ǥ

Chúng ta sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã nêu trong Chương 2, phân tích phương trình thành các nhân tử để xuất hiện các dạng phương trình trên.

ͳͶǤ ݑ ൌ െ ฻ ݑ ൌ േ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ Chú ý rằng:

ͳሻươ¿ ݔ ൌ ݉ሺ݉ א ሾെͳǢ ͳሿሻ×¯ïộệộ ቂെ

Àệệ¯× ݉Ǥ

ʹሻươ¿ ݔ ൌ ݉ሺ݉ א ሾെͳǢ ͳሿሻ ×¯ïộệộሾͲǢ ߨሿǤ

Àệệ¯× ݉Ǥ

͵ሻươ¿ ݔ ൌ ݉ሺ݉ א Թሻ×¯ïộệộ ቀെ

(11)

Giải:

a. Ta có:

ʹݔ ൌ ͳ ฻ ʹݔ ൌ ߨ ʹ b. Ta có:

͵ݔ ൌͳ

ʹ฻ ͵ݔ ൌ േߨ

͵ ൅݇ʹߨ

͵ ሺ݇ א Ժሻ c. Ta có:

ݔ ൌ െξ͵

͵ ฻ ൞ݔ ൌ െ

ݔ ് ฻ ݔ ൌ െߨ

͸൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

d. Ta có:

ݔ ൌߨ ͺ൅݇ߨ

ʹ ݔ ് ݇ߨ

ʹ

฻ ݔ ൌߨ ͺ൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ʹݔ ൌ ͳǤ ݔ ൌ െξ͵

͵

Ǥ ͵ݔ ൌͳ

ʹ Ǥ ʹݔ ൌ ͳ

Bài 1: Giải các phương trình sau

Ǥ ሺݔ൅ ʹሻ ൌͳ

ʹ Ǥ ሺʹݔ െ ͳሻ ൌ ξ͵

Ǥ ሺߨെݔሻ ൌ ͳ Ǥ ሺ͵ݔെ ͳሻ ൌ െξ͵

൅ ݇ʹߨ ฻ ݔ ൌ ߨ

Ͷ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

൅ ݇ʹߨ ฻ ݔ ൌ േߨ ͻ

ߨ

͸൅ ݇ߨ ߨ

ʹ ൅ ݇ߨ

ʹݔ ൌ ͳ ฻ ൞

(12)

Giải:

a. Ta có:

ሺݔ ൅ ʹሻ ൌͳ ʹ ฻ ൦

ݔ ൅ ʹ ൌ ߨ

͸൅ ݇ʹߨ ݔ ൅ ʹ ൌ ͷߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ

฻ ൦

ݔ ൌߨ

͸൅ ݇ʹߨ െ ʹ ݔ ൌ ͷߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ െ ʹ

ሺ݇ א Ժሻ b. Ta có:

ሺߨ െ ݔሻ ൌ ͳ ฻ ߨ െ ݔ ൌ ݇ʹߨ ฻ ݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ c. Ta có:

ሺʹݔ െ ͳሻ ൌ ξ͵ ฻ ൞ʹݔ െ ͳ ൌߨ

͵൅ ݇ߨ ʹݔ െ ͳ ് ߨ

ʹ൅ ݇ߨ ฻ ൞ݔ ൌ ߨ

͸൅݇ߨ ʹ ൅ͳ

ʹ ݔ ് ߨ

Ͷ൅݇ߨ ʹ ൅ͳ

ʹ

฻ ݔ ൌߨ

͸൅݇ߨ ʹ ൅ͳ

ʹሺ݇ א Ժሻ d. Ta có:

ሺ͵ݔ െ ͳሻ ൌ െξ͵ ฻ ൞͵ݔ െ ͳ ൌ െ ߨ

͸൅ ݇ߨ

͵ݔ െ ͳ ് ݇ߨ ฻ ൞ݔ ൌ െ ߨ ͳͺ൅݇ߨ

͵ ൅ͳ

͵ ݔ ്݇ߨ

͵ ൅ͳ

͵

฻ ݔ ൌ െ ߨ ͳͺ൅݇ߨ

͵ ൅ͳ

͵ሺ݇ א Ժሻ

Giải:

a. Ta có:

ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ ቀʹݔ ൅ߨ

͵ቁ ฻ ൞ʹݔ ൅ߨ

͵ ൌ ݔ ൅ߨ Ͷ ൅ ݇ߨ ʹݔ ൅ߨ

͵ ്ߨ

ʹ൅ ݇ߨ ฻ ൞

ݔ ൌ െߨ

͸൅ ݇ߨ ݔ ് ߨ

ͳʹ൅݇ߨ ʹ

฻ ݔ ൌ െߨ

͸൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ b. Ta có:

ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ െ ቀʹݔ െߨ

͵ቁ ฻ ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ ሺʹݔ ൅ߨ

͸ሻ

Ǥ ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ ቀʹݔ ൅ߨ

͵ቁ

Ǥ ቀݔ൅ߨ

Ͷቁ ൌ െ ቀʹݔെߨ

͵ቁ Ǥ ݔ ൌ ሺݔ൅ߨሻ

(13)

฻ ൞ʹݔ ൅ߨ

͸ ൌ ݔ ൅ߨ Ͷ൅ ݇ߨ ʹݔ ൅ߨ

͸ ്ߨ

ʹ൅ ݇ߨ ฻ ൞

ݔ ൌ ߨ ͳʹ൅ ݇ߨ ݔ ്ߨ

͸൅݇ߨ ʹ

฻ ݔ ൌ ߨ

ͳʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ c. Ta có:

ݔ ൌ ሺݔ ൅ ߨሻ ฻ ݔ ൌ ቀെݔ െߨ

ʹቁ ฻ ൦ ݔ ൌ െݔ െߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ ߨ ൅ ݔ ൅ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ

฻ ൦

ݔ ൌ െߨ Ͷ൅ ݇ߨ Ͳݔ ൌ͵ߨ

ʹ ൅ ݇ʹߨሺØýሻ ฻ ݔ ൌ െߨ

Giải:

a. Điều kiện :

ݔ ് ݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

ͳ

ݔ ݔൌ െ ʹ ݔ

฻ ݔ ൌ െͳ ʹ฻ ൦

ݔ ൌ െߨ

͸൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ ͹ߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ ሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

Ǥ Điều kiện :

൜ ʹݔ ് Ͳ

ʹݔ ് Ͳ฻ Ͷݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് ݇ߨ

Ͷ ሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

ݔ ʹݔ െ ݔ ʹݔ

ʹݔ ʹݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ݔ൅ ݔ ൌ െ ʹ ݔ

Ǥ ݔ

ͷݔ െ ݔ ͷݔ ൌ Ͳ

Ǥ ሺʹ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ʹݔ െ ݔ (Tuyển sinh khối D 2004)

(14)

Kết hợp với ሺכሻ ta được nghiệm là ݔ ൌ ߨ ൅ ݉ʹߨሺ݉ א Ժሻ c. Ta có:

ሺʹ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ʹݔ െ ݔ

฻ ሺʹ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ݔሺʹ ݔ െ ͳሻ

฻ ሺʹ ݔ െ ͳሻሺ ݔ ൅ ݔሻ ൌ Ͳ

฻ ξʹሺʹ ݔ െ ͳሻ ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ Ͳ

฻ ൦ ݔ ൌͳ

ʹ

ቀݔ ൅ߨ Ͷቁ ൌ Ͳ

฻ ൦ݔ ൌ േߨ

͵൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ െߨ

Ͷ൅ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ

Giải:

a. Ta có:

ξ͵ ሺʹݔ െ ͵͸^଴ሻ െ ͳ ൌ Ͳ (với ݔ א ሾͻͲ^଴Ǣ ͳͺͲ^଴ሿ)

฻ ሺʹݔ െ ͵͸^଴ሻ ൌ ξ͵

͵ ฻ ൜ʹݔ െ ͵͸^଴ ൌ ͵Ͳ^଴൅ ݇ͳͺͲ^଴ ʹݔ െ ͵͸^଴ ് ͻͲ^଴൅ ݇ͳͺͲ^଴

฻ ൜ݔ ൌ ͵͵^଴൅ ݇ͻͲ^଴

ݔ ് ͸͵^଴൅ ݇ͻͲ^଴ ฻ ݔ ൌ ͵͵^଴൅ ݇ͻͲ^଴ሺ݇ א Ժሻ Lại có:

ݔ א ሾͻͲ^଴Ǣ ͳͺͲ^଴ሿ ฻ ቄͻͲ^଴ ൑ ͵͵^଴൅ ݇ͻͲ^଴ ൑ ͳͺͲ^଴

݇ א Ժ

฻ ൝ͳͻ

͵Ͳ൑ ݇ ൑ Ͷͻ

݇ א Ժ ͵Ͳ

฻ ݇ א ሼͳሽ Vậy nghiệm của phương trình là ݔ ൌ ͳʹ͵^଴

b. Ta có:

ሺ͵ݔ ൅ ͳሻ ൅ ሺ͵ݔ െ ͳሻ ൌ Ͳ (với ݔ א ሾെߨǢ ߨሿ)

Ǥξ͵ ሺʹݔെ ͵͸^଴ሻ െ ͳ ൌ Ͳ ǡݔ א ሾͻͲ^଴Ǣ ͳͺͲ^଴ሿ

Ǥ ሺ͵ݔ൅ ͳሻ ൅ ሺ͵ݔെ ͳሻ ൌ Ͳ ǡݔ א ሾെߨǢߨሿ Bài 5: Giải các phương trình sau

Ǥ ͵ݔെ Ͷ ʹݔ ൅ ͵ ݔെ Ͷ ൌ Ͳ ǡݔ א ሾͲǢ ͳͶሿ (Tuyển sinh khối D 2002)

(15)

฻ ʹ ͵ݔ ͳ ൌ Ͳ ฻ ͵ݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌ݇ߨ

͵ ሺ݇ א Ժሻ Lại có:

ݔ א ሾെߨǢ ߨሿ ฻ ൝െߨ ൑݇ߨ

͵ ൑ ߨ

݇ א Ժ

฻ ቄെ͵ ൑ ݇ ൑ ͵

݇ א Ժ ฻ ݇ א ሼͲǢ േͳǢ േʹǢ േ͵ሽ ậệዚዛዓ¿ݔ א ൜ͲǢ േߨ

͵Ǣ േʹߨ

͵ Ǣ േߨൠ

c. Ta có:

͵ݔ െ Ͷ ʹݔ ൅ ͵ ݔ െ Ͷ ൌ Ͳ (với ݔ א ሾͲǢ ͳͶሿ)

฻ Ͷ ^ଷݔ െ ͵ ݔ െ Ͷሺʹ ^ଶݔ െ ͳሻ ൅ ͵ ݔ െ Ͷ ൌ Ͳ

฻ Ͷ ^ଶݔሺ ݔ െ ʹሻ ൌ Ͳ

฻ ൤ ݔ ൌ Ͳ

ݔ ൌ ʹ ൐ ͳሺạ¿ ݔ ൑ ͳሻ

฻ ݔ ൌ ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Lại có:

ݔ א ሾͲǢ ͳͶሿ ฻ ቊͲ ൑ ߨ

ʹ൅ ݇ߨ ൑ ͳͶ

݇ א Ժ ฻ ൝െ

ͳ

ʹ ൑ ݇ ൑ͳͶ ߨ െͳ

݇ א Ժ ʹ

฻ ݇ א ሼͲǢ ͳǢ ʹǢ ͵ሽ ậệủươ¿ݔ א ൜ߨ

ʹǢ͵ߨ ʹ Ǣͷߨ

ʹ Ǣ͹ߨ ʹ ൠ

Giải:

a. Ta có :

൬ʹݔ ൅ͷߨ

ʹ ൰ ൌ ቀʹݔ ൅ߨ

ʹቁ ൌ ʹݔ ൬ݔ െ͹ߨ

ʹ ൰ ൌ ቀݔ ൅ߨ

ʹെ Ͷߨቁ ൌ െ ݔ Như vậy, phương trình viết lại thành

ʹݔ ൅ ͵ ݔ ൌ ͳ ൅ ʹ ݔ

฻ ʹ ʹݔ ൬ ݔ െͳ

ʹ൰ ൌ Ͳ

Ǥ ൬ʹݔ ൅ͷߨ

ʹ ൰ െ ͵ ൬ݔെ͹ߨ

ʹ൰ ൌ ͳ ൅ ʹ ݔǡݔ א ቂߨ ʹǡ ͵ߨቃ

Ǥ ͵ݔെ ݔ

ξͳ െ ʹݔ ൌ ʹݔ ൅ ʹݔǡݔ א ሺͲǡʹߨሻ Bài 6: Giải các phương trình sau

(16)

฻ ۏێ ێێ

ۍ ݔ ൌ ݇ߨ ݔ ൌߨ

͸൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ ͷߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

¿ݔ א ቂߨ

ʹǡ ͵ߨቃ ²ệủươ¿ݔ א ൜ߨǢ ʹߨǢ ͵ߨǢߨ

͸Ǣͷߨ ʹ Ǣͳ͹ߨ

͸ ൠ b. Phương trình tương đương với

ʹ ʹݔ ݔ

ξʹȁ ݔȁ ൌ ξʹ ቀʹݔ െߨ Ͷቁ Nếu ݔ א ሺͲǡ ߨሻ thì ݔ ൐ Ͳ nên

ʹݔ ൌ ቀʹݔ െߨ

Ͷቁ ฻ ݔ ൌ ߨ ͳ͸൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ Khi đó,

ݔ א ൜ߨ ͳ͸Ǣͻߨ

ͳ͸ൠ Nếu ݔ א ሺߨǡ ʹߨሻ thì ݔ ൏ Ͳ nên

ʹݔ ൌ െ ቀʹݔ െߨ

Ͷቁ ฻ ݔ ൌ ͷߨ ͳ͸൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ Khi đó,

ݔ א ൜ʹͳߨ ͳ͸ Ǣʹͻߨ

ͳ͸ ൠ ኼệủươ¿ݔ א ൜ߨ

ͳ͸Ǣͻߨ ͳ͸Ǣʹͳߨ

ͳ͸ Ǣʹͻߨ ͳ͸ ൠ

Giải:

a. Phương trình tương đương với

ሺʹ ݔ െ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ݔ ሺʹ ݔ െ ͳሻ

฻ ሺʹ ݔ െ ͳሻሺ ݔ ൅ ݔሻ ൌ Ͳ Ǥ ݔ൅ ݔቀͳ ൅ ݔݔ

ʹቁ ൌ Ͷ ሺểnốʹͲͲ͸ሻ

Ǥ ͳ

ݔ൅ ͳ

ቀݔ െ͵ߨ ʹ ቁ

ൌ Ͷ ൬͹ߨ

Ͷ െݔ൰ሺểnốʹͲͲͺሻ Bài 7: Giải các phương trình sau

Ǥሺʹ ݔെ ͳሻሺʹ ݔ ൅ ݔሻ ൌ ʹݔ െ ݔ (Tuyển sinh khối D 2004)

Ǥ ݔ൅ ݔ ൅ ͳ ൅ ʹݔ ൅ ʹݔ ൌ Ͳ (Tuyển sinh khối B 2005)

(17)

฻ ൦ ݔ ൌ ͳ ʹ ξʹ ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ Ͳ

฻ ൦ݔ ൌ േߨ

͵൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ െߨ

Ͷ൅ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ b. Phương trình tương đương với

ʹ ^ଶݔ ൅ ʹ ݔ ݔ ൅ ݔ ൅ ݔ ൌ Ͳ

฻ ሺʹ ݔ ൅ ͳሻሺ ݔ ൅ ݔሻ ൌ Ͳ

฻ ൦ݔ ൌ േʹߨ

͵ ൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ െߨ

Ͷ൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ

c. 0ều kiệnǣ ቐ

ݔ ് Ͳ

ݔ ് Ͳ ݔ

ʹ ് Ͳ฻ ʹݔ ് Ͳ ฻ ݔ ് ݇ߨ

Ͷ ሺ݇ א Ժሻሺכሻ Ta thấy :

ͳ ൅ ݔ ݔ

ʹ ൌ ͳ ൅ ݔ ݔ ʹ ݔ ݔ ʹ

ൌ ݔ ݔ

ʹ ൅ ݔ ݔ ʹ ݔ ݔ

ʹ

ൌ ͳ ݔ Do đó, phương trình tương đương với

ݔ ൅ ݔ ൌ Ͷ ฻ ʹݔ ൌ ͳ ʹ฻ ൦

ݔ ൌ ߨ ͳʹ൅ ݇ߨ ݔ ൌ ͷߨ

ͳʹ൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

d. Điều kiện :

൝ ݔ ് Ͳ

൬ݔ െ͵ߨ

ʹ ൰ ് Ͳሺכሻ Phương trình tương đương với

ͳ

ݔ൅ ͳ

ݔ ൌ െʹξʹሺ ݔ ൅ ݔሻ

(18)

ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൬ ͳ

ʹݔ൅ ξʹ൰ ൌ Ͳ ฻ ۏێ ێێ

ێۍݔ ൌ െߨ ͺ൅ ݇ߨ ݔ ൌͷߨ

ͺ ൅ ݇ߨ ݔ ൌ െߨ

Ͷ൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

Giải: Phương trình tương đương với ߨ

Ͷቀ͵ݔ െ ඥͻݔ^ଶെ ͳ͸ݔ െ ͺͲቁ ൌ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

฻ ඥͻݔ^ଶെ ͳ͸ݔ െ ͺͲ ൌ ͵ݔ െ ͺ݇

฻ ൜ ͵ݔ െ ͺ݇ ൒ Ͳ

ͻݔ^ଶെ ͳ͸ݔ െ ͺͲ ൌ ሺ͵ݔ െ ͺ݇ሻ^ଶ

฻ ൝ ͵ݔ െ ͺ݇ ൒ Ͳ

ͻݔ ൌ ͳʹ݇ ൅ Ͷ ൅ Ͷͻ

͵݇ െ ͳ ሺכሻ ߨ

Ͷቀ͵ݔെ ඥͻݔ^ଶെ ͳ͸ݔ െ ͺͲቁ ൌ ͳ Bài 8: Tìm tất cả các giá trị nguyên của ݔ thỏa mãn

Do đó, ͵݇ െ ͳ là ước nguyên của 49. Ta được : ͵݇ െ ͳ ൌ േͳǡ േ͹ǡ േͶͻ Vì ݇ א Ժ nên ݇ ൌ Ͳǡ െʹǡ െͳ͸. Thay vào ሺכሻ, ta được ݔ ൌ െ͵ǡ െʹͳ

(19)

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.1.1. Giải các phương trình sau:

Ǥ ʹݔ ൌ ξ͵

͵

Ǥ ͳͲݔ ൌ ͳ ǤͶ ^ଶݔ െ ͵ ൌ Ͳ

Ǥ͵ ݔ െ ʹ ൌ Ͳ

Ǥͳ ൅ ʹݔ ൌ ^ଶݔ ൅ ^ଶݔ 5.1.2. Giải các phương trình sau:

Ǥ ൬ʹݔ

͵ െߨ

͵൰ ൌ Ͳ

Ǥͳ ൅ ቀʹݔ െߨ

͸ቁ ൌ Ͳ Ǥ ቀݔ

ʹ൅ߨ

͵ቁ ൌ ξ͵

Ǥ ^ଶሺݔ ൅ ͳሻ ൌ ͳ ͵

Ǥʹ ቈߨ

͸ቆ ݔ െ ͳ ൅ξʹ ʹ

Ǥ ݔ ൌ ൬Ͷݔ

ߨ

͵ቁ ൌ Ͳ

Ǥ ͷݔ െ ሺ͵ݔ ൅ Ɏሻ ൌ Ͳ 5.1.4. Giải các phương trình sau:

ǤͶ ݔ ݔ ʹݔ ൌ ͳ

Ǥ ݔ ʹݔ Ͷݔ ͺݔ ͳ͸ݔ ͵ʹݔ ൌ ͳ

͸Ͷ ݔ Ǥ ݔ ൅ ݔ

ͳ ൅ ݔ ൌ ͳ

Ǥ ͵ݔ െ ʹݔ െ ݔ ൌ ʹݔ െ ݔ െ ͳ

Ǥሺͳ െ ݔሻሺͳ ൅ ʹݔሻ ൌ ͳ ൅ ݔ ቇ቉ ൌ ξ͵

5.1.3. Giải các phương trình sau:

൅ ͵ߨ൰ ͷ

Ǥ ሺʹݔ ൅ ߨሻ ൌ െ ݔ Ǥ ݔ ൌ െ ʹݔ

Ǥ ݔ ൅ ቀʹݔ ൅

(20)

Ǥ ͳͲݔ ൅ ʹ ^ଶͶݔ ൅ ͸ ͵ݔ ݔ ൌ ݔ ൅ ͺ ݔ ^ଷ͵ݔ

ǤͶ ^ଷݔ ൅ ͵ ^ଶݔ െ ͵ ݔ െ ^ଶݔ ݔ ൌ Ͳ

Ǥ ^଺ݔ ൅ ^଺ݔ ൌ ʹሺ^଼ݔ ൅ ^଼ݔሻ

Ǥ ^ଶݔ െ ݔ ͵ݔ ൌ ʹ 5.1.5. Giải các phương trình sau:

Ǥ ʹݔ ൌ ͳǡ ݔ א ቂെߨ ʹǢߨ

ʹቃ

Ǥ ݔ ൅ ͵ݔ ൌ Ͳǡ ݔ א ቂͲǢߨ ʹቃ 5.1.6. Giải các phương trình sau:

Ǥʹ ൅ ͵ ݔ ൌ ʹݔ ʹ

Ǥ ݔ െ ʹ ݔ ݔ

ݔ ʹ

ߨ Ͷ

ݔ ʹ

Ǥݔ ൌ ߨ ͳʹ൅݇ߨ

ʹ

Ǥݔ ൌ ߨ ʹͲ൅݇ߨ

ͷ

Ǥ ൦

ݔ ൌ േ ݔ ൌ േ

͸ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൦ ݔ ൌ ʹ

͵൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ ߨ െ ʹ

͵൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥݔ ൌ݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ

ሺọcệnͳͻͻͺሻ

ൌ ξ͵ሺ0ạiữͳͻͻͺሻ ʹ ^ଶݔ ൅ ݔ െ ͳ

Ǥ ݔ ൅ ʹݔ ൅ ͵ݔ ൌ ݔ ൅ ʹݔ ൅ ͵ݔ (ĐH Ngoại Thương 1999)

Ǥ ^ଶ͵ݔ െ ^ଶͶݔ ൌ ^ଶͷݔ െ ^ଶ͸ݔሺểnốʹͲͲʹሻ

Ǥ ^ଶቀ െ ቁ ^ଶݔ െ ^ଶ ൌ ͲሺểnốʹͲͲ͵ሻ

- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.1.1.Nghiệm của phương trình là :

ሺ݇ א Ժሻ ሺ݇ א Ժሻ ߨ

͸൅ ݇ʹߨ ͷߨ

(21)

5.1.2. Nghiệm của phương trình là :

Ǥݔ ൌߨ

ʹ൅͵݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ

Ǥݔ ൌ ͹ߨ

ͳʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Ǥݔ ൌ െߨ

Ǥ ൦ ݔ ൌߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ െ ͳ ݔ ൌ െߨ

ʹ ൅ ʹߨ െ ͳሺ݇ א Ժሻ

Ǥݔ ൌ ݇ߨ ൅ ሺെͳሻ^௡ାଵǤߨ Ͷ

5.1.3. Nghiệm của phương trình là :

Ǥ ൥ ݔ ൌ ͳͷߨ ൅ ݇ͳͲߨ ݔ ൌ െͳͲߨ

ͻ ൅݇ͳͲߨ ͻ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൦ ݔ ൌߨ

͸ ൅݇ʹߨ

͵ ݔ ൌ െߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൦

ݔ ൌ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ െߨ

͸൅݇ʹߨ

͵

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥݔ ൌ െߨ ͻ൅݇ߨ

͵ ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൦

ݔ ൌ ߨ Ͷ൅ ݇ߨ ݔ ൌ െ ߨ

ͳ͸൅݇ߨ Ͷ

ሺ݇ א Ժሻ

(22)

5.1.4.

a. ử dụng công thức nhân đôi ʹܽ ൌ ʹ ܽ ܽ sẽ đưa phương trình trở thành :

Ͷݔ ൌ ͳ ֞ ݔ ൌߨ ͺ൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ

b. Tương tự câu a, ta cũng sử dụng công thức nhân đôi ʹܽ ൌ ʹ ܽ ܽ sẽ đưa phương trình trở thành :

͸Ͷݔ ൌ ͳ ฻ ݔ ൌ ߨ

ͳʹͺ൅݇ߨ

͵ʹሺ݇ א Ժሻ c. Điều kiện :

ቄ ݔ ് Ͳ ݔ ് െͳ฻ ݔ ് ߨ ʹ Phương trình tương đương với

ሺ ݔ ൅ ͳሻሺ ݔ െ ͳሻ ൌ Ͳ ฻ ቂ ݔ ൌ െͳ ݔ ൌ ͳ ൅ ݇ʹߨ

ݔ ൌ ݇ʹߨ ฻ ݔ ൌ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

ߨ

͸൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ͹ߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ ݇ʹߨ ݔ ൌ ߨ

͵൅݇ʹߨ

͵

ሺ݇ א Ժሻ

ݔ ്ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ 0ặݐ ൌ ݔ ฺ ʹݔ ൌ ʹݐ

ͳ ൅ ݐ^ଶ Thay vào phương trình, ta được

൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ

฻ ቈݔ ൌ െ ʹ ߨ

d. ệm của phương trình là : ۍێ ێێ ێێ ۏ

ݔ ൌ െ

e. Điều kiện :

(23)

ቂ ݐ ൌ Ͳݐ ൌ െͳ฻ ቂ ݔ ൌ Ͳ ݔ ൌ െͳ฻ ቈ ݔ ൌ ݇ʹߨ ݔ ൌ െߨ

Ͷ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

f. Để ý : ʹ ^ଶͶݔ ൌ ͳ ൅ ͺݔ và Ͷ ^ଷ͵ݔ ൌ ͵ ͵ݔ െ ͻݔ Phương trình có nghiệm ݔ ൌ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

g. Phương trình tương đương với

ሺͶ ^ଶݔ െ ͵ሻሺ ݔ െ ݔሻ ൌ Ͳ

฻ ൦ݔ ൌ േߨ

͵൅ ݇ߨ ݔ ൌߨ

Ͷ൅ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ

֞ ͵ݔ ് Ͳሺכሻ

൬ ݔ

ݔെ ͵ݔ

͵ݔ൰ ൌ ʹ

฻ ݔ ሺ ݔ ͵ݔ െ ͵ݔ ݔሻ ൌ ʹ ^ଶݔ ͵ݔ

฻ െ ʹ ݔ ʹݔ ൌ ʹ^ଶݔ ͵ݔ

฻ െ ^ଶݔ ൌ ݔ ͵ݔሺ ݔ ് Ͳሻ

฻ ʹݔ െ ͳ ൌ Ͷݔ ൅ ʹݔ h. Phương trình tương đương với :

^଺ݔ ʹݔ െ ^଺ݔ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ʹݔ ሺ^଺ݔ െ ^଺ݔሻ ൌ Ͳ ߨ

Ͷ൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ

฻ ݔ ൌ i. Điều kiện :

ቄ ݔ ് Ͳ ͵ݔ ് Ͳ Phương trình tương đương với

ݔ ݔ

(24)

฻ Ͷݔ ൌ െͳ ֞ ݔ ൌߨ Ͷ൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

5.1.5.

a. Ta có:

ʹݔ ൌͳ

ʹቀݔ א ቂെߨ ʹǢߨ

ʹቃቁ ฻ ݔ ൌ ߨ

Ͷ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ ại có:

ݔ א ቂെߨ ʹǢߨ

ʹቃ ฻ ቊെ

ߨ ʹ ൑ߨ

Ͷ൅ ݇ߨ ൑ ߨ

݇ א Ժ Ͷ ኼệủươ¿ݔ ൌ ߨ

Ͷ

Ǥ Ta có:

ݔ ൅ ͵ݔ ൌ Ͳ ቀݔ א ቂͲǢߨ ʹ

ݔ ൌ ߨ ʹ൅ ݉ߨ ݔ ൌߨ

Ͷ൅݊ߨ ʹ

ሺ݉ǡ ݊ א Ժሻ

ại có:

ߨ ʹቃ ฻

ۏێ ێێ

ۍቊͲ ൑ ߨ

ʹ൅ ݉ߨ ൑ߨ

݉ א Ժ ʹ ቊͲ ൑

ߨ Ͷ൅݊ߨ

ʹ ൑ߨ

݊ א Ժ ʹ

฻ ൤݉ א ሼͲሽ

݊ א ሼͲሽ

ኼዉዚዛዓ¿ݔ א ቄߨ ͶǢߨ

ʹቅ 5.1.6.

a. Gợi ý : 0ặݐ ൌ ݔ

ʹฺ ݔ ൌͳ െ ݐ^ଶ ͳ ൅ ݐ^ଶ

ệủươ¿ݔ ൌߨ

֞ ݇ א ሼͲሽ

ቃቁ ฻ ʹ ʹݔ ݔ ൌ Ͳ ฻ ൦

ݔ א ቂͲǢ

(25)

b. Điều kiện:

൝ ݔ ് ͳ

ݔ ് െͳ ʹ

ሺכሻ

ương trình tương đương với

ݔ െ ʹݔ ൌ ξ͵ሺെʹ ^ଶݔ ൅ ݔ ൅ ͳሻ

฻ ݔ െ ʹݔ ൌ ξ͵ ʹݔ ൅ ξ͵ ݔ

฻ ቀݔ ൅ߨ

͵ቁ ൌ ቀʹݔ െߨ

͸ቁ

฻ ൦

ݔ ൌ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ െ ߨ

ͳͺ൅݇ʹߨ

͵

ሺ݇ א Ժሻ

൅ ݇ʹߨ ߨ

ͺ൅݇ߨ ʹ

ሺ݇ א Ժሻ

ͳ

ʹሺͳ െ ͸ݔሻ െͳ

ʹሺͳ ൅ ͺݔሻ ൌͳ

ʹሺͳ െ ͳͲݔሻ െͳ

ʹሺͳ ൅ ͳʹݔሻ

฻ ͺݔ െ ͸ݔ ൌ ͳʹݔ െ ͳͲݔ

฻ ݔ ሺ ͳͳݔ െ ͹ݔሻ ൌ Ͳ

฻ ۏێ ێێ ێۍݔ ൌߨ

ʹ൅ ݇ߨ ݔ ൌ െ݇ߨ

ʹ ݔ ൌ݇ߨ

ͻ

ሺ݇ א Ժሻ

c. Phương trình tương đương với

ʹ ʹݔ ݔ ൅ ʹݔ ൌ ʹ ʹݔ ݔ ൅ ʹݔ

฻ ሺʹ ݔ ൅ ͳሻሺ ʹݔ െ ʹݔሻ ൌ Ͳ

฻ ൦ݔ ൌ േʹߨ

͵ ݔ ൌ d. Phương trình tương đương với

(26)

e. Điều kiện :

ݔ ്ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

ሺͳ െ ݔሻሺͳ െ ݔሻሺͳ ൅ ݔሻ

ሺͳ െ ݔሻሺͳ ൅ ݔሻ െ ሺͳ ൅ ݔሻ ൌ Ͳ

฻ ሺ ݔ ൅ ͳሻሺ ݔ ൅ ݔሻ ൌ Ͳ

฻ ቈݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨ

ݔ ൌ െߨ

Lưu ý các công thức lượng giác sau:

x ^ଶݔ ൅ ^ଶݔ ൌ ͳ

x ^ସݔ ൅ ^ସݔ ൌ ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ x ^଺ݔ ൅ ^଺ݔ ൌ ͳ െ ͵ ^ଶݔ ^ଶݔ

x ܽ^ଶݔ൅ܾݔ ൌܿ x

x

x ܽ^ଶݔ൅ܾݔ ൌܿ

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

- Phương trình bậc hai theo các hàm số lượng giác là những phương trình có dạng sau:

- Cách giải phương trình này thì ta sẽ coi các ẩn ݔǡ ݔ ǡ ݔ ǡ ݔ là các nghiệm của phương trình ܽݐ^ଶ൅ ܾݐ ൅ ܿ ൌ Ͳሺܽ ് Ͳሻ, đồng thời lưu ý đến các điều kiện của ݐ.

- Chúng ta cũng sử dụng những phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình ban đầu về các phương trình loại này.

ܽ^ଶݔ൅ܾݔ ൌܿ

(27)

Giải:

൥ ݔ ൌ ͳ

ݔ ൌ െͷ

ʹ൏ െͳሺạ¿ ݔ ൒ െͳሻ฻ ݔ ൌ ߨ ʹ b. Ta có:

ʹ ^ଶʹݔ ൅ ͵ ʹݔ ൅ ͳ ൌ Ͳ ฻ ൦ ʹݔ ൌ െ

ߨ ʹ൅ ݇ߨ ݔ ൌ േߨ

͵൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

ݔ ൌ െͳ ฻ ൦ ݔ ൌ ߨ Ͷ൅ ݇ߨ ݔ ൌ െߨ

൥ ݔ ൌ ͳ ݔ ൌ െ͵ ฻ ൥ ݔ ൌߨ Ͷ൅ ݇ߨ

ݔ ൌ ሺെ͵ሻ ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

Ǥ ^ସݔെ ʹ ^ଶݔ൅ ͳ ൌ ͲǤ ^ଶݔ൅ ʹݔെ ͵ ൌ Ͳ Bài 1: Giải các phương trình sau

Ǥʹ ^ଶݔ ൅ ͵ ݔെ ͷ ൌ ͲǤʹ ^ଶʹݔ൅ ͵ ʹݔ൅ ͳ ൌ Ͳ

൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

ʹݔ ൌ െͳ ͳ ʹ

฻ ൦ ݔ ൌ

ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ c. Điều kiện:

ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് Phương trình tương đương với

ሺ^ଶݔ െ ͳሻ^ଶ ൌ Ͳ ฻ ൦ ݔ ൌ ͳ

d. Điều kiện:

ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

(28)

Giải:

฻ ൤

฻ ݔ ൌ ߨ

ʹ

ͳ

ʹ ʹݔ ʹ ൌ െͳ

ʹ ʹݔ

ݔ ൌ ͳ

ݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺ኶ሻ

฻ ݔ ൌ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ c. Điều kiện:

൜^ଶݔ െ ^ଶݔ ് Ͳ

ʹݔ ് Ͳ ฻ ʹݔ ് Ͳ ฻ ݔ ്ߨ Ͷ൅݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

Ǥ ^ସݔ൅ ^ସݔ ൌ ʹݔെͳ

ʹ Ǥ ^ସݔ൅ ^ସݔ ൌ െͳ

ʹ ʹݔ Ǥ^ସݔ൅ ^ସݔ

^ଶݔെ ^ଶݔ ൌ െͳ

ʹ ʹݔ Ǥ ^ସݔ൅ ^ସݔ ൌͳͳ

ͺ െ ʹݔ Bài 2: Giải các phương trình sau

ͳ ʹ a. Phương trình tương đương với

฻ ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ ʹݔ െ

฻ ^ଶʹݔ ൅ ʹ ʹݔ െ ͵ ൌ Ͳ

ݔ ൌ ͳ

ݔ ൌ െ͵ ൏ െͳሺạሻ

൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ b. Phương trình tương đương với

฻ ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ െ

฻ ͳ െ^ଶʹݔ

฻ ^ଶʹݔ ൅ ʹݔ െ ʹ ൌ Ͳ

฻ ൤

(29)

^ସݔ ൅ ^ସݔ

ʹݔ ൌ െ ʹݔ

ʹ ʹݔ ฻ ^ସݔ ൅ ^ସݔ ൌ െͳ

ʹ ʹݔ Đây chính là câu b của bài này.

Nghiệm của phương trình là:

ݔ ൌ ߨ

d. Phương trình tương đương với

ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ ͳͳ

ͺ െ ʹݔ

฻ ͳ െ^ଶʹݔ

ʹ ൌͳͳ ͺ

฻ ൦ ʹݔ ൌ

ʹݔ ൌ͵ ʹ

฻ ൦

ߨ ݔ ൌͷߨ

ͳʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ^ଶቀݔ൅ߨ

͵ቁ ൅ ʹ ቀെݔ൅ߨ

͸ቁ ൌ ͵

Ǥ ^ସʹݔ ൅ ^ସʹݔ ൌ ʹݔ ʹݔ Ǥ ^଼ݔ ൅ ^଼ݔ ൌͳ͹

ͳ͸^ଶʹݔ

Ǥ ^଺ݔ൅ ^଺ݔ െ ʹݔ ൌ Ͳ

Ǥ ^ସݔ

ͷ൅ ^ଶݔ ͷ ൌ ͳ

Bài 3: Giải các phương trình sau:

െ ʹݔ

฻ Ͷ^ଶʹݔ െ ͺ ʹݔ ൅ ͵ ൌ Ͳ ͳ

ʹ

൐ ͳሺạሻ ݔ ൌ ͳʹ൅ ݇ߨ

(30)

Giải:

^ଶቀݔ ൅ߨ

͵ቁ ൅ ʹ ቀݔ ൅ߨ

͵ቁ െ ͵ ൌ Ͳ

฻ ൦ ቀݔ ൅ߨ

͵ቁ ൌ ͳ ቀݔ ൅ߨ

͵ቁ ൌ െ͵ ൏ െͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ െߨ

฻ ൤

฻ ݔ ൌߨ

ͺ൅ ሺ݇ א Ժሻ c. Ta có:

ൌ ቆͳ െ^ଶʹݔ

ʹ ቇ

ଶ

െͳ

ͺ^ସʹݔ Khi đó, phương trình tương đương:

ቆͳ െ^ଶʹݔ ʹ ቇ

ଶ

െͳ

ͺ^ସʹݔ ൌ ͳ͹

ͳ͸െͳ͹

ͳ͸^ଶʹݔ ฻ ʹ ^ସʹݔ ൅ ^ଶʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

b. Phương trình tương đương với

ͳ െ ʹ ^ଶʹݔ ^ଶʹݔ ൌ ʹݔ ʹݔ

฻ ʹ െ ሺʹ ʹݔ ʹݔሻ^ଶ ൌ ʹ ʹݔ ʹݔ

฻ ^ଶͶݔ ൅ Ͷݔ െ ʹ ൌ Ͳ

Ͷݔ ൌ ͳ

Ͷݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺạሻ

݇ߨ ʹ

^଼ݔ ൅ ^଼ݔ ൌ ሺ^ସݔ ൅ ^ସݔሻ^ଶെ ʹ ^ସݔ ^ସݔ

ൌ ሺͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔሻ^ଶെ ʹ ^ସݔ ^ସݔ

(31)

฻ ቎^ଶʹݔ ൌ െͳሺạሻ

^ଶʹݔ ൌͳ ʹ

฻ ^ଶʹݔ ൌͳ

ʹ֞ Ͷݔ ൌ Ͳ

฻ ݔ ൌ ߨ

ͺ൅݇ߨ

Ͷ ሺ݇ א Ժሻ d. Phương trình tương đương với

ͳ െ ͵ ^ଶ^ଶݔ െ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ͵ ^ଶʹݔ ൅ Ͷ ʹݔ െ Ͷ ൌ Ͳ

฻ ൥ ʹݔ ൌʹ

฻ ۏێ ێێ ێۍ

ݔ ൌ ൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ

^ସݔ

ͷ൅ ͳ െ ^ଶݔ ͷൌ ͳ ݔ

ͷെ ^ଶݔ ͷ ൌ Ͳ ^ଶݔ

ͷൌ Ͳ ^ଶݔ

ͷൌ ͳ

฻ ൦ݔ

ͷ ൌ Ͳ

ݔ ͷ ൌ Ͳ

ʹݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺạሻ͵

ቀʹ

͵ቁ ʹ ߨ െ ቀʹ

͵ቁ ʹ

e. Phương trình tương đương với

฻ ^ସ

฻ ൦

(32)

฻ ൥ݔ ൌ ͷߨ

ʹ ൅ ݇ͳͲߨ ݔ ൌ ݇ͷߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Giải:

a. Điều kiện:

ݔ ൌξʹ

฻ ݔ ൌ േߨ

Ͷ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm

ݔ ൌ ߨ

Ͷ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥݔ൫ʹ ݔ൅ ͵ξʹ൯ െ ʹ ^ଶݔെ ͳ ͳ ൅ ʹݔ ൌ ͳ

Ǥ ቀʹݔ ൅Ɏ

Ͷቁ ൅ ቀʹݔെɎ

Ͷቁ ൅ Ͷ ݔ ൌ ʹ ൅ ξʹሺͳ െ ݔሻ Ǥ͵ ^ଶݔ൅ ʹξʹ ^ଶݔ ൌ ൫ʹ ൅ ξʹ൯ ݔ

ǤͶ ^ଶʹݔ൅ ͸ ^ଶݔെ ͻ െ ͵ ʹݔ

ݔ ൌ Ͳ

Ǥ ʹݔሺݔ൅ ʹݔሻ ൌ Ͷ ^ଶݔ Bài 4: Giải các phương trình sau:

ʹݔ ് െͳ ֞ ݔ ് െ ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ ߨ Ͷ

Phương trình tương đương với

ʹ ݔ ݔ ൅ ͵ξʹ ݔ െ ʹ ^ଶݔ െ ͳ ൌ ͳ ൅ ʹݔ

฻ ʹ ^ଶݔ െ ͵ξʹ ݔ ൅ ʹ ൌ Ͳ

฻ ቎ ʹ

ݔ ൌ ξʹ ൐ ͳሺạሻ

(33)

b. Phương trình tương đương với

ʹ ቌʹݔ ൅ߨ

Ͷ ൅ ʹݔ െߨ

ʹ Ͷቍ ቌʹݔ ൅ߨ

Ͷ െ ʹݔ ൅ߨ

ʹ Ͷቍ ൅ Ͷ ݔ ൌ ʹ ൅ ξʹሺͳ െ ݔሻ

฻ ʹ ʹݔ ߨ

Ͷ൅ Ͷ ݔ െ ʹ െ ξʹ ൅ ξʹ ݔ ൌ Ͳ

฻ ξʹ ʹݔ ൅ ൫Ͷ ൅ ξʹ൯ ݔ െ ʹ െ ξʹ ൌ Ͳ

฻ ʹξʹ ^ଶݔ െ ൫Ͷ ൅ ξʹ൯ ݔ ൅ ʹ ൌ Ͳ

฻ ቎ ݔ ൌͳ ʹ

ݔ ൌ ξʹ ൐ ͳሺạሻ

฻ ൦

ݔ ൌߨ

͸൅ ݇ʹߨ ݔ ൌͷߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

c. Điều kiện:

͵^ଶݔ

^ଶݔ ൅ ʹξʹ ^ଶݔ ൌ ൫ʹ ൅ ξʹ൯ ݔ

฻ ͵^ଶݔ

^ସݔ െ൫ʹ ൅ ξʹ൯ ݔ

^ଶݔ ൅ ʹξʹ ൌ Ͳ 0ặݐ ൌ Ǥ ươ¿ở

͵ݐ^ଶെ ൫ʹ ൅ ξʹ൯ݐ ൅ ʹξʹ ൌ Ͳ ฻ ቎ݐ ൌ ξʹ ݐ ൌ ʹ

͵ Khi ݐ ൌ ξʹ, ta có:

ξʹ ^ଶݔ ൅ ݔ െ ξʹ ൌ Ͳ

ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് ݇ߨሺכሻ Phương trình tương đương với

ݔ

^ଶݔ

(34)

฻ ቎ ݔ ൌξʹ ʹ ݔ ൌ ξʹ ൐ ͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ േߨ

Ͷ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

ݐ ൌʹ

͵ǡ ×ǣ

ݔ

^ଶݔ ൌʹ

͵฻ ݔ

ͳ െ ^ଶݔ ൌʹ

฻ ൥ ݔ ൌ ͳ

฻ ݔ ൌ േߨ

͵

ʹݔ ൌ െͳ ʹ

฻ ݔ ൌ േߨ

͵൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

͵

฻ ʹ ^ଶݔ ൅ ͵ ݔ െ ʹ ൌ Ͳ ݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺạሻʹ

൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận các nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

d. Điều kiện:

ݔ ് Ͳ ฻ ^ଶݔ ് Ͳ ฻ ʹݔ ് െͳሺכሻ Phương trình tương đương với

Ͷሺͳ െ ^ଶʹݔሻ ൅ ͵ሺͳ െ ʹݔሻ െ ͻ െ ͵ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ʹ ^ଶʹݔ ൅ ͵ ʹݔ ൅ ͳ ൌ Ͳ

฻ ቎

ʹݔ ൌ െͳ൫ạሺכሻ൯

(35)

e. Điều kiện:

ቄ ݔ ് Ͳ ʹݔ ് Ͳ฻ ቄ ʹݔ ് ͳ ʹݔ ് Ͳሺכሻ Phương trình tương đương với

ʹ ^ଶݔ ൅^ଶʹݔ

ʹݔ ൌ Ͷ ^ଶݔ

฻ ͳ െ ^ଶʹݔ

ʹݔ ൌ ʹ ^ଶݔ

฻ ൥ ʹݔ ൌ െͳ

ʹݔ ൌ ͳ ʹ

฻ ൥ݔ ൌ േ

͵

Ǥ ^ସݔ൅ ^ସݔ ൌ͹

ͺ ቀݔ൅ߨ

͵ቁ ቀߨ

͸െݔቁሺ0ộͳͻͻͻሻ

Ǥͷ ݔ െ ʹ ൌ ͵ሺͳ െ ݔሻ ^ଶݔ ൫ểnốʹͲͲͶ൯ Ǥ ^ଶ͵ݔ ʹݔെ ^ଶݔ ൌ Ͳ൫ểnốʹͲͲͷ൯

Ǥ ^ସݔ൅ ^ସݔ ൅ ቀݔെߨ

Ͷቁ ቀ͵ݔെߨ Ͷቁ െ͵

ʹൌ Ͳ൫ểnốʹͲͲͷ൯

Ǥʹሺ^଺ݔ൅ ^଺ݔሻ െ ݔݔ

ξʹ െ ʹ ݔ ൌ Ͳ ൫ểnốʹͲͲ͸൯ Bài 5: Giải các phương trình sau:

฻ ͳ െ ^ଶʹݔ ൌ ʹݔ ሺ ʹݔ ൅ ͳሻ

฻ ʹ ^ଶʹݔ ൅ ʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

ݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨ

ߨ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

(36)

Giải:

a. Điều kiện :

൞ ቀݔ ൅ߨ

͵ቁ ് Ͳ

ቀߨ

͸െ ݔቁ ് Ͳ ฻ ൞ݔ ് െߨ

͵൅ ݇ߨ ݔ ് ߨ

͸൅ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ͹ ͺ

฻ ͳ െ^ଶʹݔ

ʹ ൌ͹ ͺ

฻ ۏێ ێێ

ۍ ʹݔ ൌ ξʹ ʹ

ʹݔ ൌ െξʹ ʹ

฻

ۏێ ێێ ێێ

ێۍ ݔ ൌߨ ͺ൅ ݇ߨ ݔ ൌ ͵ߨ

ͺ ൅ ݇ߨ ݔ ൌ െߨ

ͺ൅ ݇ߨ ݔ ൌ ͷߨ

ͺ ൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ

ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ്ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻሺכሻ Phương trình tương đương với

ͷ ݔ െ ʹ ൌ͵ሺͳ െ ݔሻ ^ଶݔ ^ଶݔ

฻ ͷ ݔ െ ʹ ൌ ͵ሺͳ െ ݔሻ ^ଶݔ ሺͳ െ ݔሻሺͳ ൅ ݔሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

b. Điều kiện :

(37)

฻ ͷ ݔ െ ʹ ൌ ͵ ^ଶݔ ͳ ൅ ݔ

฻ ʹ ^ଶݔ ൅ ͵ ݔ െ ʹ ൌ Ͳ

฻ ൥ ݔ ൌ ͳ

ݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺạሻʹ

฻ ൦

ݔ ൌߨ

͸ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

฻ ൥ ͳ

ͶሺØýሻ

݇ߨ

Ͷ ሺ݇ א Ժሻ

ߨ

Ͷቁ ݏ݅݊ ቀ͵ݔ െߨ

Ͷቁ െ ͵ ൌ Ͳ

฻ െ ^ଶʹݔ ൅ ቀͶݔ െߨ

ʹቁ ൅ ሺʹݔሻ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ െ ^ଶʹݔ െ Ͷݔ ൅ ʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ ^ଶʹݔ ൅ ʹݔ െ ʹ ൌ Ͳ

c. Phương trình tương đương với

ʹ ^ଶ͵ݔ ʹݔ െ ʹ ^ଶݔ ൌ Ͳ

฻ ሺ ͸ݔ ൅ ͳሻ ʹݔ െ ʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ ͸ݔ ʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ Ͷ ^ସʹݔ െ ͵ ^ଶʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ ^ଶʹݔ ൌ ͳ

^ଶʹݔ ൌ െ

฻ ʹݔ ൌ Ͳ

฻ ݔ ൌ

d. Phương trình tương đương với

ʹሺͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔሻ ൅ ʹ ቀݔ െ

(38)

฻ ൤ ʹݔ ൌ ͳ

ʹݔ ൌ െʹ ൏ െͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ ߨ

Ͷ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ e. Điều kiện :

ξʹ െ ʹ ݔ ് Ͳ ֞ ݔ ്ξʹ ʹ ሺכሻ

฻ ʹ െ͵ ^ଶʹݔ

ʹ െ ʹݔ ʹ

฻ ൥ ݔ ൌ െͶ

͵

Ǥ ^ଶቀߨ

ʹ൅ ʹݔቁ െ ^ଶʹݔ െ ͵ ቀߨ

ʹെ ʹݔቁ ൅ ʹ ൌ Ͳ Phương trình tương đương với

ʹ െ ͸ ^ଶݔ ^ଶݔ െ ݔ ݔ ൌ Ͳ

ൌ Ͳ

ݔ ൌ ͳ

൏ െͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ߨ

ʹ

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ǥ ^ଶݔ െ ൫ξ͵ െ ͳ൯ ݔ െ ξ͵ ൌ Ͳ

Ǥ ^ଶݔ ൅ Ͷ ݔ െ Ͷ ൌ Ͳ Ǥͳ ൅ Ͷݔ ൌ ʹݔ

Ǥʹ ʹݔ ൅ ݔ ൌ ͳ

Ǥʹ ^ଶʹݔ െ ʹ൫ʹ ൅ ξʹ൯ ݔ ݔ ൅ ξʹ ൌ Ͳ

Ǥ ʹݔ ൅ ൫ͳͲ െ ξ͵൯ ݔ ൅ ͷξ͵ െ ͳ ൌ Ͳ

(39)

Ǥͷሺͳ ൅ ݔሻ ൌ ʹ ൅ ^ସݔ െ ^ସݔ

Ǥ ^ସݔ ൅ ^ସݔ ൌ ʹ

͵^ଶቀݔ ൅ߨ Ͷቁ ൅ͳ

͵ Ǥ^ସݔ ൅ ^ସݔ

ͷ ʹݔ ൌͳ

ʹ ʹݔ െ ͳ ͺ ʹݔ

Ǥ ^ସݔ ൅ ^ସݔ ൌ െ ͷ

ͳʹ ቀݔ െߨ

Ͷቁ ቀ͵ݔ െߨ

Ͷቁ ൅ʹͳ ʹͶ 5.2.3. Giải các phương trình sau:

ǤͶͺ െ ͳ

^ସݔെ ʹ

^ଶݔ

Ǥ ^ସʹݔ ൅ ^ସʹݔ

ቀߨ

Ͷ െ ݔቁ ቀߨ Ͷ ൅ ݔቁ Ǥ ^ଷቀݔ െߨ

Ͷ

Ǥ ݔ ൌ ݔ ൅

ͷ ͺ

Ǥ ൌ Ͳ

ሺͳ ൅ ʹݔ ݔሻ ൌ Ͳ

ൌ ^ସͶݔ

ቁ ൌ ݔ െ ͳ ʹ Ͷ

ʹݔ

Ǥ ^ସݔ ൅ ^ସݔ ൌ ʹ ݔ ݔ െͳ

ʹ^ଶʹݔ

Ǥ ^ସݔ ൅ ^ସݔ ൌ ͷ

ʹ ʹݔ െ

ʹሺ^ସݔ ൅ ^ସݔሻ െ Ͷ ݔ ݔ ൅ ͳ ξʹ െ ʹ ݔ

(40)

- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.1. Nghiệm của phương trình là :

Ǥ ൦ݔ ൌ െߨ Ͷ൅ ݇ߨ ݔ ൌߨ

͵൅ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ

Ǥݔ ൌ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൦ ݔ ൌ ߨ Ͷ൅݇ߨ

ʹ ݔ ൌ േߨ

͸൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൥ ݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨ ݔ ൌ േ ൬͵

Ͷ൰ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ۏێ ێێ

ێۍ ݔ ൌ ߨ Ͷ൅ ݇ߨ ݔ ൌߨ

ͺ൅ ݇ߨ ݔ ൌ͵ߨ

ͺ ൅ ݇ߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ൦ݔ ൌ െߨ

͵൅ ݇ʹߨ ݔ ൌͶߨ

͵ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Ǥ ۏێ ێێ

ێۍ ݔ ൌ ߨ Ͷ൅ ݇ߨ ݔ ൌߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

5.2.2.

ͷሺͳ ൅ ݔሻ ൌ ʹ ൅ ሺ^ଶെ ^ଶݔሻሺ^ଶݔ ൅ ^ଶݔሻ

฻ ͷ ൅ ͷ ݔ ൌ ʹ ൅ ͳ െ ^ଶݔ െ ^ଶݔ

(41)

฻ ʹ ^ଶݔ ൅ ͷ ݔ ൅ ͵ ൌ Ͳ

฻ ൥ ݔ ൌ െͳ

ݔ ൌ െ͵

ʹ൏ െͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ b. Phương trình tương đương với

ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌͳ

͵ቂͳ െ ቀʹݔ ൅ߨ

ʹቁቃ ൅ͳ

͵

฻ ͳ െ^ଶʹݔ

ʹ ൌ ͳ

͵െͳ

͵ ʹݔ ൅ͳ

͵

฻ ͵ ^ଶʹݔ െ ʹ ʹݔ െ ʹ ൌ Ͳ

฻ ۏێ ێێ

ۍ ݔ ൌͳ െ ξ͹

ʹ

ݔ ൌͳ ൅ ξ͹

ʹ ൐ ͳሺạሻ

฻ ۏێ ێێ

ۍ ݔ ൌ ቆ ቇ ൅ ݇ʹߨ

ʹ ቇ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

݇ߨ

ʹ ሺ݇ א Ժሻሺכሻ

ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ

ͷ ʹݔ ൌ ʹݔ

ʹ ʹݔെ ͳ ͺ ʹݔ

฻ ͺ െ ͳ͸ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ ʹͲ ʹݔ െ ͷ

฻ Ͷ ^ଶʹݔ ൅ ʹͲ ʹݔ െ ͳ͵ ൌ Ͳ ֞ െͶ ^ଶʹݔ ൅ ʹͲ ʹݔ െ ͻ ൌ Ͳ ͳ െ ξ͹

ʹ ͳ െ ξ͹

ݔ ൌ ߨ െ ቆ c. Điều kiện :

ʹݔ ് Ͳ ֞ ݔ ് Phương trình tương đương với

(42)

฻ ൦ ʹݔ ൌͳ ʹ ʹݔ ൌ ͻ

ʹ൐ ͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ േߨ

͸൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

d. Phương trình tương đương với ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ െ ͷ

ʹͶቂ ቀͶݔ െߨ

ʹቁ ൅ ʹݔቃ ൅ʹͳ ʹͶ

฻ ͳ െ^ଶʹݔ

ʹ ൌ െ ͷ

ʹͶሺെ Ͷݔ ൅ ʹݔሻ ൅ʹͳ ʹͶ

฻ ൥ ʹݔ ൌͳ

฻ ൦

ݔ ൌ ߨ ͳʹ ݔ ൌͷߨ ͳʹ

ሺ݇ א Ժሻ

൞

^ସݔ ് Ͳ

^ଶݔ ് Ͳ

ʹݔ ് Ͳ

ݔ ് Ͳ

฻ ʹݔ ് Ͳሺכሻ

Ͷͺ െ ͳ

^ସݔെ ʹ

^ଶݔ൬ͳ ൅ ʹݔ

ʹݔ ݔ

ݔ൰ ൌ Ͳ

฻ ʹͶ െ ͳʹ ^ଶʹݔ ൌ െͷሺെͳ ൅ ʹ ^ଶʹݔ ൅ ʹݔሻ ൅ ʹͳ

฻ ʹ ^ଶʹݔ െ ͷ ʹݔ ൅ ʹ ൌ Ͳ

ʹݔ ൌ ʹ ൐ ͳሺạሻʹ

൅ ݇ߨ

൅ ݇ߨ 5.2.3.

a. Điều kiện :

(43)

฻ Ͷͺ െ ͳ

^ସݔ െ ͳ

^ସݔ ൌ Ͳ

฻ Ͷͺ ^ସݔ ^ସݔ െ ሺ^ସݔ ൅ ^ସݔሻ ൌ Ͳ

฻ ͵ ^ସʹݔ ൅ͳ

ʹ^ଶʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ ൦ ^ଶʹݔ ൌͳ

ʹ

^ଶʹݔ ൌ െʹ

͵ሺØýሻ

֞ Ͷݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌ ߨ

ͺ൅݇ߨ Ͷ

ەۖ

ۖ۔

ۖۖ

ۓ ቀߨ

Ͷെ ݔቁ ് Ͳ

ቀߨ

Ͷ൅ ݔቁ ് Ͳ ቀߨ

Ͷ െ ݔቁ ് Ͳ ቀߨ

Ͷ ൅ ݔቁ ് Ͳ

฻ ൞ ቀߨ ʹ

ቀߨ ʹ

฻ ʹݔ ് Ͳ ฻ ʹݔ ് േͳሺכሻ

Ta có:

ߨ

Ͷ൅ ݔቁ ൌͳ െ ݔ

ͳ ൅ ݔǤͳ ൅ ݔ ͳ െ ݔ ൌ ͳ

฻ ͳ െ^ଶͶݔ

ʹ ൌ ^ସͶݔ

฻ ʹ ^ସͶݔ െ ^ଶͶݔ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ ൥ ^ଶͶݔ ൌ ͳ

^ଶͶݔ ൌ െͳ

ʹሺØýሻ ሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.

b. Điều kiện :

െ ʹݔቁ ് Ͳ

൅ ʹݔቁ ് Ͳ

ቀߨ

Ͷെ ݔቁ ቀ Khi đó, phương trình tương đương với

^ସʹݔ ൅ ^ସʹݔ ൌ ^ସͶݔ

(44)

฻ Ͷݔ ൌ Ͳ

฻ ቂ ʹݔ ൌ Ͳ ʹݔ ൌ Ͳ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm

ݔ ൌ݇ߨ

Ͷ ሺ݇ א Ժሻ c. Điều kiện :

ቊ ቀݔ െ ߨ Ͷቁ ് Ͳ ݔ ് Ͳ ሺכሻ 0ặݐ ൌ ݔ െߨ

Ͷ ֞ ݔ ൌ ݐ ൅ߨ Ͷ

ߨ Ͷቁ െ ͳ ͳ ൅ ݐ

ͳ െ ݐെ ͳ

฻ ቈ ݐ ൌ ݇ߨ

ݐ ൌ െߨ

฻ ቈݔ ൌ ߨ Ͷ൅ ݇ߨ

ݔ ൌ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ

ớሺכሻ¿×ǣ ് Ͳ ቀݐ ൅ ቁ ് Ͳ ߨ Ͷ

¯×ǡương trình tương đương với

^ଷݐ ൌ ቀݐ ൅

฻ ^ଷݐ ൌ

฻ ሺ^ଶݐ ൅ ݐሻሺ^ଶݐ െ ʹ ݐ ൅ ʹሻ ൌ Ͳ

฻ ቂ ݐ ൌ Ͳ ݐ ൌ െͳ

(45)

d. Điều kiện :

൝ ݔ ് Ͳ

ݔ ് Ͳ

ʹݔ ് Ͳ฻ ʹݔ ് Ͳሺכሻ Phương trình tương đương với

ݔ

ݔ ൌ ݔ

ݔ൅ ʹ Ͷݔ ʹ ݔ ݔ

฻ ^ଶݔ ൌ ^ଶݔ ൅ Ͷݔ

฻ ʹ ^ଶʹݔ െ ʹݔ െ ͳ ൌ Ͳ

฻ ൥ ʹݔ ൌ ͳ

ʹݔ ൌ െͳ ʹ

฻ ൦

ݔ ൌ േߨ ʹ ݔ ൌ േʹߨ

͵

൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

ͳ

ʹሺͳ െ ^ଶʹݔሻ

ൌ ʹݔ െͳ

ʹሺͳ െ ^ଶʹݔሻ

฻ ^ଶʹݔ ൅ ʹ ʹݔ െ ͵ ൌ Ͳ

฻ ൤ ʹݔ ൌ ͳ

ʹݔ ൌ െ͵ ൏ െͳሺạሻ

฻ ݔ ൌ ߨ

Ͷ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ f. Phương trình tương đương với

൅ ݇ߨ

ʹߨ

͵ Kết hợp với ሺכሻ, ta nhận nghiệm

ݔ ൌ േ e. Phương trình tương đương với

ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌ ʹݔ െ

฻ ͳ െ^ଶʹݔ

ʹ

(46)

ͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔ ൌͷ

ʹ ʹݔ െͷ ͺ

฻ െͶ ^ଶʹݔ െ ʹͲ ʹݔ ൅ ʹͳ ൌ Ͳ

฻ ʹ ^ଶʹݔ െ ͳͲ ʹݔ ൅ ͳ͵ ൌ ͲሺØệ¿ȟԢ ൌ െͳ ൏ Ͳሻ g. Điều kiện :

ξʹ ʹ

฻ ൤

฻ ݔ ൌߨ

Ͷ

ሺכሻ ξʹ െ ʹ ݔ ് Ͳ ฻ ݔ ്

ʹሺͳ െ ʹ ^ଶݔ ^ଶݔሻ െ Ͷ ݔ ݔ ൅ ͳ ൌ Ͳ

฻ െ ^ଶʹݔ െ ʹ ʹݔ ൅ ͵ ൌ Ͳ

ʹݔ ൌ ͳ

ʹݔ ൌ െ͵ ൏ െͳሺạሻ

(47)

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO ܛܑܖ ࢞ VÀ ܋ܗܛ ࢞

- Phương trình bậc nhất theo ݔ và ݔ là những phương trình có dạng tổng quát :

Những trường hợp đặc biệt : x ܽ ൌ Ͳǡ ܾ ് Ͳ;ሺכሻ có dạng :

ݔ ൌ ܿ

ܾ x ܽ ് Ͳǡ ܾ ൌ Ͳ; ሺכሻ có dạng :

ݔ ൌ

ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ ݔ ൌ ܿ ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ

൬ ܽ

ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ൰^ଶ൅ ൬ ܾ ξܽ^ଶ ൅ ܾ^ଶ൰

ଶ

ൌ ͳ

ە۔

ۓ ݑ ൌ ܽ ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ

ݑ ൌ ܾ ξܽ^ଶ ൅ ܾ^ଶ

ܽݔ ൅ܾݔ ൌ ܿሺܽ^ଶ൅ܾ^ଶ ് Ͳሻሺכሻ

ܿ

ܽ

x ܽ ് Ͳǡ ܾ ് Ͳǡ ܿ ൌ Ͳ; do ݔ ൌ Ͳ không là nghiệm nên ሺכሻ có dạng :

ݔ ൌ െܽ

ܾ Phương pháp giải : (trường hợp ܽ ് Ͳǡ ܾ ് Ͳǡ ܿ ് Ͳ)

Chia 2 vế phương trình cho ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ ta sẽ được phương trình:

ξܽ^ଶܽ൅ ܾ^ଶ ݔ ൅ ܾ Ta thấy :

Nên có góc ݑ thỏa mãn :

(48)

¯×ương trình trở thành :

ݑ ݔ ൅ ݑ ݔ ൌ ܿ

ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ ฻ ሺݔ ൅ ݑሻ ൌ ܿ ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ Phương trình ሺכሻ có nghiệm khi và chỉ khi ܿ^ଶ ൑ ܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ

Khi đó, ta đặt

ߙ ൌ ܿ ξܽ^ଶ൅ ܾ^ଶ Phương trình trở thành :

Cách khác :

ݔ ൅ܾ

ܽ ݔ ൌ ܿ

ܽ

ܾ

ܽ

ܾ ܾ

ܿ

ܾ ߙǡ ߙ ൌ ܽ

ܾ

ݔ ʹ

ʹݐ

ͳ ൅ ݐ^ଶ൅ ܾͳ െ ݐ^ଶ ͳ ൅ ݐ^ଶ ൌ ܿ

฻ ሺܾ ൅ ܿሻݐ^ଶെ ʹܽݐ ൅ ܿ െ ܾ ൌ Ͳሺܾ ൅ ܿ ് Ͳሻ Giải ݐ rồi suy ra ݔ.

ሺݔ ൅ ݑሻ ൌ ߙ ฻ ቂ ݔ ൌ ߙ െ ݑ ൅ ݇ʹߨݔ ൌ ߨ െ ߙ െ ݑ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

x Chia 2 vế phương trình cho ܽ, phương trình trở thành :

฻ ሺݔ െ ߙሻ ൌ ܿ

ܽ ߙǡ ߙ ൌ x Chia 2 vế phương trình cho ܾ, phương trình trở thành :

ݔ ൅ ݔ ൌ ฻ ሺݔ ൅ ߙሻ ൌܿ

x Với ݔ ് ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ thì ta đặt ݐ ൌ

Khi đó,

ሺכሻ ฻ ܽ

(49)

Một số công thức cần lưu ý :

ܽ േ ܽ ൌ ξʹ ቀܽ േߨ Ͷቁ ܽ േ ܽ ൌ ξʹ ቀܽ טߨ

Ͷቁ ξ͵ ܽ േ ܽ ൌ ʹ ቀܽ േߨ

͸ቁ ൌ ʹ ቀܽ טߨ

͵ቁ

ܽ േ ξ͵ ܽ ൌ ʹ ቀܽ േߨ

͵ቁ ൌ ʹ ቀܽ טߨ

͸ቁ

Giải:

a. Ta có:

͹ݔ െ ξ͵ ͹ݔ ൌ െξʹ

฻ ቀ͹ݔ െߨ

͸ቁ ൌξʹ ʹ

฻ ൦ ݔ ൌͷߨ

ͺͶ൅݇ʹߨ

͹ ݔ ൌ ͳͳߨ

ͺͶ ൅݇ʹߨ

͹

ሺ݇ א Ժሻ b. Ta có:

͵ݔ ൌ ξʹ ൅ ͵ݔ

฻ ቀ͵ݔ െߨ

Ͷቁ ൌ ͳ

฻ ݔ ൌ ߨ

Ͷ൅݇ʹߨ

͵ ሺ݇ א Ժሻ

c. Ta thấy ݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ không là nghiệm của phương trình.

Ǥ ͹ݔ െ ξ͵ ͹ݔ ൌ െξʹ

Ǥ ͵ݔ ൌ ξʹ ൅ ͵ݔ Ǥ͵ ݔ൅ ݔ ൌ ͳ

Ǥ ݔ ൅ ͷ ݔ ൌ ͳ

Ǥͳ ൅ ξ͵

ʹξʹ ݔ൅ͳ െ ξ͵

ʹξʹ ݔ ൌ ͳ ξʹ Bài 1: Giải các phương trình sau: