Các phương pháp tính tích phân LTĐH

(1)

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Dấu hiệu Cách chọn

2 2

a x Đặt x = |a| sint; với ; .

t_{ }_  2 2_

 

 

hoặc x = |a| cost; với ^t^

 

^0;^ ^.

2 2

x a

Đặt x = a

sint.; với ^; ^{\ 0 .}

 

t   2 2 hoặc x = a .

cost ; với

 

^0; ^\ ^.

t  ^{ } 2

 

2 2

a x Đặt x = |a|tant; với ; .

t   2 2 hoặc x = |a|cost; với ^t^



^0;^



^.

a x. a x



 hoặc a x. a x



 Đặt x = acos2t



^{x a b x}^



^



Đặt x = a + (b – a)sin²t

2 2

1

a x Đặt x = atant; với ; .

t   2 2 Bài 1: Tính

1 2

2 2 2

1 x .

I dx

x





 Giải:

Đặt x = cost, ; .

t   2 2 .  dx = - sint dt Đổi cận:

x ²

2 4



t 1 0

Khi đó:

1 2

2 2 2

. 1 x

I dx

x





 ⁰ ²²

4

1 cos .t sint cos t dt



 



 ⁴ ²

0

sin .sint t cos t dt







⁼ ⁴ ²²

0

sin t cos tdt







⁼ ⁴ ²

0

1 1 dt cos t



 





  



^tan



4

0 t t



  =

1 4



. (vì . 0;

t  4

   nên sint . 0 sint sint)

Bài 2: Tính ² ² ²

0

.

a

I 



x a x dx Giải:

(2)

Đặt x = asint, ; t _  2 2_

   . dx = acostdt

Đổi cận:

x 0 a

t 0

2

 Khi đó:

2 2 2

0

.

a

I 



x a x dx ² ² ² ²



²



0

sin 1 sin .

a t a t acostdt







 ⁴² ² ²

0

sin

a tcos tdt







^{4 2}

 

0

1 4

8

a cos t dt







 ₈⁴ ¹₄^{sin 4} ²

0

a t t

 

   

4

16

a



Bài 3: Tính

1

2 2

0

.I 



x 1x dx Giải:

Đặt x = sint, ; t _  2 2_

  . dx = costdt Đổi cận:

x 0 1

t 0

2



Khi đó:

1

2 2

0

.I 



x 1x dx ² ² ²

0

sin t 1 sin t costdt.







 ² ² ²

0

1 sin

4 tcos tdt







² ²

0

1 sin 2

4 tdt







²

 

0

1 1 4

8 cos t dt









1 1

sin 4 2

8 4

0

t t

  

    16

 

Bài 4: Tính

1

3 2

0

.I 



x 1x dx Giải:

Đặt t = . 1x²  t² = 1 – x² . xdx = -tdt Đổi cận:

x 0 1

t 1 0

Khi đó:

1

3 2

0

.I 



x 1x dx⁼ ¹ ² ²

0

1

x x xdx





 ¹



²



0

1 t . .t tdt





 ¹



² ⁴



0

t t dt





 ^^^_^t₃³ ^^t₅⁵^^_¹₀ ^₁₅² ^. Bài 5: Tính

2

. 5

ln

e

I dx

x x





Giải:

(3)

Đặt t = lnx  dt = dx

x Đổi cận:

x e e²

t 1 2

Khi đó:

2

. 5

ln

e

I dx

x x





⁼ ² ⁵

1

. dt



t ⁼^.^^_^₄¹_t⁴ ^^_₁²^¹⁵₆₄^. Bài 6: Tính ¹ ³



⁴



⁴

0

1 .

I 



x x  dx Giải:

Đặt t = x⁴ + 1  dt = 4x³dx ³ . 4 x dx dt

 

Đổi cận:

x 0 1

t 1 2

Khi đó: ¹ ³



⁴



⁴

0

1 .

I 



x x  dx ⁼ ² ⁴ ⁵

1

1 1 2 31

1 . 4



t dt20t   20 Bài 7: Tính

2 5 0

sin

I xcoxdx







Giải:

Đặt t = sinx ; ^^dt^^cosxdx Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó:

2 1

5 5

0 0

sin 1

I xcoxdx t dt 6













.

Bài 8: Tính

12 4 0

tan

I xdx







Giải:

Ta có:

12 12

0 0

sin 4 tan 4

4

xdx xdx

cos x

 







Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4

4

dt in xdx xdx dt

     

Đổi cận:

x 0

12



(4)

t 1 1 2 Khi đó:

1

12 12 2 1

0 0 1 1

2

sin 4 1 1 1 1 1

tan 4 . ln 1 ln 2.

4 4 4 4 4

2

x dt dt

I xdx dx t

cos x t t

 









 







 

Bài 9: Tính

2 5 0

. I cos xdx







Giải:

Ta có:

 

2 2 2

5 4 2 2

0 0 0

1 sin

cos xdx cos xcoxdx x coxdx

  

  

  

x 0

2



t 0 1

Khi đó: ² ⁵ ²



²



² ²



²



² ²



² ⁴



³ ⁵

0 0 0 0

2 1 5

1 sin 1 1 2 .

0

3 5 18

t t

I cos xdx x coxdx t dt t t dt t

   

 

            

 

   

Bài 10: Tính

4 4 0

1 .

I dx

cos x







Giải:

Đặt t = tanx ; ²

dt 1 dx

cos x

 

Đổi cận:

x 0

4



t 0 1

Khi đó: ⁴ 4 ⁴



²



2 ¹



²



³

0 0 0

1 1 1 4

1 tan 1 .

0

3 3

I dx x dx t dt t t

cos x cos x

 

 

        

 

  

Bài 11: Tính

2 3 2 6

s . cos x

I dx

in x







Giải:

x 6



2



(5)

t 1

2 1

Khi đó:

1 1

3 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1

6 6 2 2

(1 s ) 1 1 1 1 1

1 1 ..

s s 2

2

cos x in x t

I dx cosxdx dt dt t

in x in x t t t

 

     

           

   

   

Bài 12: Tính

2

3 3

0

sin .

I xcos xdx







Giải:

x 0

2



t 0 1

Khi đó: ² ³ ³ ² ³



²



¹ ³



²



¹



³ ⁵



⁴ ⁶

0 0 0 0

1 1

sin sin 1 sin 1 ..

0

4 6 12

t t

I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt

 

 

          

 

   

Bài 13: Tính ²

2 sin 0

sin 2 .

I e x xdx







Giải:

Đặt t = sin²x ; ^^dt^^s^{in xdx}² Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó: ²

2 1 sin

0 0

sin 2 1 1..

0

x t t

I e xdx e dt e e











  

Bài 14: Tính

2

2 0

sin 2 1 .

I x dx

cos x







 Giải:

Đặt t = 1 + cos²x ; ^^dt^{ }^s^{in xdx}² ^^s^{in xdx}² ^{ }^dt Đổi cận:

x 0

2



t 2 1

Khi đó: ² 2 ¹ ²

 

0 2 1

sin 2 2

ln ln 2..

1 1

x dt dt

I dx t

cos x t t



     





 

(6)

Bài 15: Tính

4 3 0

tan .

I xdx







Giải:

Đặt t = tanx ;



1 tan²

 

1 ²



2 .

1

dt x dx t dt dx dt

      t

 Đổi cận:

x 0

4



t 0 1

Khi đó:

 

   

1 3 1 1 1 2 1 2

4 3

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2

1 1

1 2 1

tan 1 1 2 1 2 0 2 1

1 1 1 1 1 1

ln 1 ln 2 1 ln 2 .

0

2 2 2 2 2

t t t t d t

I xdx dt t dt tdt dt

t t t t

t

   

              

      

     

Bài 16: Tính

1

0

1 .

1

I dx

x





 Giải:

Đặt t = x ;   t² x dx2tdt Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

Khi đó: ¹ ¹ ¹

   

0 0 0

1 1 1

2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .

0

1 1

1

I dx t dt dt t t

t t

x

 





 



 



         Bài 17: Tính

1 3

3 4

0

1 .

I 



x x dx Giải:

Đặt t =

3 4 3 4 3 3 2

1 1

x t x x dx 4t dt

      

Đổi cận:

x 0 1

t 1 0

Khi đó:

1 1

3

3 4 3 4

0 0

3 3 1 3

1 .

4 16 0 16

I 



x x dx



t dt t  Bài 18: Tính

0 2 1

1 .

2 4

I dx

x x







  Giải:

Ta có:

   

0 0

2 2 2

1 1

2 4 1 3 .

dx dx

x x x

 

    

 

(7)

Đặt x 1 3 tant với ^; ^. ^{3 1 tan}



²



^.

t _  2 2_ dx t dt

     

 

Đổi cận:

x -1 0

t 0

6



Khi đó:

0 6

2

1 0

1 3 3 3

6 ..

2 4 3 3 18

0

I dx dt t

x x

  



   

 

 

Bài 19: Tính

1 3

8 0

1 .

I x dx

 x



 Giải:

Ta có:

 

1 3 1 3

2

8 4

0 0

1 1 .

x x

dx dx

x x

  

 

Đặt x⁴ tant với ^; ^. ³ ¹



^{1 tan}²



^.

2 2 4

t_{ }_   _ _x dx_ _ t dt

 

 

Đổi cận:

x 0 0

t 0

4



Khi đó:

 

1 3 1 3 4 2 4

2

8 4 2

0 0 0 0

1 1 tan 1 1

4 ..

1 1 4 1 tan 4 4 0 16

x x t

I dx dx dt dt t

x x t

    

     

  

   

Bài 20: Tính

1

1 ln .

e x

I dx

x





 Giải:

Đặt

1 ln 2 1 ln 2 dx

t x t x tdt

       x

Đổi cận:

x 1 e

t 1 2

Khi đó: ² ² 2 ³

 

1 1 1

2 2 2 1

1 ln 2

.2 2 2 ..

3 1 3

e x t

I dx t tdt t dt

x

 













 

Bài 21: Tính ¹

 

0

ln 2 .

2

I x dx

x

 



 Giải:

Đặt ^{ln 2}

 

^.

2

t x dt dx

x

    

 Đổi cận:

x 1 1

(8)

t ln2 0

Khi đó: ¹

 

⁰ ^{ln 2} ² ²

0 ln 2 0

ln 2

ln 2 ln 2

0 ..

2 2 2

x t

I dx tdt tdt

x

      





 

Bài 22: Tính

2

2 01 sin

I cosx dx

x







 Giải:

Đặt ^sin^x^^tan^t với ^;



^{1 tan}²



^.

t _  2 2_ cosxdx t dt

    

 

Đổi cận:

x 0

2



t 0

4



Khi đó:

2 4 2 4

2 2

0 0 0

1 tan

1 sin 1 tan 4.

cosx t

I dx dt dt

x t

  



    

 

  

Bài 23: Tính

2

3

1 .

I sin dx x







Giải:

Đặt tan ¹ 1 tan² ² ₂.

2 2 2 1

x x dt

t dt dx dx

t

 

        

Ta tính: ₂

2

1 1 2 1

. .

sin 2 1

1

dx tdt dt

x t t t

t

 



 Đổi cận:

x 3



2



t ³

3 1

Khi đó: ² ¹

 

3

3 3

1 1 1 3 1

ln 3 ln ln 3..

sin 3 2

3

I dx dt t

x t











   

Bài 24: Tính

 

1

1 .

1 ln

e

I dx

x x





 Giải:

Đặt 1 ln dx.

t x dt

    x Đổi cận:

x 1 e

(9)

t 1 2 Khi đó:

 

2

1 1

1 2

ln ln 2..

1 1 ln

e dt

I dx t

x x t

   







Bài 25: Tính ³

1 5 0

x . I 



x e dx Giải:

Đặt ³ 3 ² ² .

3 tx dt  x dxx dx dt Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

Khi đó: ³

1 1 1

5

0 0 0

1 1

1 1 1 1 1

0 0 .

3 3 3 3 3 3

x t t t e t

I 



x e dx



te dt te 



e dt  e  Bài 26: Tính

1 5 2 2

4 2

1

1 .

1

I x dx

x x



 

 



Giải:

Ta có:

1 5 1 5 1 5

2 2 2 2 2 2

4 2 2

1 1 2 1

2

1 1 1

1 1

1 .

1 1 1 1

x dx x dx x dx

x x x x

x x

         

       

  

Đặt t x ¹ dt 1 ¹₂ dx.

x x

 

      Đổi cận:

x 1 ¹ ⁵

2



t 0 1

Khi đó:

1 2 0

1 . I dt

 t





Đặt ^t^^tan^u^^dt^{ }



^{1 tan}²^{u du}



^.

Đổi cận:

x 0 1

t 0

4



Vậy

1 4 2 4

2 2

0 0 0

1 tan

4 ..

1 1 tan 4

0

dt u

I du du u

t u

    

    

 

  

Bài 27: Tính

2

3 1

. 1 I dx

x x





 Giải:

(10)

Ta có:

2 2 2

3 3 3

1 1

.

1 1

dx x dx

x x x x

  

 

Đặt ³ ² ³ ² ² 2

1 1 2 3 .

3 t x   t x  tdt x dxx dx tdt Đổi cận:

x 1 2

t 2 3

Khi đó:

     

2 2 2 3 3

3 3 3 2

1 1 2 2

2

2 1 1 1

3 1 3 1 1 .

1 1

3 3

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1

ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln

3 2 3 1 2 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1

dx x dx dt

I dt

t t t

x x x x

t t t

t

 

            

 

    

              

   

Bài 28: Tính

2 3

2 0

3 .

2 1

I x dx

x x





  Giải:

Ta có:

 

2 3 2 3

2 2

0 0

3 3

2 1 1 .

x x

dx dx

x x x

   

 

Đặt ^t^{  }^x ¹ ^dt^^dx Đổi cận:

x 0 2

t 2 3

Khi đó:

     

3 3 2

2 3 2 3 3 3

2

2 2 2

0 0 1 1

3 2

2 2 2

1

3 3 3 1

3 1

3 3

2 1 1 .

9 1 3 3

3 9 3 3 9 9 ln 3 3 1 9 3 1 9 ln 3 ln1 1 3 9 ln 3 8

1

2 2

t t t

x x t

I dx dx dt dt

x x x t t

t t dt t t t

t t



  

     

  

 

                    

   

   



Bài 29: Tính

ln 2 2 2 0

3 .

3 2

x x

e e

I dx

e e

 

 



Giải:

Đặt te^x  dt e dx^x Đổi cận:

x 0 ln2

t 1 2

Khi đó:

(11)

   

ln 2 2 ln 2 2 2

2 2 2

0 0 1 1

2 2

1 1

3 3 3 2 1

3 2 3 2 3 2 1 2

2 2

1 1 3 4 9 4 27

2 2 ln 1 ln 2 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln 3 2 ln ln ln ln ln

1 1

1 2 2 3 4 3 16

x x x

x

x x x x

e e e t

I dx e dx dt dt

e e e e t t t t

dt dt t t

t t

    

               

              

 

   

 

Bài 30: Tính

 

4

1 1

I dx

x x





 Giải:

Đặt x t² dx2tdt Đổi cận:

x 1 4

t 1 2

Khi đó:

     

 

4 2 2 2

2

1 1 1 1

2 1 1

2 2

1 1 1

1

2 2 1 4

2 ln ln 1 2 ln ln 2 ln .

1 3 2 3

dx tdt dt

I dt

t t t t t t

x x

t t

 

           

 

      

 

   

Bài 31: Tính ¹



²



³

0

1 .

I 



x dx Giải:

Đặt

sin , 0;

x t t 2dxcostdt Đổi cận:

x 0 1

t 0

2

 Khi đó:

   

1 2 2 2 2 2

3 3

2 2 3 4

0 0 0 0 0

2 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0 0

2

0

1 2

1 1 sin . .

2

1 1 1 1 1 1 sin 2 1

1 2 2 2 2 2 2 . . 2 1 4

4 4 2 8 4 2 2 2 8

0

1 1

8 8 8

cos t

I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt

cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt t cos t dt

dt co

   

    



 



  

         

          

  

    



²

0

1 sin 4 3

4 . 2 .

8 16 8 4 8 16 16

0 s tdt t

 

    

     



Bài 32: Tính

2 3

6

. I cos xdx







Giải:

(12)

     

³

2 2 2 2

3 2 2 2

6 6 6 6

sin 2

. 1 sin 1 sin sin sin

3 6

1 1 1 5

1 3 2 24 24

I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x x

   



 

         

 

    

   

Bài 33: Tính

4

4 4

0

sin 4 sin . I x

x cos x









Giải:

4 4 4 4

4 4 4 4 2 2

0 0 0 0 2

4

2 2

0 2

sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2

sin sin 1 2sin 1 1sin 2

2

1 1 1 1

1 sin 2 ln 1 sin 2 4 ln ln 2

1 2 2 2

1 sin 2 0

2

x xcos x xcos x xcos x

I dx dx dx dx

x cos x x cos x xcos x x

d x x

x

   

 

    

   

  

         

   



Bài 34: Tính

3 2

4

1 sin . cos x

I dx

x







 Giải:

   

 

3 2 2

2 2 2 2

4 4 4 4

2 2 2

4 4 4

1 sin

1 sin 1 sin 1 sin

1 1 2 3 2 2

sin s 2 sin sin 2

2 4 4

4 cos x cos x x

I dx cosxdx cosxdx x cosxdx

x x x

cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x

   

  



      

  

  

       

   

  

Bài 35: Tính

2

4

sin .

sin

x cosx

I dx

x cosx



  

 



   Giải:

   

2 2

4 4

sin sin 2

ln sin ln 2

sin sin

4

d x cosx

x cosx

I dx x cosx

x cosx x cosx

 



 

  





   



    

Bài 36: Tính

2 3 0

sin .

I xdx







Giải:

(13)

   

³

2 2 2

3 2 2

0 0 0

1 2

sin sin sin 1 2 1

3 3 3

0 cos x

I xdx x xdx cos x d cosx cosx

   

 

           

 

  

Bài 37: Tính ³ .

sin cos x

I dx





x Giải:

     

   

2 2

3 2

0 2

4 3 4 1 sin 3

3 4 3

. . sin

sin sin sin sin

1 1

4sin sin 4. sin ln sin

sin1 2

cos x x

cos x cos x cosx

I dx dx cosxdx d x

x x x x

x d x x x C

   

     

 

       

   



Bài 38: Tính ^{s 3} . sin I in xdx





x Giải:

   

3

s 3 3s 4sin 2 1

3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin 2

sin sin 2

sin 2

in x inx x

I dx dx x dx x cos x dx x x x c

x x

x x C

           

  

   

Bài 39: Tính

1

4 2

0

1 .

I x dx

x x





  Giải:

1 Đặt tx² dt 2xdx Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

Khi đó:

1 1

4 2 2

0 0

1

1 2 1 3

2 4

x dt

I dx

x x

t

 

     

 

2 Đặt

1

y  t 2 dydt Đổi cận:

t 0 1

y 1

2

3 2

Khi đó:

3

1 2

2 2

0 1 2

2

1 1

2 1 3 2 3

2 4 4

dt dy

I

t y

 

     

   

   

 

3 Đặt

3 2

4 3

z ydz dy Đổi cận:

(14)

y 1 2

3 2

z 1

3 3

Khi đó:

3

3 3

2

2 2

1 1 2 1

2

2 3 3

1 3 1

3 3

2 3 4 3 1

4 4

4

dy dz dz

I z

y z

   

   

  

 

  

4 Đặt ^z^^tan^u^^dz^{ }



^{1 tan}²^{u du}



^.

Đổi cận:

z 1

3 3

u 6



3



Ta được:

3 3 2

2 2

1 3 6

1 1 1 tan 1 3

1 1 tan .

3 3 3 6 3

6

dz u

I du u

z u



    

 

 

Bài 40: Tính

 

1

2

0 2 1

I x dx

x





 Giải:

5 Đặt 1

2 1 .

2 2

t dt

t x  x  dx Đổi cận:

x 0 1

t 1 3

Khi đó:

 

1 3 3

2 2 2

0 1 1

1

1 1 1 1 1 3 1 2

2 . ln ln 3 .

1

2 4 4 4 3

2 1

t

x dt

I dx dt t

t t t t

x



     





 







           Bài 41: Tính ⁰ ²

 

⁹

1

1 .

I x x dx







 Giải:

6 Đặt ^t^{  }^x ¹ ^dt^^dx Đổi cận:

x -1 0

t 0 1

Khi đó:

       

0 1 1 1

9 2

2 9 2 9 11 10 9

1 0 0 0

12 11 10

1 1 2 1 2 .

1 1 2 1 1

2 0

12 11 10 12 11 10 660

I x x dx t t dt t t t dt t t t dt

t t t



          

 

       

 

   

(15)

Bài 42: Tính

2

0

1 . I dx

cosx







 Giải:

2 2 2

2 2

0 0 0

2 tan 2 1

1 2

2 0

2 2

d x

dx dx x

I cosx x x

cos cos

   ^{ }_{ } 

      





 

Bài 43: Tính

1

15 8

0

. 1 3 . . I 



x  x dx Giải:

Ta có:

1 1

15 8 8 8 7

0 0

. 1 3 . . 1 3 .

x  x dx x  x x dx

 

7 Đặt 1 3 ⁸ 24 ⁷ .

24 t  x dt  x dxdx dt Đổi cận:

x 0 1

t 1 4

Khi đó:

 

⁵ ³

1 1 4 4 3 1 2 2

15 8 8 8 7 2 2

0 0 1 1

1 1 1 1 4 29

. 1 3 . . 1 3 . . . .

5 3 1

3 24 72 72 270

2 2

t t t

I x x dx x x x dx t dt t t dt

 

 

            

 

 

   

Bài 44: Tính

1 3

2 0

. 1

I x dx

x x





  Giải:

 

    

   

3 2 3 2

1 3 1 1 1

3 2 4

2 2

2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 5 1

3 2 4 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1

1

1 1 1 1

1 1

1 1. 1.

0

5 5

J

x x x x x x

I x dx dx dx x x x dx

x x

x x x x x x

x x dx x dx x x xdx x x x xdx

   

      

       

        

   

8 Đặt tx²  1 dt 2xdx Đổi cận:

x 0 1

t 1 2

Khi đó:

   

2 2 2 2

3 1 3 1 5 3

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

5 3

2 2

1 1 1 1 1 2

1 .

1 1

2 2 2 2 5 3

2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2

5 5 3 3 5 3 15 15 15

J  t t dt t t dt t dt t dt t  t 

        

   

(16)

Vậy

2 2 1 15 15

I  

Bài 45: Tính

4

2 0

sin 4 1 .

I x dx

cos x







 Giải:

Ta có:

4 4

2 2

0 0

sin 4 2sin 2 2

1 1

x xcos x

dx dx

cos x cos x

 

  

 

9 Đặt t 1 cos x²   dt 2sinxcosxdx sin 2xdx 10 ^{cos x}² ^{  }^t ¹ ^{cos x}² ^²^{cos x}² ^{ }^{1 2}



^t^{   }¹



^{1 2}^t ³

Đổi cận:

x 0

4



t 2 3

2

Khi đó:

   

3 3

2 2 2

2 2 3

2

2 2 3 6 6 2

4 4 4 6 ln

32

3 3 4

4 2 6 ln 2 ln 2 6 ln

2 2 3

t dt

I dt dt t t

t t t

     

           

   

       

   

  

Bài 46: Tính

2

4

1 sin 2 . I dx

x







 Giải:

 

2 2 2 2

2 2

2

4 4 4 4

1 1 2 1

1 sin 2 sin 2 2tan 4 2

2 4 4 4

dx dx dx dx

I x

x x cosx cos x cos x

   



 



 

                

   

Bài 47: Tính

 

4

3 0

s 2

sin 2

co x

I dx

x cosx







 

Giải:

Ta có:

 

  

 

4 4

3 3

0 0

sin sin

s 2

sin 2 sin 2

cosx x cosx x

co x

dx dx

x cosx x cosx

 

 

    

 

11 Đặt ^t^^cosx^^sin^x^{ }² ^dt ^



^cosx^^sin^{x dx}



Đổi cận:

x 0

4



(17)

t 2 2 2

Khi đó:

 

       

2 2 2 2

3 2 3 2

0 0

2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1

3 9

2 2 6 4 2

0

1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5

9 9 9

6 4 2 2 3 2 2 2 2 1 18 2 1 18 2 1

I t dt dt

t t t t t

       

                

     

       

    

 

Bài 48: Tính

4

0

s 2 .

sin 2

co x

I dx

x cosx







 

Giải:

Ta có:

  

4 4

0 0

sin sin

s 2

sin 2 sin 2

cosx x cosx x

co x

dx dx

x cosx x cosx

 

 

    

 

12 Đặt ^t^^cosx^^sin^x^{ }² ^dt ^



^cosx^^sin^{x dx}



Đổi cận:

x 0

4



t 2 2 2

Khi đó:

     

 

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

1 2 ln 2 2 2 ln 2 2 3 2 ln 3

0 2 1 2 ln 3 ln 2 2 2 1 2 ln 3

2 2

I t dt dt t t

t t

     

             

 

 

         

 

Bài 49: Tính ²



²



³

0

sin 2 1 sin .

I x x dx









Giải:

13 Đặt t 1 sin²x  2 dt 2sinxcosxdxsin 2xdx Đổi cận:

x 0

2



t 1 2

Khi đó: ²



²



³ ² ³ ⁴

0 1

2 1 15

sin 2 1 sin 4

4 1 4 4

I x x dx t dt t







 



   

Bài 50: Tính ²

 

²

0

sin 1 .

I xcosx cosx dx









Giải:

(18)

Ta có:

     

2 2 2

2 2 2 3

0 0 0

sin 1 sin 1 2 2 .sin

I xcosx cosx dx xcosx cosx cos x dx cosx cos x cos x xdx

  





 



  



 

14 Đặt ^t^^cosx^^dt^{ }^sin^xdx Đổi cận:

x 0

2



t 1 0

Khi đó: ⁰



² ³



¹



² ³



² ³ ⁴

1 0

2 1 17

2 2

0

2 3 4 12

t t t

I t t t dt t t t dt  

           

 

 

Bài 51: Tính

2

2 2 2 2

0

sin .

sin xcosx

I dx

a cos x b x









Giải:

Ta có:

   

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

sin sin sin

sin 1 sin sin sin

xcosx xcosx xcosx

I dx dx dx

a cos x b x a x b x b a x a

  

  

    

  

15 Đặt

    

² ²



2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 sin

sin sin

sin

tdt b a xcosxdx

t b a x a t b a x a tdt

xcosxdx

b a

  

        

 





Đổi cận:

x 0

2



t |a| |b|

Khi đó:



² ²



² ¹ ²^. ² ² ¹

b

a

b b a

I tdt t

b a a b

t b a a b a

    

 

 



Bài 52: Tính

2 3 0

1 .

3 2

I x dx

x

 



 Giải:

16 Đặt

3

3 2

3 2 3 2 3 3 ;

3 t x  t x  t dt dx xt 

Đổi cận:

x 0 2

t ³2 2

Khi đó:

 

3 3

3

2 2 5 2

2 4

3

2 2

2

1 1 2 1 42 4 2 37 4 2

3 . 1

3 3 5 2 2 3 5 5 15

t

t t

I t dt t t dt

t

     









          Bài 53: Tính

4 2 7

. 9 I dx

x x







(19)

Giải:

17 Đặt ² 9 ² ² 9



0



; 2 2

9 dx tdt tdt

t x t x t tdt xdx

x x t

         

 Đổi cận:

x 7 4

t 4 5

Khi đó:

5 2 4

1 3 5 1 7

ln ln

4

9 6 3 6 4

dt t

t t

  

 



Bài 54: Tính

4

0

1 tan . I dx

x









Giải:Đặt 2



²



2 2

tan 1 1 tan .

1 tan 1

dt dt

t x dt dx x dx dx

cos x x t

       

 

Đổi cận:

x 0

4



t 0 1

Khi đó:

       

1 2 3

1 1

2 2

0 0

1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 2 1 0 0 0

J J J

dt t dt tdt dt

I dt

t t t t

t t t

  

 





  



             

1 Tính:

1 1

0

1 1 1 ln 2

ln 1 .

0

2 1 2 2

J dt t

 t   





2 Tính: ¹ ¹



²



2

2 2 2

0 0

1 1

1 1 1 ln 2

ln 1 .

2 1 4 1 4 0 4

tdt d t

J t

t t

     

 

 

3 Tính:

1 4

3 2

0 0

1 1

2 1 2 8.

J dt du

t



  







(với t = tanu)

Vậy ln 2 ln 2 ln 2

2 4 8 8 4 .

I       Bài 55: Tính

2

3

sin . I dx

x







Giải:

Ta có:

2 2 2

2 2

3 3 3

sin sin

sin sin 1 s

dx xdx xdx

x x co x

  

 

  



19 Đặt ^t^^cosx^^dt^{ }^sin^xdx Đổi cận:

(20)

x 3



2



t 1

2 0

Khi đó:

 

1 1 1 1

0 2 2 2 2

2 2

1 0 0 0 0

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

ln 1 ln 1 2 ln ln

1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

0

dt dt dt dt

I dt t t

t t t t t t

    





 



 



      



 



        